Xác suất thống kê

1. BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
»ư Á N ĐÀO TẠO GIẦO VIÊN THCS
LOAN No 1718 - VIE (SF)
NGUYẾN ĐÌNH HIẺN
G iáo trìn h
XÁC SUẤT THỐNG KÊ
p(Aj).p(B/Ai)
P(B)
w
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

3. NGUYỄN ĐÌNH HIỀN
Giáo trình
XÁCSUẤT THỐNG KÊ
(Giảo trình Cao đẳng Sư phạm)
DẠI HỌCTHÁI NGUYÊN
T
R
Ư
N
GT
Â
MĩĩọcLIỆU
NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC s ư PHẠM

4. Mã số: 01.01. 23/191. ĐH. 2006

5. MỞ ĐẨU
Xác suất thống kê là một ngành khoa học được dạy trong các trường Đại
học và Cao đẳng của gần như tất cả các ngành, kể cả tự nhiên và xã hội, tuy
nhiên nội dung dạy có khác nhau. Tuỳ yêu cầu của từng ngành mà chỉ định số
tiết, trong các ngành kĩ thuật sinh học và nông nghiệp thường dạy từ 45 đến 75
tiết, nội dung cũng được lựa chọn khác nhau.
Giáo trình Xác suất thống kê này được viết cho sinh viên Cao đẳng Sư phạm
Kĩ thuật Nông nghiệp. Nội dung dựa trên chương trình Xác suất thống kê khối B
của Bộ Giáo dục và Đào tạo nhưng viết lại theo khung chương trình đào tạo
Cao đẳng Sư phạm Kĩ thuật Nông nghiệp cho phù hợp với thời lượng và yêu cầu.
Giáo trình cố gắng cung cấp cho học viên một số kiến thức cơ bản về Xác
suất và thống kê để có cách nhìn biện chứng hơn về các hiện tượng tự nhiên và
xã hội, để hiểu kĩ hơn một số phần mang tính định lượng trong sinh học và có
cơ sở để học môn Phương pháp thí nghiệm nên chỉ trình bày một cách đơn giản
các khái niệm xác suất và biến ngẫu nhiên, kèm theo nhiều thí dụ minh hoạ.
Phần thống kê chỉ trình bày kĩ mục đích của từng vấn đề, các bước tính, cách
kết luận và các thí dụ minh hoạ.
Để nắm được kiến thức trình bày trong sách không có cách nào tốt hơn là
xem kĩ thí dụ và làm đầy đủ bài tập.
Giáo trình viết cho người học, do đó khi dạy các giáo viên cần tham khảo
thêm các sách viết kĩ hơn, sâu hơn về Xác suất thống kê toán học như các giáo
trình dùng cho khối sinh của Đại học Quốc gia, Đại học Sư phạm hay Đại học
Nông nghiệp.
Phần bài tập có bài giải mẫu và đáp số. Vì học viên đã quen với tin học nên
giáo trình cung cấp thêm một số chương trình đơn giản viết bằng ngôn ngữ
Pascal để học viên có thể tự mình tính toán các bài tập xác suất thống kê và
chuẩn bị cho sau này học môn Phương pháp thí nghiệm.
Trong giáo trình các phần đánh dấu * có thể bỏ qua, nếu có điều kiện thì
đọc để mở rộng kiến thức.
Sau đây là nội dung chính của giáo trình:
Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản trong giải tích tổ hợp, nếu học
viên đã học rồi (phần này hiện đã dạy ở nhiều trường Trung học phổ thống) thì
chỉ nhắc lại và củng cố qua bài tập.
3

6. Chương 2 trình bày các khái niệm cơ bản về Xác suất, đây là chương quan
trọng và rất khó dạy, do đó phải khéo léo kết hợp giữa cách trình bày sao cho
không trừu tượng quá mà vẫn đảm bảo tính chặt chẽ, vì thực chất chương này
chính là hệ tiên đề của môn Xác suất. Yêu cầu cần đạt được là giới thiệu mô
hình suy luận sau: Phép thử có các kết quả trực tiếp, gọi là các sự kiện sơ cấp,
sự kiện là tập hợp một số sự kiện sơ cấp, xác suất là số đánh giá khả năng xuất
hiện của sự kiện. Xác suất tuân theo một sô' quy tắc tính và yêu cầu phải nắm
được hai quy tắc cộng và nhân tổng quát và đơn giản.
Chương 3 giới thiệu khái niệm biến ngẫu nhiên, phần này không nên sa
vào các định nghĩa trừu tượng mà phải thật cụ thể, do đó cần theo dõi các thí
dụ, qua đó tổng hợp nên khái niệm biến ngẫu nhiên, bảng phân phối, hàm phân
phối. Phần sô' đặc trưng có thể dạy sơ qua, chú ý đến ý nghĩa của kì vọng và
phương sai chứ không đi sâu chứng minh các tính chất.
Chương 4 cần trình bày kĩ phân phối nhị thức và phân phối siêu bội. Trong
phần biến liên tục chỉ tập trung trình bày phân phối chuẩn và cách tính gần
đúng phân phối nhị thức bằng phân phối chuẩn.
Với thời lượng 15 tiết, phần này không nên học hoặc dạy tràn lan mà chỉ
tập trung vào một số điểm chính, tuy nhiên giáo trình vẫn viết đầy đủ để học
viên tham khảo. Phần bài tập đã chọn các bài phù hợp với trĩnh độ cao đẳng,
không khó quá, nhưng cũng không thể coi là quá dễ.
Phần thống kê bắt đầu bằng chương 5, giới thiệu khái niệm tổng thể, mẫu
quan sát và các tham số của mẫu quan sát, tiếp theo là công thức ước lượng
trung bình |J. của biến phân phối chuẩn và xác suất p của phân phối nhị thức.
Chương này không yêu cầu trình bày lí thuyết mà phải thật cụ thể, học xong
phải biết cách tính trung bình cộng, phương sai mẫu, cách tra cứu bảng cp(u),
<t>(t), t và biết cách ước lượng |I, p.
Chương 6 cũng chỉ trình bày rất ngắn gọn bài toán kiểm định giả thiết, giả
thiết và đối thiết, giới thiệu quy tắc kiểm định giá trị trung bình của một biến
phân phối chuẩn và bài toán so sánh hai trung bình của hai tổng thể phân phối
chuẩn. Chương này để tiết kiệm thời gian có thể trình bày bằng bảng kẻ sẵn,
nêu các trường hợp gặp phải khi kiểm định, công thức tính, cách kết luận
(tương tự như ở phụ chương 2).
Chương 7 trình bày kiểm định một phân phối và bảng tương liên. Cả hai
phần này liên quan đến biến định tính và đều dùng phân phối Khi bình phương
4

7. (%2) do đó khi trinh bày cũng có thể dùng bảng kẻ sẩn để làm nổi bật nội dung
và cách làm rất giống nhau của hai phần (xem phụ chương 2).
Chương 8 giới thiệu tương quan và hồi quy tuyến tính, nếu ít thời gian thì
chỉ trình bày ý nghĩa hệ số tương quan, cách tính, các kết luận. Phần hồi quy
tuyến tính chỉ trình bày ý nghĩa của mô hình tuyến tính để tính xấp xỉ biến
ngẫu nhiên Y theo biến đã cho X, cách tính các hệ số, kết luận.
Phần đáp số trình bày gần hết các đáp số của các bài tập của các chương,
kể cả bài tập thường và bài tập có ghi dấu *
Phụ chương 1 giới thiệu một sô' chương trình viết bằng ngôn ngữ Pascal
dưới dạng thật đơn giản để học sinh, nếu đã học tin học và có điều kiện sử
dụng máy tính, có thể tự mình tính toán xác suất và thống kê trên máy tính
cũng như tự tạo ra bảng tính để tra cứu.
Phần phụ chương 2 có bảng ghi các thuật ngữ xác suất thống kê dùng
trong giáo trình và các công thức. Phần công thức có thể dùng để tham khảo
khi trình bày phần thống kê sao cho ngắn gọn, dễ hiểu.
Cuối cùng là các bảng tính, các bảng này rất cần cho phần thống kê nên khi
dạy phải chỉ cho học viên cách tra cứu cả xuôi lẫn ngược.
Giáo trình đã nhận được sự góp ý chân tình, chính xác và tỉ mỉ của Phó
giáo sư, Tiến sĩ Đào Hữu Hồ và Phó giáo sư, Tiến sĩ Tô cẩm Tú. Tác giả xin
chân thành cảm ơn.
Viết giáo trình là việc khó và càng khó khi thời lượng tương ứng của môn
học lại rất ít. Chắc chắn cuốn sách này còn nhiểu thiếu sót, rất mong sự góp ý
của bạn đọc. Xin chân thành cảm ơn.
Hà Nội, tháng 1 năm 2003
Tác giả
5

8. GIẢI TÍCH TỔ HỢP
C
hương này không nằm trong nội dung môn Xác suất thống kê mà thuộc
vé các kiến thức chung đã được dạy ở Phổ thông, tuy nhiên để hiểu được
các phép tính xác suất, thống kê ở các chương sau thì cần phải học, hoặc nếu
đã học rồi thỉ ôn lại các khái niệm cơ bản như: chỉnh hợp, hoán vị, tổ hợp,
chỉnh hợp lặp, nhị thức Niu-tơn.
§1. CHỈNH HỢP
Thí dụ 1
Cửa hàng có 3 cái mũ màu xanh, đỏ, tím. Có 2 khách đến mua, cô bán hàng
lấy lần lượt ra 2 cái mũ giao cho 2 khách, cái thứ nhất màu xanh, cái thứ hai màu
đỏ, ta kí hiệu tắt kết quả này là (X, Đ), cũng có thể cái thứ nhất màu đỏ, cái thứ
hai màu xanh (Đ, X), hoặc (X, T), (T, X), (Đ, T), (T, Đ). Ta gọi mỗi kết quả là một
chỉnh hợp chập 2 trong 3 vật, có tất cả 6 chỉnh hợp chập 2 của 3 mũ. Có thể lập
luận như sau: Cái mũ chọn đầu tiên là bất cứ mũ nào trong 3 mũ, như vậy có 3
cách chọn, sau đó có 2 cách chọn mũ thứ hai, như vậy có 3.2 = 6 cách chọn lần
lượt 2 trong 3 mũ. Hai cách chọn (X, Đ) và (X, T) khác nhau vì có một mũ khác
nhau, còn 2 cách chọn (X, Đ) và (Đ, X) thì khác nhau vẻ thứ tự chọn.
Thí dụ 2
Một tổ có 10 người, chọn lần lượt 3 người đi làm việc, người thứ nhất là nhóm
trưởng, người thứ hai theo dõi các chỉ tiêu kinh tế, người thứ ba theo dõi các chỉ tiêu
kĩ thuật. Giả sử 10 người trong tổ có khả nãng làm việc như nhau thì có 10 cách
chọn nhóm trưởng, sau đó có 9 cách chọn người phụ trách chỉ tiêu kinh tế và cuối
cùng có 8 cách chọn người thứ ba. Gọi mỗi nhóm 3 người như vậy là một chỉnh hợp
chập 3 của 10 người có tất cả 10.9.8 = 720 chỉnh hợp chập 3 của 10 người.
Hai nhóm khác nhau nếu có ít nhất một thành viên khác nhau hoặc thành
viên của nhóm giống nhau nhưng thứ tự chọn khác nhau, do đó phân công công
việc trong nhóm khác nhau.
Thí dụ 3
Có 8 đội bóng chuyền vào chung kết. Có 3 đội sẽ được huy chươne: một
đội được huy chương vàng, một đội được huy chương bạc, một đội được huy
6

9. chương đồng. Nếu 8 đội thực lực như nhau thì có thể có bao nhiêu dự báo vế
danh sách bộ ba được huy chương? Ta lại lập luận như ở thí dụ 2, vì thực lực
như nhau nên có thể có 8 cách dự báo đội được huy chương vàng, sau đó còn 7
cách dự báo đội được huy chương bạc, cuối cùng có 6 cách dự báo đội được
huy chương đồng, như vậy tất cả có 8.7.6 = 336 chỉnh hợp chập 3 của 8 đội.
Hai dự báo khác nhau nếu trong danh sách 3 đội được huy chương có ít nhất
tên một đội khác nhau hoặc vẫn cùng tên 3 đội nhưng thứ tự khác nhau do đó
có sự thay đổi tên đội tương ứng với loại huy chương.
Tổng quát. Có n vật khác nhau lấy lần lượt ra k vật, mỗi nhóm k vật như
vậy được gọi là một chỉnh hợp chập k của n vật. Nếu vật nào cũng có khả năng
được chọn như nhau thì có n cách chọn vật thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ
hai......(n - k + 1) cách chọn vật thứ k. Tất cả có n(n - 1) ... (n - k + 1) chỉnh
hợp chập k của n vật. Hai chỉnh hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật khác
nhau hoặc vật như nhau nhưng thứ tự lấy ra khác nhau.
Định nghĩa. Một nhóm k vật lấy lần lượt trong sô' n vật khác nhau gọi là
một chỉnh liợp chập k của n vật. Số chỉnh hợp chập k của n vật, kí hiệu là A* ,
được tính theo công thức:
A„ = n(n n - k + 1) ■ l< k < n ) (1Ế
1)
§2. HOÁN VỊ
Thí dụ 4
Trong thí dụ 1 có 3 khách đến mua mũ, giả sử cô bán hàng lấy cả 3 mũ và
đưa lần lượt cho 3 khách, nếu khách thứ nhất nhận mũ xanh, khách thứ hai
nhận mũ đỏ, khách thứ ba nhận mũ tím thì ta có kết quả (X, Đ, T), nhưng có
thể cô bán hàng chọn mũ theo thứ tự khác nên kết quả là (Đ, X, T) hay (T, Đ, X),
... tất cả có 6 kết quả khác nhau.
Vì có 3 mũ lấy cả 3 nên hai kết quả chỉ khác về thứ tự đưa 3 mũ cho 3
khách hàng, chẳng khác nào để 3 mũ X, Đ, T bên cạnh nhau sau đó đổi chỗ
(hoán vị) các mũ, sau mỗi lần đổi chỗ được một kết quả khác, do đó mỗi kết
quả gọi là một hoán vị của 3 mũ. Nếu nói theo cách trình bày ở thí dụ 1.1 thì
mỗi hoán vị ở đây chính là một chỉnh hợp chập 3 của 3 mũ.
Thí dụ 5
Có 4 người bạn A, B, c, D đi xem văn nghệ và chọn 4 ghế ngồi cạnh nhau
7

10. nếu sắp A ngồi vào ghế 1, B ngồi ghế 2, c ngồi ghế 3, D ngồi ghế 4 thì có một
cách sắp xếp 4 người vào 4 chỗ. Nếu đổi chỗ 2 người thì được một cách săp xếp
mới, mỗi cách sắp xếp như vậy gọi là một hoán vị.
Nếu nhìn theo góc độ chỉnh hợp thì có 4 người lần lượt chọn cả 4 và thứ tự
chọn chính là số ghế, như vậy mỗi hoán vị chính là một chỉnh hợp chập 4 của 4
người, dùng công thức (1.1) có số hoán vị của 4 người là 4! = 4.3.2.1 = 24.
Thí dụ 6
Có 6 cụ ông sắp hàng ngang để tập thể dục buổi sáng, sau buổi tập đầy
phấn khích các cụ quyết định từ ngày hôm sau sẽ ra tập tiếp và mỗi ngày sẽ sắp
hàng theo một trật tự khác những lần tập trước. Hỏi sau bao nhiêu ngày các cụ
mới quay lại cách xếp hàng đầu tiên?
Coi mỗi cách sắp hàng là một cách sắp xếp 6 cụ vào 6 chỗ, tức là một hoán
vị của 6 cụ, cũng có thể coi đó là một chỉnh hợp chập 6 của 6 cụ, có thể tính
được tất cả có 6! = 720 cách xếp hàng. Như vậy phải 720 ngày sau, tức là gần 2
năm sau 6 cụ mới xếp hàng lại theo đúng cách sắp hàng đầu tiên.
Tổng quát. Có n vật khác nhau được sắp xếp vào n chỗ, có n cách chọn vật
thứ nhất để xếp vào chỗ thứ nhất, (n - 1) cách chọn vật thứ hai vào chỗ thứ hai,
, (n - k + 1) cách chọn vật thứ k để sắp vào chỗ thứ k... Mỗi cách sắp xếp
được gọi là một hoán vị của n vật.
Định nghĩa. Một nhóm il vật được sắp xếp vào n chỗ, mỗi cách sắp xếp
được gọi là một hoán vị. Mỗi hoán vị là một chỉnh hợp chập n của n vật.
Sô'hoán vị được tính theo công thức:
A¡¡ = n(n -1 ) ... 3.2.1 = nỉ (1.2)
§3. TỔ HỢP
Thí dụ 7
Trong thí dụ 1, cô bán hàng chọn 2 trong 3 mũ, có thể có 3 cách chọn: một
xanh một đỏ, một xanh một tím, một đỏ một tím. Gọi mỗi cách là một tổ hợp
chập 2 của 3 mũ. Sau khi chọn xong thì có 2 cách đưa cho hai khách tức là có 2
chỉnh hợp chập 2. Thí dụ chọn tổ hợp (X, Đ) thì có thể đưa mũ xanh cho khách
thứ nhất, đưa mũ đỏ cho khách thứ hai hay đổi chỗ (hoán vị) hai mũ, đưa mũ đỏ
cho khách thứ nhất đưa mũ xanh cho khách thứ hai. Như vậy ta có hệ thức:
3 (tổ hợp chập 2 của 3 mũ) X 2 (hoán vị của 2 mũ) = 6 (chỉnh hợp chập 2
của 3 mũ).
8

11. Thí dụ 8
Trong thí dụ 2 chọn một nhóm 3 người trong 10 tổ viên, gọi đó là một tổ
hợp chập 3 của 10 người. Sau khi chọn xong mới sắp xếp 3 người vào 3 công
việc: (nhóm trưởng, phụ trách chỉ tiêu kinh tế, phụ trách chỉ tiêu kĩ thuật), tất
cả có 3! = 6 cách sắp xếp. Mỗi cách sắp xếp là một hoán vị của 3 người và là
một chỉnh hợp chập 3 của 10 người, ta có hệ thức:
Số tổ hợp chập 3 của 10 người X3! hoán vị = Số chỉnh hợp chập 3 của 10 người.
Thí du 9
Trong thí dụ 3 người ta đưa ra một dự báo chung về 3 đội đoạt huy chương,
mỗi dự báo như vậy là một tổ hợp chập 3 của 8 đội. Sau khi có dự báo chung
như thế nếu ghi cụ thể đội nào trong 3 đội được huy chương vàng, đội nào được
huy chương bạc, đội nào được huy chương đồng thì được một dự báo cụ thể,
mỗi dự báo cụ thể là một chỉnh hợp chập 3 của 8 đội. Ta có hệ thức:
Số tổ hợp chập 3 của 8 đội X 3! hoán vị = Số chỉnh hợp chập 3 của 8 đội.
Tổng quát. Có n vật khác nhau, lấy ra một nhóm k vật, gọi một nhóm như
vậy là một tổ hợp chập k của n vật. Hai tổ hợp khác nhau nếu có ít nhất một vật
khác nhau, như vậy khác với chỉnh hợp ở đây ta không chú ý đến thứ tự của các
vật trong nhóm. Khi lấy k vật ta có thể lấy một lúc hoặc lấy lần lượt nhưng
không chú ý đến thứ tự của các vật được lấy ra.
Sau khi có một tổ hợp nếu đổi chỗ k vật thì được k! hoán vị khác nhau, mỗi
hoán vị là một chỉnh họp chập k, như vậy mỗi tổ hợp chập k có thể "sinh" ra k!
chỉnh hợp chập k.
Định nghĩa. Một nhóm k vật lấy ra từ n vật khác nhau gọi lờ một tổ hợp
chập k của n vật.
Sô'tổ hợp chập k của n vật kí hiệu là c„ được tính theo công thức:
* Ak
(1 <k <n) (1.3)
k!
§4. CHỈNH HỢP LẶP
Thí dụ 10
Một khoá chữ có 6 vòng, mỗi vòng ghi năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5. Chọn trên
mỗi vòng một chữ số ta được một số có sáu chữ số gọi là một mã khoá. Mỗi
vòng ta có 5 lựa chọn do đó có thê tạo được
9

12. 5 x 5 x 5 x 5 x 5 x 5 = 56= 15625 mã khoá.
(Cũng có thể ghi trên mỗi vòng năm chữ cái A, B, c, D, E) và mỗi mã khoá
sẽ là một chữ gồm năm chữ cái.
Thí dụ 11
Số máy điện thoại của một tỉnh gồm bảy chữ số. Mỗi chữ số được chọn
trong mười số 0, 1, ... , 9 như vậy có thể tạo ra
1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 x 1 0 = 107 số máy điện thoại.
Thí dụ 12
Vé xổ số có bốn chữ số, như vậy có tất cả 104vé xổ số có bốn chữ số.
Tổng quát. Có n vật khác nhau, lấy lần lượt k lần, mỗi lần lấy 1 vật, lấy
xong lại trả lại nên lần sau lại có thể lấy được vật đã lấy trong các lần trước,
mỗi nhóm k vật được gọi là một chỉnh hợp lặp chập k của n vật.
So với chỉnh hợp ở mục 1.1 thì chỉnh hợp lặp khác ở chỗ các vật trong
chỉnh hợp lặp có thể giống nhau, tức là có thể lặp lại.
Số chỉnh hợp lặp được tính theo cách lập luận: vật thứ nhất có n cách lấy,
vật thứ hai có n cách lấy, . . . , vật thứ k có n cách lấy, tổng cộng có n X n X . . . X
n = nk chỉnh hợp lặp.
Cũng có thể hiểu như sau: có n loại vật (năm sô' 1, 2, , 5 hoặc năm chữ
cái trên một vòng khoá, mười số 0, 1, , 9 tại một vị trí của chữ số trên máy
điện thoại hoặc trên vé xổ số).
Lấy k vật (k có thể lớn hơn n) có phân biệt thứ tự (6 vòng, bảy chữ số, bốn
chữ số), k vật có thể cùng loại hoặc khác loại, ta có một chỉnh hợp lặp chập k
của n vật.
Sô' chỉnh hợp lặp chập k của n vật được tính theo công thức:
% ầ= n k (1.4)
§5. NHỊ THỨC NIU-TƠN
Ở phổ thông đã học một số khai triển nhị thức:
Khai triển nhị thức (a + b)2= a2+ 2ab + b2
Khai triển nhị thức (a + b)3= a3+ 3a2b + 3ab2+ b3
10

13. Khai triển nhị thức (a + b)4= a4+ 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4.
Đối với nhị thức tổng quát (a + b)n ta có công thức sau:
/ » n n 1 n 1 1 /■'i2 n 2 ■2 k n k I k 1-k^ /1
(a + b) =a + c * a b + c ^ a b +...+ CỊỊa b + ề..+ b (1.3)
Để chứng minh công thức này ta lập luận:
Coi (a + b)n là tích của n thừa số (a + b), kết quả khi khai triển là tổng của
nhiều sô' hạng, mỗi số hạng là tích của n số, hoặc a hoặc b, lấy trong mỗi thừa
số (a + b), thí dụ an k bk được tạo thành bằng cách lấy số a trong (n - k) thừa
số (a + b), còn số b lấy trong k thừa số (a + b) còn lại.
Có cách chọn k thừa số trong n thừa số, do đó có c„ số an k bk, kết
quả có số hạng an kbk trong công thức (1.5).
Trước khi trình bày tiếp về nhị thức, chúng ta xem xét lại công thức tính tổ hợp.
Theo định nghĩa giai thừa thì n! = 1. 2 ... n với n > 1.
Nếu bổ sung 0! =1 thì có thể mở rộng công thức tính tổ hợp với 0 < k < n:
£k _ n (n -l)...(n -k + l) _ n (n -l)...(n -k + l)(n -k )...3 .2 .1
” k i ~ ~
k
~
! “ k ỉ(n -k )!
= ---------— -------- ( 1.6)
k !ịn -k )!
Có thể kiểm tra để thấy: c j j = c j = l ; C{J“ k =C „; c j +1 = c £ - 1 + c j.
Từ đó xây dựng tam giác Pascan để tra cứu cỊ^.
Tam giác Pascan
k
n
0 1 2 3 4 5 6 7 8
0 1
1 1 1
2 1 2 1
3 1 3 3 1
4 1 4 6 4 1
5 1 5 10 10 5 1
6 1 6 15 20 15 6 1
7 1 7 21 35 35 21 7 1
8 1 8 28 56 70 56 28 8 1
11

14. Tam giác Pascan còn được dùng để viết khai triển của nhị thức (a + b)
thành tổng của các số hạng, sô' hạng thứ k bằng hệ sô' lấy ớ hàng thứ n cột k
trong tam giác Pascan nhân với an kbk .
Thí dụ: (a + b)6= a6 + 6a5b + 15a4b2 + 20a3b3 + 15a2b4 + óab^ + b6.
Trở lại nhị thức (a + b)n, nếu đặt a = b = 1 thì có hệ thức:
2n = c ° + c 1 + + c k + + c n
T ' - J , -r . . . -r .
Nếu đặt a = 1, b = -1 thì có hệ thức:
0=c°n-cỊ, +...+(-i)kcỊị+...+(-ì)ncn
n
Nếu viết (a + b)2n = (a + b)n (a + b)n sau đó xét số hạng tổng quát có chứa
xncủa hai vế, ta có hệ thức:
C2n = (CỈ )2 + (CỊ, )2 +... + (CỊ; )2 +... + (CỊỊ )2.
Tổng quát hơn, nếu có ba số n, m, k với m < k < n, xét (1 + x)m+n =
(1 + x)m(l + x)n rồi so số hạng có chứa xk ở 2 vế, ta có hệ thức:
/->k p k ,/^1 p k - 1 . p 2 p k - 2 —
m
BÀI TẬP CHƯƠNG 1
l ếl. Có thể tạo ra bao nhiêu vectơ có gốc và đỉnh tại 2 trong 4 điểm đã cho?
1.2ề Giải các phương trình
a) A ị = 20 n; b) Á ị - aỊ, = 3; c) 3 + 42 = ị n .
1.3ề Có bao nhiêu số gồm ba chữ số khác nhau lấy từ năm chữ số 0, 2, 4. 6, 8?
1.4. Một lớp có 50 học viên, cần chọn ra lớp trưởng, lớp phó học tập và lớp
phó vật chất. Nếu ai cũng có khả năng được chọn vào các chức vụ trên
thì có bao nhiêu cách chọn?
1.5. Có thể lập được bao nhiêu số chẵn gồm năm chữ số khác nhau lấy từ sáu
chữ số 0, 1,2, 3, 4, 5.
1.6. Có 24 đội bóng tham gia thi đấu, hai đội phải đấu với nhau một lượt đi,
một lượt về. Ban tổ chức phải tổ chức bao nhiêu trận đấu?
12

15. l ễ7. Có 3 cụ ông, 2 cụ bà và 5 em bé ngồi quanh một bàn tròn. Hỏi có bao
nhiêu cách sắp xếp chỗ ngồi sao cho các cụ ông ngồi cạnh nhau, các cụ
bà ngồi cạnh nhau và các em bé cũng ngồi cạnh nhau?
1.8. Có 3 cặp vợ chồng đi xem văn nghệ và ngồi vào 6 ghế trên một hàng. Có
bao nhiêu cách sắp xếp sao cho vợ chồng luôn ngồi cạnh nhau?
1.9. Có 3 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 2 quyển sách Hoá và 5 quyển
sách Sinh.
a) Có bao nhiêu cách xếp 14 quyển sách lên giá sách?
b) Có bao nhiêu cách xếp sao cho sách cùng môn học ở cạnh nhau?
1.10. Có bao nhiêu số có năm chữ số lấy từ năm chữ số 1, 2, 3, 4, 5 trong đó
hai chữ số 1 và 2 không đứng cạnh nhau?
1.11. Trong mặt phẳng có n điểm trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng.
Hỏi có thể vẽ được bao nhiêu đường thẳng, mỗi đường thẳng đi qua 2
điểm trong số n điểm đã cho?
l ễ12. Cho đa giác lồi n đỉnh D], D2, ... , Dn. Có tất cả bao nhiêu đường chéo?
l ế13. Có 12 điểm nằm trên một đường tròn.
a) Hỏi có bao nhiêu tam giác nội tiếp đường tròn có đỉnh nằm trong số
các điểm đã cho?
b) Hỏi có bao nhiêu tứ giác nội tiếp đường tròn có đỉnh nằm trong số các
điểm đã cho?
1.14ề Một hộp đựng 6 bi trắng và 4 bi đen.
a) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi.
b) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có 2 bi trắng.
c) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó ít nhất có 2 bi trắng.
d) Có bao nhiêu cách lấy ra 5 bi trong đó có nhiều nhất 2 bi trắng.
1.15. Có 10 người gồm 7 nam và 3 nữ.
a) Có bao nhiêu cách chọn một uỷ ban gồm 3 người.
b) Có bao nhiêu cách chọn để trong uỷ ban nói trên có một nữ.
c) Có bao nhiêu cách chọn để trong uỷ ban nói trên có ít nhất một nữ.
13

16. CÁC KHÁI NIỆMCO BẢNVỀXÁC SUẤT
■
§1. PHÉP THỬ NGẪU NHIÊN
Trong nghiên cứu tự nhiên và xã hội ta phải theo dõi các hiện tượng, phải
cân, đong, đo, đếm, làm thí nghiệm ... những việc này, trong điều kiện cho
phép, phải lặp lại nhiều lần. Ta gọi chung các công việc này là phép thử. Khi
lặp lại phép thử ta thấy có phép thử luôn cho cùng một kết quả, thí dụ đun nước
ở điều kiện cao độ và áp suất binh thường thì đến 100°c nước sẽ sôi, trứng gà
trong đàn gà không có trống khi ấp sẽ không nở, hạt giống nếu xử lí ở nhiệt độ
quá cao hoặc nồng độ hoá chất quá cao sẽ không nẩy mầm, lai cây đậu hoa
vàng có cặp gen trội AA với cây đậu hoa trắng mang cặp gen lặn aa thì cây ở
thế hệ Fị có hoa vàng, ... , ta gọi đó là các kết quả tất yếu.
Ngoài loại phép thử cho kết quả tất yếu ra còn có rất nhiều phép thử khi lập
lại sẽ cho các kết quả khác nhau, số kết quả đó có thể hữu hạn, có thể vô hạn,
có thể lấy các giá trị rời rạc hay liên tục, thí dụ sinh con có thể trai hay gái, ấp
trứng có thể nở hoặc không, trồng 10 cây thì số cây sống có thể là 0, 1, ... , 10,
làm thí nghiệm có thể thành công hoặc thất bại, các phép thử có nhiều kết quả
như trên được gọi là phép thử ngẫu nhiên.
Để đơn giản chúng ta tập trung vào loại phép thử ngẫu nhiên và gọi vắn
tắt là phép thử, mỗi phép thử được thực hiện trong những điéu kiện nhất định,
gọi là điều kiện đầu, và chỉ xét loại phép thử có thể lặp lại nhiều lần (về lí
thuyết có thể lặp lại vô số lần) với cùng điểu kiện đầu. Kết quả của phép thử
gọi là sự kiện sơ cấp hay biến cố sơ cấp (biến cố cơ bản) và kí hiệu là ej, e2, ...
Nếu biết hết các sự kiện sơ cấp thì có tập hợp Q(ej, e2, ...), gọi là tập hợp các
sự kiện sơ cấp.
Một nhóm (tập hợp con của Q) các sự kiện sơ cấp gọi là một sự kiện (biến
cố). Sự kiện được kí hiệu bằng các chữ A, B, c, ... và nếu tìm được nét chung
của các sự kiện sơ cấp thuộc (hay họp thành) một sự kiện nào đó thì có thể đặt
tên đầy đủ cho sự kiện đó.
14

17. Thí dụ. Gieo một con xúc xắc, sự kiện sơ cấp là ra mặt 1, 2, 3, 4, 5, 6. Sự
kiện ra mặt chẵn A bao gồm ba sự kiện sơ cấp (2, 4, 6), sự kiện ra mặt lẻ B bao
gồm ba sự kiện sơ cấp (1,3, 5).
Nếu gieo hai con xúc xắc thì các sự kiện sơ cấp là 36 cặp số (1, 2),
(l,3 ),..ế,(6,6).
Sự kiện "Có mặt 6" bao gồm 11 sự kiện sơ cấp: (1, 6), (2, 6), ... , (6, 1),
(6, 6).
Sự kiện "Tổng số điểm trên hai con xúc xắc là 10" gồm ba sự kiện sơ cấp
(4, 6), (5, 5), (6, 4)ễ
Sự kiện "Điểm trên hai con xúc xắc bằng nhau” bao gồm 6 sự kiện sơ cấp
(1, 1), (2, 2), (3, 3), (4,4), (5,5), (6, 6).
Chúng ta tóm tắt sơ đồ theo dõi một phép thử:
Cho điều kiện đầu, tiên hành một phép thủ ta được một kết quả, gọi kết quả đó
lả một sự kiện sơ cấp. Lặp lại (tiến hành lại phép thử trong cùng diều kiện đầu như
.phép thử trước) ta được sự kiện sơ cấp có thể giống sự kiện sơ cấp cũ hoặc khác.
Tập hợp tất cả các sự kiện sơ cấp được gọi là không gian các sự kiện sơ cấp Í1
Một tập hợp con của ũ được gọi là một sự kiện, như vậy mỗi sự kiện bao gồm
một sô'sự kiện sơ cấp.
Có hai sự kiện đặc biệt: sụ kiện tứ yếu là tập hợp Q và sự kiện không thể (hay
bất khả) là tập rỗng 0 , tức là tập hợp không bao gồm một sự kiện sơ cấp nào.
§2. XÁC SUẤT
Theo dõi nhiều lần một phép thử và các sự kiện liên quan đến phép thử ta
thấy có sự kiện hay xuất hiện, hay xảy ra, có sự kiện ít xuất hiện, ít xảy ra, sự
kiện tất yếu luôn xảy ra còn sự kiện không thể không bao giờ xảy ra.
Thí dụ gieo một con xúc xắc, sự kiện ra mặt chẵn và sự kiện ra mặt lẻ có
mức độ xuất hiện như nhau, sự kiện "ra số chia được cho 3" ít xuất hiện hơn, sự
kiện ra mặt 6 lại còn ít xuất hiện hơn nữa. Sự kiện "ra một sô' ít hơn 7" là sự
kiện tất yếu, còn sự kiện "Ra một số lớn hơn 6" là sự kiện không thể.
Như vậy trong một phép thử mỗi sự kiện có một mức độ (hay khả năng)
xuất hiện mà chúng ta muốn đánh giá (hay đo) bằng một con số.
15

18. Nếu đối với sự kiện A ta tìm được con số đánh giá mức độ xuất hiện thì sẽ
gọi số đó là xác suất của sự kiện A và kí hiệu là p(A). Để thống nhất thang
điểm đánh giá chúng, ta chọn xác suất là một số nằm giữa 0 và 1.
Thí dụ gieo xúc xắc, nếu con xúc xắc là một hình lập phương cân đối và
làm bằng chất liệu đồng đều thì xác suất ra mặt chẵn bằng xác suất ra mặt lẻ và
bằng—, còn xác suất "ra môt số chia hết cho 3" là—, xác suất "ra mặt 6" là—,
2 3 6
xác suất của sự kiện tất yếu là 1 còn xác suất của sự kiện không thể là 0.
Khi điểu kiện đầu thay đổi thì xác suất có thể thay đổi, thí dụ con xúc xắc
không cân đối hoặc chất liệu không đồng đều, chỗ nặng, chỗ nhẹ thì các xác
suất nói trên không còn đúng nữa.
Như vậy với điều kiện đầu cụ thể, khi tiến hành phép thử mỗi sự kiện có
một mức độ hay khả năng xuất hiện và sô' đo (hay đánh giá) khả năng xuất
hiện dó được gọi là xác suất của sự kiện. Xác suất của sự kiện A, kí hiệu
p(A), được chọn sao cho:
0 < P ( A ) < 1 (2.1)
§3. CÁCH TÍNH XÁC SUÂT
Có rất nhiều cách tính xác suất, có cách tính chặt chẽ theo hệ tiên đề giúp
xây dựng xác suất thành một ngành toán học với lí thuyết và ứng dụng phong
phú, có cách tính trực quan hơn và dựa vào các môn học khác như tính xác suất
theo Cơ học, theo Hình học, theo Đại số, ... Trong sách này chúng ta dùng hai
cách tính xác suất: cách tính thống kê và cách tính đồng khả năng.
3.1. Cách tính thông kê
Xác định điều kiện đầu xong ta lặp lại phép thử nhiểu lần, càng nhiều càng
tốt, ghi lại số lần thử n và số lần có sự kiện A, gọi là tần số n(A).
Tần suất của sự kiện A, kí hiệu là f(A) được tính theo công thức
f(A) =níAl (2.2)
n
Tần suất không phải là xác suất nhưng nếu không có cách nào khác để tính
xác suất thì lấy tần suất f(A) làm xác suất p(A).
16

19. Nếu có điều kiện làm hàng loạt phép thử và tính tần suất của sự kiện A trong
các loạt đó, người ta thấy tần suất khá ổn định (khác nhau rất ít) và thường dao
động quanh một sô' xác định. Khi số phép thử tăng lên (và khá lớn) thì biên độ
(sai khác giữa tần suất và số nói trên) có khuynh hướng nhỏ dần và càng ngày
càng ít xuất hiện các biên độ lớn. Số xác định nói trên được lấy làm xác suất.
Cách tính thống kê đơn giản, cho kết quả dễ hiểu, dễ giải thích, phù hợp
với thực tế nhưng không chính xác và không thể dùng để tính xác suất trong
những trường hợp phức tạp hoặc các trường hợp không thể trực tiếp lặp lại
phép thử.
Trong thực tế, khi xem xét một số lượng lớn sản phẩm, chúng ta thường
dùng phần trăm (%), thí dụ số học sinh thi đỗ là 90%, số sản phẩm đạt tiêu
chuẩn là 75%, số người bị bệnh trong một đợt dịch là 30%... Theo cách tính
thống kê có thể đổi % sang xác suất như sau: nếu số đạt tiêu chuẩn là p% thì khi
p
chọn ngẫu nhiên một sản phẩm xác suất để sản phẩm đó đạt tiêu chuẩn là ——.
Cách tính thống kê đã được dùng từ xa xưa để tính xác suất sinh con trai,
con gái, xác suất xuất hiện các hiện tượng lạ trong tự nhiên như lũ lụt, sóng
thần, nhật thực, nguyệt thực, ...
Thí dụ 1
Để tính xác suất ra mặt sấp khi gieo một đồng tiền, ta có các kết quả sau,
dao động quanh 0,5
Người thực hiện Số lần gieo Số lần ra mặt sấp Tẩn suất
Buýt phông 4040 2048 0,5080
Piếc sơn 12000 6019 0,5016
Piếc sơn 24000 12012 0,5005
Thí dụ 2
Ở Trung Quốc, từ năm 228 trước Công nguyên, đã tìm thấy tần suất sinh
con trai là —. Laplaxơ theo dõi các thành phố Luân Đôn, Pê-téc-bua và Bec-lin
22
và công bố tần suất sinh con trai là — . Cramơ cho tần suất sinh con trai ở
43
Thuy Điển là 0,508. Ở Việt Nam năm 1961 tần suất sinh con trai là 0,51.
17

20. 3Ễ
2. Cách tính cổ điển hay cách tính đồng khả năng
Tiến hành một phép thử và giả sử n kết quả (sự kiện sơ cấp) của phép thử
có khả năng xuất hiện như nhau, gọi đó là phép thử có n kết quả đồng khả
năng. Khi đó người ta lấy xác suất của mỗi kết quả là —.
n
Từ chấp nhận này có thể tính được xác suất p(A) của một sự kiện bất kì A
như sau:
Nếu sự kiện A bao gồm (hay được tạo nên) bởi n(A) sự kiện sơ cấp thì:
P(A) = ^ (2.3)
n
Cách tính đồng khả năng đơn giản, cho kết quả dễ hiểu, dễ giải thích, phù
hợp với thực tế, nhưng không chặt chẽ và không thể dùng để tính xác suất trong
những trường hợp phức tạp, hoặc các trường hợp không thể chấp nhận giả thiết
đồng khả năng. Trong nhiều thí dụ, ở các phần sau chúng ta tính xác suất theo
cách đồng khả năng và trong các bài tập cũng có rất nhiều bài tính xác suất
theo cách đồng khả năng.
Thí dụ 3
Gieo một đồng tiền có thể coi hai kết quả sấp (S), ngửa (N), là 2 sự kiện sơ
cấp đồng khả năng, mỗi sự kiện có xác suất —. Nếu gieo một lúc hai đồng tiền
thì có thể coi 4 kết quả sau là đồng khả năng: (S, S), (S, N), (N, S), (N, N), mỗi
sự kiện sơ cấp có xác suất —. Nếu gọi A là sự kiện "Hai đồng tiền cùng mặt"
2 1
thì xác suất p(A) = — = - vì A gồm 2 sự kiện sơ cấp (S, S) và (N, N).
Thí dụ 4
Lai một cây đậu hoa vàng mang cặp gen trội AA với một cây đậu hoa trắng
mang cặp gen lặn aa. Các cây đậu ở thế hệ Fị có hoa màu vàng mang cặp gen
Aa. Đem lai hai cây đậu thế hệ Fị thì ở thế hệ F2 các cây đậu mang một trong 4
kiểu gen: AA, Aa, aA, aa (gen đầu của bố, gen sau của mẹ), có thể coi 4 kiểu
gen đồng khả năng, vậy mỗi kiểu gen có xác suất—. Kiểu hình hoa vàng bao
18

21. gồm 3 kiểu gen AA, Aa, aA, do đó xác suất để cây đậu ở thế hệ F2 có hoa vàng
4
Thí dụ 5
Vé xổ sô' có bốn chữ số, khi quay số trúng thưởng có 1 vé trúng giải nhất.
Tính xác suất để mua 1 vé thì vé đó sẽ trúng giải nhất. Có tất cả 104 = 10000 vé
bôn chữ số, có thể coi đó là 10000 kết quả đồng khả năng khi quay số trúng
thưởng. Như vậy mỗi vé có xác suất trúng giải nhất như nhau và bằng -Ậ— .
10000
Tính xác suất để vé trúng giải nhất là vé có bốn chữ sô' khác nhau. Trong
10000 vé có A^o = 10. 9 . 8 . 7 = 5040 vé có bốn chữ sô' khác nhau (vé xổ số
có thể bắt đầu bằng số 0) như vậy xác suất để vé trúng giải nhất có bốn chữ số
khác nhau là = 0,504.
10000
*
§4. QUY TẮC CỘNG VÀ NHÂN XÁC SUÂT
Sau khi tính xác suất của các sự kiện tương đối đơn giản, chúng ta xem xét các sự
kiện phức tạp hon. Để làm được việc này, ta xét một số phép tính trên các sự kiện.
Gọi A và B là hai sự kiện xác định trên tập hợp các sự kiện sơ cấp Q
(C|, e2, ... , en).
Hội của hai sụ kiện A và B kí hiệu A n B là sự kiện bao gồm các sự kiện
SO
' cấp vừa của sự kiện A, vừa của sự kiện B. (Hội A n B còn được gọi là sự
kiện "A và B" hoặc giao của A và B).
Khi tiến hành phép thử nếu kết quả là một trong các sự kiện sơ cấp nói trên
thì cả A cả B đều xảy ra (xuất hiện). Như vậy hội của hai sự kiện A, B là sự
kiện "cả A và B đều xảy ra".
Thí dụ 6
Gieo một xúc xắc, sự kiện A"ra số chẵn" và sự kiện B "ra một số chia được
cho 3" có hội là sự kiện sơ cấp " ra mặt 6 ", nói cách khác nếu kết quả vừa là số
chẵn (có sự kiện A) vừa là số chia được cho 3 (có sự kiện B) thì hội AnB là sự
kiện "ra mặt 6".
19

22. Thí dụ 7
Gọi A là sự kiện người đại diện của tổ là người được xếp loại giỏi vé học
tập, B lằ sự kiện người đại diện của tổ là người biết chơi bóng chuyển thì A n B
là sự kiện người đại diện của tổ là người vừa học giỏi vừa biết chơi bóng
chuyềnỂ
Sự kiện đối lập của sự kiện A, kí hiệu à , là sự kiện bao gồm các sụ kiện
sơ cấp trong Í2 nhưng không thuộc A.
Thí dụ 8
Gieo một xúc xắc nếu gọi A là sự kiện "ra mặt chẵn" thì sự kiện đối lập Ã
là sự kiện "ra mặt lẻ".
Thí dụ 9
Khi thi thì sự kiện A "thi đỗ" có sự kiện đối lập A là "thi trượt".
Hai sự kiện A và B xung khắc nếu hội của chúng rỗng A n B = 0
Khi tiến hành phép thử hai sự kiện xung khắc không có sự kiện sơ cấp
chung nào nên không thể xuất hiện đồng thời.
Thí dụ 10
Sự kiện A "ra mặt chẵn" và sự kiện c "ra mặt lẻ" là 2 sự kiện xung khắc khi
gieo xúc xắc.
Thí dụ 11
Sự kiện A" ra mặt chẵn " và sự kiện B "ra một số chia được cho 3" không
xung khắc.
Thí dụ 12
Nếu trong hộp có 3 loại bi màu trắng, màu xanh, màu đỏ thì sự kiện rút
được bi xanh và sự kiện rút được bi đỏ là 2 sự kiện xung khắc nhưng khổng
đối lập.
Thí dụ 13
Khi thi thì sự kiện A "đạt điểm giỏi" và sự kiện B " đạt điểm khá" là hai sự
kiện xung khắc, nhưng không đối lập, vỉ còn nhiểu điểm khác.
Sự kiện A và sự kiện c "trên trung bình" không xung khắc.
Qua các thí dụ trên ta thấy đối lập là trường hợp riêng của xung khắc. Đối
lập thì xung khắc nhưng xung khắc chưa chắc đã đối lập.
20

23. Hợp của hai sự kiện A ỉ>à B, kí hiệu A u B , là sụ kiện bao gồm tất cả các
sự kiện sơ cấp của sự kiện A và sự kiện B.
Khi tiến hành phép thử thì sự kiện AuB xuất hiện khi có ít nhất một trong
hai sự kiện A và B xuất hiện.
Nếu phân tích kĩ có thể thấy có ba trường hợp: A xuất hiện nhưng B không
xuất hiện (A n B), B xuất hiện nhưng A không xuất hiện (A n B), cả A và B
đéu xuất hiện (A n B).
Hợp A u B còn được gọi là sự kiện "A hoặc B”.
Thí dụ 14
Khi gieo xúc xắc nếu gọi A là sự kiện "ra mặt chẩn ", B là sự kiện "ra một
số chia hết cho 3" thì sự kiện AuB gồm bốn sự kiện sơ cấp (2, 3, 4, 6).
Thí dụ 15
Trong thí dụ 12, khi rút bi trong hộp nếu gọi A là sự kiện rút được bi trắng
thì sự kiện đối lập A là sự kiện rút được bi xanh hoặc bi đỏ A = B u c.
Quy tắc cộng đơn giản
Ta thừa nhận quy tác cộng đơn giản sau đây:
Thực vậy, A u A = fì; p (A u A ) = p(A) + p( A ) = p(Q) = 1
P(Ã ) = 1 - p(A).
Thí dụ 16
Trong hộp có 3 bi trắng, 4 bi xanh và 5 bi đỏ, gọi A là sự kiện rút được bi
trắng, B là sự kiện rút được bi xanh, c là sự kiện rút được bi đỏ, A là sự kiện
"bi rút ra không phải bi trắng", B u c là sự kiện "rút được bi xanh hoặc bi đỏ"
p(A u B) = p(A) + p(B) nếu A và B xung khắc
Hệ quả: Gọi A là sự kiện đối lập của sự kiện A, ta có:
p(Ã ) = 1 - p(A)
(2.4)
(2.5)
21

24. - 9
Vì A = B u C nên suy ra p(B u C) = —
-
Cũng có thể tính theo quy tắc cộng đơn giản:
p(B u C ) = p(B) + p(C) = — + — = — .
12 12 12
Thí dụ 17
Trong kì thi quy định "điểm giỏi" là điểm trên 8 (không cho điểm lẻ). Một
học sinh vào thi, A là sự kiện "đạt điểm 10", B là sự kiện "đạt điểm 9". Giả sử
với em đó xác suất p(A) = 0,3, p(B) = 0,4.
Gọi c là sự kiện "đạt điểm giỏi", c là hợp của A và B
p(C) = p(Au B) = p(A) + p(B) = 0,3 + 0,4 = 0,7.
Thí dụ 18
70% sản phẩm của xí nghiệp thuộc loại I, 20% thuộc loại II, số còn lại
thuộc loại III.
Khi kiểm tra để xuất khẩu thì chỉ chấp nhận sản phẩm loại I hoặc II.
Gọi A là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm thuộc loại I.
B là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm thuộc loại II.
c là sự kiện khi kiểm tra thì sản phẩm được chấp nhận cho xuất khẩu.
p(C) = p(Au B) = 0,7 + 0,2 = 0,9
Xác suất có điều kiện
Xét một phép thử được tiến hành trong một điều kiện đầu nào đó và hai sự
kiện A, B.
Xác suất có điểu kiện p(B/A) là xác suất của B khi đã xảy ra sự kiện A.
Có thể coi như B được tính khi phép thử được tiến hành trong điéu kiện đầu
mới gồm điều kiện đầu cũ cộng thêm sự xuất hiện (có mặt) sự kiện A.
Thí dụ 19
3 4
Lấy lại thí dụ 16 p(A) = — ; p(B) = — . Nếu bây giờ biết bi lấy ra không
- _ 4 -
phải bi trắng (sự kiện A ) thì p(B / A ) = — trong thí dụ này p(B/A ) * p(B).
22

25. Thí dụ 20
Gọi A là sự kiện rút được con pich, B là sự kiện rút được con át trong cỗ
bài tu lơ khơ 52 quân với 4 loại: cơ, rô, nhép, pích.
/ A 4 - 1
p(A) = — ; p(B) =— = — .
52 52 13
Nếu biết con bài rút ra là con pích (sự kiện A) thì xác suất rút được con át
p(B/A)
Trong thí dụ này p(B) = p(B / A).
Thí dụ 21
Lấy lại thí dụ 4 về cây đậu ở thế hệ F2. Gọi B là sự kiện đậu hoa vàng
p<
b> 4 ........................................ .
Nếu gọi A là sự kiện cây đó mang 1 gen trội A, một gen lặn a (kiểu dị hợp
tử) thì p(B/A) = —.
Quy tắc nhàn xác suất
Nếu A và B là hai sự kiện trong một phép thử ta thừa nhận quy tác nhân sau:
p(A nB ) = p(A). p(B/A) = p(B ). p(A/B) (2.6)
Thí dụ 22
Trong hộp có 10 phiếu, 2 phiếu ghi "trúng thưởng". Một người rút lần lượt
2 phiếu, tính xác suất để cả 2 phiếu đều trúng thưởng. Gọi A là sự kiện phiếu
đầu trúng thưởng, B là sự kiện phiếu thứ hai trúng thưởng, c là sự kiện 2 phiếu
đều trúng thưởng. Có thể tính như sau:
Khi rút phiếu đầu có 10 phiếu trong đó có 2 phiếu trúng
Khi đã xảy ra A thì còn lại 9 phiếu trong đó có 1 phiếu trúng do đó
p(B/A) = —. Từ đó suy ra:
23

26. p(C) = p(AnB) = — x - = — ề
10 9 45
Thí dụ 23
Sản phẩm trước khi xuất khẩu phải qua hai lần kiểm tra, bình quân 80% sản
phẩm làm ra qua được lần kiểm tra I, 90% sản phẩm qua kiểm tra I và qua được
kiểm tra II. Gọi A là sự kiện qua được kiểm tra I, B là sự kiện qua được kiểm
tra II, c là sự kiện đạt tiêu chuẩn xuất khẩu.
P(A) = 0,8; p(B/ A) = 0,9.
P(C) = p(A ). p(B/A) = 0,8 ằ0,9 = 0,72.
Sự kiện độc lập
Nếu sự kiện B có xác suất có điều kiện p(B/ A) bằng xác suất p(B) thì B
được gọi là sự kiện không phụ thuộc sụ kiện A.
Có thể chứng minh ngay nếu B không phụ thuộc A thì A không phụ thuộc B.
Thực vậy theo quy tắc nhân tổng quát:
P(AnB) = p(A). p(B/ A) = p(B).p(A/B)
Nếu p(B/A) = p(B) thì thay vào hệ thức trên suy ra p(A/B) = p(A), tức là A
không phụ thuộc B. Qua chứng minh này chúng ta thấy tính phụ thuộc là tương
hỗ nên sẽ thay thuật ngữ "không phụ thuộc" bằng thuật ngữ "độc lập".
Hai sự kiện A, B trong cùng một phép thử gọi là độc lập khi pịAIB) = p(A)
(hoặc p(B/A) = p(B)).
Nếu A và B độc lập thì có thể chứng minh A và B độc lập, A và B độc
lập, A và B độc lập.
Trong thực tế nếu hai sự kiện A và B trong cùng một phép thử không ảnh
hưởng đến nhau thì thường thừa nhận tính độc lập.
Quy tắc nhăn đơn giản
Nếu A và B độc lập thì từ quy tắc nhân (2.6) suy ra quy tắc nhãn dơn
giản sau:
p(AnB ) = p(A)p(B) (2.7)
Thí dụ 24
Hai người đi bắn, xác suất để người thứ nhất bắn trúng đích là p(A) = 0,7,
xác suất để người thứ hai bắn trúng đích là p(B) = 0,8.

27. Xác suất để cả hai người bắn trúng
p(AnB ) = 0,7 . 0,8 = 0,56.
Thí dụ 25
Sản phẩm mới làm ra phải gửi đi kiểm nghiệm ở hai phòng thí nghiệm độc
lập. Nếu cả hai phòng chấp nhận thì sản phẩm được sản xuất đại trà.
Xác suất để sản phẩm được phòng thí nghiệm A chấp nhận là 0,8. Xác suất
để được phòng thí nghiệm B chấp nhận là 0,9. Vậy xác suất để sản phẩm được
đem ra sản xuất đại trà là 0,8 . 0,9 = 0,72.
Quy tắc cộng tổng quát
Nếu A và B là hai sự kiện trong một phép thử thì có thể chứng minh quy
tắc cộng tổng quát sau:
p(A u B ) = p(A) + p(B) - p(AnB) (2.8)
Nếu A và B xung khắc thì p(AnB) = 0 nên (2.8) trùng với quy tắc cộng đơn
giản (2.4).
Thí dụ 26
Trong thí dụ 24 nếu gọi c là sự kiện đích bị bắn trúng thì c = A u B
P(C) = p(Au B) = 0,7 + 0,8 - 0,56 = 0,94.
Có thể tính cách khác:
p(C) = p(An B ) + p( A n B) + p(A n B)
P(C) = 0,7 . 0,2 + 0,3 . 0,8 + 0,7 . 0,8 = 0,14 + 0,24 + 0,56 = 0,94.
Thí dụ 27
Trong thí dụ 25, gọi c là sự kiện "có phòng thí nghiệm chấp nhận sản
phẩm mới"
c = A uB
p(C) = 0,8 + 0,9 - 0,8.0,9 = 0,98
Có thể lập luận như sau: c là sự kiện đối lập củá sự kiện "cả hai phòng thí
nghiệm đều không chấp nhận sản phẩm mới":
p(C) = 1- p(Ã n B) = 1 - 0,2 X0,1 = 0,98
25

28. §5. HỆ Sự KIỆN ĐẦY ĐỦ VÀ XÁC SUÂT TOÀN PHẨN
Cho một hệ các sự kiện A], A2, ... , An trong một phép thử. Nếu hệ thoả
mãn hai điều kiện:
a) Từng đôi xung khắc, tức là Aj n Aj = 0 với i * j (i, j = 1,n )
b) Hợp của tất cả các sự kiện là sự kiện tất yếu, tức là A! u A2 u ... u An = Q
thì được gọi là hệ đầy đủ hay hệ toàn phần.
Có thể trình bày lại hai điều kiộn trên dưới dạng: Có một và chỉ một trong
các sự kiện Aj xảy ra khi tiến hành phép thử. (Có một là điều kiện b/, còn chì
có một là điều kiện a/).
Khi có một hệ sự kiện đầy đủ thì có thể tính xác suất của một sự kiện bất kì
B trong phép thử đó theo công thức:
p(B) = píA^pCB/Aj) + p(A2)p(B/A2) + ... + p(An)p(B/An) (2.9)
p(B)= £p(A ¡)p(B /A ¡)
i=l
Thí dụ 28
Cửa hàng nhận trứng của 3 cơ sở nuôi gà theo tỉ lệ: 25%, 35% và 40%. Nếu
tỉ lệ trứng hỏng của 3 cơ sở là 5%, 4% và 2% thì xác suất để một quả trứng
mua tại cửa hàng bị hỏng là bao nhiêu?
Khi mua một quả trứng của cửa hàng thì có một và chỉ một trong 3 sự kiện
xảy ra: sự kiện Aị "trứng của cơ sở I ", sự kiện A2 "trứng của cơ sở II", sự
kiện A3 "trứng của cơ sở III". Xác suất của ba sự kiện trên lần lượt là: 0,25;
0,35; 0,40.
Gọi B là sự kiện trứng mua ở cửa hàng bị hỏng. Xác suất trứng hỏng tại ba
cơ sở lần lượt là p(B/Aj) = 0,05; p(B/A2) = 0,04; p(B/A3) = 0,02
p(B) = 0,25 . 0,05 + 0,35 . 0,04 + 0,40 . 0,02 = 0,0345.
Thí dụ 29
Có 2 hộp bên ngoài giống nhau, hộp thứ nhất đựng 1 sản phẩm hỏng và 9
'sản phẩm tốt, hộp thứ hai chứa 2 sản phẩm hỏng và 8 sản phẩm tốt. Lấy ngẫu
26

29. nhiên một hộp, sau đó lấy ngẫu nhiên một sản phẩm. Tính xậc suất để được sản
phẩm tốt.
Gọi A| là sự kiện lấy được hộp thứ nhất, A2 là sự kiện lấy được hộp thứ hai,
vì chọn ngẫu nhiên nên p(A]) = —; p(A2) = —. Gọi B là sự kiện "sản phẩm tốt"
ta có:
1 9 1 8 _ 17
p(B) = —.— + 4-.—
- = — = 0,85ỗ
2 10 2 10 20
Thí dụ 30
Đem một cây đậu hoa trắng mang cặp gen lặn aa lai với một cây đậu hoa
vàng ở thế hệ F2 trong thí dụ 4. Gọi A[ là sự kiện cây đậu hoa vàng ở thế hộ F2
mang cặp gen trội, A2 là sự kiện cây đậu hoa vàng mang cặp gen Aa. A] và A2
1 2
là một hệ đầy đủ với xác suất 7 và -
3 3
Gọi B là sự kiện sau khi lai được cây đậu hoa vàng.
P(B /A ,)= 1 P(B/A2) = ị
- 1 , 2 1 2
p(B) = -.1 +— —
3 3 2 3
§6. CÔNG THỨC BAYES
Cho một hệ sự kiện đầy đủ Aị, A2, An. Xác suất của sự kiện B tính theo
công thức (2.9).
Viết lại công thức nhân tổng quát
p(A£nB) = p(Aj) . p(B/A¡) = p(B) . p(Aj/B)
chia 2 bên cho p(B) được:
p(A| / B) = P<Ai)-P ^/A i) ( i = ĩ ^ ) (2ể10)
P(d )
27

30. Công thức (2.10) có tên là công thức Bayes, công thức này cho phép tính
p(Aj/ B), gọi là xác sưất hậu nghiệm, còn xác suất p(Aị) được gọi là xác suất
tiên nghiệm.
Trong thí dụ 28
_/* , „ , 0 , 2 5 . 0 , 0 5
p(A, / B) = ----- = 0,3623.
0,0345
Có thể hiểu xác suất hậu nghiệm p(Aj /B) như sau: Vào cửa hàng mua một
quả trứng, xác suất mua phải quả trứng hỏng bằng 0,0345, nói cách khác số
trứng hỏng của cửa hàng là 3,45%. Bây giờ nếu quả trứng ta mua đúng là quả
trứng hỏng thì xác suất để quả đó là quả trứng nhập của cơ sở I bằng 0,3623.
I A
Trong thí dụ 29 P(A2 /B) = = — a 0,47.
20
Có thể hiểu xác suất hậu nghiệm p(A2 / B) như sau: Lấy ngẫu nhiên một
hộp, sau đó từ hộp đó lấy ngẫu nhiên ra một sản phẩm và được sản phẩm tốt,
thế thì xác suất để hộp mà ta lấy ra là hộp thứ hai bằng
Trong thí dụ 30 có thể hiểu p(A2/ B) như sau: Sau khi lai ta được cây hoa vàng,
thế thì xác suất để cây đậu ở thế hệ F2mà ta đem lai là cây mang gen Aa bằng:
2 1
_
3 2 _ 1
2 2 Ẽ
3
BÀI TẬP CHƯƠNG 2
2.1. Có 10 vé đánh số từ 1 đến 10. Rút ngẫu nhiên 6 vé, tính xác suất để
trong đó:
a) Có vé số 1;
b) Có vé số 1 và số 2.
2.2ế Số điện thoại ở một vùng có 5 chữ số, quay ngẫu nhiên một số, tính xác
suất để:
28

31. a) Được số có 5 chữ số khác nhau;
b) Số mà các chữ số đều lẻ.
2.3. Có 20 câu hỏi thi, mỗi học sinh chọn một đé gồm 3 câu. Học sinh chỉ
học 12 câu, tính xác suất để ít nhất làm được một câu.
2.4ẵ Trong bình có 2 bi trắng, 4 bi đen. Lấy lần lượt các bi ra khỏi bình. Tính
xác suất để bi cuối cùng là bi đen.
2.5ế Có 2 hộp, hộp thứ nhất đựng 3 bi trắng, 7 bi đỏ, 15 bi xanh, hộp thứ hai
đựng 10 bi trắng, 6 bi đỏ, 9 bi xanh. Từ mỗi hộp ta lấy ngẫu nhiên ra một
bi, tính xác suất để được hai bi cùng màu.
2.6. Trong một vùng tỉ lệ người mắc bệnh tim là 9%, mắc bệnh huyết áp là
12%, mắc cả hai bệnh là 7%. Gặp ngẫu nhiên một người trong vùng, tính
xác suất để người đó không mắc cả hai bệnh nói trên.
2.7. Một lớp học có 30 học sinh trong đó có 4 giỏi, 8 khá và 10 trung bình số
còn lại loại yếu. Chọn ngẫu nhiên 3 học sinh, tính xác suất:
a) Cả 3 đều yếu;
b) Có ít nhất một học sinh giỏi;
c) Có đúng một học sinh khá.
2.8. Một lô hàng có 6 chính phẩm và 4 phế phẩm được chia thành hai phần
bằng nhau. Tính xác suất để mỗi phần đều có số chính phẩm như nhau.
2.9ẵ Hộp có 10 sản phẩm trong đó có 2 phế phẩm. Lấy ngẫu nhiên 2 sản
phẩm, tính xác suất để cả hai đều là phế phẩm trong 3 trường hợp:
a) Lấy lần lượt hai sản phẩm;
b) Lấy một lúc hai sản phẩm;
c) Lấy có hoàn lại (tức là lấy sản phẩm thứ nhất ra xem sau đó hoàn lại,
trộn đểu, rồi mới lấy sản phẩm thứ hai).
*2.10. Phải gieo hai đồng tiền bao nhiêu lần để sự kiện "ít nhất một lần ra hai
mặt sấp" có xác suất không nhỏ hơn 0,99.
2ềl l . Có 18 xạ thủ trong đó có 5 người bắn trúng đích với xác suất 0,8 (giỏi), 7
người bắn trúng với xác suất 0,7 (khá), 4 người bắn trúng với xác suất
0,6 (trung bình), 2 ngưòi bắn trúng với xác suất 0,5 (đạt). Chọn ngẫu
nhiên một người vào bắn.
29

32. a) Tính xác suất để người đó bắn trượt.
* b) Nếu người đó bắn trượt thì người đó thuộc nhóm nào?
2.12. Hai máy cùng sản xuất 1 loại sản phẩm, tỉ lộ phế phẩm của máy I là 0,03,
2 1
của máy II là 0,02. Kho chứa — sản phẩm của máy I, -7 sản phẩm của
3 3
máy II. Lấy ngẫu nhiên một sản phẩm.
a) Tính xác suất để được sản phẩm tốt.
b) Nếu được sản phẩm tốt thì sản phẩm đó là của máy nào?
2.13ễ Tỉ lộ người nghiện thuốc lá ở một vùng là 30%. Biết tỉ lộ viêm họng
trong số người nghiện thuốc lá là 60% còn trong người khống nghiện là
40%. Gặp ngẫu nhiên một người.
a) Tính xác suất để đó là người viêm họng.
* b) Nếu người đó viêm họng thì tính xác suất để đó là người nghiện
thuốc lá.
2Ế
14ế Trong một bệnh viện tỉ lệ bệnh nhân của các tỉnh như sau: 25% của tỉnh
A, 35% của tỉnh B, 40% của tỉnh c. Tỉ lệ kĩ sư trong số bệnh nhân của
tỉnh A là 2%, của tỉnh B là 3%, của tỉnh c là 3,5%. Gặp ngẫu nhiên một
bệnh nhân, tính xác suất để:
a) Bệnh nhân đó là một kĩ sư;
* b) Nhiều khả năng kĩ sư đó là người tỉnh nào?
2.15. Lô hàng xuất khẩu có 100 kiện hàng, trong đó 60 kiện của xí nghiệp I và
40 kiện của xí nghiệp n. Tỉ lệ phế phẩm của hai xí nghiệp là 30% và
10%. Lấy ngẫu nhiên một kiện rồi lấy ra một sản phẩm.
a) Tính xác suất để được một phế phẩm.
* b) Nếu sản phẩm lấy ra là một phế phẩm thì nhiều khả năng kiện hàng
lấy ra là của xí nghiệp nào?
*2.16. Có 2 hộp đựng cam, hộp I có 9 quả tốt, 1 quả hỏng, hộp II có 6 quả tốt,
2 quả hỏng. Lấy ngẫu nhiên một quả từ hộp I bỏ sang hộp n , sau đó lấy
ngẫu nhiên ở hộp II ra hai quả. Tính xác suất để cả hai quả đều hỏng.
2.17. Một cỗ máy có 3 bộ phận, xác suất hỏng trong ngày lần lượt là 0,2; 0,4;
0,3. Trong ngày có hai bộ phận hỏng, tính xác suất để đó là bộ phận 1 và 2.
30

33. *2.18. Một người có 3 chỗ ưa thích như nhau để câu cá. Xác suất để câu được
cá của một lần thả câu ở những chỗ đó lần lượt là 0,6; 0,7; 0,8. Người đó
chọn ngẫu nhiên một chỗ và thả câu 3 lần thì câu được một con cá. Tính
xác suất để chỗ câu đó là chỗ 1.
*2ề19. Tỉ lệ thuốc hỏng ở lô A là 0,10, ở lô B là 0,08 và ở lô c là 0,15. Chọn ngẫu
nhiên một lô sau đó lấy ra 3 lọ. Tính xác suất để ít nhất có một lọ hỏng.
*2.20. Hộp A có 15 lọ thuốc tốt, 5 lọ hỏng. Hộp B có 17 lọ tốt, 3 lọ hỏng. Hộp
c có 10 lọ tốt, 10 lọ hỏng.
a) Lấy ở mỗi hộp một lọ, tính xác suất được 2 lọ tốt, 1 lọ hỏng.
b) Chọn ngẫu nhiên một hộp sau đó lấy từ đó ra 3 lọ, tính xác suất được
2 lọ tốt và 1 lọ hỏng.
c) Trộn chung 3 hộp rồi từ đó lấy ra 3 lọ, tính xác suất được 2 lọ tốt, 1 lọ hỏng.
d) Kiểm tra từng hộp cho đến khi phát hiện đủ 3 lọ hỏng. Tính xác suất
để việc kiểm tra dừng lại ở lần kiểm tra thứ 5.
31

34. P(X=2) = Í ± Í ¿ 6
15
X 0 1 2
1 8 6
p --- ---
15 15 15
Qua các thí dụ trên ta thấy:
Cho một phép thử có tập hợp các sự kiện sơ cấp Í2(e¡, e2, e j và một
hàm X xác định trên các sự kiện sơ cấp. Nếu biết được tất cả các giá trị Xj
của X và các xác suất tương ứng Pị = p(X = Xị), nhưng không biết khi tiến
hành phép thử X sẽ lấy giá trị nào trong các Xị, thì X được gọi là đại lượng
ngẫu nhiên hay biến ngẫu nhiên liên kết với phép thủ đã cho.
§2. BẢNG PHÂN PHỐI VÀ HÀM PHÂN PHỐI
Cho một biến ngẫu nhiên X có các giá trị có thể X
j và các xác suất tương
ứng Pi . Ghi lại X
j và Pj vào một bảng, gọi là bảng (hay dãy) phân phối:
X
*1 *2 Xk
p P1 P2 Pk
Các sự kiện (X = Xj) i = 1, k là các sự kiện xung khắc có tổng xác suất
bằng 1, như vậy các sự kiện nói trên là một hệ sự kiện đầy đủ.
Ngoài cách theo dõi X bằng bảng phân phối, có thể theo dõi X bằng hàm
phân phối F(x).
Hàm phân phối F(x) được định nghĩa như sau: Cho X, F(x) là xác suất của
sự kiện X < X, tức là xác suất để biến ngẫu nhiên X lấy các giá trị nhỏ hơn X
(hay còn gọi là bên trái x)
F(x) = p(X<x).
Nếu có dãy phân phối (3.1) thì có thể tìm được hàm phân phối F(x):
X < Xj bên trái Xj không có giá trị nào của X nên F(Xj) = p(X < Xj) = 0
34

35. X < x2 bên trái x2 có giá trị Xj nên F(x2) = p(X < x2) = p(X = Xj) = Pi
X < x3 bên trái x3có giá trị Xị và x2 nên
F(x3) = p(X < x3) = p(X = x , u x2) = p,+ p2
khi X> xn thì tất cả các giá trị có thể của X đều ở bên trái X nên
F(x) = p(X > xn) = 1
í o X < Xj
Pl Xj< X < x2
Pi +P2 x2< X < x3
Pl + P2 + P3 x3< X < x4
1 xn< X
Có thể trình bày hàm phân phối dưới dạng đồ thị bậc thang:
1
P1+P2'
PÏ- 1
1
1
________ 1
<4_______________
1
1
1
1 I
*1 x2 X
3 X
k
Có thể nói đơn giản là khi đi qua giá trị X
j phải "bước lên" bậc thang cao Pj.
Ngược lại cho hàm phân phối F(x) có thể tìm được bảng phân phối theo
cách sau: chỗ "bước lên" là các giá trị Xị, chiều cao bậc thang tại đó là Pị.
Trong thí dụ 2 ta có dãy phân phối:
z 0 1
5 1
p
6 6
35

36. Hàm phân phối:
F(x) = <
0
5
6
L 1
x< 0
0 < X < 1
1 < X
Trong thí dụ 4
X 0 1 2
p 1 8 6
15 15 15
F(x) =
0
J_
15
9_
15
1
X < 0
0 < X < 1
1 < x < 2
2 < X
1■
36

37. §3. CÁC SỐ ĐẶC TRƯNG
Đối với các biến ngẫu nhiên nếu có bảng phân phối (hoặc hàm phân phối)
thì coi như có sự hiểu biết đầy đủ về biến.
Trong một số vấn đề không cần phải biết đầy đủ như vậy mà chỉ cần biết
một số số đặc trưng cho dãy phân phối về một khía cạnh nào đó.
Người ta chia các số đặc trưng thành 2 nhóm: nhóm đặc trưng cho vị trí và
nhóm đặc trưng cho độ phân tán.
Nhóm đặc trưng cho vị trí gồm một số số như: kì vọng, trung vị, mod, tứ
phân vị dưới, tứ phân vị trên ...
Nhóm đặc trưng cho độ phân tán (hay còn gọi là đặc trưng cho độ tập
trung) gồm phương sai, độ lệch chuẩn, biên độ, hệ sô' biến động, ...
Ở đây chúng ta chỉ xem xét hai số đặc trưng là kì vọng và phương sai.
3ẳ
l ằKì vọng
Kì vọng, kí hiệu là M(X) hay MX hay EX, được tính theo công thức:
Phương sai, kí hiệu là D(X) hay DX, v x , VarX được tính theo công thức:
N
MX = 2 > iP i (3.1)
i=l
N
(3.2)
i=l
Khai triển bình phương ta có cách tính thứ hai:
N
DX = 5 > i 2P i-( MX)2 (3.3)
i=l
Trong thí dụ 1
37

38. V J
hay DX = 02 - + 12. -
2 2
Trong thí dụ 2
MZ = 0.—+ l ỗ
—= —
6 6 6
I
4
D Z = (0 -1 )2.2 + ( i- I ) 2 .I = J L
6 6 6 6 36
hay DZ = 02ẵ- + l2. - -
_5_
36
Trong thí dụ 4
1 , 8 6 20 4
MX = 0.— +1.— + 2.— = — = —
15 15 15 15 3
DX = 02 — + 12 — + 22 — -
15
15 15
'4
v3y
26
45
3.2ềTính chất của kì vọng và phương sai
Có thể chứng minh kì vọng có 3 tính chất sau:
a) Nếu c là hằng số thì MC = c
b) Nếu a là hằng số thì M(aX) = aMX
c) Nếu X và Y là 2 biến ngẫu nhiên thì M(X + Y) = MX + MY
* a) Coi c là trưòng hợp đặc biệt của biến ngẫu nhiên lấy 1 giá trị c với
xác suất 1, do đó MC = c .l = c
* b) Đại lượng aX có các giá trị aXj với xác suất Pj do đó
n n
M(aX) = £ aXjPj = Xjpj = aMX.
1 1
* c) Thừa nhận tính chất này
Từ 3 tính chất trên có thể chứng minh: nếu a và b là hai hằng số thì
M(aX + b) = aMX + b
* Thực vậy M(aX + b) = M(aX) + M(b) = aMX + b.
38

39. Có thể chứng minh phương sai DX có ba tính chất sau:
a) DC = 0
b) D(aX) = a2 DX
c) D(X + Y ) nói chung khác DX + DY, nhưng nếu X và Y là hai biến
ngẫu nhiên độc lập theo nghĩa: các sự kiện (X = x¡), i = 1, k và (Y = Yj), j = 1, /
là các sự kiện độc lập, nói cách khác hai biến X và Y liên kết với hai phép thử
độc lập, thì:
D(X + Y) = DX + DY
Cách chứng minh tương tự như đối với kì vọng (ở đây thừa nhận)
Từ b) và c) có thể suy ra D (- Y) = DY
Từ 3 tính chất có thể suy ra:
D(aX + b) = a2 DX
Thí dụ 5ẳ Tung hai đổng tiền, X là biến ngẫu nhiên liên kết với đồng tiền
thứ nhất, Y là biến ngẫu nhiên liên kết với đồng tiền thứ hai, X và Y lấy giá trị 0
và 1 với xác suất — tuỳ theo đồng tiền ra mặt ngửa hay sấp, còn z là tổng X + Y,
coi X và Y độc lập, ta có dãy phân phối của X, Y và z
X 0 1
1 1
p
2 2
Y 0 1
p
1 1
2 2
z 0 1 2
1 1 1
p 4 2 4
MZ = 0ễ- + l . - + 2ẽ- = l.
4 2 4
DZ = 02. - + 12. - + 22. - - 1 2 = - .
4 2 4 2
MX + MY = —+—= 1;
2 2
39

40. DX + DY = - + - = - ■
4 4 2
MZ = MX + MY = 1;
DZ = DX + DY = —.
2
Thí dụ 6. Tung hai con xúc xắc, X là số điểm trên con xúc xắc thứ nhất, Y
là số điểm trên con xúc xắc thứ hai, z là tổng số điểm trên hai xúc xắc:
z = X + Y
1+2 +3 + 4 + 5 + 6 7
" 2
MX = MY =
6
DX = DY =
z có phân phối
r +2z + 3z +4z +5z +6" í 35
12
z 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
1 2 3 4 5 6 5 4 3 2 1
p
36 36 36 36 36 36 36 36 36 36 36
MZ = (2.1 + 3.2+ 4.3+ 5.4+ 6.5+ 7.6+ 8.5+ 9.4+ 10.3 + 11.2+12.1): 36
= 7 = MX + MY
DZ = ( i l l + 32.2 + 42.3 + 52.4 + 62.5 + 72.6 + 82.5 + 92.4 + 102.3 + 112.2
+ n i l ) : 36 -7 2
35
= — = DX + DY.
6
§4. BIẾN NGẪU NHIÊN RỜI RẠC CÓ VỒ s ố GIÁ TRỊ
Trong §1 ta đưa ra khái niệm biến ngẫu nhiên rời rạc có một sô' hữu hạn giá
trị Xj, x 2, x k.
Sau đây là hai thí dụ vể biến ngẫu nhiên rời rạc có vô sô' giá trị.
40

41. Thí dụ 7
Một người đi bắn, xác suất trúng đích là 0,4. Người đó quyết tâm bắn cho
đến khi bắn trúng mới về, giả thiết thêm là số đạn không bị hạn chế. Gọi X là
số đạn đã dùng cho đến khi về, ta có bảng phân phối:
X 1 2 k
p 0,4 0,6. 0,4 0,6k-1.0,4
Thí dụ 8
Một lô hàng gồm rất nhiều sản phẩm, tỉ lệ phế phẩm là 20%. Người kiểm
tra chọn lần lượt các sản phẩm ra cho đến khi phát hiện phế phẩm thì dừng. Gọi
X là số sản phẩm đã kiểm tra cho đến khi kết thúc, ta có bảng phân phối:
X 1 2 k
p 0,2 0,8.0,2 0,8k-1.0,2
Đối với biến rời rạc có vô số giá trị ta cũng có các số đặc trưng như đối với
biến rời rạc có hữu hạn giá trị, tuy nhiên việc tính toán khó hơn.
Gọi p là xác suất thành công trong một phép thử, q = 1 - p là xác suất thất
bại. Làm các phép thử lần lượt cho đến khi thành công ta có dãy phân phối
X 1 2 k
p p q- p qk_1 .p
•
> - 1 C
Ị
Dùng cách tính tống môt chuôi ta có MX = —; DX = —
p p2
Trong thí dụ 7: p = 0,6; q = 0,4; MX = —
ỉ—; D X = - ^ - .
0,4 0,16
Trong thí dụ 8: p = 0,2; q =
1 ^ 8; MX = — ; D X = - ^ - .
0,2 0,04
§5. BIẾN NGẪU NHIÊN LIÊN TỤC
Ngoài biến ngẫu nhiên rời rạc còn có biến ngẫu nhiên liên tục, tức là biến
có giá trị có thể là bất cứ giá trị nào trong một khoảng đóng [a, b] (trường hợp
đặc biệt là khoảng (- 00, +00))
41

42. Để nghiên cứu biến liên tục phải dùng một trong hai cách:
5Ệ
1. Mật độ xác suất f(x)
Hàm mật độ xác suất f(x) có các tính chất:
a) f(x) > 0 và liên tục với mọi X € [a, b]
(Để cách trình bày được thống nhất, chúng ta thêm các giá trị của X ngoài
[a, b] với mật độ f(x) = 0 ngoài [a, b])
b) £” f(x)dx = l
c) với a < p (3.4)
Thí dụ 9
X có phân phối đều trong [2, 4]
í 0 X< 2
f(x) =í
2
- 0
2 < X< 4
4 < X
Tính xác suất:
Thí dụ 10
X có hàm mật độ xác suất
r
0 X< 0
srnx
0 < X< n
2
V
. 1 n < X
7Ĩ 1
Tính xác suất: p(0 < X< —
) = —
4 2
Thí dụ 11
X có hàm mật độ
42

43. 0 X < -a
- a < X < a
0 a < X.
5.2. Hàm phân phôi
Hàm phân phối F(x) được định nghĩa như trong trường hợp biến ngẫu nhiên
rời rạc F(x) = p(X < x), tức là xác suất để X lấy các giá trị nhỏ hơn X, hay X ở
bên trái X.
Hàm phân phối F(x) có các tính chất sau:
a) 0 < F(x) < 1
b) F(x) là hàm không giảm ( nếu Xị < x2 thì F(Xj) < F(x2))
c) Khi X —
> —
00 F(x) —
» 0; khi X —
> +00 F(x) —
» 1
Xác suất p(a < X < b) được tính theo công thức:
p(a < X < b) = F(b) - F(a) a < b
Giữa hàm mật độ xác suất và hàm phân phối có mối quan hệ sau:
f(x) = F’(x) ( đạo hàm củạ hàm phân phối).
a < b (3.4)
X
—0
0
Trong thí dụ 9
0 X < 2
F(x) =<
X
2 < X < 4
2
4 < X
Trong thí dụ 10
r 0 X < 0
. 1-cosx
F w = 2
0 < X < n
n < X
43

44. Trong thí dụ 11
F(x) =
1 1 __ X
—H
— arcsin—
2 71 a
1
0 X< -a
- a < X < a
a < X
*§6. HỆ HAI BIẾN NGẪU NHIÊN VÀ PHÂN PHỐI
HAI CHIỂU
Cho hệ 2 biến ngẫu nhiên rời rạc X và Y trong cùng một phép thử
X có các giá trị có thể (Xị, x2, . . . , xk)
Y có các giá trị có thể (yI, y2, . . . , yị)
Gọi Pij = p(X = Xị, Y= Ỵj) là xác suất của sự kiện (X = X j ) n (Y = y ) ta có
bảng phân phối xác suất hai chiều hay bảng xác suất đồng thời:
Cộng các xác suất P|j theo hàng, ta được P i , đó là xác suất của sự kiện (X = Xị).
Cộng các xác suất p m
j theo cột, ta được p.j, đó là xác suất của sự kiện (Y = ).
Biến X có bảng phân phối (Xj, Pi) và biến Y có bảng phân phối (yr p.j). Hai
bảng này được gọi là bảng phân phối biên của phân phối chuẩn hai chiều.
Nếu việc biết giá trị của biến Y không ảnh hưởng đến phân phối xác suất
của biến X (hay việc biết giá trị của biến X không ảnh hưởng đến phân phối
của biến Y), nói cách khác
44

45. p(Y = yj / X = Xj) = P(Y = Yj)
hoặc p(X = Xj / Y = yj) = p(X = Xj)
thì hai biến X, Y được gọi là độc lập.
Nếu hai biến X, Y liên tục thì có hàm mật độ xác suất hai chiều f(x,y) và từ
đó tìm ra các phân phối biên của X và Y.
Hệ hai biến X, Y có các số đặc trưng riêng cho từng biến (MX, DX), (MY,
DY). Các số đặc trưng chung của cặp biến là:
Hiệp phương sai:
Cov(X,Y)=M((X-MX)(Y-MY)) = X X xiyjPij -MX.MY
i j
Hệ số tương quan:
= covgOO
VDXVDY
BÀI TẬP CHƯƠNG 3
3.1. Tỉ lệ học sinh lên lớp của một trường là 0,9. Gặp ngẫu nhiên hai em học
sinh, gọi X là số em được lên lớp trong hai em đó. Viết bảng phân phối
và hàm phân phối của X. Tính kì vọng MX và phương sai DX.
3.2ẵ Trong số 10 hạt giống đem trồng có 7 hạt ra hoa vàng, 3 hạt ra hoa trắng.
Lấy ngẫu nhiên 2 hạt. Gọi X là số hạt ra hoa vàng, tìm bảng phân phối và
hàm phân phối của X. Tính MX và DX.
3.3. Tỉ lệ chính phẩm do một máy sản xuất ra là 90%. Kiểm tra 5 sản phẩm,
gọi X là số phế phẩm trong 5 sản phẩm. Viết bảng phân phối và hàm
phân phối của X. Tính MX và DX.
3ẳ4. Một bác sĩ thú y chữa bệnh cho bò với xác suất chữa khỏi 0,8. Một nhóm
5 con bò bị bệnh được đem đến để bác sĩ chữa, gọi X là sô' con khỏi
bệnh. Viết bảng phân phối và hàm phân phối của X. Tính MX và DX.
3.5. Một học sinh đi thi ngoại ngữ để lấy chứng chỉ, xác suất thi đỗ là 0,3,
nếu không đỗ thì phải thi lại cho đến khi đỗ thì thôi. Gọi X là số lần thi
viết bảng phân phối của X và kì vọng của X.
45

46. 3.6. Một người trồng 2 cây cảnh, xác suất để cây thứ nhất ra hoa là 0,4, xác
suất để cây thứ hai ra hoa là 0,6. Gọi X là số cây ra hoa, viết bảng phân
phối và hàm phân phối của X, tính kì vọng MX và phương sai DX.
*3.7. Cho hai biến ngẫu nhiên độc lập X, Y có dãy phân phối:
X 0 1 2 3 4 5
p 0,15 0,3 0,25 0,2 0,08 0,02
Y 0 1 2 3 4 5
p 0,3 0,2 0,2 0,15 0,1 0,05
a) Tính MX, MY
b) Tính p(X + Y < 3)
*3Ề
8. Cho hai biến ngẫu nhiên X, Y có xác suất đồng thời:
Y
X
1 2 3
1 0,12 0,15 0,03
2 0,28 0,35 0,07
a) Kiểm tra để thấy X, Y độc lập
b) Tim luật phân phối của z = X.Y
c) Kiểm tra để thấy MZ = MX.MY
*3.9. Số trẻ em sinh ra ở một vùng là biến ngẫu nhiên X có bảng phân phối
X 0 1 2 3
p 0,4 0,3 0,2 0,1
Số người chết ở vùng đó là biến ngẫu nhiên Y có bảng phân phối
Y 0 1 2 3 4
p 0,1 0,3 0,4 0,15 0,05
Giả sử X, Y độc lập
a) Tìm phân phối đồng thời của X, Y;
b) Tính xác suất p(Y < X).
46

47. *3.10. Phân phối đồng thời của giới tính X và lương tháng Y (triệu đồng) của
công nhân một công ty như sau:
Y
X
0,5 1 1.5
Nữ 0 0,1 0,3 0,2
Nam 1 0,06 0,18 0,16
a) Tìm phân phối biên của X và Y rồi tính MX, MY.
b) Tính các xác suất có điều kiện p(yj/ Xj).
c) Tính cov(X, Y).
d) Tính p(X, Y).
47

48. MỘT SỐ PHÂN PHỐI THƯÒNG GẶP
■ ■
T
rong chương 3 chúng ta đã đề cập đến biến ngẫu nhiên rời rạc,
bảng phân phối và hàm phân phối (đối với biến ngẫu nhiên liên
tục thì nghiên cứu hàm mật độ xác suất và hàm phân phối).
Trong các ngành, nghề khi khảo sát các hiện tượng tự nhiên hoặc xã
hội sẽ gặp các biến ngẫu nhiên có các phân phối khác nhau nhưng
thông thường hay gặp một số phân phối sau đây:
§1. PHÂN PHỐI BÉC-NU-LI
(hay còn gọi là phân phối (0,1), kí hiệu là A(p))
Biến ngẫu nhiên X phân phối Bec-nu-li nếu bảng phân phối có dạng:
X 0 1
p q = 1 - p p
Phân phối này có kì vọng MX = p và phương sai DX = pq.
Phán phối Béc-nu-li gắn liền với một phép thử có hai kết quả dôi lập,
một kết quả, quy ước gọi là 1 hay thành công, có xác suất p, kết quả kia quy
ước gọi là 0 hay thất bại, có xác suất q = 1 -p .
Thí dụ 1
Gieo xúc xắc, gọi X là số lần ra mặt chẵn. X lấy giá trị 1 (chẵn) với xác
suất p = —, giá tri 0 (lẻ) với xác suất q = —.
MX = —; DX = —.
2 4
Sinh con, gọi X là số con trai. X lấy giá trị 1 (trai) với xác suất p = —, giá
trị 0 (gái) với xác suất q = —; MX = —; DX = —.
2 2 4
48

49. Ấp một quả trứng, gọi X là số trứng nở. X lấy giá trị 1 (nở) với xác suất p -
0,8, giá trị 0 (không nở) với xác suất q = 0,2; MX = 0,8; DX = 0,16.
Một học sinh đi thi, gọi X là kết quả thi. X lấy giá trị 1 (đỗ) với xác suất
p = 0,9, giá trị 0 (trượt) với xác suất q = 0 ,lế
MX = 0,9; DX = 0,09.
Kiểm tra một sản phẩm, gọi X là số sản phẩm tốt, X lấy giá trị 1 (sản phẩm
tốt) với xác suất p = 0,8, giá trị 0 (sản phẩm hỏng) với xác suất q = 0,2.
MX = 0,8; DX = 0,16.
§2. PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Biến ngẫu nhiên X phân phối nhị thức nếu bảng phân phối có dạng:
X 0 1 k n
p Po P1 Pk Pn
pk= p(X = k)= c ỉp kqn-k (4.1)
Phân phối này có
Kì vọng MX = np (4.2)
Phương sai DX = npq (4.3)
Giá trị có xác suất lớn nhất ModX là số nguyên thoả mãn bất đẳng thức
kép
np - q < ModX < np + p (4.4)
Phán phối nhị thức gắn liên với việc lặp lại n lần một phép thử có hai sự
kiện đối lập (thành công và thất bại) với X là sô' lần thành công. Lặp ở đáy
có nghĩa là dãy phép thủ được tiến hành trong cùng điều kiện và độc lập với
nhau. Phàn phối nhị thức thường kí hiệu là Bịn, p).
Thí dụ 2
Gia đình có 2 con, xác suất sinh con trai là 0,5. Coi các lần sinh là các phép
thử đôc lâp, số con trai X phân phối B(2, 0,5) với p = —; q = —; n = 2.
2 2
4-GTXSTK
49

50. X 0 1 2
1 1 1
p —
4 2 4
MX = 1; DX = —; ModX = 1.
2
Thí dụ 3
Gieo 4 hạt đậu, xác suất để một hạt cho cây ra hoa vàng là 0,75, ra hoa
trắng là 0,25. Sô' cây đậu ra hoa vàng X phân phối nhị thức B(4; 0,75).
7 0 1 2 3 4
p 0,252 4. 0,75. 0,253 6. 0,752.0,252 4.0,753.0,25 0,754
MX = 4. 0,75 = 3; DX = 4. 0,75. 0,25 = 0,75; ModX = 3.
§3. PHÂN PHỐI SIÊU BỘI
Cho N, M (M < N) và một số n < min(M, N - M)
Biến ngẫu nhiên X phân phối siêu bội hay siêu hình học nếu bảng phân
phối có dạng:
X 0 1 k n
p Po P
1 Pk Pn
/^n-k
Pk = CfrCN-M (4.5)
CN
Phân phối này có:
Kì vong MX = n— ẻ (4.6)
N
_ M N - M N - n
Phương sai DX = n-^f. — —- (4.7)
N N N - l
Cho một hộp đựng N bi trong đó có M bi trắng, N - M bi đen. Lấy ngẫu
nhiên một lúc hoặc lấy lần lượt không hoàn lại một nhóm n bi. Sô bi trắng X
trong nhóm phân phôi siêu bội.
50

51. Phân phối siêu bội thường kí hiệu là M(N, n).
Nếu không có điều kiện n <min(M, N -M ) thì các giá trị có thể của biến
X không phải từ 0 đến n mà ít hơn (bớt một sô'giá trị đầu hay bớt một sô'giá
trị cuối), nhưng các xác suất vẫn tính theo (4.5) và vẫn gọi là phân phôi siêu
bội. Kì vọng và phương sai vẫn tính theo (4.6) và (4.7).
, M
Gọi tỉ số bi trẳng trong hộp là p = — .
Nếu lấy có hoàn lại n lần (tức là lấy một bi, xem xong hoàn trả vào hộp,
trộn đéu sau đó lấy ngẫu nhiên ra một bi khác) thì số bi trắng X phân phối nhị
thức B(n, p). Như vậy siêu bội và phân phối nhị thức có những nét giống nhau
chỉ khác ở chỗ nếu lấy n bi không hoàn lại thì số bi trắng X phân phối siêu bội
còn nếu có hoàn lại thì X phân phối nhị thức. Sự khác nhau trở nên không đáng
kể nếu tổng số bi N và số bi trắng M là các số rất lớn.
Thí dụ 4
Chọn một uỷ ban gồm 3 người trong số 3 nữ và 5 nam. Gọi X là số nữ trong
uỷ ban, X có phân phối siêu bội:
X 0 1 2 3
p 10 30 15 1
56 ' 56 56 56
M X =
9
» DX
225
8 448
Thí dụ 5
Hộp có 15 quả cam trong đó có 5 quả hỏng, lấy 2 quả, gọi X là số cam
hỏng trong 2 quả đó ta có:
X 0 1 2
p
45
105
50
105
10
105
2 _ 26
MX = — ; DX = — .
3 63
51

52. §4. PHÂN PHỐI POÁT-XÔNG
Biến ngẫu nhiên X phân phối Poát-xông nếu bảng phân phối có dạng:
X 0 1 2 k
p Po P
1 p2 Pk
pk = —
— |^k (|0.là một hằng số, k = 0,. . . 00) (4.8)
k !
Phân phối này có:
MX = DX = |! (4.9)
Thí dụ 6
Chuyển 5000 quả trứng vào kho với xác suất vỡ của mỗi quả là 0,0004.
Tính xác suất để khi vận chuyển có không quá một quả bị vỡ.
Gọi X là sô' quả bị vỡ, ở đây có thể dùng phân phối nhị thức nhưng vì n = 5000
quá lớn, p = 0,0004 lại quá bé nên có thể coi X phân phối xấp xỉ phân phối
Poát-xông với ịi = np = 2 từ đó có thể tính:
Xác suất để có không quá một quả bị vỡ bằng xác suất để X = 0 (p0) cộng
xác suất để X = 1 (Pj).
e- 2.2° 1 e~2.2l 2
Po_ 0 ! ~
~e2 ' P l' 1! ~
~e2 '
p (0 < X < 1) = Po + p, = = 0,406.
e
MX = DX = ỊO
. = 2.
Thí dụ 7
Gieo n = 10000 hạt giống, xác suất để hạt lép là p = 0,0005. Tính xác suất
để có đúng 6 hạt lép.
e - 2 5 6
Lấy JI = np = 5, ta có p6 = -----:— .
52

53. *§5. PHÂN PHỐI HÌNH HỌC
Sự kiện A có xác suất xuất hiện trong một phép thử là p. Lần lượt thực
hiện phép thử cho đến khi A xuất hiện. Sô' lần thực hiện phép thử cho đến
khi A xuất hiện là biến X có phân phối hình học.
Bdng phân phối có dạng:
X 1 2 k
p P
1 P2 Pk
II
T3
><
II
k) = q k_1 p vói q = 1 - p (k = 1,00) (4.10)
Kì vọng
Phương sai
MX = —
p
D X = - ị
p
(4.11)
(4.12)
Thí dụ 8
Lô hàng khá lớn có 20% phế phẩm. Kiểm tra lần lượt cho đến khi phát hiện
phế phẩm.
Gọi X là số sản phẩm đã kiểm tra, X phân phối hình học với p = 0,2.
Kì vọng MX = —
í— = 5; Phương sai DX = - 20.
0,2 0,04
Thí dụ 9
Phát tín hiệu liên lạc với trạm bạn, xác suất nhận được là 0,4. Nếu trạm bạn
báo đã nhận được tín hiệu thì dừng, nếu không thì phát tiếp. Gọi X là số tín
hiệu đã phát cho đến khi dừng, X phân phối hình học với p = 0,4.
Kì vọng MX = —
ỉ—= 2,5; Phương sai DX = .
0,4 0,16
§6. PHÂN PHỐI CHUẨN
Biến ngẫu nhiên X phàn phối chuẩn Nịụ, ơ 2) nếu X có thể lấy mọi giá
tri từ -oo đến +oo với mãt đô xác suất:
53

54. f(x) =
Ỉ2n<
(x-nr
2ơ2 ( - 00 < X < +00) (4.13)
7ĨƠ
Biến X có kì vọng MX = fj. và DX = ơ .
Thường gặp biến phân phối chuẩn khi khảo sát các biến định lượng như
chiều cao, trọng lượng, bán kính, chiều dài, ...
Biến phân phối chuẩn là biến phổ biến và đóng một vai trò quan trọng
trong nghiên cứu lí thuyết xác suất thống kê.
Nếu X phân phối chuẩn N(fi, o2) thì có thể chứng minh biến z = ^ ^
ơ
cũng phân phối chuẩn với kì vọng 0 và phương sai 1.
Phân phối chuẩn N(0, 1), gọi là phân phối chuẩn tắc, có mật độ xác suất
,2
cp(z) = -
1
Phân phối này có hàm phân phối:
(4.14)
z
1 —
-—
p(Z < z) = 0(z) = - 7= f e 2 dt (4.15)
yj2n _
—
00
Hình 1. Hàm mật độ (p
Xác suất để z ở trong khoảng [a,b)
p (a < z < b) = O(b) - 0 (a)
Đối với biến chuẩn N(n, ơ2) ta tính xác suất sau khi biến đổi từ X qua z
(phép chuẩn hoá):
( K_ Ế
ỆA
(4.16)
p(a < X < b) = 0 fb-^0 - 0
l ơ J l ơ J
Các giá trị của hàm mật độ xác suất cp(x) và hàm phân phối O(x) được cho
ở bảng 1 và bảng 2 phần phụ lục.
Thí dụ 10
Gọi X là chiều cao của ngô tính bằng cm. Gịả sử X phân phối chuẩn N(165, 9).
Tính tỉ lệ cây có chiều cao:
54

55. a) Dưới 162cm;
b) Từ 162 đến 171cm;
c) Trên 171cm.
Hình 2. Hàm phân phối
a) p(X < 162) = <
t>
162-165
= <D(-1) = 0,1587
b) p(162 < X <171) = <
t>
í 171 —
165
- o
f 162 —
165 ^
l 3 J l 3 J = <D(2)-< D (-1)
= 0,9773 -0,1587 = 0,8186
c) p( 171 < X) = 1 - 0
'1 7 1 -1 6 5 '
= 1 - 0(2) = 1 - 0,9773 = 0,0227
Như vậy có thể kết luận:
15,87% cây ngô có chiểu cao dưới 162cm.
81,86% cây ngô có chiều cao từ 162cm đến 171cm.
2,27% cây ngô có chiều cao trên 171cm.
Thí dụ 11
Thời gian sống (tuổi thọ - tính bằng giờ) X của một loại bóng đèn phân
phối chuẩn N(800,402). Tính tỉ lệ loại bóng có tuổi thọ từ 778 đến 834 giờ.
55

56. í
p(778 < X < 834) = o
834-800
40
o
778-800
40
= 0(0,85) - ® (-0,55)
= 0,8023 -0,2912 = 0,5111.
Ngoài phân phối chuẩn còn có nhiều phân phối liên tục thường gặp trong
nghiên cứu khoa học và đời sống như phân phối đều, phân phối mũ, một sô'
phân phối có quan hệ trực tiếp với phân phối chuẩn và có nhiều ứng dụng trong
thống kê như phân phối Stiuđơn t (bảng 3), phân phối Fisơ Snêđêco F (bảng 4),
phân phối Khi bình phương ỵ 2 (bảng 5).
§7. TÍNH GẦN ĐÚNG PHÂN PHỐI NHỊ THỨC
Trong mục 2 ta đã khảo sát phân phối nhị thức. Khi số phép thử n lớn thì
việc tính xác suất của sự kiện (X = k) và việc tính cả bảng phân phối là việc
làm tốn rất nhiều công.
Để tính gần đúng phân phối nhị thức ta xét hai trường hợp:
7.1. n lớn và p không quá bé (thường xem xét n > 30; np > 5)
Có thể tính xấp xỉ phân phối nhị thức B(n, p) bằng phân phối chuẩn N(n,
ơ2) với |J. = np, ơ2= npq
Việc tính gần đúng thể hiện ở hai dạng (Gọi là định lí La-pla-xơ):
a) Xác suất pk = p(X = k) = Cp pkqn k
/npq
1
b) Xác suất p(k < X < /) = £ P i = <
t>
k
/ - np
npq
- o
/
k -n p
>/inpq
(4.18)
7ể2Ển rất lớn và p quá bé (thường xem xét n > 100, p quá bé sao cho
np s npq)
Trong trường hợp này vẫn có thể dùng xấp xỉ chuẩn như ở 7.1 nhưng dùng
xấp xỉ Poát-xông được kết quả tốt hơn. Nội dung xấp xỉ này như sau:
Khi n rất lớn và p rất bé ta tính |J. = np và
pk = P(X = k) »
ẹ - ^ k
k!
(4.19)
56

57. Một bệnh có xác suất chữa khỏi là 0,2. Có 100 người bệnh, tính xác suất để
21 người khỏi bệnh.
Gọi X là số người khỏi bệnh, X phân phối nhị thức B(100, 0,2).
p2I = p(X = 21) = Cjoo 0,2210,879 * ^.cp(z)
21-20
np = 100. 0,2 = 20; npq =100. 0,2. 0,8 = 16; z = = 0,25
4
cp(0,25) = 0,3867; P 21 * 0,0967.
Thí dụ 13
Có 80 câu hỏi trắc nghiệm, mỗi câu có 4 cách trả lời, trong đó có một cách
đúng. Một học sinh trả lời kiểu hú hoạ.
a) Tính xác suất để trả lời đúng 24 câu.
b) Tính xác suất để số câu trả lời đúng nhiều hofn 30.
Mỗi lần trả lời là một phép thử có xác suất thành công (trả lời đúng) p = 0,25,
trả lời 80 câu coi như lặp lại 80 lần phép thử, số câu trả lời đúng X phân phối
nhị thức B(80, 0,25)
24 - 20
np = 80.0,25 = 20; npq = 80.0,25.0,75 = 15; z = - y
— = 1,0328.
vl5
a) p24 = P(X = 24) = c|J0,25 240,7556 * . <p(l,0328) = 0,062.
Thí dụ 12
b) p(30 < X) * 1 - <
D
3,87
= 1 - 0(2,58) = 1 - 0,995 = 0,005.
Thí dụ 14
Một công nhân phụ trách 1000 ống sợi, xác suất để một ống bị đứt trong
thời gian T là 0,002. Tính xác suất để trong thời gian đó có 3 ống sợi bị đứt.
Sự kiện một ống sợi bị đứt trong thời gian T có xác suất p = 0,002. Số ống
bị đứt X trong số 1000 ống phân phối nhị thức B(1000, 0,002) và được tính xấp
xỉ theo phân phối Poát-xỏng.
n = 1000; p = 0,002; ỊI = np = 2
57

58. - 2 o
P(X = 3) = cj0000,0023
.0 ,9 9 8 " 7 » ^ -j-23 = 0 ,1 3 5 3 4 ,- = 0,18.
Có thể lấy lại các thí dụ 4.5 và 4.6 để minh hoạ cho phép tính gần đúng
phân phối nhị thức bằng phân phối Poát-xông.
BÀI TẬP CHƯƠNG 4
4ếl. Trồng 5 cây, xác suất để cây ra hoa là 0,2. Tính xác suất để ít nhất có 3
cây ra hoa.
ì' , 1 ,
4.2. Ap 12 quả trứng, xác suất trứng nở là —. Tính xác suất đê:
a) Có 4 trứng nở b) Có từ 3 đến 6 trứng nở.
4.3Ễ Việc sản xuất ra các sản phẩm được tiến hành độc lập. Phải sản xuất mỗi
đợt bao nhiêu sản phẩm để trung bình có 10 sản phẩm đạt tiêu chuẩn,
biết rằng xác suất để một sản phẩm làm ra đạt tiêu chuẩn là 0,8.
4.4. Mỗi chậu ươm 2 hạt giống, hạt 1 có xác suất nẩy mầm 0,8, hạt 2 có xác
suất nẩy mầm 0,6. Có tất cả 15 chậu, gọi X là số chậu mà cả 2 hạt đều
nẩy mầm. Tìm giá trị hay gặp nhất của X.
4.5. Trồng cây xác suất sống là 0,4. Phải trồng bao nhiêu cây để nhiều khả
năng nhất có 25 cây sống.
4.6. Khi tiêm phòng dịch thì cứ một lô gà 50 con thường thấy có 30 con
không mắc bệnh. Tính xác suất để gà không mắc bệnh khi tiêm chủng.
4.7ế Có 9 học sinh vào quán ăn, 4 trong số đó dưới 16 tuổi. Lúc đầu chủ quán
mang ra 5 cốc bia và nói là dành cho các ena lớn tuổi, 4 cốc nước hoa quả
sẽ mang ra sau. Các học sinh lại phân phát 5 cốc một cách ngẫu nhiên.
Tính xác suất để có 2 em dưới 16 tuổi uống bia.
4.8. Một chuồng gà có 3 mái và 5 trống. Bắt ra 5 con, gọi X là số gà mái. Tim
bảng phân phối của X.
4.9. Khảo sát ở một vùng thấy cứ 1000 người thì có một người nghiện rượu.
Tính xác suất để trong một khu vực dân cư 8000 người có ít hơn 7 người
nghiện rượu.
4.10. Trung bình trên 10000m2 ruộng có 100 con chuột đồng. Tính xác suất để
tại một mảnh ruộng rộng lOOOm2 có nhiều hơn 15 con chuột.
58

59. 4ễll. Năng suất lúa (tạ/ha) ở một vùng là biến X phân phối chuẩn N(50, (3,6)2).
Tính xác suất để khi gặt 3 thửa ruộng thì có 2 thửa có nãng suất sai khác
năng suất trung bình không quá 0,5tạ/ ha.
4.12. Trọng lượng một con bò trong một đàn (đơn vị kg) là biến X phân phối
chuẩn N(250, 402). Tính xác suất để khi chọn ngẫu nhiên một con ra cân
thì trọng lượng X:
a) Nhẹ hơn 175kg.
b) Nặng hơn 300kg.
c) Trong khoảng từ 260kg đến 270kg.
4.13. Chiều cao thanh niên ở một vùng (đơn vị cm) là biến chuẩn N(160, 62).
Một thanh niên bị coi là lùn nếu thấp hơn 155cm.
a) Tìm tỉ lộ thanh niên lùn ở vùng đó.
b) Tính xác suất để khi gặp ngẫu nhiên 4 thanh niên thì ít nhất có một
người lùn.
4.14. Xác suất sinh con trai là 0,515. Tính xác suất để trong 200 trẻ mới sinh
có 95 em gái.
4.15. Xác suất để khi trồng thì cây sống là 0,8. Trồng 100 cây, tính xác suất để:
a) Có từ 75 đến 90 cây sống.
b) ít hon 75 cây sống.
c) Nhiều hơn 90 cây sống.
59

60. MẪU QUAN SÁT
VÀ BÀI TOÁN ƯÓC LƯỢNG
§1. TỠNG THỂ VÀ MẪU QUAN SÁT
Xét một đám đông gồm rất nhiều cá thể, đứng về lí thuyết thì coi như có vô
số cá thể, đám đông này phải thuần nhất theo nghĩa đây là một đám đông có
cùng một nguồn gốc, cùng điều kiện ra đời, sống trong cùng một môi trường,
sự khác nhau giữa các cá thể là sự khác nhau tự nhiên, ngẫu nhiên không thể
tránh được giữa các cá thể của một đám đông. Ta gọi một đám đông như thế là
một tổng thể. .Giả thiết khi khảo sát một tính trạng (một đặc tính sinh học, một
chỉ số, một số đo,...) trên một cá thể của tổng thể ta được một biến ngẫu nhiên
X, biến này có thể là:
- Biến định tính chỉ có một trong 2 kết quả (quy ước là có và không, hay 1
và 0) như giống đực hay giống cái; có ra hoa hay không ra hoa; mắc bệnh hay
không mắc bệnh.
- Biến định tính gồm một số loại hay lớp như màu sắc: xanh, đỏ, tím
vàng...;
Chế độ tưới: tưới ít, tưới vừa, tưới nhiễu; Loại đất: cát, s é t...
- Biến có thể dùng sô' thứ tự để ghi nhận các kết quả từ thấp lên cao như
điểm thi: 0, 1, 2,..., 10; Cấp bệnh: cấp 1, 2, .ẵ., 7.
- Biến rời rạc như số cây sống khi trồng 100 cây; số trứng nở khi ấp 12 quả
trứng; số sản phẩm hỏng trong lô 5000 sản phẩm;
- Biến liên tục như chiều cao cây; trọng lượng một con gà; chiều dài một
con cá.
Tuỳ theo biến ta khảo sát thuộc loại nào và dựa vào yêu cầu nghiên cứu mà
đặt ra các giả thiết về tổng thể.
Có rất nhiều bài toán trong nghiên cứu được đưa về giả thiết X có phân
phối đã biết nhưng còn chứa một vài tham số mà ta cần ước lượng, thí dụ khi
ấp trứng ta giả thiết số trứng nở X trong mỗi ổ gồm n quả phân phối nhị thức
60

61. B(n, p), xác suất trứng nở p chính là tham số chưa biết. Đo chiều cao X của
học sinh nam, lứa tuổi 16 ở một vùng, X phân phối chuẩn N(|J., ơ2) với hai
tham số chưa biết: trung bình fj. và phương sai ơ2. Số chai vỡ X khi vận chuyển
rượu phân phối Poát-xông với tham sô' JJ. chưa biết. Thời gian sống của bóng
đèn phân phối chuẩn N(|a, ơ2) với hai tham số chưa biết ^ và ơ2. Trong một
đợt cúm một người có thể bị cúm hoặc không, xác suất bị cúm p là tham số
chưa b iết...
Nếu ta khảo sát đồng thời nhiều đặc tính thì được nhiều biến ngẫu nhiên
đồng thời và lúc đó sẽ có nhiều tham số cần ước lượng thí dụ hộ số tương quan,
hiệp phương sai,...
Như vậy khi khảo sát tổng thể ta giả thiết biến ngẫu nhiên (hoặc hệ nhiều
biến ngẫu nhiên) có một phân phối nào đó có chứa một vài tham số gọi là tham
số của tổng thể, các tham số này thường được kí hiệu bằng các chữ Hy lạp fl, ơ,
p ... Để có được các hiểu biết về tổng thể và cụ thể là về các tham số này ta
phải lấy ngẫu nhiên một số cá thể ra xem xét, số cá thể đó họp thành một mẫu
quan sát, hay gọi tắt là một mẫu. Khi xem xét mẫu phải xử lí các dữ liệu thu
được rồi đưa ra kết luận chung cho tổng thể, các kết luận này được gọi là các
kết luận thống kê.
Mẫu quan sát chỉ bao gồm một nhóm nhỏ của tổng thể, không thể phản
ánh đầy đủ tổng thể cho nên mặc dù cách chọn mẫu đúng đắn, không sai
lệch có hệ thống, phương pháp xử lí chính xác cũng không thể loại bỏ những
sai lệch so với tổng thể, do đó không bao giờ các kết luận thống kê có thể
đúng 100%.
Để dễ suy luận và so sánh, người ta thường định ra một xác suất để kết
luận thống kê đúng khi áp dụng cho tổng thể, xác suất đó được gọi là mức tin
cậy của kết luận, thường kí hiệu là p, thí dụ p = 0,95 thường gọi là mức tin
cậy 1 (đánh dấu *) có nghĩa là kết luận thống kê đưa ra trung bình chỉ đúng
95 trên 100 trường hợp, p = 0,99 thường gọi là mức 2 (đánh dấu **) có nghĩa
là kết luận thống kê đưa ra trung bình chỉ đúng 99 trên 100 trường hợp, mức
p = 0,999 là mức 3 (đánh dấu ***)ểCũng có khi người ta dùng số a = 1 - p
gọi là mức sai cho phép hay mức ý nghĩa.
Thí dụ p = 0,95 thì a = 1 - 0,95 = 0,05 (mức 1) có nghĩa là cho phép kết
luận thống kê sai trung bình 5 trên 100 trường hợp khi áp dụng vào tổng thể.
61