https://app.box.com/s/5cqkdt4h32gfq7u6f3jg7ym86nj52ik4

1. Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Nguyen Thanh Tu Group
B À I T Ậ P D Ạ Y T H Ê M T O Á N
C H Ư Ơ N G T R Ì N H M Ớ I
Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN 11 - CÁNH DIỀU
(LÝ THUYẾT, BÀI TẬP TỰ LUẬN, TRẮC
NGHIỆM, VỞ BT) (BẢN HS-GV) (HK2)
WORD VERSION | 2024 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
vectorstock.com/28062405

2. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 1: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
I. MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
1. bảng tần số ghép nhóm
 Mẫu số liệu ghép nhóm là mẫu số liệu cho dưới dạng bảng tần số ghép nhóm.
 mỗi nhóm số liệu gồm một số giá trị của mẫu số liệu được ghép nhóm theo một tiêu chí xác
định có dạng  
;
a b , trong đó a là đầu mút trái, b là đầu mút phải. độ dài nhóm là b a
 .
 Tần số của một nhóm là số liệu trong mẫu số liệu thuộc vào
nhóm đó. Tần số của nhóm 1, nhóm 2 , …, nhóm m kí hiệu
lần lượt là 1 2
, ,..., m
n n n .
 Bảng tần số ghép nhóm được lập ở Bảng 2, trong đó mẫu số
liệu n số liệu được chia thành m nhóm ứng với m nữa khoảng
 
1 2
;
a a ;  
2 3
;
a a ;… ; 
1
;
m m
a a  , ở đó
1 2 1
... m m
a a a a 
    và 1 2 ... m
n n n n
    .
Nhóm Tần số
 
1 2
;
a a
 
2 3
;
a a
…
 
1
;
m m
a a 
1
n
2
n
m
n
n
2. Ghép nhóm mẫu số liệu. Tần số tích luỹ
Để chuyển mẫu số liệu không ghép nhóm thành mẫu số liệu ghép nhóm, ta thực hiện
như sau:
 Chia miền giá trị của mẫu số liệu thành một số nhóm theo tiêu chí cho trước.
 Đếm số giá trị của mẫu số liệu thuộc mỗi nhóm (tần số) và lập bảng tần số ghép nhóm.
Chú ý: Khi ghép nhóm số liệu, ta thường phân chia các nhóm có độ dài bằng nhau và đầu mút của các
nhóm có thể không phải là giá trị của mẫu số liệu. Nhóm cuối cùng có thể là  
1
;
m m
a a 
 Tần số tích luỹ của một nhóm là số số liệu trong mẫu số liệu có giá trị nhỏ hơn giá trị đầu
mút phải của nhóm đó. Tần số tích luỹ của nhóm 1 , nhóm 2,, nhóm m kí hiệu lần lượt là
1 2
, , , m
cf cf cf
 .
 Bảng tần số ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ được lập như ở bảng 5
CHƯƠNG V
MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG
KÊ VÀ XÁC SUẤT
LÝ THUYẾT.
I
=

3. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
Nhóm Tần
số
Tần số tích lũy
 
1 2
;
a a
 
2 3
;
a a
…
 
1
;
m m
a a 
1
n
2
n
…
m
n
1 1
cf n

2 1 2
cf n n
 
…
1 2 ...
m m
cf n n n
  
n
Ví dụ 2. Bảng thống kê sau cho biết thời gian chạy (phút) của 30 vận động viên (VĐV) trong
một giải chạy Marathon.
Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang mẫu số liệu ghép nhóm gồm sáu nhóm có độ dài bằng nhau
và bằng 3.
Lời giải
Giá trị nhỏ nhất là 129, giá trị lớn nhất là 145 nên khoảng biến thiên là 145 129 16
  . Tổng độ
dài của sáu nhóm là 18. Để cho đối xứng, ta chọn đầu mút trái của nhóm đầu tiên là 27,5 và đầu
mút phải của nhóm cuối cùng là 145,5 ta được các nhóm là  
127,5;130,5 ,
   
130,5;133,5 , , 142,5;145,5
 . Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm, ta có mẫu số liệu ghép nhóm
như sau:
II. SỐ TRUNG BÌNH CỘNG (SỐ TRUNG BÌNH)
1. Định nghĩa
Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm như ở Bảng sau .
Nhóm Giá
trị
Tần số tích lũy
 
1 2
;
a a
 
2 3
;
a a
…
 
1
;
m m
a a 
1
x
2
x
…
m
x
1
n
2
n
…
m
n
1 2 .. m
n n n n
   
 Trung điểm i
x của nửa khoảng (tính bằng trung bình cộng của hai đầu mút) ứng với nhóm i là
giá trị đại diẹnn của nhóm đó.

4. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
 Số trung bình cộng của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu x , được tính theo công thức:
1 1 2 2 m m
n x n x n x
x
n
 

2. Ý nghĩa
Như ta đã biết, số trung bình cộng của mẫu số liệu không ghép nhóm là giá trị trung bình cộng
của các số trong mẫu số liệu đó, nó cho biết vị trí trung tâm của mẫu số liệu và có thể dùng để
đại diện cho mẫu số liệu khi các số liệu trong mẫu ít sai lệch vối số trung bình cộng.
Số trung bình cộng của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với số trung bình cộng của mẫu số
liệu không ghép nhóm ban đầu và có thể làm đại diện cho vị trí trung tâm của mẫu số liệu.
III. TRUNG VỊ
1. Định nghĩa
Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như ở Bảng 5 .
Giả sử nhóm k là nhóm đầu tiên có tẩn số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng
2
n
, tức là 1
2
k
n
c   nhưng
2
k
n
cf  . Ta gọi , , k
r d n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm k ; 1
k
cf  là tần số tích
luỹ của nhóm 1
k  .
Trung vị của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu e
M  được tính theo công thức sau:
1
2 .
k
e
k
n
cf
M r d
n

 

 
   
 
 
.
2. Ý nghĩa
Trung vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với trung vị của mẫu số liệu không ghép
nhóm ban đầu và có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.
IV. TỨ PHÂN VỊ
1. Định nghĩa
Trong trường hợp tổng quát, ta có định nghĩa sau:
Cho mẫu số liệu ghép nhóm bao gồm cả tần số tích luỹ như ở Bảng 5.
• Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu ghép nhóm được xác định như sau:
Tứ phân vị thứ hai 2
Q bằng trung vị '
e
M
 Giả sử nhóm p là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng
4
n
, tức là 1
4
p
n
cf  
nhưng
4
p
n
cf  . Ta gọi , , p
s h n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm 1
; p
p cf  là tần
số tích luỹ của nhóm 1
p  .
Tứ phân vị thứ nhất 1
Q được tính theo công thức sau:

5. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
1
1
4 .
p
p
n
cf
Q s h
n

 

 
  
 
 
 
 Giả sử nhóm q là nhóm đầu tiên có tần số tích luỹ lớn hơn hoặc bằng
3
4
n
, tức là 1
3
4
q
n
cf  
nhưng
3
4
q
n
cf  . Ta gọi , , q
t l n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số của nhóm q ; 1
q
cf  là tần
số tích luỹ của nhóm 1
q  .
Tứ phân vị thứ ba 3
Q được tính theo công thức sau:
1
3
3
4 .
q
q
n
cf
Q t l
n

 

 
   
 
 
.
2. Ý nghĩa
Như ta đã biết, đối với mẫu số liệu không ghép nhóm đã sắp xếp theo thứ tự từ nhỏ đến lớn, các
điểm 1 2 3
, ,
Q Q Q chia mẫu số liệu đó thành bốn phần, mỗi phần đều chứa 25% giá trị.
Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán tứ phân vị của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận
được ba giá trị mới cũng có thể dùng để đại diện cho mẫu số liệu đã cho.
Lưu ý rằng bộ ba giá trị 1 2 3
, ,
Q Q Q trong tứ phân vị của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ
với bộ ba giá trị trong tứ phân vị của mẫu số liệu không ghép nhóm ban đầu.
V. MỐT
1. Định nghĩa
Giả sử nhóm i là nhóm có tần số lớn nhất. Ta gọi , , i
u g n lần lượt là đầu mút trái, độ dài, tần số
của nhóm 1 1
; ,
i i
i n n
  lần lượt là tần số của nhóm 1
i  , nhóm 1
i  .
Mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, kí hiệu o
M , được tính theo công thức sau:
1
1 1
.
2
i i
o
i i i
n n
M u g
n n n

 
 

  
 
 
 
Chú ý:  Khi 0
i  thì 0 0;
n   Khi i m
 thì 1 0
m
n   .
2. Ý nghĩa
Như ta đã biết, mốt của một mẫu số liệu không ghép nhóm đặc trưng cho số lần lặp đi lặp lại
nhiều nhất tại một giá trị của mẫu số liệu đó. Vì thế, có thể dùng mốt để đo xu thế trung tâm
của mẫu số liệu khi mẫu số liệu có nhiều giá trị trùng nhau.
Bằng cách ghép nhóm mẫu số liệu và tính toán mốt của mẫu số liệu ghép nhóm, ta nhận được
giá trị mới cũng có thể dùng để đo xu thế trung tâm của mẫu số liệu đã cho.
Mốt của mẫu số liệu sau khi ghép nhóm xấp xỉ với mốt của mẫu số liệu không ghép nhóm ban
đầu. Một mẫu số liệu ghép nhóm có thể có nhiều mốt.

6. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
Câu 1: Trong các mẫu số liệu sau, mẫu nào là mẫu số liệu ghép nhóm? Đọc và giải thích mẫu số liệu
ghép nhóm đó.
a) Số tiền mà sinh viên chi cho thanh toán cước điện thoại trong tháng.
b) Thống kê nhiệt độ tại một điểm trong 40 ngày, ta có bảng số liệu sau
Lời giải
Cả hai mẫu số liệu trên đều là mẫu số liệu ghép nhóm.
a) Có năm nhóm là
Dưới 50 nghìn đồng có 5 sinh viên.
Từ 50 đến dưới 100 nghìn đồng có 2 sinh viên.
Từ 100 đến dưới 150 nghìn đồng có 23 sinh viên.
Từ 150 đến dưới 200 nghìn đồng có 17 sinh viên.
Từ 200 đến dưới 250 nghìn đồng có 3 sinh viên.
b) Có bốn nhóm là
Từ 19C đến dưới 22 C có 7 ngày.
Từ 22C đến dưới 25 C có 15 ngày.
Từ 25C đến dưới 28 C có 12 ngày.
Từ 28C đến dưới 31 C có 6 ngày.
Câu 2: Cho mẫu số liệu về số tiền điện phải trả của 50 gia đình trong một tháng ở một khu phố (đơn vị:
nghìn đồng).
Giá trị  
375;450  
450;525  
525;600  
600;675  
675;750  
750;825
Số lượng gia đình 6 15 10 6 9 4
Đọc và giải thích mẫu số liệu này.
Lời giải
Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm.
Có tất cả 6 nhóm là: từ 375 nghìn đồng đến dưới 450 nghìn đồng có 6 gia đình, từ 450 nghìn
đồng đến dưới 525 nghìn đồng có 15 gia đình, từ 525 nghìn đồng đến dưới 600 nghìn đồng có
10 gia đình, từ 600 nghìn đồng đến dưới 675 nghìn đồng có 6 gia đình, từ 675 nghìn đồng đến
dưới 750 nghìn đồng có 9 gia đình và từ 750 nghìn đồng đến dưới 825 nghìn đồng có 4 gia
đình.
HỆ THỐNG BÀI TẬP TỰ LUẬN.
II
=

7. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 6
Sưu tầm và biên soạn
Câu 3: Cho mẫu số liệu về khối lượng của 30 củ khoai tây thu hoạch ở một nông trường (đơn vị: gam).
Giá trị  
70;80  
80;90  
90;100  
100;110  
110;120
Số lượng củ khoai 3 6 12 6 3
Đọc và giải thích mẫu số liệu này.
Lời giải
Mẫu số liệu đã cho là mẫu số liệu ghép nhóm.
Có tất cả 5 nhóm là: từ 70 gam đến dưới 80 gam có 3 củ, từ 80 gam đến dưới 90 gam có 6 củ,
từ 90 gam đến dưới 100 gam có 12 củ và từ 100 gam đến dưới 110 gam có 6 củ, từ 110 gam
đến dưới 120 gam có 3 củ.
Câu 4: Số sản phẩm một công nhân làm được trong một ngày được cho như sau
Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bang nhau.
Lời giải
Khoảng biến thiên là 54 5 49
  .
Ta chia thành các nhóm sau [4,5; 13); [13; 21,5); [21,5; 30); . . . ; [47; 55,5).
Đếm số giá trị của mỗi nhóm, ta có bảng ghép nhóm sau:
Câu 5: Thời gian ra sân (giờ) của một số cựu cầu thủ ở giải ngoại hạng Anh qua các thời kì được cho như
sau:
Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang dạng ghép nhóm với bảy nhóm có độ dài bang nhau.
Lời giải
Khoảng biến thiên là 653 492 161
  .
Ta chia thành các nhóm sau [492; 515); [515; 538); [538; 561); . . . ; [47; 55,5).
Đếm số giá trị của mỗi nhóm, ta có bảng ghép nhóm sau:
Câu 6: Bảng thống kê sau cho biết điện năng tiêu thụ của 30 hộ ở một khu dân cư trong một tháng như
sau (đơn vị: kW ):
50 47 30 65 63 70 38 34 48 53 33 39 32 40 50
55 50 61 37 37 43 35 65 60 31 33 41 45 55 59
Hãy chuyển mẫu số liệu trên sang mẫu số liệu ghép nhóm gồm 8 nhóm có độ dài bằng nhau và
bằng 5.

8. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 7
Sưu tầm và biên soạn
Lời giải
Giá trị nhỏ nhất là 30, giá trị lớn nhất là 70 nên khoảng biến thiên là 70 30 40
  . Tổng độ dài
của 8 nhóm là 40 nên ta được các nhóm như sau:
               
30;35 , 35;40 , 40;45 , 45;50 , 50;55 , 55;60 , 60;65 , 65;70 .
Đếm số giá trị thuộc mỗi nhóm ta có mẫu số liệu ghép nhóm như sau:
Giá trị  
30;35  
35;40  
40;45  
45;50  
50;55  
55;60  
60;65  
65;70
Số lượng 6 5 3 3 4 3 3 3
Câu 7: Thống kê điểm trung bình môn Toán của một số hoc sinh lớp 11 được cho ở bảng sau:
Hãy ước lượng số trung bình,tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ở bảng tần số ghép nhóm
trên.
Lời giải
Bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện là
Điểm trung bình môn Toán của một số hoc sinh lớp 11 là
8.6,75 10.7,25 16.7,75 24.8,25 13.8,75 7.9,25 4.9,75
8,12
82
x
  

 


Tứ phân vị thứ hai. Nhóm [8; 8,5)
 
2
2.82
8 10 1
5
8
6
8
4
8 ( )
2
8
4
;5 ,1
Q 
  
  
Tứ phân vị thứ nhất. Nhóm [7,5; 8)
 
1 8
2.82
8 1
5
0
4
7,5 (
1
8 5
6
7,
)
7;
Q 
 
  
Tứ phân vị thứ ba. Nhóm [8,5;9)
 
3
3.82
8 10 1
3
8
6
1
9 ;5 6
24
4
8 ) 8
, (
6
,
5
Q 
   
  
Mốt
Mốt 0
M chứa trong nhóm [8; 8,5)
Do đó: 1 1
8; 8,5 8,5 8 0,5
m m m m
u u u u
 
      
1 1
16; 24; 13
m m m
n n n
 
  
0 8,5 8 8,21
24 16
24 16
8 ( )
( ) ( )
24 13
M 


 




9. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 8
Sưu tầm và biên soạn
Câu 8: Để kiểm tra thời gian sả dụng pin của một chiếc điện thoại mới, chị An thống kê thời gian
sử dụng điện thoại của mình từ lúc sạc đầy pin cho đến khi hết pin ở bảng sau:
Hãy ước lượng thời gian sử dụng trung bình từ lúc chị An sạc đầy pin điện thoại cho tới khi hết
pin.
Lời giải
Thời gian sử dụng trung bình:
2.8 5.10 7.12 6.14 3.16
12,26
2 5 7 6 3
x
   

  


Câu 9: Tổng số lượng mưa trong tháng 8 đo được tại một trạm quan trắc đặt tại Vũng Tàu từ năm
2002 đến năm 2020 được ghi lại như dưới đây (đơn vị: mm)
a) Xác định số trung bình và tứ phân vị của mẫu số liệu trên.
b) Hoàn thành bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
Tőng lượng mưa trong tháng 8 (mm) [120; 175) [175; 230) [230; 285) [285; 340)
So năm ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng số trung bình,tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ở bảng tần số ghép nhóm
trên.
Lời giải
a)
Số trung bình:
161,5 194,3 220,7 189,8 · · · 255
19288
121,8 158,3 334,9 200,9 165,6
19
x

    
 
   
Tứ phân vị:
Xếp mẫu số liệu không giảm ta được:
Từ đó ta có:
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: 165,6.
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: 173.
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: 202,7 .
b) Hoàn thành bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:

10. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 9
Sưu tầm và biên soạn
Giá trị đại diện của các lớp:
1 2
3 4
120 175 175 230
147,5; 202,5
2 2
230 285 285 340
257,5; 312,5
2 2
c c
c c
 
   
 
   
Tần số các lớp: 1 2 3 4
10; 5; 3; 1
n n n n
   
Số trung bình: 1 1 2 2 3 3 4 4
1 2 3 4
7145
188,02
38
n c n c n c n c
x
n n n n
  
  
  
Tứ phân vị thứ nhất. Nhóm  
120; 175
1
1169
175 120 146,125
1.19
0
4
120 ( )
10 8
Q

    
Tứ phân vị thứ hai. Nhóm  
175; 230
 
2
339
230 175 169,5
2.19
0 10
4
175 ( )
5 2
Q
 
 

 
Tứ phân vị thứ ba. Nhóm  
230; 285
 
3
3.19
0 10 5
4
230 ( 5
865
285 230 21
3
6
)
4
,2
Q  

  
 
Mốt
Mốt 0
M chứa trong nhóm  
120; 175
Do đó: 1 1
120; 175 175 120 55
m m m m
u u u u
 
      
1 1
0; 10; 5
m m m
n n n
 
  
   
0
10 0 470
120 7
( 2 )
10 3
175 1 0 156,
0 1 5
6
0
M

   

  
Câu 10: Bảng sau thống kê số ca nhiễm mới SARS-CoV-2 mỗi ngày trong tháng 12/2021 tại
Việt Nam.
a) Xác định số trung bình và tứ phân vị của mẫu số liệu trên.

11. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 10
Sưu tầm và biên soạn
b) Hoàn thành bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
So ca (nghìn) [14; 15,5) [15,5; 17) [17; 18,5) [18,5; 20) [20; 21,5)
So ngày ? ? ? ? ?
c) Hãy ước lượng số trung bình,tứ phân vị và mốt của mẫu số liệu ở bảng tần số ghép nhóm
trên.
Lời giải
a)
Số trung bình:
14254 14295 ... 20454 17004
15821
31
x
   
  .
Tứ phân vị:
Xếp mẫu số liệu không giảm ta được:
Từ đó ta có:
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu là: 15139.
Tứ phân vị thứ hai của mẫu số liệu là: 15685.
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu là: 16586.
b) Hoàn thành bảng tần số ghép nhóm theo mẫu sau:
c) Hãy ước lượng số trung bình và tứ phân vị của mẫu số liệu ở bảng tần số ghép nhóm
trên.
Số trung bình:
14,75.13 16,25.15 17,75.2 19,25.0 20,75.1 1967
15,86
31 124
x
   
   .
Tứ phân vị thứ nhất. Nhóm  
14;15,5
 
1
1.31
0
1549
4
14 15,5 14 14,89
13 104
Q

    
Tứ phân vị thứ hai. Nhóm  
15,5;17
 
 
2
2.31
0 13
63
4
15,5 17 15,5 15,75
15 4
Q
 
    
Tứ phân vị thứ ba. Nhóm  
17;18,5
 
 
3
3.31
0 13 15
215
4
15,5 18,5 17 13,44
2 16
Q
  
    
Mốt
Mốt 0
M chứa trong nhóm  
15,5;17
Do đó: 1 1
15,5; 17 17 15,5 1,5
m m m m
u u u u
 
      
1 1
13; 15; 2
m m m
n n n
 
  

12. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 11
Sưu tầm và biên soạn
   
 
0
15 13 157
15,5 17 15,5 15,7
15 13 15 2 10
M

    
  

13. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 1: CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG ĐO XU THẾ TRUNG TÂM CHO MẪU SỐ LIỆU GHÉP NHÓM
Câu 1: Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 11, ta được mẫu số liệu sau:
Chiều cao (cm) Số học sinh
 
150;152 5
 
152;154 18
 
154;156 40
 
156;158 26
 
158;160 8
 
160;162 3
Tổng 100
N 
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có tất cả bao nhiêu nhóm?
A. 5. B. 6 . C. 7 . D. 12.
Lời giải
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có tất cả 6 nhóm.
Câu 2: Điều tra về chiều cao của học sinh khối lớp 11, ta có kết quả sau:
Nhóm Chiều cao (cm) Số học sinh
1  
150;152 5
2  
152;154 18
3  
154;156 40
4  
156;158 26
5  
158;160 8
6  
160;162 3
100
N 
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là
A. 156,5. B. 157 . C. 157,5. D. 158.
Lời giải
CHƯƠNG V
MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG
KÊ VÀ XÁC SUẤT
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
==

14. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
Giá trị đại diện của nhóm thứ tư là
156 158
157
2

 .
Câu 3: Đo chiều cao (tính bằngcm) của 500 học sinh trong một trường THPT ta thu được kết quả như
sau:
Chiều cao  
150;154  
154;158  
158;162  
162;166  
166;170
Số học sinh 25 50 200 175 50
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có tất cả bao nhiêu nhóm?
A. 5. B. 6 . C. 7 . D. 12.
Lời giải
Mẫu số liệu ghép nhóm đã cho có tất cả 5 nhóm.
Câu 4: Đo chiều cao (tính bằngcm) của 500 học sinh trong một trường THPT ta thu được kết quả như
sau:
Chiều cao  
150;154  
154;158  
158;162  
162;166  
166;170
Số học sinh 25 50 200 175 50
Giá trị đại diện của nhóm  
162;166 là
A. 162. B. 164. C. 166. D. 4 .
Lời giải
Ta có bảng sau
Lớp chiều cao Giá trị đại diện Số học sinh
 
150;154 152 25
 
154;158 156 50
 
158;162 160 200
 
162;166 164 175
 
166;170 168 50
Câu 5: Đo cân nặng của một số học sinh lớp 11D cho trong bảng sau:
Cân nặng (kg) [40,5; 45,5) [45,5; 50,5) [50,5; 55,5) [55,5; 60,5) [60,5; 65,5) [65,5; 70,5)
Số học sinh 10 7 16 4 2 3
Giá trị đại diện của nhóm  
60,5;65,5 là
A. 55,5. B. 58. C. 60,5. D. 5.
Lời giải

15. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
Trong mỗi khoảng cân ặng, giá trị đại diện trung bình cộng của giá trị hai đầu mút nên ta có bảng
sau:
Cân nặng (kg) [40,5; 45,5) [45,5; 50,5) [50,5; 55,5) [55,5; 60,5) [60,5; 65,5) [65,5; 70,5)
Giá trị đại diện 43 48 53 58 63 68
Số họ sinh 10 7 16 4 2 3
Câu 6: Tìm hiểu thời gia xem tivi trong tuần trước (đơn vị: giờ) của một số học sinh thu được kết quả
sau:
Thòi gian (giờ) [0; 5) [5; 10) [10; 15) [15; 20) [20; 25)
Số học sinh 8 16 4 2 2
Giá trị đại diện của nhóm  
20;25 là
A. 22,5. B. 23. C. 20 . D. 5.
Lời giải
Giá trị đại diện của nhóm  
20;25 là
20 25
22,5
2


Câu 7: Thời gian truy cập Internet mỗi buổi tối của một số học sinh được cho trong bảng sau:
Thời gian (phút)  
9,5;12,5  
12,5;15,5  
15,5;18,5  
18,5;21,5  
21,5;24,5
Số học sinh 3 12 15 24 2
Có bao nhiêu học sinh truy cập Internet mỗi buổi tối có thời gian từ 18,5 phút đến dưới 21,5
phút?
A. 24 . B. 15. C. 2 . D. 20 .
Lời giải
Số học sinh truy cập Internet mỗi buổi tối có thời gian từ 18,5 phút đến dưới 21,5 phút là 24.
Câu 8: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Giá trị đại diện của nhóm  
20; 40 là
A. 10. B. 20 . C. 30. D. 40 .
Lời giải
Giá trị đại diện của nhóm  
20; 40 là
20 40
30
2
c

 

16. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
Câu 9: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên là
A. [40;60). B. [20;40) . C. [60;80) . D. [80;100) .
Lời giải
Mốt 0
M chứa trong nhóm [40;60)
Câu 10: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Mốt của mẫu số liệu trên là
A. 42 . B. 52. C. 53. D. 54.
Lời giải
Mốt 0
M chứa trong nhóm [40;60)
Do đó: 1 1
40; 60 60 40 20
m m m m
u u u u
 
      
1 1
9; 12; 10
m m m
n n n
 
  
0 60 20 52
12 9
12 9
40 ( )
( ) ( 2 10)
1
M  



 

Câu 11: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là
A. [40;60). B. [20;40) . C. [60;80) . D. [80;100) .
Lời giải
Ta có: 42
n 
Nên trung vị của mẫu số liệu trên là 21 22
2
2
x x
Q


Mà  
21 22
, 40;60
x x 
Vậy nhóm chứa trung vị của mẫu số liệu trên là nhóm [40;60)
Câu 12: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là
A. [40;60). B. [20;40) . C. [60;80) . D. [80;100) .
Lời giải

17. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
Ta có: 42
n 
Nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là 1 11
Q x

Mà  
11 20;40
x 
Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là nhóm [20;40)
Câu 13: Khảo sát thời gian tập thể dục của một số học sinh khối 11 thu được mẫu số liệu ghép nhóm sau:
Nhóm chứa tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu trên là
A. [40;60). B. [20;40) . C. [60;80) . D. [80;100) .
Lời giải
Ta có: 42
n 
Nên tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là 3 33
Q x

Mà  
33 60;80
x 
Vậy nhóm chứa tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu trên là nhóm  
60;80
Câu 14: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại
ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Số trung bình của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.  
7; 9 . B.  
9; 11 . C.  
11; 13 . D.  
13; 15 .
Lời giải
Bảng tần số ghép nhóm theo giá trị đại diện là
Số trung bình:
2.6 7.8 7.10 3.12 1.14
9,4
20
x
   
 
Câu 15: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại
ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Trung vị của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?

18. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 6
Sưu tầm và biên soạn
A.  
7; 9 . B.  
9; 11 . C.  
11; 13 . D.  
13; 15 .
Lời giải
Goi 1 2 20
, ,...,
x x x là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó:  
1 2
, 5;7
x x  ,  
3 9
,..., 7; 9
x x  ,,  
9 16
,..., 9; 11
x x   
17 19
,..., 11; 13
x x  ,  
20 13; 15
x 
Do đó, trung vị của mẫu số liệu thuộc nhóm  
9; 11
Câu 16: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại
ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Mốt của mẫu số liệu trên thuộc khoảng nào trong các khoảng dưới đây?
A.  
7; 9 . B.  
9; 11 . C.  
11; 13 . D.  
13; 15 .
Lời giải
Có 2 nhóm chứa mốt của mẫu số liệu trên đó là  
7; 9 và  
9; 11 , do đó:
Xét nhóm  
7; 9 ta có:
0
7
7 2
7 (9 7 9
7 2
)
( ) (7 )
M
 


  

Xét nhóm  
9; 11 ta có:
0 11 9 9
7 7
9
7 7
( )
( ) ( )
7 3
M 
  

   
Vậy mốt của mẫu số liệu là 9.
Câu 17: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại
ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu gần nhất với giá trị nào trong các giá trị dưới đây?
A. 7 . B. 7,6 . C. 8. D. 8,6.
Lời giải
Goi 1 2 20
, ,...,
x x x là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó:  
1 2
, 5;7
x x  ,  
3 9
,..., 7; 9
x x  ,,  
9 16
,..., 9; 11
x x   
17 19
,..., 11; 13
x x  ,  
20 13; 15
x 
Do đó, tứ phân vị thứ nhất của mẫu số liệu thuộc nhóm  
7;9

19. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 7
Sưu tầm và biên soạn
1
20, 7, 2, 7, 9
m m m
n n C u u 
    
1
1.20
2
4
7 ( )
7
8
9 7 7,86
Q  
  

Câu 18: Doanh thu bán hàng trong 20 ngày được lựa chọn ngẫu nhiên của một của hàng được ghi lại
ở bảng sau (đơn vị: triệu đồng):
Tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu gần nhất với giá trị nào trong các giá trị dưới đây?
A. 10. B. 11. C. 12. D. 13.
Lời giải
Goi 1 2 20
, ,...,
x x x là doanh thu bán hàng trong 20 ngày xếp theo thứ tự không giảm.
Khi đó:  
1 2
, 5;7
x x  ,  
3 9
,..., 7; 9
x x  ,,  
9 16
,..., 9; 11
x x   
17 19
,..., 11; 13
x x  ,  
20 13; 15
x 
Do đó, tứ phân vị thứ ba của mẫu số liệu thuộc nhóm  
9;11
1
20, 7, 9, 9, 11
m m m
n n C u u 
    
3 11 9 10;71 11
3.20
9
4
9 ( )
7
Q 

 
 

20. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ BIẾN CỐ GIAO. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP.
CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
I. PHÉP TOÁN TRÊN CÁC BIẾN CỐ
1. Biến cố hợp
Cho hai biến cố A và B . Khi đó ,
A B là các tập con của không gian mẫu  . Đặt C A B
  ,
ta có C là một biến cố và được gọi là biến cố hợp của hai biến cố A và B , kí hiệu là A B

Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi  cho biến cố C , tức là C
  . Vì C A B
  nên A
  hoặc
B
  . Nói cách khác,  là một kết quả thuận lợi cho biến cố A hoặc biến cố B . Điều đó có
nghĩa là biến cố A hoặc biến cố B xảy ra. Vì vậy, biến cố C có thể phát biểu dưới dạng mệnh
đề nêu sự kiện là “ A xảy ra hoặc B xảy ra ” hay “có ít nhất một trong các biến cố ,
A B xảy ra”.
Ví dụ 1: Trong hộp kín có 10 quả bóng màu xanh và 8 quả bóng màu đỏ, các quả bóng có kích thước và
khối lượng giống nhau. Lấy ngẫu nhiên đồng thời 2 quả bóng. Xét các biến cố :
A : “Hai quả bóng lấy ra có màu xanh”.
B : “Hai quả bóng lấy ra có màu đỏ”.
Chọn phát biểu đúng trong những phát biểu sau đây :
a) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Hai quả bóng lấy ra cùng có màu đỏ hoặc màu xanh”.
b) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Hai quả bóng lấy ra khác nhau”.
c) Biến cố hợp của hai biến cố A và B là “Hai quả bóng lấy ra có cùng màu”.
Giải
Phát biểu a) đúng ; phát biểu b) sai ; phát biểu c) đúng.
2. Biến cố giao
Cho hai biến cố A và B . Khi đó ,
A B là các tập con của không gian mẫu  . Đặt D A B
  ,
ta có D là một biến cố và được gọi là biến cố giao của hai biến cố A và B , kí hiệu là A B

hay AB .
Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi  cho biến cố D , tức là D
  . Vì D A B
  nên A
  và
B
  . Nói cách khác,  là một kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B . Điều đó có nghĩa
là cả hai biến cố A và B cùng xảy ra. Vì vậy, biến cố D có thể phát biểu dưới dạng mệnh đề
nêu sự kiện là “Cả A và B cùng xảy ra”.
Ví dụ 2. Một hộp có 52 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1, 2, 3, …, 52; hai thẻ
khác nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên 1 chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A: “Số
xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3” và biến cố B: “Số xuất hiện trên thẻ được rút
CHƯƠNG V MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ
VÀ XÁC SUẤT
LÝ THUYẾT.
I
=

21. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
ra là số chia hết cho 4”. Viết các tập con của không gian mẫu tương ứng với các biến cố A, B,
A B
 .
Lời giải
Ta có    
3;6;9;12;15;...;48;51 ; 4;8;12;16;20;...;48;52
A B
  ;  
12;24;36;...;48
A B
  .
3. Biến cố xung khắc
Cho hai biến cố A và B. Khi đó A, B là các tập con của không gian mẫu  . Nếu A B
   thì
A và B gọi là hai biến cố xung khắc.
Chú ý: Xét một kết quả thuận lợi  cho biến cố A, tức là A
  . Vì A B
   nên B
  , tức
là  không là một kết quả thuận lợi cho biến cố B. Do đó, hai biến cố A và B xung khắc khi và
chỉ khi nếu biến cố này xảy ra thì biến cố kia không xảy ra.
Ví dụ 3. Tung một đồng xu cân đối và đồng chất hai lần liên tiếp. Xét các biến cố:
A: “Đồng xu xuất hiện mặt S ở lần gieo thứ nhất”;
B: “Đồng xu xuất hiện mặt N ở lần gieo thứ nhất”.
Hai biến cố trên có xung khắc hay không?
Lời giải
Ta thấy:    
, ; ,
A SS NN B NS NN
  .
Suy ra A B
  . Do đó, A và B là hai biến cố xung khắc.
II. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP
Cho hai biến cố A và B. Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nếu việc xảy ra hay không xảy
ra của biến cố này không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố kia.
Chú ý: Nếu A, B là hai biến cố độc lập thì mỗi cặp biến cố sau cũng độc lập: A và B ; A và B;
A và B .
Ví dụ 4. Một hộp có 3 quả bóng màu xanh, 4 quả bóng màu đỏ; các quả bóng có kích thước và khối
lượng như nhau. Lấy bóng ngẫu nhiên hai lần liên tiếp, trong đó mỗi lần lấy ngẫu nhiên một
quả bóng trong hộp, ghi lại màu của quả bóng lấy ra và bỏ lại quả bóng đó vào hộp. Xét các
biến cố:
A: “Quả bóng màu xanh được lấy ra ở lần thứ nhất”;
B: “Quả bóng màu đỏ được lấy ra ở lần thứ hai”.
a) Hai biến cố A và B có độc lập không? Vì sao?
b) Hai biến cố A và B có xung khắc không? Vì sao?
a) Trước hết, biến cố B xảy ra sau biến cố A nên việc xảy ra hay không xảy ra của biến
cố B không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố A .
Mặt khác, ta có: xác suất của biến cố B khi biến cố A xảy ra bằng
4
7
; xác suất của biến
cố B khi biến cố A không xảy ra cũng bằng
4
7
. Do đó việc xảy ra hay không xảy ra của biến
cố A không làm ảnh hưởng đến xác suất xảy ra của biến cố B . Vậy hai biến cố A và B là độc
lập.
b) Ta thấy kết quả (xanh ; đỏ) là kết quả thuận lợi cho cả hai biến cố A và B . Vì thế A và
B không là hai biến cố xung khắc.
III. CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
1. Công thức cộng xác suất
Cho hai biến cố A và B . Khi đó P( ) P( ) P( ) P( )
A B A B A B
     .

22. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì A B
  , suy ra P( ) 0
A B
  . Vì thế, ta có
hệ quả sau:
Hệ quả: Nếu hai biến cố A và B là xung khắc thì P( ) P( ) P( )
A B A B
   .
Ví dụ 5 Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dương có hai chữ số. Xét biến cố A : "Số được viết ra là số chia
hết cho 8 " và biến cố B : "Số được viết ra là số chia hết cho 9 ". Tính P( )
A B

Lời giải
Trong 90 số có hai chữ số, có 11 số chia hết cho 8, có 10 số chia hết cho 9 và có 1 số chia
hết cho cả 8 và 9. Vì thế, ta có:
11 10 1
P( ) ,P( ) ,P( )
90 90 90
A B A B
    .
Vậy
11 10 1 20 2
P( ) P( ) P( ) P( )
90 90 90 90 9
A B A B A B
          .
Ví dụ 6 Một hộp có 12 chiếc thẻ cùng loại, mỗi thẻ được ghi một trong các số 1,2,3, ,12
 ; hai thẻ khác
nhau thì ghi hai số khác nhau. Rút ngẫu nhiên một chiếc thẻ trong hộp. Xét biến cố A : " Số
xuất hiện trên thẻ được rút ra là số chia hết cho 3" và biến cố B : " Số xuất hiện trên thẻ được
rút ra là số chia hết cho 5". Tính P .( )
A B
 .
Lời giải
Không gian mẫu của phép thử trên có 12 phần tử, tức là: ( ) 12
n   .
Số các kết quả thuận lợi cho các biến cố A , B lần lượt là ( ) 4, ( ) 2
n A n B
  . Suy ra
( ) 4 1 ( ) 2 1
P( ) ,P( ) .
( ) 12 3 ( ) 12 6
n A n B
A B
n n
     
 
Trong các số 1,2,3, ,12
 , không có số nào chia hết cho cả 3 và 5 . Vì thế A , B là hai
biến cố xung khắc. Suy ra:
1 1 1
P( ) P( ) P( ) .
3 6 2
A B A B
     
2. Công thức nhân xác suất
Cho hai biến cố A và B .
Nếu hai biến cố A và B là độc lập thì P( ) P( ).P( )
A B A B
  .
Chú ý: Nếu P( ) P( ) P( )
A B A B
   thì hai biến cố A và B không độc lập.
Ví dụ 7 Hai bạn Hạnh và Hà cùng chơi trò chơi bắn cung một cách độc lập. Mỗi bạn chỉ bắn một lần. Xác
suất để bạn Hạnh và bạn Hà bắn trúng bia lần lượt là 0,6 và 0,7 trong lần bắn của mình. Tính
xác suất của biến cố C : "Bạn Hạnh và bạn Hà đều bắn trúng bia"
Lời giải
Xét biến cố A : "Bạn Hạnh bắn trúng bia", ta có: P( ) 0,6
A  .
Xét biến cố B : "Bạn Hà bắn trúng bia", ta có: P( ) 0,7
B  .
Ta thấy A, B là hai biến cố độc lập và C A B
  . suy ra:
P( ) P( ) P( ) 0,6 0,7 0,42.
C A B
    
Ví dụ 8: Hai bạn Trung và Dũng của lớp 11A tham gia giải bóng bàn đơn nam do nhà trường tổ chức.
Hai bạn đó không cùng thuộc một bảng đấu loại chỉ chọn một người vào vòng chung kết. Xác
suất lọt qua vòng loại để vào chung kết của Trung và Dũng lần lượt là 0,8 và 0,6. Tính xác suất
của biến cố sau:
a) A : "Cả hai bạn lọt vào chung kết ".
b) B : " Có ít nhất một bạn lọt vào chung kết "
c)C : " Chỉ có bạn Trung lọt vào vòng chung kết ".
Lời giải

23. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
Xét các biến cố E : "Bạn Trung lọt vào vòng chung kết" và G : "Bạn Dũng lọt vào vòng
chung kết".
Từ giả thiết, ta suy ra E, G là hai biến cố độc lập và P( ) 0,8;P( ) 0,6
E G
  .
a) Do A E G
  nên P( ) P( ) P( ) 0,8 0,6 0,48
A E G
     .
b) Ta thấy B E G
  , suy ra
P( ) P( ) P( ) P( ) P( ) 0,8 0,6 0,48 0,92.
B E G E G E G
         
c) Xét biến cố đối G của biến cố G . Ta thấy P( ) 1 P( ) 1 0,6 0,4
G G
     và ,
E G là
hai biến cố độc lập. Vì C E G
  nên P( ) P( ).P( ) 0,8.0,4 0,32
C E G
   .
IV. TÍNH XÁC SUẤT CỦA BIẾN CỐ TRONG MỘT SỐ BÀI TOÁN ĐƠN GIẢN
1. Tính xác suất của biến cố bằng phương pháp tổ hợp
Ví dụ 9. Một đội văn nghệ có 4 học sinh nam và 5 học sinh nữ. Giáo viên phụ trách đội muốn chọn ra
một đội tốp ca gồm 3 học sinh sao cho có cả nam và nữ cùng tham gia.
a) Giáo viên phụ trách đội có bao nhiêu cách chọn một đội tốp ca như vậy?
b) Tính xác suất của biến cố H : "Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ".
Lời giải
Xét các biến cố:
H : "Trong 3 học sinh chọn ra có cả nam và nữ";
A : "Trong 3 học sinh chọn ra có 2 học sinh nam và 1 học sinh nữ";
B : "Trong 3 học sinh chọn ra có 1 học sinh nam và 2 học sinh nữ".
Khi đó H A B
  và A B
  .
Do hai biến cố A và B là xung khắc nên      
n H n A n B
 
a) Số các kết quả thuận lợi cho biến cố A là:   2 1
4 5
4! 5!
C C 6 5 30.
2!.2! 1!.4!
n A       
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố B là:   1 2
4 5
4! 5!
4 10 40
1! 3! 2!.3!
n B C C
      

.
Số các kết quả thuận lợi cho biến cố H là:       30 40 70
n H n A n B
     .
Vậy giáo viên phụ trách có 70 cách chọn một đội tốp ca như dự định.
b) Đội văn nghệ có 9 học sinh. Mỗi cách chọn 3 học sinh trong 9 học sinh đó là một tổ hợp
chập 3 của 9 phần tử. Do đó, không gian mẫu  gồm các tổ hợp chập 3 của 9 phần tử và
  3
9
9!
C 84
3! 6!
n    

Vậy xác suất của biến cố H là:  
 
 
70 5
P
84 6
n H
H
n
  

.
2. Tính xác suất của biến cố bằng cách sử dụng sơ đồ hình cây
Ví dụ 10. Câu lạc bộ nghệ thuật của một trường trung học phổ thông gồm học sinh của cả ba khối
10,11,12, mỗi khối có 5 học sinh. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh để tham gia biểu diễn. Tính xác
suất để 3 học sinh được chọn chỉ thuộc hai khối.
Giải
- Mỗi cách chọn ra đồng thời 3 học sinh trong
câu lạc bộ cho ta một tổ hợp chập 3 của 15 phần
tử. Do đó, không gian mẫu  gồm các tổ hợp
chập 3 của 15 phần tử và

24. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
  3
15
15!
455
3!.12!
n C
    .
- Xét biến cố A : "Chọn được 3 học sinh chỉ thuộc hai khối".
Sơ đồ hình cây biểu thị các khả năng thuận lợi cho biến cố A (Hình 2).
2
Hình 2
Như vậy, số kết quả thuận lợi cho biến cố A là: ( ) 50.6 300
n A   .
Vậy xác suất của biến cố A là:
( ) 300 60
P( ) .
( ) 455 91
n A
A
n
  

Ví dụ. Một hộp đựng 15 tấm thẻ cùng loại được đánh số từ 1 đến 15. Rút ngẫu nhiên một tấm thẻ
trong hộp. Gọi E là biến cố “Số thẻ ghi trên tấm thẻ là số lẻ”; F là biến cố “Số thẻ ghi trên
tấm thẻ là số nguyên tố:”.
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Nêu nội dung của biến cố hợp G E F
  . Hỏi G là tập con nào của không gian mẫu?
Lời giải
a) Không gian mẫu  
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13; 14; 15
  .
b) E F
 là biến cố “Số ghi trên tấm thẻ là số lẻ hoặc là số nguyên tố”.
Ta có  
1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15
E  ,  
2; 3; 5; 7; 11; 13
F  .
Vậy  
1; 2; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15
G E F
   .
Chọn 3 học sinh ( HS) chỉ ở 2 khối
Chọn 1 HS lớp 10
có 5 cách chọn
Chọn 1 HS lớp 11
có 5 cách chọn
Chọn 1 HS lớp 12
có 5 cách chọn
Chọn
2 HS lớp
11
có 2
5
C
cách chọn
Chọn
2 HS lớp
12
có 2
5
C
cách chọn
Chọn
2 HS lớp
10
có 2
5
C
cách chọn
Chọn
2 HS lớp
12
có 2
5
C
cách chọn
Chọn
2 HS lớp
10
có 2
5
C
cách chọn
Chọn
2 HS lớp
11
có 2
5
C
cách chọn
có
2
5
5. 50
C 
cách chọn
có
2
5
5. 50
C 
cách chọn
có
2
5
5. 50
C 
cách chọn
có
2
5
5. 50
C 
cách chọn
có
2
5
5. 50
C 
cách chọn
có
2
5
5. 50
C 
cách chọn

25. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 6
Sưu tầm và biên soạn
Ví dụ: Một tổ trong lớp 11C có 9 học sinh. Phỏng vấn 9 bạn này với câu hỏi: “Bạn có biết chơi môn
thể thao nào trong hai môn này hay không? Nếu biết thì đánh dấu X vào ô ghi tên môn thể thao
đó, không biết thì để trống. Kết quả thu được như sau:
Môn thể thao
Tên học sinh
Toán Ngữ
văn
Bảo X
Đăng X
Giang X
Hoa
Long X X
Mai
Phúc X X
Tuấn X X
Yến X
Chọn ngẫu nhiên một học sinh trong tổ. Xét các biến cố sau:
U : "Học sinh được chọn biết chơi cầu lông";
V : "Học sinh được chọn biết chơi bóng bàn".
a) Mô tả không gian mẫu.
b) Nội dung của biến cố giao T UV
 là gì? Mỗi biến cố , ,
U V T là tập con nào của không gian
mẫu?
Lời giải
a) Không gian mẫu Ω  {Bảo; Đăng; Giang; Hoa; Long; Mai; Phúc; Tuấn; Yến }.
b) T là biến cố "Học sinh được chọn biết chơi cả cầu lông và bóng bàn".
Ta có: {
U  Bảo; Đăng; Long; Phúc; Tuấn; Yến}; V  {Giang; Long; Phúc; Tuấn }.
Vậy {
T U V
   Long; Phúc; Tuấn }.
Ví dụ: Một hộp đựng 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh, có cùng kích thước và khối lượng.
a) Bạn Minh lấy ngẫu nhiên một viên bi, ghi lại màu của viên bi được lấy ra rồi trả lại viên bi
vào hộp. Tiếp theo, bạn Hùng lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp đó. Xét hai biến cố sau:
A : "Minh lấy được viên bi màu đỏ";
B : "Hùng lấy được viên bi màu xanh".
Chứng tỏ rằng hai biến cố A và B độc lập.
b) Bạn Sơn lấy ngẫu nhiên một viên bi và không trả lại vào hộp. Tiếp theo, bạn Tùng lấy ngẫu
nhiên một viên bi từ hộp đó. Xét hai biến cố sau:
C : "Sơn lấy được viên bi màu đỏ";
D : "Tùng lấy được viên bi màu xanh".
Chứng tỏ rằng hai biến cố C và D không độc lập.
Lời giải
a) Nếu A xảy ra, tức là Minh lấy được viên bi màu đỏ. Vì Minh trả lại viên bi đã lấy vào hộp
nên trong hộp có 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Vậy  
5
9
P B  .

26. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 7
Sưu tầm và biên soạn
Nếu A không xảy ra, tức là Minh lấy được viên bi màu xanh. Vì Minh trả lại viên bi đã lấy vào
hộp nên trong hộp vẫn có 4 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Vậy  
5
9
P B  .
Như vậy, xác suất xảy ra của biến cố B không thay đổi bởi việc xảy ra hay không xảy ra của
biến cố A .
Vì Hùng lấy sau Minh nên  
4
9
P A  dù biến cố B xảy ra hay không xảy ra.
Vậy A và B độc lập.
b) Nếu C xảy ra, tức là Sơn lấy được viên bi màu đỏ. Vì Sơn không trả lại viên bi đó vào hộp
nên trong hộp có 8 viên bi với 3 viên bi màu đỏ và 5 viên bi màu xanh. Vậy  
5
8
P D  . Nếu
C không xảy ra, tức là Sơn lấy được viên bi màu xanh. Vì Sơn không trả lại viên bi đã lấy vào
hộp nên trong hộp có 4 viên bi màu đỏ và 4 viên bi màu xanh. Vậy  
4
8
P D  . Như vậy, xác
suất xảy ra của biến cố D đã thay đổi phụ thuộc vào việc biến cố C xảy ra hay không xảy ra.
Do đó, hai biến cố C và D không độc lập.

27. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
BÀI 2. BIẾN CỐ HỢP VÀ BIẾN CỐ GIAO. BIẾN CỐ ĐỘC LẬP.
CÁC QUY TẮC TÍNH XÁC SUẤT
Câu 1: Nếu hai biến cố Avà B xung khắc thì xác suất của biến cố  
P A B
 bằng
A.    
1 P A P B
  . B.    
.
P A P B .
C.        
.
P A P B P A P B
  . D.    
P A P B
 .
Lời giải
Vì hai biến cố Avà B xung khắc nên A B
   . Theo công thức cộng xác suất ta có
     
P A B P A P B
  
Câu 2: Một hộp đựng 10 viên bi trong đó có 4 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh, 2 viên bi vàng và 1 viên bi
trắng. Lấy ngẫu nhiên từ hộp đó 2 viên bi. Xác suất của biến cố C: “lấy được 2 viên bi cùng
màu” là:
A.  
1
9
P C  . B.  
2
9
P C  . C.  
4
9
P C  . D.  
1
3
P C  .
Lời giải
Chọn B
Ta có:   2
10 45
n C
  
Gọi các biến cố:
D : “lấy được 2 viên đỏ”   2
4 6
n D C
  
E: “lấy được 2 viên xanh”   2
3 3
n E C
  
F : “lấy được 2 viên vàng”   2
2 1
n F C
  
Ta có , ,
D E F là các biến cố đôi một xung khắc và C D E F
  
       
6 3 1 2
45 45 45 9
P C P D P E P F
       .
Câu 3: Một hộp đựng 8 quả cầu trắng, 12 quả cầu đen. Lấy ngẫu nhiên 2 quả cầu trong hộp. Tính xác
suất để lấy được 2 quả cầu cùng màu.
CHƯƠNG V MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ
VÀ XÁC SUẤT
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
==

28. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
A.
47
190
. B.
81
95
. C.
47
95
. D.
14
95
.
Lời giải
Chọn C
Ta có:   2
20 190
n C
   .
Gọi A là biến cố “Lấy được 2 quả cầu cùng màu”
1
A là biến cố “Lấy được 2 quả cầu màu trắng”
2
A là biến cố “Lấy được 2 quả cầu màu đen”
Do 1
A ; 2
A là hai biến cố xung khắc nên
theo quy tắc cộng xác suất, ta có:      
 
 
 
 
2 2
1 2 8 12
1 2 2 2
20 20
47
95
n A n A C C
P A P A P A
n n C C
      
 
.
Câu 4: An và Bình thi đấu với nhau một trận bóng bàn, người thắng trước 3 séc sẽ giành chiến thắng
chung cuộc. Xác suất An giành chiến thắng mỗi séc là 0, 4 . Tính sác suất An thắng chung cuộc.
A. 0,13824 . B. 0,064 . C. 0,31744. D. 0,1152 .
Lời giải
 Gọi số séc hai bạn An và Bình chơi là x  
*
x . Để An thắng chung cuộc thì An phải
thắng 3 trận trước, dó đó 3 5
x
  .
 Gọi A là biến cố “An thắng chung cuộc”. Ta có các trường hợp
 Trường hợp 1: An thắng sau khi thi đấu 3 séc đầu, khi đó xác suất của trường hợp này là
 
3
1 0,4 0,064
P   .
 Trường hợp 2: An thắng sau khi thi đấu 4 séc, khi đó xác suất của trường hợp này là
 
3
2 3.0,6. 0,4 0,1152
P   .
 Trường hợp 3: An thắng sau khi thi đấu 5 séc, khi đó xác suất của trường hợp này là
   
2 3
2
3 4
C . 0,6 0,4 0,13824
P   .
 Vậy xác suất để An thắng chung cuộc 1 2 3 0,31744
A P P
P P 
 
 .
Câu 5: Cho mạch điện gồm 4 bóng đèn, xác suất hỏng của mỗi bóng là 0,05. Tính xác suất để khi cho
dòng điện chạy qua mạch điện thì mạch điện sáng.

29. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
A. 0,99750625. B. 0,99500635. C. 0,99750635. D. 0,99500625.
Lời giải
Gọi i
A là biến cố: “ Bóng đèn thứ i sáng”, với 1; 4
i  .
Ta có các i
A độc lập và   1 0,05 0,95
i
P A    ,   0,05
i
P A  .
Gọi A là biến cố: “ Có ít nhất một bóng đèn sáng”.
Để không có bóng đèn nào sáng ta có các trường hợp sau:
Trường hợp 1: Cả 4 bóng đèn cùng bị hỏng.
B là biến cố: “ Bốn bóng đèn bị hỏng”.
Khi đó xác suất để cả 4 bóng đèn bị hỏng là:   4
0,05 0,00000625
P B   .
Trường hợp 2: Ba bóng đèn bị hỏng.
Gọi C là biến cố: “ Ba bóng đèn bị hỏng”.
Xác suất để có 3 bóng đèn bị hỏng là:   3
4.0,05 .0,95 0,000475
P C   .
Trường hợp 3: Hai bóng đèn phía trái hoặc hai bóng đèn phía phải bị hỏng.
Gọi D là biến cố: “ Hai bóng đèn phía trái hoặc hai bóng đèn phía phải bị hỏng”
Xác suất để hai bóng đèn cùng phía bị hỏng là:   2 2
2.0,05 .0,95 0,0045125
P D   .
Xác suất để có ít nhất một bóng đèn sáng là:        
 
1 0,99500625
P A P B P C P D
    
.
Câu 6: 3 hộp A có 4 viên bi trắng, 5 viên bi đỏ và 6 viên bi xanh. Hộp B có 7 viên bi trắng, 6 viên bi
đỏ và 5 viên bi xanh. Lấy ngẫu nhiên mỗi hộp một viên bi, tính xác suất để hai viên bi được lấy
ra có cùng màu.
A.
91
135
. B.
44
135
. C.
88
135
. D.
45
88
.
Lời giải
Gọi biến cố A : “Hai viên bi được lấy ra có cùng màu”.
1
A : “ Hai viên bi lấy ra màu trắng”. Lúc đó:  
1
4 7
.
15 18
P A  .
2
A : “ Hai viên bi lấy ra màu đỏ”. Lúc đó:  
2
5 6
.
15 18
P A  .

30. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
3
A : “ Hai viên bi lấy ra màu xanh”. Lúc đó:  
3
6 5
.
15 18
P A  .
Lúc đó: 1 2 3
A A A A
   và 1
A , 2
A , 3
A là các biến cố xung khắc nên:
       
1 2 3
44
135
P A P A P A P A
    .
Câu 7: Một hộp có chứa 5 viên bi đỏ, 3 viên bi xanh và n viên bi vàng. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp.
Biết xác suất để trong 3 viên bi lấy được có đủ ba màu là
45
182
. Tính xác suất P để trong 3 viên
bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ.
A.
135
364
P  . B.
177
182
P  . C.
45
182
P  . D.
31
56
P  .
Lời giải
Theo bài cho, tổng số viên bi có trong hộp là: 8
n  
*
n .
Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi từ hộp. Số kết quả có thể xảy ra là:   3
8
n
n C 
  .
Gọi A là biến cố: “3 viên bi lấy được có đủ ba màu”. Số kết quả thuận lợi cho A là:
  1 1 1
5 3
. . 15
n
n A C C C n
  .
 Xác suất để trong 3 viên bi lấy được có đủ ba màu là:
 
 
  3
8
15
n
n A n
P A
n C 
 
    
90
6 7 8
n
n n n

  
Theo bài, ta có:  
45
182
P A  nên ta được phương trình:
   
90 45
6 7 8 182
n
n n n

  
   
364 6 7 8
n n n n
     3 2
21 218 336 0
n n n
     .
Giải phương trình trên với điều kiện n là số nguyên dương, ta được 6
n  .
Do đó, trong hộp có tất cả 14 viên bi và   3
14
n C
  .
Gọi B là biến cố: “3 viên bi lấy được có nhiều nhất hai viên bi đỏ”. Suy ra, B là biến cố: “3
viên bi lấy được đều là bi đỏ”. Số kết quả thuận lợi cho B là:   3
5
n B C
 .
Khi đó, xác suất P để trong 3 viên bi lấy được có nhiều nhất 2 viên bi đỏ là:
   
1
P P B P B
  
 
 
3
5
3
14
177
1 1
182
n B C
n C
    

.
Câu 8: Một hộp có 10 quả cầu xanh, 5 quả cầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên 5 quả từ hộp đó. Xác suất để được
5 quả có đủ hai màu là

31. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
A.
13
143
. B.
132
143
. C.
12
143
. D.
250
273
.
Lời giải
Số phần tử của không gian mẫu:  
n  5
15
C
 3003
 .
Gọi biến cố A : “5 quả lấy ra có đủ hai màu”. Suy ra biến cố A : “5 quả lấy ra chỉ có 1 màu”.
TH1: Lấy ra từ hộp 5 quả cầu xanh, có 5
10 252
C  cách.
TH2: Lấy ra từ hộp 5 quả cầu đỏ, có 5
5 1
C  cách.
Suy ra:  
n A 252 1
  253
 .
Xác suất để được 5 quả có đủ hai màu là:  
P A  
1 P A
 
 
 
1
n A
n
 

253
1
3003
 
250
273
 .
Vậy xác suất cần tìm là
250
273
.
DẠNG 2: SỬ DỤNG QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT
Câu 9: Một học sinh tô ngẫu nhiên 5 câu trắc nghiệm. Xác suất để học sinh đó tô sai cả 5 câu bằng
A.
15
1024
. B.
3
4
. C.
243
1024
. D.
1
1024
.
Lời giải
Xác suất tô sai 1 câu là
3
4
Vậy Xác suất để học sinh đó tô sai cả 5 câu
5
3 243
4 1024
 

 
 
.
Câu 10: Hai xạ thủ cùng bắn mỗi người một viên đạn vào bia một cách độc lập với nhau. Xác suất bắn
trúng bia của hai xạ thủ lần lượt là
1
2
và
1
.
3
Tính xác suất của biến cố có ít nhất một xạ thủ
không bắn trúng bia.
A.
1
2
. B.
5
6
. C.
1
3
. D.
2
3
.
Lời giải
Giả sử ta có hai xạ thủ A,B.
Ta có: Xác suất bắn trúng mục tiêu của xạ thủ A, B tương ứng là    
,
P A P B
Gọi biến cố D:”có ít nhất một xạ thủ không bắn trúng bia”
D :”Cả hai xạ thủ đều bắn trúng bia ”, khi đó D A B
 

32. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 6
Sưu tầm và biên soạn
Suy ra      
.
P D P A P B
 =
1 1 1
.
2 3 6
    
1
P D P D
  
1 5
1
6 6
   .
Câu 11: Hai vận động viênA và B cùng ném bóng vào rổmột cách độc lập với nhau. Xác suất ném bóng
trúng vào rổ của hai vận động viên A và B lần lượt là
1
5
và
2
.
7
Xác suất của biến c''Cả hai cùng
ném bóng trúng vào rổ ''bằng
A.
2
35
. B.
1
35
. C.
6
35
. D.
2
7
.
Lời giải
Do hai người ném bóng vào rổmột cách độc lập với nhau nên xác suất của biến cố ''Cả hai
cùng ném bóng trúng vào rổ''là
1 2 2
P . .
5 7 35
 
Câu 12: Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng một trận là 0,4 . Hỏi An phải chơi ít nhất bao
nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95?
A. 5 B. 8 C. 6 D. 7
Lời giải
Gọi n là số trận An chơi, A: “ An thắng ít nhất một trận”, A : “An không thắng trận nào”,
1 2... n
A A A A
 , trong đó i
A = ” An thắng trận thứ i”, P( i
A )=0,6 , 1,
i n
 .
1 2
P( ) ( ).P( )...P( ) 0,6n
n
A P A A A
  , ( ) 1 ( ) 1 0,6n
P A P A
    .
Ta có bất phương trình: 0,6
1 0,6 0,95 0,6 0,05 log 0,05
n n
n
     
Suy ra giá trị n nhỏ nhất của n bằng 6.
Câu 13: Một người có một chùm chìa khóa gồm 9 chiếc, bề ngoài chúng giống hệt nhau và chỉ có đúng
hai chiếc mở được cửa nhà. Người đó thử ngẫu nhiên từng chìa. Xác suất để mở được cửa trong
lần mở thứ ba bằng
A.
1
.
6
B.
2
.
7
C.
14
.
81
D.
7
.
81
Lời giải
Xác suất để mở được cửa trong lần mở thứ ba là  
7 6 2 1
. .
9 8 7 6
P A  
Câu 14: Hai xạ thủ cùng bắn vào bia. Xác suất người thứ nhất bắn trúng là 80%. Xác suất người thứ hai
bắn trúng là 70% . Xác suất để cả hai người cùng bắn trúng là
A. 50%. B. 32,6% . C. 60% . D. 56%.
Lời giải
Gọi i
A là biến cố người thứ i bắn trúng  
1;2
i 
A là biến cố cả hai người cùng bắn trúng. Lúc đó: 1 2
A A A
  .

33. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 7
Sưu tầm và biên soạn
Vì 1
A , 2
A là hai biến cố độc lập nên:
       
1 2 1 2
. 0,8.0,7 0,56 56%
P A P A A P A P A
      .
Câu 15: Một thí sinh tham gia kì thi THPT Quốc gia. Đề bài thi môn Toán gồm 50 câu hỏi trắc nghiệm,
bạn đó làm được chắc chắn đúng 40 câu. Do không còn đủ thời gian nên bạn bắt buộc phải
khoanh bừa 10 câu còn lại. Hỏi xác suất để bạn đó được 9,2 điểm là bao nhiêu?
A.    
6 4
0,25 . 0,75 . B.    
6 4
4
10. 0,25 . 0,75
C .
C.    
6 4
4
10 0,25 . 0,75
A . D.    
4 6
6
10 0,25 . 0,75
C .
Lời giải
Khi khoanh bừa một câu, xác suất đúng là 0,25, xác suất sai là 0,75.
Bạn học sinh đó được 9,2 điểm nếu bạn khoanh đúng được 6 câu trong 10 câu còn lại.
Do đó xác suất để bạn học sinh đó được 9,2 điểm là    
6 4
4
10. 0,25 . 0,75 .
C
Câu 16: Hai đối thủ ngang tài nhau, cùng thi đấu với nhau để tranh chức vô địch. Người thắng cuộc là
người đầu tiên thắng được 6 ván đấu. Hết buổi sáng, người I đã thắng 5 ván, còn người II chỉ
mới thắng 3 ván. Buổi chiều hai người sẽ tiếp tục thi đấu. Xác suất để người I vô địch bằng
A.
5
8
. B.
1
2
. C.
3
4
. D.
7
8
.
Lời giải
Xét biến cố người I không vô địch xảy ra khi người II thắng liên tiếp ba ván buổi chiều
Xác suất là
1 1 1 1
. .
2 2 2 8

Vậy xác suất người I vô địch là
1 7
1
8 8
 
Câu 17: Cho mạch điện gồm 4 bóng đèn, xác xuất hỏng của mỗi bóng là 0,05. Tính xác suất để khi cho
dòng điện chạy qua mạch điện thì mạch điện sáng.
A. 99750635
,
0 B. 99500625
,
0 C. 99750625
,
0 D. 99500635
,
0
Lời giải
Ta sử dụng biến cố đối là khi mạch không sáng và có các trường hợp xảy ra như sau:
TH1: Xác suất để 4 bóng hỏng là  
4
0,05
TH2: Xác suất để 3 bóng hỏng, 1 bóng sáng là  
3
3
4 0,05 .0,95
C .
TH3: Xác suất để 2 bóng hỏng, 2 bóng sáng là    
2 2
2. 0,05 . 0.95 .


34. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 8
Sưu tầm và biên soạn
Do đó xác suất để mạch điện sáng là
       
4 3 2 2
3
4
1 0,05 0.05 .0,95 2. 0,05 . 0,95 0,99500625
C
 
   
 
.
Câu 18: Hai cầu thủ đá luân lưu. Xác suất cầu thủ thứ nhất đá trúng lưới là 0,3. Xác suất cầu thủ thứ hai
không đá trúng lưới là 0,4 . Xác suất để có đúng một cầu thủ đá trúng lưới là:
A. Đáp án khác. B. 0,54. C. 0,46 . D. 1,1.
Lời giải
Gọi biến cố :"
A Cầu thủ thứ nhất đá trúng lưới" và :''
B Cầu thủ thứ hai đá trúng lưới''
 biến cố có đúng một cầu thủ đá trúng lưới là: AB AB
 .
Vì AB và AB là hai biến cố xung khắc nên      
P AB AB P AB P AB
   .
Vì ,
A B là hai biến cố độc lập nên      
. 0,3.0,4 0,12
P AB P A P B
   .
Tương tự     
1 0,3 1 0,4 0,42
P AB     .
  0,12 0,42 0,54
P AB AB
     .
Câu 19: Khảo sát về mức độ quan tâm của người dân trong khu một khu phố đối với 3 tờ báo A, B, C,
người ta thu được số liệu như sau:
Có 20% người dân xem báo A; 15% người dân xem báo B; 10% người dân xem báo C;
Có 5% người dân xem báo A và B; 3% người dân xem báo B và C; 4% người dân xem báo A và
C;
Có 2% người dân xem cả ba tờ báo A, B và C.
Xác suất người dân xem ít nhất một tờ báo là
A. 45%. B. 31%. C. 35%. D. 59%.
Lời giải
Chọn C
Gọi , ,
A B C lần lượt là các biến cố người dân xem báo A, B, C.
Ta có: ( ) 0,2 ; ( ) 0,15 ; ( ) 0,1 ;
P A P B P C
  
( ) 0,05 ; ( ) 0,03 ; ( ) 0,04 ; ( ) 0,02
P AB P BC P AC P ABC
    .
Gọi D là biến cố “người dân xem ít nhất một tờ báo” D A B C
    .
( ) ( )
P D P A B C
  
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
P A P B P C P AB P BC P CA P ABC
      
0,2 0,15 0,1 0,05 0,03 0,04 0,02 0,35 35%
         .
Câu 20: Trong một trò chơi điện tử, xác suất để game thủ thắng trong một trận là 0,4 . Hỏi phải chơi tối
thiểu bao nhiêu trận để xác suất thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95.
A. 6 B. 7 C. 4 D. 5
Lời giải

35. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 9
Sưu tầm và biên soạn
Gọi 1
A là biến cố thắng trận 1 thì 1
A là biến cố thua trận 1
Xác suất để thua n trận là        
1 2
. ...P 0,6
n
n
P P A P A A
 
Vậy xác suất để thắng ít nhất 1 trận là:  
1 0,6 0,95 5,8
n
n
    vậy chơi tối thiểu 6 ván
Câu 21: Một phần mềm tạo đề thi trắc nghiệm 50 câu hỏi bằng cách hoán vị 4 đáp án trắc nghiệm trong
cùng câu hỏi với nhau. Xác suất để có hai đề thi được tạo ra chỉ có sự giống nhau ở năm câu hỏi
gần nhất với giá trị nào sau đây?
A. 8 %. B. 2 % C. 10 %. D. 4 %.
Lời giải
Hoán vị 4 đáp án trắc nghiệm có 4! 24
 cách.
Xác suất để hai câu hỏi giống nhau là
1
24
, xác suất để hai câu hỏi khác nhau là
23
24
Chọn năm
câu hỏi có sự giống nhau: 5
50
C .
Xác suất cần tìm là:
5 45
5
50
1 23
. . 0,0391 3,91% 4%
24 24
C
   

   
   
  .
Câu 22: Một bài trắc nghiệm có 10 câu hỏi, mỗi câu hỏi có 4 phương án lựa chọn trong đó có 1 đáp án
đúng. Giả sử mỗi câu trả lời đúng được 5 điểm và mỗi câu trả lời sai bị trừ đi 2 điểm. Một học
sinh không học bài nên đánh hú họa một câu trả lời. Tìm xác suất để học sinh này nhận điểm
không lớn hơn 1.
A. ( ) 0,7336

P A . B. ( ) 0,7124

P A . C. ( ) 0,7759

P A . D. ( ) 0,783

P A .
Lời giải
Xác suất trả lời đúng của học sinh trong một câu là
1
4
.
Xác suất trả lời sai của học sinh trong một câu là
3
.
4
Gọi x là số câu học sinh đó trả lời đúng.
Theo đề bài ta có học sinh đó nhận điểm không lớn hơn 1, suy ra
 
5 2. 10 1
x x
   7 21
x
  3.
x
 
Do đó học sinh này cần trả lời đúng không quá 3 câu.
TH1: Học sinh trả lời đúng 3 câu:
3 7
3
1 10
1 3
. . .
4 4
P C
   
    
   
TH2: Học sinh trả lời đúng 2 câu:
2 8
2
2 10
1 3
. . .
4 4
P C
   
    
   
TH3: Học sinh trả lời đúng 1 câu:
9
1
3 10
1 3
. . .
4 4
P C
   
    
   

36. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 10
Sưu tầm và biên soạn
TH4: Học sinh trả lời không đúng câu nào:
10
4
3
.
4
P
 
  
 
Vậy xác suất cần tìm là   1 2 3 4 0,7759.
P A P P P P
     .
Câu 23: Khi bạn mua sản phẩm X, bạn được tham gia chương trình khuyến mãi “Bốc thăm trúng thưởng”.
Có một hộp kín đựng 20 lá thăm, trong đó có 2 lá thăm ghi “Chúc mừng bạn đã trúng thưởng
một sản phẩm Y”. Bạn được bốc lần lượt hai lá thăm. Xác suất để cả hai lá thăm đều trúng thưởng
là
A.
1
190
. B.
2
20
. C.
1
19
. D.
1
100
.
Lời giải
Chọn A
Gọi A là biến cố “lá thăm rút được lần đầu có thưởng”
2
( )
20
P A
  .
Gọi B là biến cố “lá thăm rút được lần sau có thưởng”
1
( )
19
P B
  .
2 1 1
( ) .
20 19 190
P AB   .
Câu 24: Trong kì thi THPT Quốc Gia năm 2016 có môn thi bắt buộc là môn Tiếng Anh. Môn thi này thi
dưới hình thức trắc nghiệm với bốn phương án trả lời A, B, C, D. Mỗi câu trả lời đúng được
cộng 0,2 điểm; mỗi câu trả lời sai bị trừ 0,1 điểm. Bạn Hoa vì học rất kém môn Tiếng Anh nên
chọn ngẫu nhiên cả 50 câu trả lời. Tính xác suất để bạn Hoa đạt được 4 điểm môn Tiếng Anh
trong kì thi trên.
A. 5
1,8.10
. B. 7
1,3.10
. C. 7
2,2.10
. D. 6
2,5.10
.
Lời giải
Chọn B
Để được 4 điểm thì học sinh Hoa phải trả lời được 30 câu đúng, và 20 câu sai
Theo đó, xác suất trả lời đúng ở 1 câu là 0,25 ; xác suất trả lời sai ở mỗi câu là 0,75
Vậy xác suất để hs Hoa được 4 điểm bằng    
30 20
30 7
50 0,25 . 0,75 1,3.10
C 
 .
Câu 25: Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu, mỗi câu có 4 phương án trả lời trong đó chỉ có 1 phương án
đúng, mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm. Một thí sinh làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên 1
trong 4 phương án ở mỗi câu. Tính xác suất để thí sinh đó được 6 điểm.
A. 20 30
1 0,25 .0,75
 . B. 20 30
0,25 .0,75 . C. 30 20
0,25 .0,75 . D. 30 20 20
50
0,25 .0,75 C .
Lời giải
Xác suất làm đúng một câu là
1
4
, xác suất làm sai một câu là
3
4
.
Để được 6 điểm thì thí sinh đó phải làm đúng 30 câu và làm sai 20 câu.

37. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 11
Sưu tầm và biên soạn
Khi đó xác suất cần tìm là
20 30
20 20 20 30
50 50
3 1
P C . . C .0,75 .0,25
4 4
   
 
   
   
.
DẠNG 3: KẾT HỢP QUY TẮC CỘNG VÀ QUY TẮC NHÂN XÁC SUẤT
Câu 26: Hai xạ thủ bắn mỗi người một viên đạn vào bia, biết xác suất bắn trúng vòng 10 của xạ thủ thứ
nhất là 0,75 và của xạ thủ thứ hai là 0,85. Tính xác suất để có ít nhất một xạ thủ bắn trúng vòng
10.
A. 0,325. B. 0,6375. C. 0,0375. D. 0,9625.
Lời giải
Gọi A là biến cố: “có ít nhất một viên trúng vòng 10”.
Do đó A là biến cố: “không có viên nào trúng vòng 10”
     
1 0,75 . 1 0,85 0,0375
P A
    
   
1 1 0,0375 0,9625
P A P A
      .
Câu 27: Có 4 học sinh muốn tham gia sự kiện từ thiện vào hai ngày cuối tuần, họ có thể chọn tham gia
vào thứ Bảy hoặc Chủ nhật. Tính xác suất để vào cả hai ngày thứ Bảy và Chủ nhật có ít nhất một
học sinh tham dự.
A.
3
8
. B.
7
8
. C.
1
8
. D.
5
8
.
Lời giải
Vì mỗi học sinh có thể tham gia sự kiện từ thiện vào một trong hai ngày thứ Bảy hoặc chủ Nhật
nên xác suất để học sinh tham gia trong mỗi ngày là
1
2
và xác suất không tham gia trong mỗi
ngày là
1
.
2
Gọi :''
A Cả hai ngày thứ Bảy và chủ Nhật có ít nhất một học sinh tham dự. "
Ta có:   1 1 1 1 1 1 1 1 1
. . . . . . .
2 2 2 2 2 2 2 2 8
P A   
Xác suất cần tìm là:     1 7
1 1 .
8 8
P A P A
    
Câu 28: Hai người cùng bắn độc lập vào một mục tiêu. Xác suất bắn trúng của từng người lần lượt là 0,8
và 0,9. Tìm xác suất của biến cố A : “ Chỉ có một người bắn trúng mục tiêu ”.
A.   0,26
P A  . B.   0,74
P A  . C.   0,72
P A  . D.   0,3
P A  .
Lời giải
Gọi 1
A là biến cố “ Người 1 bắn trúng mục tiêu ”.
Gọi 2
A là biến cố “ Người 2 bắn trúng mục tiêu ” ( 1 2 1 2
; ; ;
A A A A là các biến cố độc lập). Từ
giả thiết ta có    
1 2
0,8; 0,9.
P A P A
 

38. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 12
Sưu tầm và biên soạn
Mà 1 2 1 2
A A A A A
 
             
1 2 1 2
. . 0,8. 1 0,9 1 0,8 .0,9 0,26
P A P A P A P A P A
        .
Câu 29: Hộp thứ nhất chứa 3 bi đỏ và 4 bi xanh, hộp thứ hai chưa 2 bi đỏ và 5 bi xanh. Chuyển ngẫu
nhiên 1 viên bi từ hộp thứ nhất sang hộp thứ hai rồi lấy ngẫu nhiên một viên bi từ hộp thứ hai ra.
Tính xác suất để viên bi lấy ra ở hộp thứ hai có màu đỏ.
A.
3
7
. B.
17
56
. C.
2
7
. D.
9
56
Lời giải
Xảy ra hai trường hợp:
TH1: Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu đỏ và đưa vào hộp thứ hai, khi đó hộp thứ hai có 3 bi
đỏ và 5 bi xanh. Xác suất để lấy ra 1 bi đỏ từ hộp thứ hai là: 1
3 3 9
.
7 8 56
P   .
TH2: Viên bi lấy ra từ hộp thứ nhất màu xanh và đưa vào hộp thứ hai, khi đó hộp thứ hai có 2
bi đỏ và 6 bi xanh. Xác suất để lấy ra 1 bi đỏ từ hộp thứ hai là: 2
4 2 8
.
7 8 56
P   .
Vậy xác suất cần tìm là 1 2
17
56
P P P
   .
Câu 30: Một chiếc máy có hai động cơ I và II chạy độc lập nhau. Xác suất để động cơ I và II chạy
tốt lần lượt là 0,8 và 0,7. Xác suất để ít nhất một động cơ chạy tốt là
A. 0,24. B. 0,94. C. 0,14. D. 0,56.
Lời giải
Gọi A là biến cố: “Có ít nhất một động cơ chạy tốt”.
Gọi B là biến cố: “Chỉ động cơ I chạy tốt”.
   
0,8. 1 0, 7 0, 24
P B    .
Gọi C là biến cố: “Chỉ động cơ II chạy tốt”.
   
1 0,8 .0, 7 0,14
P C    .
Gọi D là biến cố: “Cả hai động cơ đều chạy tốt”.
  0,8.0,7 0,56
P D   .
Vậy   0, 24 0,14 0,56 0,94
P A     .
Câu 31: Một công ty may mặc có hai hệ thống máy may chạy song song. Xác suất để hệ thống máy thứ
nhất hoạt động tốt là 90%, hệ thống thứ hai hoạt động tốt là 80%. Công ty chỉ có thể hoàn thành
đơn hàng đúng hạn nếu ít nhất một trong hai hệ thống máy may hoạt động tốt. Xác suất để công
ty hoàn thành đơn hàng đúng hạn là
A. 98%. B. 2% . C. 80%. D. 72% .
Lời giải
Xác suất để công ty hoàn thành đơn hàng đúng hạn là

39. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 13
Sưu tầm và biên soạn
90%.80% 90%.20% 10%.80% 98%
P     .
Câu 32: Một người chơi trò gieo súc sắc. Mỗi ván gieo đồng thời ba con súc sắc. Người chơi thắng cuộc
nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt sáu chấm. Tính xác suất để trong ba ván, người đó thắng ít nhất hai
ván.
A. B. C. D.
Lời giải
Xác suất để một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm là
Xác suất để người chơi thắng cuộc trong một ván là
Xác suất để trong 3 ván người đó thắng ít nhất hai ván là
Câu 33: Có 3 con súc sắc hình lập phương làm bằng giấy, các mặt của súc sắc in các hình bầu, cua, tôm,
cá, gà, nai. Súc sắc thứ nhất cân đối. Súc sắc thứ hai không cân đối, có xác suất mặt tôm là 0,2;
các mặt còn lại có xác suất bằng nhau. Súc sắc thứ ba không cân đối, có xác suất mặt nai là 0,25;
các mặt còn lại có xác suất bằng nhau. Gieo một lần ba con súc sắc đã cho. Tính xác suất để hai
súc sắc xuất hiện mặt cua và một súc sắc xuất hiện mặt bầu.
A.
1
120
. B.
3
250
. C.
1
250
. D.
1
40
.
Lời giải
Con súc sắc thứ nhất cân đối nên xác suất xuất hiện mỗi mặt là
1
6
.
Súc sắc thứ hai không cân đối, có xác suất mặt tôm là 0,2; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau
nên xác suất mỗi mặt còn lại là:
1 0,2 4
5 25

 .
Súc sắc thứ ba không cân đối, có xác suất mặt nai là 0,25; các mặt còn lại có xác suất bằng nhau
nên xác suất mỗi mặt còn lại là:
1 0,25 3
5 20

 .
Gọi A là biến cố “Gieo một lần 3 con súc sắc, hai súc sắc xuất hiện mặt cua và một súc sắc xuất
hiện mặt bầu.”. Ta có các trường hợp sau:
1
1296
308
19683
58
19683
53
23328
1
6
2 3
2
3
1 5 1 2
.
6 6 6 27
C
   
 
   
   
2 3
2
3
2 2 2 308
. 1
27 27 27 19683
C
     
  
     
     

40. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 14
Sưu tầm và biên soạn
Do 1 2 3
A A A A
   và các biến cố 1 2 3
; ;
A A A đôi một xung khắc nên ta có:
1 2 3
3
250
A A A A
P P P P
    .
Câu 34: Một người chơi trò gieo súc sắc. Mỗi ván gieo đồng thời ba con súc sắc. Người chơi thắng cuộc
nếu xuất hiện ít nhất 2 mặt sáu chấm. Tính xác suất để trong ba ván, người đó thắng ít nhất hai
ván
A. B. C. D.
Lời giải
Xác suất để một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm là
Xác suất để người chơi thắng cuộc trong một ván là
Xác suất để trong 3 ván người đó thắng ít nhất hai ván là
Câu 35: Trong kỳ thi học kỳ I, bạn Bình làm đề thi trắc nghiệm môn Toán. Đề thi gồm 50 câu hỏi, mỗi
câu có 4 phương án trả lời, trong đó chỉ có một phương án đúng; trả lời đúng mỗi câu được 0,2
điểm. Bình trả lời hết các câu hỏi và chắc chắn đúng 40 câu, 10 câu còn lại Bình chọn ngẫu
nhiên. Xác suất để điểm thi môn Toán của Bình không dưới 9,0 điểm gần với số nào nhất?
A. 0,0078. B. 0,0871. C. 0,0781. D. 0,0087 .
Lời giải
Xác suất để điểm thi môn Toán của Bình đạt 9,0 điểm là 5 5 5
10.0,25 .0,75
C .
Xác suất để điểm thi môn Toán của Bình đạt 9,2 điểm là 6 6 4
10.0,25 .0,75
C .
Xác suất để điểm thi môn Toán của Bình đạt 9,4 điểm là 7 7 3
10.0,25 .0,75
C .
Xác suất để điểm thi môn Toán của Bình đạt 9,6 điểm là 8 8 2
10.0,25 .0,75
C .
Xác suất để điểm thi môn Toán của Bình đạt 9,8 điểm là 9 9 1
10.0,25 .0,75
C .
Xác suất để điểm thi môn Toán của Bình đạt 10 điểm là 10
0,25 .
Xác suất để điểm thi môn Toán của Bình không dưới 9,0 điểm là
10
10
10
5
.0,25 .0,75 0,0781
k k k
k
C 


 .
Câu 36: Có ba chiếc hộp: hộp I có 4 bi đỏ và 5 bi xanh, hộp II có 3 bi đỏ và 2 bi đen, hộp III có 5 bi đỏ
và 3 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên ra một hộp rồi lấy một viên bi từ hộp đó. Xác suất để viên bi lấy
được màu đỏ bằng
1
1296
308
19683
58
19683
53
23328
1
6
2 3
2
3
1 5 1 2
.
6 6 6 27
C
   
 
   
   
2 3
2
3
2 2 2 308
. 1
27 27 27 19683
C
     
  
     
     

41. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 15
Sưu tầm và biên soạn
A.
601
1080
. B.
6
11
. C.
1
6
. D.
61
360
.
Lời giải
Lấy ngẫu nhiên một hộp.
Gọi 1
C là biến cố lấy được hộp I;
Gọi 2
C là biến cố lấy được hộp II;
Gọi 3
C là biến cố lấy được hộp III.
Suy ra      
1 2 3
1
3
P C P C P C
   .
Gọi C là biến cố “lấy ngẫu nhiên một hộp, trong hộp đó lại lấy ngẫu nhiên một viên bi và được
bi màu đỏ”.
Ta có:      
1 2 3
C C C C C C C
     
        
1 2 3
P C P C C P C C P C C
     
1 4 1 3 1 5
. . .
3 9 3 5 3 8
  
601
1080
 .
Câu 37: Ba người cùng bắn vào một bia một cách độc lập. Xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn
trúng đích lần lượt là 0,5; 0,6; và 0,8. Xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích là
A. 0,24. B. 0,46. C. 0,92. D. 0,96.
Lời giải
Từ giả thiết suy ra xác suất để người thứ nhất, thứ hai, thứ ba bắn không trúng đích lần lượt là
0,5; 0,4; và 0,2.
Để có đúng 2 người bắn trúng đích thì có các trường hợp sau
Trường hợp 1. Người thứ nhất bắn trúng
Người thứ hai bắn trúng
Người thứ ba bắn không trúng
Kết quả: 0,5 0,6 0,2.
 
Trường hợp 2. Người thứ nhất bắn trúng
Người thứ hai bắn không trúng
Người thứ ba bắn trúng
Kết quả: 0,5 0,4 0,8.
 
Trường hợp 3. Người thứ nhất bắn không trúng
Người thứ hai bắn trúng
Người thứ ba bắn trúng
Kết quả: 0,5 0,6 0,8.
 
Vậy xác suất để có đúng 2 người bắn trúng đích là
     
0,5 0,6 0,2 0,5 0,4 0,8 0,5 0,6 0,8 0,46.
        
Câu 38: Hai người ngang tài ngang sức tranh chức vô địch của cuộc thi cờ tướng. Người giành chiến
thắng là người đầu tiên thắng được 5 ván cờ. Tại thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván
và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván, tính xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng?

42. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 16
Sưu tầm và biên soạn
A.
3
4
. B.
4
5
. C.
7
8
. D.
1
2
.
Lời giải
Gọi thời điểm người chơi thứ nhất đã thắng 4 ván và người chơi thứ hai mới thắng 2 ván là hai
người đã đánh được i ván và gọi  
, 1;2
ij
A j  là biến cố ở ván thứ i, người thứ j thắng.
Vậy xác suất để người chơi thứ nhất giành chiến thắng là:
 
     
       
 
1 1 1 1 2 1 1 1 2 1 3 1
1 1 1 1 1 1 7
. . .
2 2 2 2 2 2 8
i i i i i i
P A P A A P A A A
     
         .
Câu 39: Bạn Nam làm bài thi thử THPT Quốc gia môn Toán có 50 câu, mỗi câu có 4 đáp án khác nhau,
mỗi câu đúng được 0,2 điểm, mỗi câu làm sai hoặc không làm không được điểm cũng không bị
trừ điểm. Bạn Nam đã làm đúng được 40 câu còn 10 câu còn lại bạn chọn ngẫu nhiên mỗi câu
một đáp án. Xác suất để bạn Nam được trên 8,5 điểm gần với số nào nhất trong các số sau?
A. 0,53. B. 0,47. C. 0,25. D. 0,99.
Lời giải
Vì mỗi câu có 4 phương án trả lời và chỉ có một phương án đúng nên xác suất để chọn đúng đáp
án là
1
4
, xác suất để trả lời sai là
3
4
Gọi A là biến cố bạn Nam được trên 8,5 điểm thì A là biến cố bạn Nam được dưới 8,5 điểm
Vì bạn Nam đã làm chắc chắn đúng 40 wwwcâu nên để có A xảy ra 2 trường hợp
TH1: Bạn Nam chọn được một wwwcâu đúng trong 10 wwwcâu còn lại, xác suất xảy ra là:
9
1 3
10. .
4 4
 

 
 

 
TH2: Bạn Nam chọn được hai wwwcâu đúng trong 10 wwwcâu còn lại, xác suất xảy ra là:
2 8
2
10
1 3
. .
4 4
C
   
 
 
 
 
 
 
   
Vậy    
9 2 8
2
10
1 3 1 3
1 1 10. . . . 0,53
4 4 4 4
P A P A C
     
  
  
    
  
  
  
  
     

Câu 40: Có 3 chiếc hộp , ,
A B C . Hộp A chứa 4 bi đỏ, 3 bi trắng. Hộp B chứa 3 bi đỏ, 2 bi vàng. Hộp
C chứa 2 bi đỏ, 2 bi vàng. Lấy ngẫu nhiên một hộp từ 3 hộp này, rồi lấy ngẫu nhiên một bi từ
hộp đó. Tính xác suất để lấy được một bi đỏ.
A.
13
30
. B.
1
6
. C.
39
70
. D.
1
8
.
Lời giải
Gọi A là biến cố: “Chọn ra hộp A ”
Gọi B là biến cố: “Chọn ra hộp B ”
Gọi C là biến cố: “Chọn ra hộp A ”
Gọi E là biến cố: “Bi chọn ra là bi đỏ”

43. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 17
Sưu tầm và biên soạn
Ta có:      
1
3
P A P B P C
   và      
4 3 1
| ; | ; |
7 5 2
P E A P E B P E C
  
Theo công thức:              
. | . | . |
P E P A P E A P B P E B P C P E C
  
 
1 4 1 3 1 1 39
. . .
3 7 3 5 3 2 70
P E
    
Câu 41: Một hộp đựng 9 thẻ được đánh số 1,2,3,4,...,9. Rút ngẫu nhiên đồng thời 2 thẻ và nhân hai số
ghi trên hai thẻ lại với nhau. Tính xác suất để tích nhận được là số chẵn
A.
5
18
. B.
8
9
. C.
1
6
. D.
13
18
.
Lời giải
Chọn D
Có 4 thẻ chẵn là  
2;4;6;8 và 5 thẻ lẻ là  
1;3;5;7;9 .
Rút ngẫu nhiên 2 thẻ từ 9 thẻ thì có số cách là 2
9
C .
Số phần tử của không gian mẫu là   2
9 36
n C
   .
Gọi biến cố A: “ Tích nhận được là số chẵn”.
Số phần tử của biến cố A là   2 1 1
4 4 5
. 26
n A C C C
   .
 
 
 
26 13
36 18
n A
P A
n 
    .
Câu 42: Trong một bài thi đánh giá tư duy gồm 10 câu hỏi trắc nghiệm khách quan, trong đó có 5 câu hỏi
lĩnh vực tự nhiên và 5 câu hỏi lĩnh vực xã hội. Mỗi câu hỏi có bốn phương án trả lời và chỉ có
một phương án đúng. Một học sinh đã trả lời đúng các câu hỏi thuộc lĩnh vực tự nhiên, nhưng ở
lĩnh vực xã hội học sinh đó chọn ngẫu nhiên một phương án bất kì. Biết rằng, mỗi câu trả lời
đúng được 1 điểm, trả lời sai không có điểm, tính xác suất học sinh đó đạt ít nhất 8 điểm?.
A. 19,14%. B. 19,53%. C. 17,58%. D. 10,35%.
Lời giải
Chọn D
Học sinh trả lời hết tất cả các câu thuốc KHTN là đã được 5 điểm.
Để được ít nhất 8 điểm thì học sinh đó phải trả lời đúng ít nhất 3 câu thuộc KHXH.
TH1: 3 câu đúng, 2 câu sai:
3 2
3
5
1 3
.
4 4
C
   
   
   
TH2: 4 câu đúng, 1 câu sai:
4
4
5
1 3
.
4 4
C
   
   
   
TH3: 5 câu đúng:
5
5
5
1
.
4
C
 
 
 
Vậy
3 2
3
5
1 3
.
4 4
C
   
   
   
+
4
4
5
1 3
.
4 4
C
   
   
   
+
5
5
5
1
.
4
C
 
 
 
0,1035 10,35%
 

44. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 18
Sưu tầm và biên soạn
Câu 43: Từ một hộp chứa 15 quả cầu gồm 4 quả màu xanh, 5 quả màu đỏ và 6 quả màu vàng, lấy ngẫu
nhiên đồng thời bốn quả. Xác suất để lấy được bốn quả có đủ ba màu bằng
A.
48
91
. B.
2
15
. C.
7
40
. D.
21
40
.
Lời giải
Chọn A
Chọn 4 quả cầu trong 15 quả cầu có:   4
15
n C
  .
Gọi A: “ Bốn quả có đủ ba màu”.
Chọn 1 xanh, 1 đỏ, 2 vàng có: 1 1 2
4 5 6
. .
C C C cách
Chọn 1 xanh, 2 đỏ, 1 vàng có: 2 1 1
4 5 6
. .
C C C cách
Chọn 2 xanh, 1 đỏ, 1 vàng có: 2 1 1
4 5 6
. .
C C C cách
  1 1 2 1 2 1 2 1 1
4 5 6 4 5 6 4 5 6
. . . . . .
n A C C C C C C C C C
   
 
 
 
48
.
91
n A
P A
n
  

Câu 44: Một hộp đựng 4 viên bi màu đỏ và 6 viên bi màu xanh, các viên bi có đường kính khác nhau.
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 5 viên bi trong hộp. Tính xác suất để 5 viên bi được lấy ra có ít nhất
3 viên bi màu đỏ.
A.
1
24
. B.
5
21
. C.
11
42
. D.
5
252
.
Lời giải
Chọn C
Lấy ngẫu nhiên đồng thời 5 viên bi từ 10 viên bi trong hộp.
Số phần tử không gian mẫu   5
10
C
n   .
Gọi A là biến cố lấy được ít nhất 3 viên bi đỏ.
Trường hợp 1: Lấy 3 bi đỏ từ 4 bi đỏ và 2 bi xanh từ 6 bi xanh có 3 2
4 6
C .C cách.
Trường hợp 2: Lấy 4 bi đỏ từ 4 bi đỏ và 1 bi xanh từ 6 bi xanh có 4 1
4 6
C .C cách.
Suy ra   3 2 4 1
4 6 4 6
C .C C .C
A
n    .
Xác suất để 5 viên bi được lấy ra có ít nhất 3 viên bi màu đỏ bằng  
 
 
11
42
A
n
P A
n

 

.
Câu 45: Từ hộp chứa 13 viên gồm 6 bi xanh, 7 bi đỏ, các viên bi cùng màu có kích thước khác nhau đôi
một. Lấy ra ngẫu nhiên 5viên bi. Tính xác suất để trong 5 viên bi được lấy số bi xanh nhiều hơn
số bi đỏ.

45. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 19
Sưu tầm và biên soạn
A.
254
429
. B.
84
143
. C.
59
143
. D.
175
429
.
Lời giải
Chọn C
Gọi biến cố A ”lấy số bi xanh nhiều hơn số bi đỏ”
Khi đó ta có   5
13
n C
  ,   5 4 1 3 2
6 6 7 6 7
n A C C C C C
  
Do đó xác suất biến cố A là  
 
 
59
143
n A
P A
n
 

.
Câu 46: Từ một hộp chứa 4 bi xanh, 5 bi đỏ và 6 bi vàng, lấy ngẫu nhiên đồng thời năm bi. Xác suất để
5 bi lấy được có đủ ba màu bằng
A.
185
273
. B.
310
429
. C.
106
273
. D.
136
231
.
Lời giải
Chọn B
Số cách chọn 5 viên bi trong 15 viên bi là   5
15 3003
n C
   .
Gọi A :’’ 5 viên bi lấy được có đủ 3 màu ”
Gọi A :’’ 5 viên bi lấy được có không đủ 3 màu ”
Chọn 5 viên bi không đủ 3 màu xảy ra các trường hợp
+ 5 viên màu đỏ có 1 cách
+ 5 viên màu vàng và 1 viên màu xanh hoặc đỏ có 5
6 6
C  cách.
+ Chỉ có xanh và đỏ có 4 1 3 2 2 3 1 4
4 5 4 5 4 5 4 5
. . . 125
C C C C C C C C
    .
+ Chỉ có xanh và vàng có 4 1 3 2 2 3 1 4
4 6 4 6 4 6 4 6
. . . 246
C C C C C C C C
    .
+ Chỉ có đỏ và vàng có 4 1 3 2 2 3 1 4
5 6 5 6 5 6 5 6
. . . 455
C C C C C C C C
    .
Vậy        
 
 
310
833 2170
429
n A
n A n n A p A
n
       

.
Câu 47: Trong một trò chơi điện tử, xác suất để An thắng một trận là 0, 4 . Số trận tối thiểu mà An phải
chơi để thắng ít nhất một trận trong loạt chơi đó lớn hơn 0,95 là:
A. 6. B. 7. C. 4. D. 5.
Lời giải
Chọn A
Xác suất để An thua một trận là: 0, 6 . Giả sử An chơi ntrận thua cả ntrận thì xác suất là:  
0,6
n
. Khi đó xác suất để An thắng ít nhất 1 trận là:  
1 0,6
n
 .

46. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 20
Sưu tầm và biên soạn
Theo yêu cầu bài toán:  
1 0,6 0,95 5,86
n
n
    .
Vậy số trận ít nhất mà An phải chơi là 6 trận.
Câu 48: Hai xạ thủ độc lập bắn vào một mục tiêu. Xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ thứ nhất là 0, 7 .
Xác suất trúng mục tiêu của xạ thủ thứ hai là 0, 8 . Xác suất để mục tiêu bị bắn trúng là
A. 0,94
P  . B. 0,56
P  . C. 0,08
P  . D. 0,06
P  .
Lời giải
Chọn A
Gọi i
A là biến cố “Xạ thủ thứ i bắn trúng mục tiêu” với 1, 2
i  .
Ta có:        
1 1 2 2
0,7 0,3; 0,8 0, 2
P A P A P A P A
      .
Gọi X là biến cố “Mục tiêu bị bắn trúng”.
             
1 2 2 1 1 2 0,7 0, 2 0,8 0,3 0,7 0,8 0,94
P X P A P A P A P A P A P A
             
Câu 49: Trong đề kiểm tra 15 phút môn Toán có 20 câu trắc nghiệm. Mỗi câu trắc nghiệm có 4 phương
án trả lời, trong đó chỉ có một phương án trả lời đúng. Bình giải chắc chắn đúng 10 câu, 10 câu
còn lại lựa chọn ngẫu nhiên đáp án. Tính xác suất để Bình đạt được đúng 8 điểm. Biết rằng mỗi
câu trả lời đúng được 0,5 điểm, trả lời sai không bị trừ điểm.
A.
6
6
10
1
4
C
 
 
 
. B.
6 4
1 3
4 4
   
   
   
. C.
6 4
6
10
1 3
. .
4 4
C
   
   
   
. D.
16 4
1 3
4 4
   
   
   
.
Lời giải
Chọn C
Bình giải chắc chắn đúng 10 câu nên Bình được chắc chắn 5 điểm.
Để Bình đạt được đúng 8 điểm thì trong 10 câu còn lại lựa chọn ngẫu nhiên đáp án phải đúng 6
câu, sai 4 câu.
Xác suất khi đánh ngẫu nhiên đúng một câu trắc nghiệm là
1
4
.
Xác suất khi đánh ngẫu nhiên sai một câu trắc nghiệm là
3
4
.
Chọn 6 câu trắc nghiệm để đáp đúng từ 10 câu trắc nghiệm có: 6
10
C
Vậy, xác suất để Bình đạt được đúng 8 điểm là
6 4
6
10
1 3
. .
4 4
C
   
   
   
.
Câu 50: Cho A là tập hợp các số tự nhiên có 9 chữ số. Lấy ngẫu nhiên một số thuộc tậpA. Xác suất lấy
được một số lẻ và chia hết cho 9 bằng
A.
1
18
. B.
1250
1710
. C.
625
1710
. D.
1
9
.
Lời giải

47. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 21
Sưu tầm và biên soạn
Chọn A
Gọi số tự nhiên có 9 chữ số có dạng 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1
( 0)
a a a a a a a a a a  .
Ta có: 8
( ) 9.10
n A  , khi đó số phần tử của không gian mẫu là:   1 8
( ) 9.10
n A
n C
   .
Gọi H là biến cố lấy được từ tập A một số lẻ và chia hết cho 9.
* Tính ( )
n H .
+ Số 9
a có 5 cách.
+ Các số từ 2 8
a a
 , mỗi số có 10 cách chọn.
+ Xét tổng 2 3 9
...
a a a
   . Vì số dư của 2 3 9
...
a a a
   khi chia cho 9 thuộc tập
 
0,1,2,3,4,5,6,7,8 nên luôn tồn tại 1 cách chọn số 1 0
a  để 1 2 3 9
...
S a a a a
     chia hết
cho 9 hay 1 2 3 4 5 6 7 8 9 9
a a a a a a a a a  .
Do đó 7
( ) 5.10
n H  .
Xác suất của biến cố H là:
 
7
8
( ) 5.10 1
( )
9.10 18
n H
P H
n
  

.
Câu 51: : Một đề thi trắc nghiệm gồm 50 câu hỏi độc lập. Mỗi câu hỏi có 4 đáp án trả lời, trong đó chỉ có
một đáp án đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,2 điểm, câu trả lời sai được 0 điểm. Học sinh A
làm bài bằng cách chọn ngẫu nhiên câu trả lời cho tất cả 50 câu hỏi. Biết xác suất làm đúng k
câu hỏi của học sinh A đạt giá trị lớn nhất, khi đó giá trị k bằng
A. 11. B. 10. C. 13. D. 12.
Lời giải
Chọn D
Gọi A là biến cố “ làm đúng k câu hỏi của học sinh A ”.
Ta có xác suất làm đúng một câu hỏi là
1
4
và xác suất làm sai một câu hỏi là
3
4
Theo qui tắc nhân xác suất  xác suất của biến cố A là:  
50 50
50
50
1 3 3
4 4 4
3
k k k
k
k
C
P A C

     
 
     
     
Xét hệ bất phương trình:
50 50
1
50 50
1
50 50
1
50 50
1
3 3
4 4
3 3
3 3
4 4
3 3
k k
k k
k k
k k
C C
C C




    

    
    

    

   
    

     
     
1
50 50
1
50 50
50! 50!
3
! 50 ! 1 ! 49 !
3
50! 50!
3 3
! 50 ! 1 ! 51 !
k k
k k
k k k k
C C
C C
k k k k





   

 
 
 

 
 
   


48. CHUYÊN ĐỀ V – TOÁN – 11 – MỘT SỐ YẾU TỐ THỐNG KÊ VÀ XÁC SUẤT
Page 22
Sưu tầm và biên soạn
3 1 47
50 1 4 , 12
1 3 51
51 4
k
k k
k k
k
k k
 
 
 
 
 
    
 
 
 

  

 .