https://app.box.com/s/neuz2joe0f4ifby4c0p247zhwwng822a

1. Hỗ trợ trực tuyến
Fb www.facebook.com/DayKemQuyNhon
Mobi/Zalo 0905779594
Tài liệu chuẩn tham khảo
Phát triển kênh bởi
Ths Nguyễn Thanh Tú
Đơn vị tài trợ / phát hành / chia sẻ học thuật :
Nguyen Thanh Tu Group
D Ạ Y T H Ê M T O Á N 1 1 S Á C H
C H Â N T R Ờ I S Á N G T Ạ O
Ths Nguyễn Thanh Tú
eBook Collection
BÀI TẬP DẠY THÊM TOÁN 11 - SÁCH CHÂN TRỜI
SÁNG TẠO - CẢ NĂM - CHUYÊN ĐỀ 2 - DÃY SỐ -
CẤP SỐ CỘNG - CẤP SỐ NHÂN (LÝ THUYẾT, BÀI
TẬP TỰ LUẬN, TRẮC NGHIỆM, VỞ BÀI TẬP) (BẢN
GV) (165 TRANG)
WORD VERSION | 2024 EDITION
ORDER NOW / CHUYỂN GIAO QUA EMAIL
TAILIEUCHUANTHAMKHAO@GMAIL.COM
vectorstock.com/28062405

2. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
C
H
Ư
Ơ
N
G
II DÃY SỐ
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
BÀI 1: DÃY SỐ
LÝ THUYẾT.
I
=
=
=I
1. DÃY SỐ LÀ GÌ?
Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương *
 được gọi là một dãy số vô hạn. Nghĩa là
 
*
:
.
n
u
n u u n


 

Dãy số trên được kí hiệu là  
n
u
Dạng khai triển của dãy số  
n
u là: 1 2 3
, , , ..., ,...
n
u u u u
Chú ý:
a)  
1 1
u u
 gọi là số hạng đầu,  
n
u u n
 là số hạng thứ n (hay số hạng tổng quát) của dãy số.
b) Nếu *
,
n
u C n
   thì ta nói  
n
u là dãy số không đổi.
Hàm số u xác định trên tập  
1,2,3,...,
M m
 với *
m   thì được gọi là một dãy số hữu hạn.
Dạng khai triển của dãy số này là: 1 2 3
, , , ..., ,
m
u u u u trong đó 1
u là số hạng đầu, m
u là số hạng
cuối.
2. CÁCH XÁC ĐỊNH DÃY SỐ
Thông thường một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:
a) Dãy số cho bằng liệt kê các số hạng
b) Dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát
c) Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi
Cách cho một dãy số bằng phương pháp truy hồi, tức là:
Cho số hạng đầu.
Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng thứ n qua số hạng đứng trước nó.
d) Dãy số cho bằng phương pháp mô tả

3. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM VÀ DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số  
n
u được gọi là dãy số tăng nếu ta có 1
n n
u u
  với mọi *
.
n  
Dãy số  
n
u được gọi là dãy số giảm nếu ta có 1
n n
u u
  với mọi *
.
n  
Chú ý: Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc giảm. Chẳng hạn, dãy số  
n
u với  
3
n
n
u   tức là
dãy 3,9, 27,81,...
  không tăng cũng không giảm.
4. DÃY SỐ BỊ CHẶN
Dãy số  
n
u được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho
*
, .
n
u M n
   
Dãy số  
n
u được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho
*
, .
n
u m n
   
Dãy số  
n
u được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số
,
m M sao cho
*
, .
n
m u M n
    
Lưu y: + Dãy tăng sẽ bị chặn dưới bởi 1
u
+ Dãy giảm sẽ bị chặn trên bởi 1
u
HỆ THỐNG BÀI TẬP.
II
=
=
=I
DẠNG 1: TÌM SỐ HẠNG CỦA DÃY SỐ
Bài toán 1: Cho dãy số ( )
n
u : ( )
n
u f n
 . Hãy tìm số hạng k
u .
PHƯƠNG PHÁP.
1
=
=
=I
Tự luận: Thay trực tiếp n k
 vào n
u .
MTCT: Dùng chức năng CALC:
Nhập: ( )
f x
Bấm r nhập X k

Bấm   Kết quả

4. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
=
=
=I
Câu 1: Cho dãy số ( )
n
u biết
1 1 5 1 5
2 2
5
n n
n
u
 
   
 
 
 
   
   
 
   
 
. Tìm số hạng 6
u .
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận:
Thế trực tiếp:
6 6
6
1 1 5 1 5
8
2 2
5
u
 
   
 
 
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
   
 
.
Cách 2: Dùng chức năng CALC của máy tính cầm tay:
Nhập:
1 1 5 1 5
2 2
5
x x
 
   
 
 

   
   
 
   
 
Bấm CALC nhập X 6

Máy hiện: 8
Câu 2: Cho dãy số ( )
n
u có số hạng tổng quát
2 1
2
n
n
u
n



. Số
167
84
là số hạng thứ mấy?
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận:
1Giả sử

      

167 2 1 167
84(2 1) 167( 2)
84 2 84
n
n
u n n
n
250
n
  .
Vậy
167
84
là số hạng thứ 250 của dãy số ( )
n
u .
Cách 2: Sử dụng MTCT:
Nhập:


2 1
2
x
x
Bấm CALC nhập X 250

Máy hiện:
167
84
Bài toán 2: Cho dãy số ( )
n
u cho bởi
1
1 ( )
n n
u a
u f u






. Hãy tìm số hạng k
u .
PHƯƠNG PHÁP.
1
=
=
=I

5. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
Tự luận: Tính lần lượt 2 3
; ;...; k
u u u bằng cách thế 1
u vào 2
u , thế 2
u vào 3
u , …, thế 1
k
u  vào
1
k
u  .
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Nhập giá trị của số hạng u1: a 
- Nhập biểu thức của  
1
n n
u f u
 
- Lặp dấu  lần thứ 1
k  cho ra giá trị của số hạng k
u .
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
=
=
=I
Câu 3: Cho dãy số ( )
n
u biết
1
1
1
2
1
n
n
n
u
u
u
u







 

. Tìm số hạng 10
u .
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận:
1
2
1
2 1 2 3
1 1 1 2
u
u
u
 
  
 
; 2
3
2
3
2
2 7
2
3
1 5
1
2
u
u
u


  
 
; 3
4
3
7
2
2 17
5
7
1 12
1
5
u
u
u


  
 
;
4
5
4
17
2
2 41
12
17
1 29
1
12
u
u
u


  
 
; 5
6
5
41
2
2 99
29
41
1 70
1
29
u
u
u


  
 
; 6
7
6
99
2
2 239
70
99
1 169
1
70
u
u
u


  
 
7
8
7
239
2
2 577
169
239
1 408
1
169
u
u
u


  
 
; 8
9
8
577
2
2 1393
408
577
1 985
1
408
u
u
u


  
 
; 9
10
9
1393
2
2 3363
985
1393
1 2378
1
985
u
u
u


  
 
Cách 2: Sử dụng MTCT:
Lập quy trình bấm phím tính số hạng của dãy số như sau:
Nhập: 1 = 1
( )
u
Nhập
ANS 2
ANS 1


Lặp dấu = ta được giá trị số hạng 10
3363
2378
u  .
Câu 4: Cho dãy số ( )
n
u được xác định như sau:
1
1
1
2
n n
u
u u




 

. Tìm số hạng 50
u .
Lời giải

6. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
Cách 1: Giải theo tự luận:
Từ giả thiết ta có:
1
2 1
3 2
50 49
1
2
2
...
2
u
u u
u u
u u

 
 
 
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được:
50 1 2.49 99
u   
Cách 2: Sử dụng MTCT:
Lập quy trình bấm phím tính số hạng của dãy số như sau:
Nhập: 1 = 1
( )
u
Nhập ANS 2

Lặp dấu = ta được giá trị số hạng 50 99
u  .
Bài toán 3: Cho dãy số ( )
n
u cho bởi
1 2
2 1
,
. .
n n n
u a u b
u c u d u e
 
 


  

. Hãy tìm số hạng k
u .
PHƯƠNG PHÁP.
1
=
=
=I
Tự luận: Tính lần lượt 3 4
; ;...; k
u u u bằng cách thế 1 2
,
u u vào 3
u ; thế 2 3
,
u u vào 4
u ; …; thế
2 1
,
k k
u u
  vào k
u .
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Nhập C .B .A : A B: B C
c d e
    
- Bấm r nhập B b
 , ấn =, nhập A a
 ấn 
- Lặp dấu = cho đến khi xuất hiện lần thứ 2
k  giá trị của C thì đó chính là giá trị của số hạng k
u .
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
=
=
=I
Câu 5: Cho dãy số ( )
n
u được xác định như sau:
1 2
2 1
1; 2
2 3 5
n n n
u u
u u u
 
 


  

. Tìm số hạng 8
u .
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận:
3 2 1
2 3 5 12
u u u
    4 3 2
2 3 5 35
u u u
    5 4 3
2 3 5 111
u u u
   

7. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 6
Sưu tầm và biên soạn
6 5 4
2 3 5 332
u u u
    7 6 5
2 3 5 1002
u u u
    8 7 6
2 3 5 3005
u u u
   
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay:
Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n
u
B : chứa giá trị của 1
n
u 
C : chứa giá trị của 2
n
u 
Lập quy trình bấm máy:
Nhập: C 2B 3A+5: A B: B C
   
Bấm CALC nhập B 2
 , ấn = , nhập A 1
 ấn =
Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 6 thì đó là giá trị của số hạng 8
u bằng 3005.
Bài toán 4: Cho dãy số ( )
n
u cho bởi
 
 
1
1 ,
n n
u a
u f n u








. Trong đó  
 
, n
f n u là kí hiệu của biểu thức 1
n
u 
tính theo n
u và n . Hãy tìm số hạng k
u .
PHƯƠNG PHÁP.
1
=
=
=I
Tự luận: Tính lần lượt 2 3
; ;...; k
u u u bằng cách thế  
1
1,u vào 2
u ; thế  
2
2,u vào 3
u ; …; thế
 
1
1, k
k u 
 vào k
u .
MTCT: Cách lập quy trình bấm máy:
- Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n
B : chứa giá trị của un
C : chứa giá trị của un+1
- Lập công thức tính un+1 thực hiện gán A : = A + 1 và B := C để tính số hạng tiếp theo của
dãy
- Lặp phím dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 1
k  thì đó là giá trị của số hạng k
u
.
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
=
=
=I
Câu 6: Cho dãy số ( )
n
u được xác định như sau:
 
1
1
0
1
1
n n
u
n
u u
n





 
 

. Tìm số hạng 11
u .
Lời giải

8. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 7
Sưu tầm và biên soạn
Cách 1: Giải theo tự luận:
2 1
1 1
( 1)
2 2
u u
   3 2
2
( 1) 1
3
u u
   4 3
3 3
( 1)
4 2
u u
   5 4
4
( 1) 2
5
u u
  
6 5
5 5
( 1)
6 2
u u
   7 6
6
( 1) 3
7
u u
   8 7
7 7
( 1)
8 2
u u
   9 8
8
( 1) 4
9
u u
  
10 9
9 9
( 1)
10 2
u u
   11 10
10
( 1) 5
11
u u
  
Cách 2: Dùng máy tính cầm tay:
Sử dụng 3 ô nhớ: A : chứa giá trị của n
B : chứa giá trị của n
u
C : chứa giá trị của 1
n
u 
Lập quy trình bấm máy:
Nhập:  
A
C B 1 : A A 1: B C
A 1
    

Bấm CALC nhập A 1
 , ấn =, nhập B 0
 ấn =
Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 10 thì đó là giá trị của số hạng 11
u bằng 5.
Câu 7: Cho dãy số ( )
n
u được xác định bởi: 1
1
1
2
2
n n
u
u u n





  

. Tìm số hạng 50
u .
Lời giải
Cách 1: Giải theo tự luận:
Từ giả thiết ta có:
1
2 1
3 2
50 49
1
2
2.2
2.3
...
2.50
u
u u
u u
u u

 
 
 
Cộng theo vế các đẳng thức trên, ta được:
50
50
2
1 1
2.(2 3 ... 50) 2. 2548,5
2 2 x
u x

       

Cách 2: Dùng máy tính cầm tay:
Nhập: C B 2A : A A 1: B C
    

9. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 8
Sưu tầm và biên soạn
Bấm CALC nhập
1
B
2
 , ấn =, nhập A 1
 ấn =
Lặp dấu = cho đến khi giá trị của C xuất hiện lần thứ 49 thì đó là giá trị của số hạng 50
u bằng
2548,5 .
DẠNG 2: XÉT TÍNH TĂNG, GIẢM CỦA DÃY SỐ
PHƯƠNG PHÁP.
1
=
=
=I
Cách 1: Xét hiệu 1
n n
u u
 
Nếu *
1 0
n n
u u n
     thì ( )
n
u là dãy số tăng.
Nếu *
1 0
n n
u u n
     thì ( )
n
u là dãy số giảm.
Cách 2 : Khi *
0
n
u n
   ta xét tỉ số 1
n
n
u
u

Nếu 1
1
n
n
u
u

 thì ( )
n
u là dãy số tăng.
Nếu 1
1
n
n
u
u

 thì ( )
n
u là dãy số giảm.
Cách 3 : Nếu dãy số ( )
n
u được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
để chứng minh *
1
n n
u u n
   
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số
Dãy số ( )
n
u có n
u an b
  tăng khi 0
a  và giảm khi 0
a 
Dãy số ( )
n
u có n
n
u q

Không tăng, không giảm khi 0
q 
Giảm khi 0 1
q
 
Tăng khi 1
q 
Dãy số ( )
n
u có n
an b
u
cn d



với điều kiện *
cn d 0 n
   
Tăng khi 0
ad bc
 
Giảm khi 0
ad bc
 
Dãy số đan dấu cũng là dãy số không tăng, không giảm
Nếu dãy số ( )
n
u tăng hoặc giảm thì dãy số  
.
n
n
q u không tăng, không giảm

10. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 9
Sưu tầm và biên soạn
Dãy số ( )
n
u có 1
n n
u au b
   tăng nếu
2 1
0
0
a
u u



 

; giảm nếu
2 1
0
0
a
u u



 

và không tăng
không giảm nếu 0
a 
Dãy số ( )
n
u có
1
*
, 0, 0
n
n
n
n
au b
u
cu d
c d u n




 

    
 
tăng nếu
2 1
0
0
ad bc
u u
 


 

và giảm nếu
2 1
0
0
ad bc
u u
 


 

Dãy số ( )
n
u có
1
*
, 0, 0
n
n
n
n
au b
u
cu d
c d u n




 

    
 
không tăng không giảm nếu 0
ad bc
 
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
=
=
=I
Câu 8: Xét tính đơn điệu của dãy số ( )
n
u biết 3 6
n
u n
  .
Lời giải
Ta có  
1
3 6 3 1 6 3 9
n n
u n u n n

       
Xét hiệu     *
1 3 9 3 6 3 0
n n
u u n n n
         
Vậy ( )
n
u là dãy số tăng
Giải nhanh: Dãy này có dạng n
u an b
  ; a 3 0
  nên dãy số tăng
Câu 9: Xét tính đơn điệu của dãy số ( )
n
u biết
5
2
n
n
u
n



.
Lời giải
Ta có 1
5 3 3
1 1
2 2 3
n n
n
u u
n n n


     
  
Xét hiệu
  
*
1
3 3 3
0
3 2 2 3
n n
u u n
n n n n


      
   

Nếu
( )
( )
n
n
u
v
 





thì dãy số  
n n
u v
  Nếu
( )
( )
n
n
u
v
 





thì dãy số  
n n
u v
 
Nếu
*
*
( ) ; 0
( ) ; 0
n n
n n
u u n
v v n
    


   




thì dãy số  
.
n n
u v  Nếu
*
*
( ) ; 0
( ) ; 0
n n
n n
u u n
v v n
    


   




thì dãy số  
.
n n
u v 
Nếu ( )
n
u  và *
0
n
u n
   thì dãy số  
n
u 
và dãy số   *
( )m
n
u m
  
Nếu ( )
n
u  và *
0
n
u n
   thì dãy số  
n
u 
và dãy số   *
( )m
n
u m
  
Nếu ( )
n
u  và *
0
n
u n
   thì dãy số
1
n
u
 

 
 
Nếu ( )
n
u  và *
0
n
u n
   thì dãy số
1
n
u
 

 
 

11. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 10
Sưu tầm và biên soạn
Vậy ( )
n
u là dãy số giảm
Giải nhanh: Dãy này có dạng n
an b
u
cn d



Mẫu *
2 0
n n
    và 2 5 3 0
ad bc
      nên ( )
n
u là dãy số giảm
Câu 10: Xét tính đơn điệu của dãy số ( )
n
u biết 2
5n
n
u
n
 .
Lời giải
Ta có
 
1
*
1 2
2
5 5
0,
1
n n
n n
u n u
n n


     


Xét tỉ số
 
1 2 2 2 2
1
2 2 2
5 5 2 1 4 2 1
.
5 2 1 2 1
1
n
n
n
n
u n n n n n n
u n n n n
n

     
  
   

  2
*
2
2 1 2 1
1 1,
2 1
n n n
n
n n
  
    
 

Vậy ( )
n
u là dãy số tăng
Câu 11: Cho dãy số ( )
n
u biết
1
1
2
( ) : 3 1
2
4
n n
n
u
u u
u n




 
  


.
Lời giải
Ta dự đoán dãy số giảm sau đó ta sẽ chứng minh nó giảm
Ta có 1 1
1 1
3 1 1
4 4
n n
n n n
u u
u u u
 
 
 
   
Do đó, để chứng minh dãy ( )
n
u giảm ta chứng minh 1 1
n
u n
   bằng phương pháp quy nạp
toán học. Thật vậy
Với 1
1 2 1
n u
   
Giả sử 1
3 1 3 1
1 1
4 4
k
k k
u
u u 
 
    
Theo nguyên lí quy nạp ta có 1 1
n
u n
  
Suy ra 1 1
0 2
n n n n
u u u u n
 
      hay dãy ( )
n
u giảm
Giải nhanh: Dãy ( )
n
u có dạng 1
n n
u au b
  
Ở đây
3
0
4
a   và 2 1
7 1
2 0
4 4
u u
      Suy ra dãy số giảm

12. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 11
Sưu tầm và biên soạn
Tổng quát ta có thể chứng minh dãy số
 
1
1
1
( ) :
, a,b>0 2
n n
n
u c
u au b
u n
a b

 


 
  
 

giảm tương tự như
trên.
DẠNG 3: XÉT TÍNH BỊ CHẶN CỦA DÃY SỐ
PHƯƠNG PHÁP.
1
=
=
=I
Phương pháp 1: Chứng minh trực tiếp bằng các phương pháp chứng minh bất đẳng thức
Cách 1: Dãy số ( )
n
u có ( )
n
u f n
 là hàm số đơn giản.
Ta chứng minh trực tiếp bất đẳng thức *
( ) ,
n
u f n M n
    hoặc *
( ) ,
n
u f n m n
   
Cách 2: Dãy số ( )
n
u có 1 2 ... ...
n k n
u v v v v
     
Ta làm trội 1
k k k
v a a 
 
Lúc đó      
1 2 2 3 1
...
n n n
u a a a a a a 
     
Suy ra *
1 1 ,
n n
u a a M n

    
Cách 3: Dãy số ( )
n
u có 1 2 3
. ...
n n
u v v v v
 với *
0,
n
v n
  
Ta làm trội 1
k
k
k
a
v
a


Lúc đó 3 1
2
1 2
. ... n
n
n
a a
a
u
a a a


Suy ra *
1
1
,
n
n
a
u M n
a

   
Phương pháp 2: Dự đoán và chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Nếu dãy số ( )
n
u được cho bởi một hệ thức truy hồi thì ta có thể sử dụng phương pháp quy nạp
để chứng minh
Chú ý: Nếu dãy số ( )
n
u giảm thì bị chặn trên, dãy số ( )
n
u tăng thì bị chặn dưới
* Công thức giải nhanh một số dạng toán về dãy số bị chặn
Dãy số ( )
n
u có  
1
n
n
u q q
  bị chặn
Dãy số ( )
n
u có  
1
n
n
u q q
   không bị chặn
Dãy số ( )
n
u có n
n
u q
 với 1
q  bị chặn dưới
Dãy số ( )
n
u có n
u an b
  bị chặn dưới nếu 0
a  và bị chặn trên nếu 0
a 

13. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 12
Sưu tầm và biên soạn
Dãy số ( )
n
u có 2
n
u an bn c
   bị chặn dưới nếu 0
a  và bị chặn trên nếu 0
a 
Dãy số ( )
n
u có 1
1 1 0
...
m m
n m m
u a n a n a n a


     bị chặn dưới nếu 0
m
a  và bị chặn trên nếu
0
m
a 
Dãy số ( )
n
u có  
1
1 1 0
...
n m m
n m m
u q a n a n a n a


     với 0
m
a  và 1
q   không bị chặn
Dãy số ( )
n
u có 1
1 1 0
...
m m
n m m
u a n a n a n a


     bị chặn dưới với 0
m
a 
Dãy số ( )
n
u có 1
3
1 1 0
...
m m
n m m
u a n a n a n a


     bị chặn dưới nếu 0
m
a  và bị chặn trên
nếu 0
m
a 
Dãy số ( )
n
u có
 
 
n
P n
u
Q n
 trong đó  
P n và  
Q n là các đa thức, bị chặn nếu bậc của  
P n
nhỏ hơn hoặc bằng bậc của  
Q n
Dãy số ( )
n
u có
 
 
n
P n
u
Q n
 trong đó  
P n và  
Q n là các đa thức, bị chặn dưới hoặc bị chặn
trên nếu bậc của  
P n lớn hơn bậc của  
Q n
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
=
=
=I
Câu 12: Xét tính bị chặn của dãy số ( )
n
u biết
1
2 3
n
u
n



.
Lời giải
Ta có
* * *
1 1 1 1
2 3 5, 0 , 0,
2 3 5 5 2 3
n n n n
n n

              
 
  
1
0
5
n
u
   
Suy ra dãy số ( )
n
u bị chặn
Giải nhanh: dãy số ( )
n
u có n
u có bậc của tử thấp hơn bậc của mẫu nên bị chặn
Câu 13: Xét tính bị chặn của dãy số ( )
n
u biết
4 5
1
n
n
u
n



.
Lời giải
Ta có
*
4 5
0,
1
n
n
u n
n

   


*
4 5 4( 1) 1 1 1 9 9
4 4 ,
1 1 1 2 2 2
n n
n n
u u n
n n n
  
          
  


14. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 13
Sưu tầm và biên soạn
Suy ra
*
9
0 ,
2
n
u n
   
Vậy dãy số ( )
n
u bị chặn
Giải nhanh: dãy số ( )
n
u có n
u có bậc của tử bằng bậc của mẫu nên bị chặn
Câu 14: Xét tính bị chặn của dãy số ( )
n
u biết
3
2
1
n
n
u
n


.
Lời giải
Ta có
3
*
2
0, ( )
1
n n
n
u n u
n
    

 bị chặn dưới
Câu 15: Xét tính bị chặn của dãy số ( )
n
u biết 2 2 2
1 1 1 1
...
2 2 3
n
u
n
     . Mệnh đề nào sau đây đúng ?
Lời giải
Xét
 
2
1 1 1 1
, 2
1 1
k
k k k k k
    
 
Suy ra
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 1 3
1 ...
2 2 2 3 3 4 5 6 1 2 2
n
u
n n n
         
              
         

         
3
0 , *
2
n
u n
    
Vậy ( )
n
u bị chặn
DẠNG 4: TÍNH TỔNG CỦA DÃY SỐ
Dạng 4.1: Tính tổng của dãy số cách đều
PHƯƠNG PHÁP.
1
=
=
=I
Giải sử cần tính tổng: 1 2 ... n
S a a a
    . Trong đó: 1
n n
a a d

 
- Tự luận:
Ta có:        
1 2 1 1 1
2 ...
n n n n
S a a a a a a n a a

        
Từ đó suy ra:
 
1
n.
2
n
a a
S


- Trắc nghiệm:
Công thức tính nhanh:
+ Số hạng tổng quát của dãy số cách đều là:  
1 1
n
u u n d
   với d là khoảng cách giữa 2 số
hạng
+ Số số hạng =: + 1

15. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 14
Sưu tầm và biên soạn
+ Tổng = •: 2
- Casio
Bước 1: Từ công thức của tổng tìm số hạng tổng quát của tổng và số số hạng.
Bước 2: Sử dụng công cụ tính:  y nhập số hạng tổng quát của dãy số y nhập x chạy từ 1
tới n  số số hạng y =.
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
=
=
=I
Câu 16: Tính 1 3 5 ... 4001
S      ?
Lời giải
Ta có: 2 (1 4001) (3 3999) (5 3997) ... (4001 1) 4002 2001
S           

4002.2001
4004001
2
S  
+) Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Số số hạng:
4001 1
1 2001
2
n

  
Tổng:
(1 4001).2001
4004001
2
S

 
+) Giải theo Casio
Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 1 ( 1) 1 ( 1).2 2 1
n
u u n d n n
       
Số số hạng của dãy là 2001
Nhập máy tính cho ta kết quả: 4004001
+) Những sai lầm thường gặp:
- Tính sai số số hạng của dãy
- Tìm sai công thức số hạng tổng quát của dãy số khi làm với máy tính Casio
Lời bình: Nhận thấy việc tìm số hạng tổng quát của dãy đối với HS trung bình, yếu là tương
đối khó khăn. Vì thế ta nên sử dụng công thức giải nhanh để tìm số số hạng và tổng của dãy
một cách nhanh chóng. Ở bài tập này thì việc vận dụng công thức tính nhanh sẽ nhanh hơn
Casio nhé các em!
Câu 17: Cho tổng ( ) 2 4 6 ... 2
S n n
     . Khi đó 30
S bằng?
Lời giải
Ta có: 50 2 4 6 60
S    
2 (2 60) (4 58) (6 56) (60 2)
S        
(2 60).30
( ) 930
2
S n

 

16. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 15
Sưu tầm và biên soạn
+) Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Số hạng thứ 30: 50 2.30 60
u   Số số hạng: 30
n  Tổng:
(2 60).30
930
2
S

 
+) Giải theo Casio
Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 2n
Số số hạng của dãy là: 30
Nhập máy tính cho ta kết quả: 930
Những sai lầm thường gặp:
- Tìm sai số hạng thứn .
Lời bình: Trong bài tập này HS cần chú ý tới số hạng tổng quát trong dãy đã cho sẵn. Từ đó sử
dụng để tìm số hạng thứ n hoặc sử dụng trong việc bấm máy tính Casio một cách nhanh chóng
tìm được kết quả.
Câu 18: Cho dãy số  
n
u xác định bởi: 1 150
u  và 1 3
n n
u u 
  với mọi 2
n  Khi đó tổng 100 số hạng
đầu tiên là:
Lời giải
+) Giải tự luận:
Ta có:
2 1
3 2
100 99
3 150 3 150 1.3 147
3 150 3 3 150 2.3 144
3 150 99.3 147
      
       
     
u u
u u
u u
100 150 147 144 147
S     
100
2 (150 147) (147 144) (144 141) ( 147 150)
S         
100
(150 147) 100
150
2
S
 
 
+) Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Số hạng thứ 100: 100 1 ( 1) 150 99.( 3) 147
u u n d
       
Số số hạng: 100
n 
Tổng:
(150 147) 100
150
2
S
 
 
+) Giải theo Casio
Công thức số hạng tổng quát của dãy là: 150 3( 1) 3 153
n
u n n
     
Số số hạng của dãy là: 100
n 
Nhập máy tính cho ta kết quả: 150
Những sai lầm thường gặp:
- Tìm sai số hạng thứ n của dãy

17. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 16
Sưu tầm và biên soạn
- Tìm sai công thức số hạng tổng quát của dãy số khi làm với máy tính Casio
Lời bình: HS cần ghi nhớ công thức số hạng tổng quát của dãy số cách đều để sử dụng tìm số
hạng thứ n và rút ra công thức số hạng tổng quát của dãy một cách nhanh chóng để xử lý bài
toán.
Dạng 4.2: Tính tổng của dãy số bằng phương pháp khử liên tiếp
PHƯƠNG PHÁP.
1
=
=
=I
Giả sử cần tính tổng: 1 2 ... n
S a a a
    .
- Tự luận:
Bước 1: Ta tìm cách tách: 1 1 2
a b b
  ; 2 2 3
a b b
  ;.
Bước 2: Rút gọn: 1 2 2 3 1 1 1
b ... n n n
S b b b b b b b
 
        
- Trắc nghiệm:
+ Một số công thức tách thường sử dụng:
1 1
n(n a)
a
n n a
  
 
2 1 1
n(n a)(n 2a) ( ) ( )( 2 )
a
n n a n a n a
  
    
2
2 2 2 2
2 1 1
n (n a) ( )
na a
n n a

  
 
. ! ( 1)! !
n n n n
   
+ Nhận định kết quả của tổng là: 1 1
n
S b b 
 
- Casio:
Làm tương tự như dạng 1
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
=
=
=I
Câu 19: Tính tổng sau:
2 2 2 2
...
1.3 3.5 5.7 97.99
S     
Lời giải
Ta có:
1 1 1 1 1 1
; ;...
1.3 1 3 3.5 3 5
   
Do đó:
1 1 1 1 1 1 1 98
... 1
1 3 3 5 97 99 99 99
S          
+) Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Nhận thấy:
1 1 1 1 1 1
; ;...
1.3 1 3 3.5 3 5
   

18. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 17
Sưu tầm và biên soạn
Nhận định:
1 98
1
99 99
S   
+) Giải bằng Casio
Số hạng tổng quát của dãy là:
2
(2 1)(2 1)
n
u
n n

 
Số số hạng của dãy là: 49
n   
2 1 97 49
n n
   
Nhập máy tính cho ta kết quả:
98
99
S 
Những sai lầm thường gặp:
- Tách sai các số hạng
- Tìm sai số hạng tổng quát của dãy số
Lời bình: Học sinh cần chuyển các số hạng của dãy về đúng dạng và tách theo công thức:
1 1
n(n a)
a
n n a
  
 
. Ở bài tập này việc làm bằng máy tính Casio là khó khăn và phức tạp hơn
vì chưa có sẵn số hạng tổng quát và số số hạng.
Câu 20: Cho tổng
1 1 1 1
...
1.2.3 2.3.4 3.4.5 n(n 1)(n 2)
n
S     
 
. Khi đó công thức của n
S là:
Lời giải
Ta có:
2.1 1 1 2.1 1 1
; ;...
1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4
   
Suy ra:
1 1 1 1 1 1 1 1 ( 3)
2 ...
1.2 2.3 2.3 3.4 ( 1) ( 1)( 2) 1.2 ( 1)( 2) 2( 1)( 2)
n
n n
S
n n n n n n n n

         
      
Vậy:
( 3)
4( 1)( 2)
n
n n
S
n n


 
+) Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Nhận thấy:
2.1 1 1 2.1 1 1
; ;...
1.2.3 1.2 2.3 2.3.4 2.3 3.4
   
Nhận định:
1 1 1 ( 3)
2 1.2 ( 1)( 2) 4( 1)( 2)
n
n n
S
n n n n
  
  
 
   
 
Những sai lầm thường gặp:
- Tách sai các số hạng
Lời bình: Học sinh cần chuyển các số hạng của dãy về đúng dạng và tách theo công thức:
2 1 1
n(n a)(n 2a) ( ) ( )( 2 )
a
n n a n a n a
  
    

19. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 18
Sưu tầm và biên soạn
Câu 21: Cho tổng 2 2 2 2
3 5 7 2 1
...
(1.2) (2.3) (3.4) [n( 1)]
n
n
S
n

    

. Tính 10
S
Lời giải
Cách 1:
Ta có:
   
2 2
3 1 1 1 1 1
; ;...
1 4 4 9
1.2 2.3
   
Suy ra:
 
2
2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 ( 2)
...
1 4 4 9 1 ( 1) ( 1)
1
n
n n
S
n n n
n

         
 

Vậy: 10 2
10(10 2) 120
(10 1) 121
S

 

Cách 2:
Ta có:
 
10 2
2 2 2
3 5 7 21
...
(1.2) (2.3) (3.4) 10.11
S     
Suy ra: 10 2 2 2
1 1 1 1 1 1 1 1 120
...
1 4 4 9 10 11 1 11 121
S          
+) Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Nhận thấy:
   
2 2
3 1 1 5 1 1
; ;...
1 4 4 9
1.2 2.3
   
Nhận định: 2 2
1 1 ( 2)
1 ( 1) ( 1)
n
n n
S
n n

  
 
. Suy ra: 10 2
10(10 2) 120
(10 1) 121
S

 

+) Casio
Công thức số hạng tổng quát của dãy là:
 
2
2 1
1
n
n
u
n n



 
 
Số số hạng của dãy là: 10
n 
Nhập máy tính cho ta kết quả:
120
121
Những sai lầm thường gặp:
- Tách sai các số hạng
Lời bình: Học sinh cần chuyển các số hạng của dãy về đúng dạng và tách theo công thức:
2
2 2 2 2
2 1 1
n (n a) ( )
na a
n n a

  
 
.
Dạng 4.3: Tính tổng bằng cách chuyển về phương trình có ẩn là tổng cần tính

20. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 19
Sưu tầm và biên soạn
PHƯƠNG PHÁP.
1
=
=
=I
Giả sử cần tính tổng: 1 2 ... n
S a a a
    .
- Tự luận:
Sơ đồ giải: Từ công thức của tổng S ta chuyển về phương trình chứa ẩn S Giải pt S
- Trắc nghiệm:
Tổng có dạng:
 
1
1
2
1 1 1 1
1
...
1
n
n
u a
S u u a u a u a S
a


      

với 1
a 
- Casio:
Làm tương tự như dạng 1
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
=
=
=I
Câu 22: Tính tổng:
2 50
1 3 3 ... 3
S      ?
Lời giải
Ta có:
2 3 51
3 3 3 3 ... 3
S    
   
2 3 51 2 50
3 3 3 3 ... 3 1 3 3 ... 3
S S
         
51
51 3 1
2 3 1
2
S S

     .
+) Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Áp dụng công thức tính nhanh với 1 1; 3
u a
  ta có:
51
3 1
2
S

 .
+) Giải theo Casio
Công thức số hạng tổng quát của dãy là:
1
3n
n
u 

Số số hạng của dãy là: 51
n 
Nhập máy tính cho ta kết quả: 24
1,076846982.10 .
Ta gán: 24
1,076846982.10 A
 )
Lấy từng kết quả ở 4 đáp án trừ cho A khi nào bằng 0 thì chọn đáp án đó.
+) Những sai lầm thường gặp:
- Tìm sai số hạng tổng quát của dãy số
Lời bình: Khi làm với máy tính Caiso các em cần tìm chính xác số hạng tổng quát của dãy số việc
này quyết định máy có đưa ra được kết quả chính xác hay không. Ở bài tập này nếu các em thuộc
được công thức tính nhanh thì ta có thể giải quyết bài toán hết sức nhanh chóng. Chú ý rằng bài

21. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 20
Sưu tầm và biên soạn
toán này có thể hạn chế Casio bằng cách cho 2 đáp án ở “gần nhau” chẳng hạn phương án
B.
51
3
2
thì khi làm bằng Casio sẽ có 2 đáp án không phân biệt được là B
và C
Câu 23: Tính tổng 100
2 3 100
1 1 1 1
4.5 . ... 1
5 5 5 5
S
 
     
 
 
?
Lời giải
Đặt: 2 3 100
1 1 1 1
...
5 5 5 5
M     
Ta có: 2 99
1 1 1
5 1 ...
5 5 5
M     
2 99 2 3 100 100
1 1 1 1 1 1 1 1
5 1 ... ... 1
5 5 5 5 5 5 5 5
M M
   
             
   
   
100
100 100
1 5 1
4 1
5 4.5
M M

    
100
100 100
100
5 1
4 5 1 5
4.5
S

     
+) Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Đặt: 2 3 100
1 1 1 1
...
5 5 5 5
M     
Áp dụng công thức tính nhanh với: 1
1 1
;
5 5
u a
  ta có:
100
100
100
1 1
1
5 5 5 1
1 4.5
1
5
M
 
 

 
 
 
  
 
 

100
100 100
100
5 1
4 5 1 5
4.5
S

     
Câu 24: Tính tổng:
1 1 1 1
1 1 1 ... 1
2 4 8 2n
S
       
        
       
       
. Tính 10
S
Lời giải
Cách 1:
Ta có: 10 2 3 10 2 3 10
1 1 1 1 1 1 1 1
1 1 1 ... 1 10 ...
2 2 2 2 2 2 2 2
S
         
              
         
         
Đặt: 2 3 10
1 1 1 1
...
2 2 2 2
M     
Ta có: 2 9
1 1 1
2 1 ...
2 2 2
M     

22. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 21
Sưu tầm và biên soạn
2 9 2 3 10 10
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 ... ... 1
2 2 2 2 2 2 2 2
M M M
   
              
   
   
10 10
1 1
10 1 9
2 2
S
     
Cách 2:
Ta có: 2 3
1 1 1 1
...
2 2 2 2
n n
S n
 
     
 
 
Đặt: 2 3
1 1 1 1
...
2 2 2 2n
M     
Ta có: 2 1
1 1 1
2 1 ...
2 2 2n
M 
    
2 1 2 3
1 1 1 1 1 1 1 1
2 1 ... ... 1
2 2 2 2 2 2 2 2
n n n
M M M 
   
              
   
   
1
1
2
n n
S n
   
10 10 10
1 1
10 1 9
2 2
S
     
+) Giải theo phương pháp trắc nghiệm:
Ta có: 10 2 3 10
1 1 1 1
10 ...
2 2 2 2
S
 
     
 
 
10
2 3 10 10
1 1
1
2 2
1 1 1 1 1
... 1
1
2 2 2 2 2
1
2
 
 

 
 
 
 
 
      

10 10
1 1
10 1 9
2 2
S
     
+) Giải theo Casio
Nhận xét: 2 3
1 1 1 1
...
2 2 2 2
n n
S n
 
     
 
 
Nhập máy tính tổng 2 3
1 1 1 1
...
2 2 2 2n
    với số hạng tổng quát:
1
2
n n
u  , số số hạng: 10
n
u 
ta được kết quả:
1023
1024
. Nhập tiếp: 10 – Ans được kết quả:
9217
1024
Ta gán:
9217
1024
A
 )
Lấy từng kết quả ở 4 đáp án trừ cho A khi nào bằng 0 thì chọn đáp án đó.

23. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 22
Sưu tầm và biên soạn
Dạng 4.4: Tính tổng bằng cách đưa về các tổng đã biết
PHƯƠNG PHÁP.
1
=
=
=I
Giải sử cần tính tổng: 1 2 ...
n n
S a a a
    .
- Tự luận:
Tìm cách tách: 1 2 3 ...
n
S S S S
    . Trong đó: 1 2 3
; ;S ...
S S đã biết công thức tính tổng.
- Trắc nghiệm:
Ta có thể dùng phương pháp thử giá trị n vào các đáp án để loại trừ và chọn ra đáp án đúng.
- Casio:
Làm tương tự như dạng 1
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
=
=
=I
Câu 25: Tính: 1.3 2.5 3.7 ... (2 1)
n
S n n
      . Biết rằng:
2 2 2 2
1 1
( 1) ( 1)(2 1)
1 2 3 ... ; 1 2 3 ...
2 6
n n
i i
n n n n n
i n i n
 
  
           
 
Lời giải
2 2
1 1 1 1
2 ( 1)(2n 1) ( 1) ( 1)(4 5)
(2 1) (2i ) 2
6 2 6
n n n n
i i i i
n n n n n n n
S i i i i i
   
    
        
   
Câu 26: Cho: 1.2 3.4 5.6 ... (2 1).2
n
S n n
      . Tính 100
S biết rằng:
2 2 2 2
1 1
( 1)(2 1)
2 2 4 6 ... 2 ( 1); 1 2 3 ...
6
n n
i i
n n n
i n n n i n
 
 
            
  .
Lời giải
Ta có:
2 2
1 1 1 1
4 ( 1)(2n 1) ( 1)(4 1)
2 (2 1) (4i 2 ) 4 2 ( 1)
6 3
n n n n
n
i i i i
n n n n n
S i i i i i n n
   
   
         
   
100
100.(100 1)(4.100 1)
1343300
3
S
 
  
Câu 27: Cho tổng: 1.4 2.7 3.10 ... .(3 1)
n
S n n
      với
*
n . Biết: 294
k
S  . Giá trị của k là:
Lời giải
Ta có: 2 2 2
1 1 1 1
3 ( 1)(2n 1) ( 1)
(3 1) (3i ) 3 ( 1)
6 2
n n n n
n
i i i i
n n n n
S i i i i i n n
   
  
         
   
2 3 2 2
( 1) 294 2 294 ( 6)( 8 49) 0 6
k
S k k k k k k k k k
              
DẠNG 5: XÁC ĐỊNH CÔNG THỨC SỐ HẠNG TỔNG QUÁT CỦA DÃY SỐ

24. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 23
Sưu tầm và biên soạn
PHƯƠNG PHÁP.
1
=
=
=I
Nếu  
n
u có dạng 1 2 ...
n n
u a a a
    thì biến đổi k
a thành hiệu của hai số hạng, dựa vào đó thu
gọn n
u .
Nếu dãy số  
n
u được cho bởi một hệ thức truy hồi, tính vài số hạng đầu của dãy số, từ đó dự đoán
công thức tính n
u theo n, rồi chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp. Ngoài ra
cũng có thể tính hiệu 1
n n
u u
  dựa vào đó để tìm công thức tính  
n
u theo n.
BÀI TẬP TỰ LUẬN.
2
=
=
=I
Câu 28: Cho dãy số  
n
a có
 
1
1
k
a
k k


. Đặt
1
n
n k
k
u a

  . Xác định công thức tính  
n
u theo n.
Lời giải
Ta có
 
1 1 1
1 1
k
a
k k k k
  
 
, do đó:
1
1 1 1 1 1 1 1 1
1 ... 1
2 2 3 1 1 1
n
n k
k
u a
n n n n n

       
           
       
  
       
 .
Câu 29: Xác định công thức tính số hạng tổng quát n
u theo n của dãy số sau:
1
1
3
2
n n
u
u u




 

.
Lời giải
Ta có:
2 1 2 3 2 5.
u u
    
3 2 2 5 2 7.
u u
    
4 3 2 7 2 9.
u u
    
5 4 2 9 2 11.
u u
    
Từ các số hạng đầu trên, ta dự đoán số hạng tổng quát n
u có dạng:
 
2 1 1
n
u n n
    
Ta dùng phương pháp chứng minh quy nạp để chứng minh công thức 
 đúng.
Với 1
1; 2.1 1 3
n u
    . Vậy  
 đúng với 1.
n 
Giả sử  
 đúng với .
n k
 Có nghĩa ta có:  
2 1 2
k
u k
 
Ta cần chứng minh  
 đúng với 1.
n k
  Có nghĩa là ta phải chứng minh:
 
1 2 1 1 2 3.
k
u k k
     

25. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ – CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 24
Sưu tầm và biên soạn
Thật vậy từ hệ thức xác định dãy số và theo  
2 ta có:
1 2 2 1 2 2 3.
k k
u u k k
       
Vậy  
 đúng khi 1.
n k
  Kết luận  
 đúng với mọi số nguyên dương n .
Câu 30: Xác định công thức tính số hạng tổng quát n
u theo n của dãy số sau:
1
3
1
1
1.
n n
u
n
u u n



 

 

Lời giải
Ta có:
3 3
1 1 .
n n n n
u u n u u n
 
    
Từ đó suy ra:
1 1
u 
3
2 1 1
u u
 
3
3 2 2
u u
 
3
4 3 3
u u
 
..............
 
3
1 2 2
n n
u u n
 
  
 
3
1 1
n n
u u n

  
Cộng từng vế n đẳng thức trên:
   
3 3
3 3 3
1 2 1 3 2 1 2 1
... 1 1 2 3 ... 2 1
n n n n
u u u u u u u u u n n
  
                 
   
3 3
3 3 3
1 1 2 3 ... 2 1 .
n
u n n
         
Bằng phương pháp quy nạp ta chứng minh được:  
 
2 2
3
3 3 3 1 .
1 2 3 ... 1
4
n n
n

     
Vậy
 
2
2
1
1
4
n
n n
u

 
Mở rộng phương pháp:
Nếu dãy số  
n
u được cho dưới dạng liệt kê thì ta có thể thử giá trị n vào từng đáp án.
Nếu dãy số  
n
u được cho bởi một hệ thức truy hồi tính vài số hạng đầu của dãy số sau đó ta có thể
thử giá trị n vào từng đáp án.

26. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 1
Sưu tầm và biên soạn
C
H
Ư
Ơ
N
G
II DÃY SỐ
CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
BÀI 2: DÃY SỐ
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM.
III
==
=I DẠNG 1. BIỂU DIỄN DÃY SỐ, TÌM CÔNG THỨC TỔNG QUÁT
Câu 1: Cho dãy số có các số hạng đầu là:9; 99; 999; 9999,… Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n


B. 10 1
n
n
u   . C. 9n
n
u  D. 9
n
u n

Lời giải
Nhận xét: 1
1 10 1
u   ; 2
2 10 1
u   ; 3
3 10 1
u   ; 4
4 10 1
u   .
Câu 2: Cho dãy số
1 3 2 5
, , , ,...
2 5 3 7
. Công thức tổng quát n
u nào là của dãy số đã cho?
A. *
1
n
n
u n
n
  

 . B. *
2
n n
n
u n
   . C. *
1
3
n
n
u n
n

  

 . D. *
2
2 1
n
n
u n
n
  

 .
Lời giải
Viết lại dãy số:
2 3 4 5
, , , ,...
4 5 6 7
1
3
n
n
u n
n


   

 .
Câu 3: Cho dãy số có các số hạng đầu là:5;10;15;20;25;... Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. 5( 1)
n
u n
  . B. 5
n
u n
 . C. 5
n
u n
  . D. 5. 1
n
u n
  .
Lời giải
Ta có:
5 5.1

10 5.2

15 5.3

20 5.4

25 5.5

Suy ra số hạng tổng quát 5
n
u n
 .

27. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 2
Sưu tầm và biên soạn
Câu 4: Cho dãy số có các số hạng đầu là:8,15,22,29,36,... .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A. 7 7
n
u n
  . B. 7.
n
u n

.
C. 7. 1
n
u n
  . D. n
u : Không viết được dưới dạng công thức.
Lời giải
Ta có:
8 7.1 1
 
15 7.2 1
 
22 7.3 1
 
29 7.4 1
 
36 7.5 1
 
Suy ra số hạng tổng quát 7 1
n
u n
  .
Câu 5: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ;...
5
4
;
4
3
;
3
2
;
2
1
;
0 .Số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n

 . B.
1
n
n
u
n


. C.
1
n
n
u
n

 . D.
2
1
n
n n
u
n



.
Lời giải
Ta có:
0
0
0 1


1 1
2 1 1


2 2
3 2 1


3 3
4 3 1


4 4
5 4 1


Suy ra
1
n
n
u
n


.
Câu 6: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 1;1; 1;1; 1;...
   .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng
A. 1

n
u . B. 1


n
u . C. n
n
u )
1
(
 . D.  
1
1
n
n
u

  .
Lời giải
Ta có:
Các số hạng đầu của dãy là            
1 2 3 4 5
1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ;... 1
n
n
u
        .

28. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 3
Sưu tầm và biên soạn
Câu 7: Cho dãy số  
n
u xác định bởi  
1
1
1
1
3
n n
u
n
u u







. Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số
trên.
A. 3
 n
n
u . B. 1
3 
 n
n
u . C. 1
3 2

 
n
n
u . D. 3 2
 
n
n
u .
Lời giải
Ta có
0
1
1
2
2
3
1 3
3
3
u
u
u
 


…
Dự đoán 1 *
3 ,
n
n
u n

  . Ta dễ dàng chứng minh được công thức này bằng quy nạp
+ với   
1
1 1
n u suy ra khẳng định đúng
+ Giả sử   2
n k ta có 
 1
3k
k
u . Ta phải chứng minh  
1 3k
k
u
Thật vậy, theo công thức truy hồi ta có 
   
1
1 3. 3.3 3
k k
k k
u u
Vậy theo nguyên lý quy nạp ta dã chứng minh được 1 *
3 ,
n
n
u n

 
Câu 8: Cho dãy số có các số hạng đầu là:0.1;0.01;0.001;0.0001... . Số hạng tổng quát của dãy số này có
dạng?
A.  



0
0.00...01
n
n sè
u . B.

 



1 0
0.00...01
n
n sè
u .
C. 1
1
10
n n
u 
 . D. 1
1
10
n n
u 
 .
Lời giải
Ta có
1
2 2
3 3
1
0.1
10
1
0.01
10
1
0.001
10
u
u
u
 
 
 
…
Dự đoán   



0
1
0.00...01
10
n n
n sè
u .
Câu 9: Cho dãy số  
n
u xác định bởi:  
1
1
1
1
2
n n
u
n
u u





 

. Xác định công thức của số hạng tổng quát.

29. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 4
Sưu tầm và biên soạn
A. 2 1
n
u n
  . B. 3 2
n
u n
  . C. 4 3
n
u n
  . D. 8 7
n
u n
  .
Lời giải
Ta có



1
2
3
1
3
5
u
u
u
…
Dự đoán   *
2 1,
n
u n n . Ta dễ dàng chứng minh được công thức dự đoán bằng quy nạp
Câu 10: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2 3 4 5
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;...
3 3 3 3 3
Số hạng tổng quát của dãy số này là?
A. 1
1 1
.
3 3
n n
u 
 . B. 1
1
3
n n
u 
 . C.
1
3
n n
u  . D. 1
1
3
n n
u 
 .
Lời giải
Từ các số hạng đầu tiên của dãy số ta dự đoán  *
1
,
3
n n
u n
Câu 11: Cho dãy số  
n
u với
1
1
5
n n
u
u u n




 

.Số hạng tổng quát n
u của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A.
 
1
2
n
n n
u

 . B.
 
1
5
2
n
n n
u

  .
C.
 
1
5
2
n
n n
u

  . D.
  
1 2
5
2
n
n n
u
 
  .
Lời giải
Theo công thức truy hồi ta có   
1
n n
u u n . Khi đó


 
 
  
1
2 1
3 2
1
5
1
2
...
1
n n
u
u u
u u
u u n
Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được  
 

       
1
5 1 2 3 ... 1 5
2
n
n n
u n
Câu 12: Cho dãy số  
n
u với 1
1
1
2
2





  
 n n
u
u u
. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.  
1
2 1
2
  
n
u n . B.  
1
2 1
2
  
n
u n . C.
1
2
2
 
n
u n . D.
1
2
2
 
n
u n .
Lời giải

30. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 5
Sưu tầm và biên soạn
Ta có:
1
2 1
3 2
1
1
2
2
2
...
2





 


 



 



n n
u
u u
u u
u u
. Cộng hai vế ta được  
1 1
2 2... 2 2 1
2 2
      
n
u n .
Câu 13: Cho dãy số có các số hạng đầu là: 2;0;2;4;6;...
 .Số hạng tổng quát của dãy số này có dạng?
A. n
un 2

 . B.   n
un 

 2 . C.   )
1
(
2 

 n
un . D.    
2 2 1
n
u n
    .
Lời giải
Dãy số là dãy số cách đều có khoảng cách là 2 và số hạng đầu tiên là  
2
 nên
   
2 2. 1
n
u n
    .
Câu 14: Cho dãy số có các số hạng đầu là: ;
3
1
;
3
1
;
3
1
;
3
1
;
3
1
5
4
3
2
….Số hạng tổng quát của dãy số này là?
A. 1
3
1
3
1

 n
n
u . B. 1
3
1

 n
n
u . C. n
n
u
3
1
 . D. 1
3
1

 n
n
u .
Lời giải
5 số hạng đầu là 2 3 4 5
1
1 1 1 1 1
; ; ; ; ;...
3 3 3 3 3
nên
1
3
n n
u  .
Câu 15: Cho dãy số  
n
u với
 
1
2
1
1
1
n
n n
u
u u





  


. Số hạng tổng quát n
u của dãy số là số hạng nào dưới
đây?
A. 1
n
u n
  . B. 1
n
u n
  . C.  
2
1 1
n
n
u    . D. n
u n
 .
Lời giải
Ta có:
 
2
1 2 3 4
1 1 2; 3; 4;...
n
n n n
u u u u u u
         
Dễ dàng dự đoán được n
u n

.
Thật vậy, ta chứng minh được n
u n
  
* bằng phương pháp quy nạp như sau:
+ Với 1
1 1
n u
   . Vậy  
* đúng với 1
n 
+ Giả sử  
* đúng với mọi  
*
n k k
  , ta có: k
u k
 . Ta đi chứng minh  
* cũng đúng với
1
n k
  , tức là: 1 1
k
u k
  
+ Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số  
n
u ta có:  
2
1 1 1
k
k k
u u k
      . Vậy  
* đúng với
mọi
*
n .
Câu 16: Cho dãy số  
n
u với
 
1
2 1
1
1
1
n
n n
u
u u






  


. Số hạng tổng quát n
u của dãy số là số hạng nào dưới
đây?

31. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 6
Sưu tầm và biên soạn
A. 2
n
u n
  . B. n
u không xác định. C. 1
n
u n
  . D. n
u n
  với mọi n .
Lời giải
Ta có: 2 3 4
0; 1; 2
u u u
     ,. Dễ dàng dự đoán được 2
n
u n
  .
Câu 17: Cho dãy số  
n
u với
1
2
1
1
n n
u
u u n




 

. Số hạng tổng quát n
u của dãy số là số hạng nào dưới đây?
A.
  
1 2 1
1
6
n
n n n
u
 
  . B.
  
1 2 2
1
6
n
n n n
u
 
  .
C.
  
1 2 1
1
6
n
n n n
u
 
  . D.
  
1 2 2
1
6
n
n n n
u
 
  .
Lời giải
Ta có:
 
1
2
2 1
2
3 2
2
1
1
1
2
...
1
n n
u
u u
u u
u u n

 

 


 



   

.
Cộng hai vế ta được  
  
2
2 2 1 2 1
1 1 2 ... 1 1
6
n
n n n
u n
 
       
Câu 18: Cho dãy số  
n
u với
1
1
2
2 1
n n
u
u u n




  
 . Số hạng tổng quát n
u của dãy số là số hạng nào dưới
đây?
A.  
2
2 1
n
u n
   . B. 2
2
n
u n
  . C.  
2
2 1
n
u n
   . D.  
2
2 1
n
u n
   .
Lời giải
Ta có:
1
2 1
3 2
1
2
1
3
...
2 3
n n
u
u u
u u
u u n



  


 



  


. Cộng hai vế ta được    
2
2 1 3 5 ... 2 3 2 1
n
u n n
         
Câu 19: Cho dãy số  
n
u với
1
1
2
1
2
n
n
u
u
u

 



  


. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.
1
n
n
u
n

  . B.
1
n
n
u
n

 . C.
1
n
n
u
n

  . D.
1
n
n
u
n
 

.
Lời giải
Ta có: 1 2 3
3 4 5
; ; ;...
2 3 4
u u u
      Dễ dàng dự đoán được
1
n
n
u
n

  .

32. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 7
Sưu tầm và biên soạn
Câu 20: Cho dãy số  
n
u với 1
1
1
2
2
n n
u
u u





  

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.  
1
2 1
2
n
u n
   . B.  
1
2 1
2
n
u n
   . C.
1
2
2
n
u n
  . D.
1
2
2
n
u n
  .
Lời giải
Ta có:
1
2 1
3 2
1
1
2
2
2
...
2
n n
u
u u
u u
u u 




 


 



 



. Cộng hai vế ta được  
1 1
2 2... 2 2 1
2 2
n
u n
       .
Câu 21: Cho dãy số  
n
u với
1
1
1
2
n
n
u
u
u 
 






. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này là:
A.  
1
1 .
2
n
n
u
 
   
 
. B.  
1
1
1 .
2
n
n
u

 
   
 
. C.
1
1
2
n
n
u

 
  
 
. D.  
1
1
1 .
2
n
n
u

 
   
 
.
Lời giải
Ta có:
1
1
2
2
3
1
1
2
2
...
2
n
n
u
u
u
u
u
u
u 
 


 








 


.
Nhân hai vế ta được      
1
1 2 3 1
1 2 3 1
1 lan
. . ... 1 1
. . ... 1 . 1 . 1 .
2.2.2...2 2 2
n
n
n n n
n
u u u u
u u u u u




 
        
 




Câu 22: Cho dãy số  
n
u với
1
1
2
2
n n
u
u u






. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
A. 1
n
n
u n 
 . B. 2n
n
u  . C. 1
2n
n
u 
 . D. 2
n
u  .
Lời giải
Ta có:
1
2 1
3 2
1
2
2
2
...
2
n n
u
u u
u u
u u 


 









. Nhân hai vế ta được 1
1 2 3 1 2 1
. . ... 2.2 . . ... 2
n n
n n n
u u u u u u u u


  

33. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 8
Sưu tầm và biên soạn
Câu 23: Cho dãy số  
n
u với 1
1
1
2
2
n n
u
u u





 

. Công thức số hạng tổng quát của dãy số này:
A. 1
2n
n
u 
  . B. 1
1
2
n n
u 

 . C.
1
2
n n
u

 . D. 2
2n
n
u 
 .
Lời giải
Ta có:
1
2 1
3 2
1
1
2
2
2
...
2
n n
u
u u
u u
u u 















. Nhân hai vế ta được
1 2
1 2 3 1 2 1
1
. . ... .2 . . ... 2
2
n n
n n n
u u u u u u u u
 

  
Câu 24: Cho dãy số  
n
u xác định bởi
1
*
1
2
1
2 ,
n
n
u
u n
u

  


    



.
Tìm công thức số hạng tổng quát của dãy số.
A.
3 1

 
n
n
u
n
. B.
1
 

n
n
u
n
. C.
1


n
n
u
n
. D.
1

 
n
n
u
n
.
Lời giải
Từ 1
1
2
n
n
u
u

   1
. 2 1
n n n
u u u

    1 1 1
. 1
n n n n n n
u u u u u u
  
     
  
1 1
1 1
n n n n
u u u u
 
    
  
1
1
1
1 1
n n
n n
u u
u u



 
  1
1 1
1
1 1
n n
u u 
  
 
Đặt
1
1
n
n
v
u


. Khi đó 1 1
1 1
n n n n
v v v v
 
     
  
1
1 1
n
v v n
    
1
1
1
1
n
v n n
u
     

1
1
n
n
u
  

1
1
n
u
n
   
1 1
1
n
n
u
n n

      .
Câu 25: Cho dãy số  
n
u với
 
1
2
1
1
1





  


n
n n
u
u u
.Công thức tổng quát n
u nào dưới đây là của dãy số đã
cho?
A. 
n
u n . B. 1
 
n
u n . C.  
2
1 1
  
n
n
u . D. 1
 
n
u n .
Lời giải
Ta có:  
2
1 1 1
     
n
n n n
u u u  2 2;

u 3 3;

u 4 4;...

u

34. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 9
Sưu tầm và biên soạn
Dự đoán được *
,
  
n
u n n .
Ta chứng minh *
,
  
n
u n n  
* bằng phương pháp quy nạp:
+ Với 1
1 1
  
n u .Vậy  
* đúng với 1

n .
+ Giả sử  
* đúng với  
*
 
n k k , tức là ta có: 
k
u k .
+ Ta đi chứng minh  
* cũng đúng với 1
 
n k ,tức là cần chứng minh: 1 1
  
k
u k .
Thật vậy, từ hệ thức xác định dãy số  
n
u ta có:  
2
1 1 1
     
k
k k
u u k .
Vậy  
* đúng với mọi *

n .
Câu 26: Gọi
  
1 1 1 1
....
1.3 3.5 5.7 2 1 2 1
n
S
n n
    
 
với mọi *
n   . Ta có:
A.
1
2 1
n
n
S
n



. B.
2
2 1
n
n
S
n


. C.
2 1
n
n
S
n


. D.
1
2 3
n
n
S
n



.
Lời giải
Ta có:
  
1 1 1 1
....
1.3 3.5 5.7 2 1 2 1
n
S
n n
    
 
.
   
1 1 1 1 1 1 1 1 1
....
2 1 3 3 5 5 7 2 1 2 1
n n
 
        
 
 
 
 
Câu 27: Cho dãy số  
n
u xác định bởi
1
1
1
2 1, 1
n n
u
u u n n




   

. Giá trị của n để 2017 2018 0
n
u n
   
là
A. Không có n . B. 1009 . C. 2018 . D. 2017 .
Lời giải
Ta có:
 
1
2 1
3 2
4 3
1
1
2.1 1
2.2 1
2.3 1
....
2 1 1
n n
u
u u
u u
u u
u u n


  
  
  
   
Cộng vế với vế các đẳng thức trên ta được:
 
   2 *
1 1 1
2 1 2 3 ... 1 2. ,
2
n
n n
u n n n n n
  
            .

35. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 10
Sưu tầm và biên soạn
Do đó:
2 1
2017 2018 0 2017 2018 0
2018
n
n
u n n n
n
 

           

Vậy 2018.
n 
Câu 28: Cho hai cấp số cộng  :1;6;11;...
n
u và  : 4;7;10;...
n
v Mỗi cấp số có 2018 số. Hỏi có bao nhiêu số
có mặt trong cả hai dãy số trên.
A. 403 . B. 401 . C. 402 . D. 504 .
Lời giải
Dãy  
n
u có số hạng tổng quát là    
1 5 1 5 4, 1 2018
n
u n n n
       .
Dãy  
m
v có số hạng tổng quát là    
4 3 1 3 1, 1 2018
m
v m m m
       .
Một số có mặt trong cả hai dãy số trên nếu tồn ại ,
m n   thỏa mãn điều kiện:
1 , 2018
(*)
m n
m n
u u
  



 


.
Ta có      
* 5 4 3 1 5 1 3 **
n m n m
      
Từ  
** suy ra 5
m , mặt khác 1 2018
m
  nên ta được tập các giá trị của m là  
5;10;...;2015 .
Xét với 2015
m  thì
3.2015
1 1210 2018
5
n     , thỏa điều kiện 1 2018
n
  .
Do tập  
5;10;...;2015 có 403 số nên có tất cả 403 số có mặt trong cả hai dãy đã cho.
Câu 29: Cho dãy số  
n
u thỏa
1
2
1
3
2 3, , 2
n n
u
u u n n n n




      
 
. Tính tổng 20 1 2 20
...
S u u u
   
A. 2022 . B. 8385080 . C. 2021. D. 8385087 .
Lời giải
Ta có:
   
   
 
2
1
2 2
1
2
2
1
2
2
1
2 3
3 1 2 2 4 2 6 6 2
3 1 2 2 1 6 1 2
3 1 2 1 3 1 1
n n
n n
n n
n n
u u n n
u n n u n n n
u n n u n n
u n n u n n




   
          
         
         
, 1
n n
  
 , đặt
   
2
1 1
2
2
1 1
1 3.1 1 8
3 1
1 3 1 1
n n
n n
v u
v u n n
v u n n
 
     

     
     


Ta có dãy   1
1
8
:
2 , , 2
n
n n
v
v
v v n n




   
 
là một cấp số nhân với 1 8
v  , công bội là 2
q 
1 2
8.2 2
n n
n
v  
  
Vậy 2 2
2 3 1
n
n
u n n

   

36. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 11
Sưu tầm và biên soạn
Vậy    
2 2 2 2
1 ... 2 2 2 ... 2 1 2 ... 3 1 2 ...
n
n n
S u u n n n
               
      
3 1 2 1 1
2 2 1 3
6 2
n n n n n n
n
  
    
Vậy 20 8385087
S  .
DẠNG 2. TÌM HẠNG TỬ TRONG DÃY SỐ
Câu 30: Cho dãy số  ,
n
u biết
2
2
2 1
.
3
n
n
u
n



Tìm số hạng 5.
u
A. 5
1
.
4
u  B. 5
17
.
12
u  C. 5
7
.
4
u  D. 5
71
.
39
u 
Lời giải
Ta có
2
5 2
2.5 1 7
5 3 4
u

 

Câu 31: Cho dãy số  ,
n
u biết  
n
n
u n
1 .2 .
  Mệnh đề nào sau đây sai?
A. 1 2.
u   B. 2 4.
u  C. 3 6.
u  D. 4 8.
u 
Lời giải
Vì  
4
4 1 .2.4 8
u   
Câu 32: Cho dãy số  ,
n
u biết  
2
1 . .
n
n
n
u
n
  Tìm số hạng 3.
u
A. 3
8
.
3
u  B. 3 2.
u  C. 3 2.
u  D. 3
8
.
3
u 
Lời giải
Ta có  
3
3
3
2 8
1
3 3
u    
Câu 33: Cho dãy số  ,
n
u biết
2
n n
n
u  . Chọn đáp án đúng.
A. 4
1
.
4
u  B. 5
1
.
16
u  C. 5
1
.
32
u  D. 3
1
.
8
u 
Lời giải
Ta có 4 4
4 1
2 4
u  
Câu 34: Cho dãy số  ,
n
u biết ( 1) sin( )
2
n
n
n
u n

  . Số hạng thứ 9 của dãy số đó là:
A. 0. B. 9. C. 1. D. 9.
Lời giải
Ta có  
9
9
9
9. 1 .sin 9
2
u

 
   
 
 

37. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 12
Sưu tầm và biên soạn
Câu 35: Cho dãy số  ,
n
u biết
1
1
n
u
n


. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới
đây?
A.
1 1 1
; ; .
2 3 4
B.
1 1
1; ; .
2 3
C.
1 1 1
; ; .
2 4 6
D.
1 1
1; ; .
3 5
Lời giải
Ta có 1 2 3
1 1 1
, ,
2 3 4
u u u
  
Câu 36: Cho dãy số  ,
n
u biết
2 1
2
n
n
u
n



. Viết năm số hạng đầu của dãy số.
A. 1 2 3 4 5
3 7 3 11
1, , , ,
4 5 2 7
u u u u u
     . B. 1 2 3 4 5
5 7 3 11
1, , , ,
4 5 2 7
u u u u u
     .
C. 1 2 3 4 5
5 8 3 11
1, , , ,
4 5 2 7
u u u u u
     D. 1 2 3 4 5
5 7 7 11
1, , , ,
4 5 2 3
u u u u u
     .
Lời giải
Câu 37: Cho dãy số  ,
n
u biết
3 1
n n
n
u 

. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
A.
1 1 1
; ; .
2 4 8
B.
1 1 3
; ; .
2 4 26
C.
1 1 1
; ; .
2 4 16
D.
1 2 3
; ; .
2 3 4
Lời giải
Câu 38: Cho dãy số  ,
n
u biết
1
2 1
n
n
u
n



. Số
8
15
là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 8. B. 6. C. 5. D. 7.
Lời giải
Ta có  
*
8 1 8
15 15 16 8 7
15 2 1 15
n
n
u n n n n
n

         


Câu 39: Cho dãy số  ,
n
u biết
2 5
.
5 4
n
n
u
n



Số
7
12
là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 6. B. 8. C. 9. D. 10.
Lời giải
Ta có  
*
7 2 5 7
24 60 35 28 11 88 8
12 5 4 12
n
n
u n n n n n
n

           


Câu 40: Cho dãy số  ,
n
u biết 2
1
.
1
n
n
u
n



Số
2
13
là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. Thứ 3. B. Thứ tư. C. Thứ năm. D. Thứ 6.
Lời giải
Ta có  
 
 
* 2 2
2
5
2 1 2
13 13 2 2 2 13 15 0 3
13 1 13
2
n
n n
n
u n n n n n
n n l


 
            

 




38. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 13
Sưu tầm và biên soạn
Câu 41: Cho dãy số  ,
n
u biết 3 2
8 5 7.
n
u n n n
    Số 33
 là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 5. B. 6. C. 8. D. 9.
Lời giải
Ta có  
 
 
3 2 * 3 2
8
33 8 5 7 33 8 5 40 0
5
n
n n
u n n n n n n n
n l
 
               
 



Câu 42: Cho dãy số  
n
u với
2
3 7
1
n
n n
u
n
 


. Hỏi dãy số trên có bao nhiêu số hạng nhận giá trị nguyên.
A. 2. B. 4. C. 1. D. Không có.
Lời giải
Ta có  
2
*
3 7 5
2
1 1
n
n n
u n n
n n
 
    
 

Để n
u nhận giá trị nguyên thì  
*
5
1
n
n


 là số nguyên hay 4
n 
Vậy dãy số  
n
u chỉ có một số hạng nhận giá trị nguyên.
Câu 43: Cho dãy số  
n
u với 2 .
n
n
u  Tìm số hạng 1.
n
u 
A. 1 2 .2.
n
n
u   B. 1 2 1.
n
n
u    C.  
1 2 1 .
n
u n
   D. 1 2 2.
n
n
u   
Lời giải
Ta có 1
1 2 2.2
n n
n
u 
  
Câu 44: Cho dãy số  
n
u với 3 .
n
n
u  Tìm số hạng 2 1.
n
u 
A. 2
2 1 3 .3 1.
n
n
u    B. 1
2 1 3 .3 .
n n
n
u 
  C. 2
2 1 3 1.
n
n
u    D.
 
2 1
2 1 3 .
n
n
u

 
Lời giải
Ta có 2 1 1
2 1 3 3 .3
n n n
n
u  
  
Câu 45: Cho dãy số  
n
u với 3 .
n
n
u  Số hạng 1
n
u  bằng:
A. 3 1
n
 . B. 3 3
n
 . C. 3 .3
n
. D. 3( 1)
n  .
Lời giải
Ta có 1
1 3 3 .3
n n
n
u 
  
Câu 46: Cho dãy số  
n
u với 3 .
n
n
u  Số hạng 2n
u bằng:
A. 3 3
n
 . B. 9n
. C. 3 .3
n
. D. 2
4 n
.
Lời giải
Ta có 2
2 3 9
n n
n
u  
Câu 47: Cho dãy số  
n
u với 1
5 .
n
n
u 
 Tìm số hạng 1
n
u  .
A. 1
1 5n
n
u 
  . B. 1 5n
n
u   . C. 1
1 5.5n
n
u 
  . D. 1
1 5.5n
n
u 
  .
Lời giải

39. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 14
Sưu tầm và biên soạn
Ta có  
1 1
1 5 5
n n
n
u
 
  
Câu 48: Cho dãy số  
n
u với
2 3
1
.
1
n
n
n
u
n


 
  

 
Tìm số hạng 1
n
u  .
A.
 
2 1 3
1
1
.
1
n
n
n
u
n
 

 
 

 
 

 

B.
 
2 1 3
1
1
.
1
n
n
n
u
n
 

 
 

 
 

 

C.
2 3
1 .
2
n
n
n
u
n


 


 
 

 

D.
2 5
1 .
2
n
n
n
u
n


 


 
 

 

Lời giải
Ta có
 
2 1 3 2 5
1
1 1
1 1 2
n n
n
n n
u
n n
  

 
   
 
   
  
   
Câu 49: Cho dãy số  
n
u xác định bởi
 
1
1
2
.
1
1
3
n n
u
u u

 




  



Tìm số hạng 4.
u
A. 4
5
.
9
u  B. 4 1.
u  C. 4
2
.
3
u  D. 4
14
.
27
u 
Lời giải
Ta có    
2 3 4
1 1 2 1 2 5
2 1 1, 1 1 , 1
3 3 3 3 3 9
u u u
 
        
 
 
Câu 50: Cho dãy số  
n
u xác định bởi
1
1
3
.
2
2
n
n
u
u
u 
 




  



Mệnh đề nào sau đây sai?
A. 2
5
.
2
u  B. 3
15
.
4
u  C. 4
31
.
8
u  D. 5
63
.
16
u 
Lời giải
Vì 2
3 7
2
2 2
u   
Câu 51: Cho dãy số  
n
u xác định bởi 1
1
7
2 3
n n
u
u u

 

 

khi đó 5
u bằng:
A. 317. B. 157. C. 77. D. 112.
Lời giải
Ta có 2 3 4 5
2.7 3 17, 2.17 3 37, 2.37 3 77, 2.77 3 157
u u u u
           
Câu 52: Cho dãy số  
n
u xác định bởi 1
1
1
3
n n
u
u u

  

 

. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
A. 1;2;5.
 B. 1;4;7. C. 4;7;10 D. 1;3;7.

Lời giải
Ta có 1 2 3
1, 1 3 2, 2 3 5
u u u
        

40. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 15
Sưu tầm và biên soạn
Câu 53: Cho dãy số  
n
u xác định bởi




 

1
1
3
5
n n
u
u u
. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là
A. 3;6;9. B.  
3; 2; 7. C. 3;8;13 . D. 3;5;7.
Lời giải
Ta có 1 2 3
3, 3 5 8, 8 5 13
u u u
      
Câu 54: Cho dãy số  
n
u xác định bởi

 



 

1
2
1
2
( 2)
2
n n
u
n
u u n
. Số hạng thứ tư của dãy số đó bằng
A. 0. B. 93. C. 9. D. 34.
Lời giải
Ta có   2 3 2
2 3 4
2. 2 2 0, 2.0 3 9, 2.9 4 34
u u u
         
Câu 55: Cho dãy số  
n
u , biết
2 1
n n
n
u 

. Ba số hạng đầu tiên của dãy số là
A.
1 2 3
; ;
2 3 4
. B.
1 1
1; ;
2 16
C.
1 1
1; ;
4 8
D.
2 3
1; ;
3 7
.
Lời giải
1 2 3
2 3
1, ,
3 7
u u u
   .
Câu 56: Cho dãy số  
n
u xác định bởi
1
1
1
2
1
, 2
2 


 





   

 


n
n
u
u n
u
. Khi đó 3
u có giá trị bằng
A.
3
4
. B.
4
3
. C.
2
3
. D.
3
2
.
Lời giải
Theo công thức truy hồi ta có 2
1 2
1 3
2
2
 

u 3
1 3
2 4
2
3
  

u .
Câu 57: Cho dãy số  
n
u với 2 3
n
u n
  . Tìm số hạng thứ 6 của dãy số.
A. 17 . B. 5 . C. 15 . D. 7 .
Lời giải
Ta có số hạng thứ 6 của dãy là 6 2.6 3 15
u    .
Câu 58: Cho dãy số  
n
u , biết 2.3n
n
u  . Giá trị của 20
u bằng
A. 19
2.3 . . B. 20
2.3 . . C. 20
3 . . D. 21
2.3 .
Lời giải
Ta có 2.3n
n
u  suy ra 20
20 2.3
u  .
Câu 59: Cho dãy số  
n
u , biết công thức số hạng tổng quát 2 3
n
u n
  . Số hạng thứ 10 của dãy số bằng:

41. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 16
Sưu tầm và biên soạn
A. 17 B. 20 C. 10 D. 7
Lời giải
10
2 3 2.10 3 17
n
u n u
     
Câu 60: Cho dãy số  
n
u có công thức số hạng tổng quát 8 3
n
u n
  . Tính 4
.
u
A. 2 . B. 7
 . C. 5
 . D. 4
 .
Lời giải
4
8 3.4 4.
u    
Câu 61: Cho dãy số  
n
u xác định bởi 2
1
2 3
n
n
u
n n


 
. Giá trị 21
u là
A.
11
243
. B.
10
243
. C.
21
443
. D.
19
443
.
Lời giải
Ta có: 21 2
21 1 10
21 2.21 3 243
u

 
 
.
Câu 62: Cho dãy số  
n
u có
2
2
1
1
n
n
u
n



. Tính 2
u .
A. 2
1
5
u  . B. 2
2
5
u  . C. 2
3
5
u  . D. 2
4
5
u  .
Lời giải
Ta có
2
2 2
2 1 3
2 1 5
u

 

.
Câu 63: Cho dãy số  
n
u được xác định bởi
1
1
2
3 1, 2
n n
u
u u n

 


   

. Tìm số hạng 4
u .
A. 4 76
u   . B. 4 77
u   .
C. 4 66
u   . D. 4 67
u   .
Lời giải
Cách 1. Ta có
 
 
 
2 1
3 2
4 3
3 1 3. 2 1 7
3 1 3. 7 1 22
3 1 3. 22 1 67
u u
u u
u u
      
      
      
Cách 2.
1 1
1
3 1
3 1 3
2 2
1 1
3
2 2
n n n
n n
u u u
u u
 

    
 
   
 
 

42. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 17
Sưu tầm và biên soạn
Xét dãy số  
n
v có
1
5
2
1
2
n n
v
v u






  


Khi đó ta có 1
3
n n
v v 
 là cấp số nhân có công bội bằng 3 .
1
5
.3
2
n
n
v 

 
Vậy 1
1 5
.3
2 2
n
n
u 
  .
Câu 64: Cho dãy số  
n
u , biết  
 
3
2
n
n n
u

 . Ba số hạng đầu tiên của dãy số là
A.
1 3
;1;
2 2
. B.
1
1; ;0
2
  . C. 1; 1;0
  . D.
1 3
;1;
2 2
.
Lời giải
 
1
1 1 3
1
2
u

   ;
 
2
2 2 3
1
2
u

   ;
 
1
3 3 3
0
2
u

 
Vậy ba số hạng đầu tiên của dãy số là 1, 1,0
  .
Câu 65: Cho dãy số  
n
u với 2 3
n
u n
  . Số hạng thứ 5 của dãy số là
A. 5 . B. 4 . C. 13 . D. 7 .
Lời giải
Ta có: 5 2.5 3 7
u    .
Câu 66: Cho dãy số  
n
u thỏa mãn
2 1
n
n
u
n

 . Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.
A. 2,1 . B. 2,2 . C. 2,0 . D. 2,4 .
Lời giải
Ta có: 10
2.10 1
10
u

 2,1
 .
Câu 67: Cho dãy số  
n
u có số hạng tổng quát 2
1
1
n
n
u
n
 

. Số hạng đầu tiên của dãy là:
A. 2 . B.
3
5
. C. 0 . D.
1
2
.
Lời giải
Chọn D
Ta có 1 2
1 1
1
1 1 2
u   

.
Câu 68: Cho dãy số  
n
u có 2
1
n
u n n
    . Số 19
 là số hạng thứ mấy của dãy?
A. 5 . B. 7 . C. 6 . D. 4 .

43. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 18
Sưu tầm và biên soạn
Lời giải
Chọn A
Giả sử 19
n
u   ,  
*
n .
Suy ra 2
1 19
n n
    
2
20 0
n n
    
 
5
4
n
n l


 
 

.
Vậy số 19
 là số hạng thứ 5 của dãy.
Câu 69: Cho dãy số  
n
u với 3n
n
u  . Khi đó số hạng 2 1
n
u  bằng
A. 1
3 .3
n n
. B. 2 1
3 1
n
 . C. 2
3 1
n
 . D. 2
3 .3 1
n
 .
Lời giải
Chọn A
2 1 1
2 1
3 3 3 .3
n n n n
n n
u u  

   
Câu 70: Cho dãy số  
n
u xác định bởi    
1 cos
n
n
u n
  . Giá trị 99
u bằng
A. 99 . B. 1
 . C. 1. D. 99
 .
Lời giải
Chọn C
Ta có:        
99
99 1 cos 99 cos 98 cos 1.
u    
       
Câu 71: Cho dãy số  
n
u với 2 1
n
u n
  số hạng thứ 2019 của dãy là
A. 4039 . B. 4390 . C. 4930 . D. 4093.
Lời giải
Ta có: 2019 2.2019 1 4039
u    .
Câu 72: Cho dãy số  
n
u với 1 2 .
n
n
u   Khi đó số hạng 2018
u bằng
A. 2018
2 . B. 2017
2017 2
 . C. 2018
1 2
 . D. 2018
2018 2
 .
Lời giải
Ta có 2018
2018 1 2 .
u  
Câu 73: Cho dãy số  
n
u với
2
,n 1.
3 1
n
n
u
n

 

Tìm khẳng định sai.
A. 3
1
.
10
u  B. 10
8
.
31
u  C. 21
19
.
64
u  D. 50
47
.
150
u 
Lời giải
Ta có: 50
50 2 48
.
3.50 1 151
u

 

Câu 74: Cho dãy số
2
2 1
1
n
n n
u
n
 


. Tính 11
u .
A. 11
182
12
u  . B. 11
1142
12
u  . C. 11
1422
12
u  . D. 11
71
6
u  .
Lời giải

44. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 19
Sưu tầm và biên soạn
Ta có:
2
11
11 2.11 1 71
11 1 6
u
 
 

.
Câu 75: Cho dãy số  
n
u có số hạng tổng quát là 2
2 1
1
n
n
u
n



. Khi đó
39
362
là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 20 . B. 19 . C. 22 . D. 21 .
Lời giải
Ta có 2
2 1 39
1 362
n
n



2
39 724 323 0
n n
   
19
17
39
n
n




  

, do
*
n nên 19
n  .
Câu 76: Cho dãy số   1
1
5
:
n
n n
u
u
u u n




 

. Số 20 là số hạng thứ mấy trong dãy?
A. 5 . B. 6 . C. 9 . D. 10 .
Lời giải
Cách 1:
1 2 3 4 5 6
5, 6, 8, 11, 15, 20
u u u u u u
     
Vậy số 20 là số hạng thứ 6 .
Cách 2:
Dựa vào công thức truy hồi ta có
 
1
2
3
4
5
5 1
5 1 2
5 1 2 3
.....
1
5 1 2 ... 1 5
2
n
u
u
u
u
n n
u n

 
  
   

        
 
 
1
20 5 *
2
n n
n

   


       

2 6
30 0
5(lo¹i)
n
n n
n
Vậy 20 là số hạng thứ 6 .
Cách 3: Sử dụng máy tính CASIO fx – 570VN PLUS
1 SHIFT STO A
5 SHIFT STO B
Ghi vào màn hình C = B + A: A = A + 1: B = C
Ấn CALC và lặp lại phím =
Ta tìm được số 20 là số hạng thứ 6

45. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 20
Sưu tầm và biên soạn
Câu 77: Cho dãy số  
n
u thỏa mãn
1
2 1
n
n
u
n


 . Tìm số hạng thứ 10 của dãy số đã cho.
A. 51,2 . B. 51,3 . C. 51,1. D. 102,3 .
Lời giải
Ta có:
10 1
10
2 1
10
u


 51,3
 .
Câu 78: Cho dãy số
1
1
4
n n
u
u u n




 

. Tìm số hạng thứ 5 của dãy số.
A. 16 . B. 12 . C. 15 . D. 14 .
Lời giải
Ta có 2 1 1 5
u u
   ; 3 2 2 7
u u
   ; 4 3 3 10
u u
   . Do đó số hạng thứ 5 của dãy số là
5 4 4 14
u u
   .
Câu 79: Cho dãy số  
n
u , biết .
1
n
n
u
n



Năm số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào
dưới đây?
A.
1 2 3 4 5
; ; ; ; .
2 3 4 5 6
     B.
2 3 4 5 6
; ; ; ; .
3 4 5 6 7
    
C.
1 2 3 4 5
; ; ; ; .
2 3 4 5 6
D.
2 3 4 5 6
; ; ; ; .
3 4 5 6 7
Lời giải
Ta có 1 2 3 4 5
1 2 3 4 5
; ; ; ; .
2 3 4 5 6
u u u u u
         
Nhận xét: Dùng MTCT chức năng CALC để kiểm tra nhanh.
Ta thấy dãy  
n
u là dãy số âm nên loại các phương án C, D. Đáp án đúng là A
hoặc B. Ta chỉ cần kiểm tra một số hạng nào đó mà cả hai đáp án khác nhau là
được. Chẳng hạng kiểm tra 1
u thì thấy 1
1
2
u  
Câu 80: Cho dãy số  
n
u , biết
3 1
n n
n
u 

. Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó lần lượt là những số nào dưới
đây?
A.
1 1 1
; ; .
2 4 8
B.
1 1 3
; ; .
2 4 26
C.
1 1 1
; ; .
2 4 16
D.
1 2 3
; ; .
2 3 4
Lời giải
Dùng MTCT chức năng CALC: ta có
1 2 3
2 3
1 2 2 1 3 3
; ; .
2 3 1 8 4 3 1 26
u u u
     
 

46. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 21
Sưu tầm và biên soạn
Câu 81: Cho dãy số  
n
u , biết
1
1
1
3
n n
u
u u

 


 

với 0
n  . Ba số hạng đầu tiên của dãy số đó là lần lượt là
những số nào dưới đây?
A. 1;2;5.
 B. 1;4;7. C. 4;7;10. D. 1;3;7.

Lời giải
Ta có 1 2 1 3 2
1; 3 2; 3 5.
u u u u u
       
Nhận xét: Dùng chức năng “lặp” của MTCT để tính:
Nhập vào màn hình: 3.
X X
 
Bấm CALC và cho 1
X   Vì 1 1
u   nên loại các đáp án B, C. Còn lại các đáp án
A, C; để biết đáp án nào ta chỉ cần kiểm tra 2
u : 2 1 3 2
u u
  
Câu 82: Cho dãy số  ,
n
u biết
1
2 1
n
n
u
n



. Số
8
15
là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 8. B. 6. C. 5. D. 7.
Lời giải
Ta cần tìm n sao cho
1 8
15 15 16 8 7.
2 1 15
n
n
u n n n
n

       

Nhận xét: Có thể dùng chức năng CALC để kiểm tra nhanh.
Câu 83: Cho dãy số  ,
n
u biết
2 5
.
5 4
n
n
u
n



Số
7
12
là số hạng thứ mấy của dãy số?
A. 8. B. 6. C. 9. D. 10.
Lời giải
Dùng chức năng “lặp” để kiểm tra đáp án. Hoặc giải cụ thể như sau:
2 5 7
24 60 35 28 11 88 8.
5 4 12
n
n
u n n n n
n

         

Câu 84: Cho dãy số  ,
n
u biết 2 .
n
n
u  Tìm số hạng 1.
n
u 
A. 1 2 .2.
n
n
u   B. 1 2 1.
n
n
u    C.  
1 2 1 .
n
u n
   D. 1 2 2.
n
n
u   
Lời giải
Thay n bằng 1
n  trong công thức n
u ta được: 1
1 2 2.2
n n
n
u 
   .
Câu 85: Cho dãy số  
n
u , biết 3 .
n
n
u  Tìm số hạng 2 1.
n
u 
A. 2
2 1 3 .3 1.
n
n
u    B. 1
2 1 3 .3 .
n n
n
u 
  C. 2
2 1 3 1.
n
n
u    D.  
2 1
2 1 3 .
n
n
u 
 
Lời giải
Ta có 2 1 2 1 1
2 1
3 3 3 .3 .
n n
n n n n
n n
u u
   

 
  
Câu 86: Cho dãy số  ,
n
u với 1
5 .
n
n
u 
 Tìm số hạng 1.
n
u 
A. 1
1 5 .
n
n
u 
  B. 1 5 .
n
n
u   C. 1
1 5.5 .
n
n
u 
  D. 1
1 5.5 .
n
n
u 
 
Lời giải

47. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 22
Sưu tầm và biên soạn
 
1 1
1
1
1
5 5 5 .
n
n n
n n
n n
u u
 
 


 
  
Câu 87: Cho dãy số  
n
u bởi công thức truy hồi sau 1
1
0
; 1
n n
u
u u n n




  

; 218
u nhận giá trị nào sau đây?
A. 23653 . B. 46872 . C. 23871 . D. 23436 .
Lời giải
Đặt 1
n n n
v u u n

   , suy ra  
n
v là một câp số cộng với số hạng đầu 1 2 1 1
v u u
   và công
sai 1
d  .
Xét tổng 217 1 2 217
...
S v v v
    .
Ta có 217 1 2 217
...
S v v v
   
 
1 217
217.
2
v v


 
217. 1 217
23653
2

  .
Mà 1
n n n
v u u

  suy ra      
217 1 2 217 2 1 3 2 218 217
... ...
S v v v u u u u u u
          
218 1
u u
  218 217 1 23653
u S u
    .
DẠNG 3. DÃY SỐ TĂNG, DÃY SỐ GIẢM
Câu 88: Cho các dãy số sau. Dãy số nào không là dãy số tăng?
A. 1;1;1;1;... . B. 1;3;5;7;... . C. 2;4;6;8;... . D.
1 3
;1; ;2;...
2 2
Lời giải
Xét đáp án A ta có dãy 1;1;1;1;... là dãy hằng nên không tăng không giảm.
Câu 89: Cho dãy số ( )
n
u biết 5 2
n
u n
  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
Lời giải
* Trắc nghiệm: Tính vài số hạng đầu của dãy số rồi suy ra kết quả
* Tự luận:
Ta có  
1 1
5 1 2 5 2 5 7 5 2 0
n n n n
u u n n n n u u
 
            
Câu 90: Cho dãy số ( )
n
u biết
1
3 2
n
u
n


. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
Lời giải
Ta có
    
1
1 1 1 1 3
0
3 1 2 3 2 3 5 3 2 3 5 3 2
n n
u u
n n n n n n
        
      
.
Vậy *
1 1
0 ,
n n n n
u u u u n
 
     

48. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 23
Sưu tầm và biên soạn
Câu 91: Cho dãy số ( )
n
u biết
10
3
n n
u  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
Lời giải
Ta có 1 1
10 10 10 10 20
0
3 3 3.3 3 3.3
n n n n n n n
u u
 

      
Vậy *
1 1
0 ,
n n n n
u u u u n
 
     
Câu 92: Cho dãy số ( )
n
u biết 2
2 3 1
n
u n n
   . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
Lời giải
Ta có    
2 2 *
1 2 1 3 1 1 2 3 1 4 5 0,
n n
u u n n n n n n
              
Vậy *
1 1
0 ,
n n n n
u u u u n
 
     
Câu 93: Cho dãy số ( )
n
u biết    
2
1 1
n
n
u n
   . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số là dãy hữu hạn
Lời giải
Dãy không tăng, không giảm vì các số hạng đan dấu
Câu 94: Cho dãy số ( )
n
u biết 2
400
n
u n n
  . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Mọi số hạng đều âm
Lời giải
Ta có    
2 2
1 1 400 1 400 2 399
n n
u u n n n n n
         
Do 2 399 0
n   khi
399
2
n  và 2 399 0
n   khi
399
2
n  .
Vậy dãy số đã cho không tăng, không giảm
Câu 95: Trong các dãy số  
n
u cho bởi số hạng tổng quát n
u sau, dãy số nào tăng?
A.
1
.
3
n n
u  B.
1
.
2 1
n
u
n


C.
1
.
3 2
n
n
u
n



D.
4 2
.
3
n
n
u
n



Lời giải
Ta có:
1 1
1 1 1 1 2
0
3 3 3.3 3 3.3
n n n n n n n
u u
 

        loại A

49. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 24
Sưu tầm và biên soạn
    
1
1 1 1 1 2
0
2 1 1 2 1 2 3 2 1 2 3 2 1
n n
u u
n n n n n n


      
      
 loại B
  
1
2 1 1
0
3 5 3 2 3 5 3 2
n n
n n
u u
n n n n

 
     
   
 loại C
  
1
4 2 4 2 14
0
4 3 4 3
n n
n n
u u
n n n n

 
    
   
Câu 96: Trong các dãy số  
n
u cho bởi số hạng tổng quát n
u sau, dãy số nào giảm?
A.
4
.
3
n
n
u
 
  
 
B.    
1 5 1 .
n n
n
u    C. 3 .
n
n
u   D. 4.
n
u n
 
Lời giải
Ta có:
1
1
4 4 4 4 4 1 4
. . 0
3 3 3 3 3 3 3
n n n n n
n n
u u


         
      
         
         
 loại A
Dãy  
n
u với    
1 5 1 .
n n
n
u    có các số hạng đan dấu nên dãy không tăng, không giảm  loại
B
1
1 3 3 3.3 3 2.3 0
n n n n n
n n
u u 
            Chọn C
1
1
5 4 0
5 4
n n
u u n n
n n
       
  
 loại D
Câu 97: Trong các dãy số  
n
u cho bởi số hạng tổng quát n
u sau, dãy số nào không tăng, không giảm?
A.
1
.
n
u n
n
  B. 5 3 .
n
n
u n
  C. 3 .
n
n
u   D.   2
3 . 1
n
n
u n
  
Lời giải
Dãy không tăng, không giảm vì các số hạng đan dấu
Dãy trong đáp án A và B tăng, dãy trong đáp án C là dãy giảm
Câu 98: Cho dãy số ( )
n
u biết 5 4
n n
n
u   . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số có số hạng thứ 100 bé hơn 1
Lời giải
Ta có  
1 1 *
1 5 4 5 4 4 5 4 0,
n n n n n n
n n
u u n
 
          
Vậy *
1 1
0 ,
n n n n
u u u u n
 
     
Câu 99: Cho dãy số ( )
n
u biết
2
3 1
n
an
u
n



. Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng.
A. 6
a  B. 6
a  C. 6
a  D. 6
a 
Lời giải

50. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 25
Sưu tầm và biên soạn
Ta có
  
*
1
2 2 6
,
3 4 3 1 3 4 3 1
n n
an a an a
u u n
n n n n

   
     
   

Để dãy số tăng thì
  
*
1
6
0, 6
3 4 3 1
n n
a
u u n a
n n


      
 

Câu 100: Cho dãy số ( )
n
u biết 2n
n
u an
  . Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng.
A. 2
a  B. 2
a  C. 2
a  D. 2
a 
Lời giải
Ta có 1 *
1 2 2 2 a,
n n n
n n
u u an a an n

          
Để dãy số tăng thì * * *
1 2 a 0, 2 , 2,
n n
n n
u u n a n a n
              
  
Câu 101: Cho dãy số ( )
n
u biết
3n
n
u
an
 . Tìm tất cả các giá trị của a để dãy số tăng.
A. 0
a
  B. Không tồn tại a C. *
a
  D. 0
a 
Lời giải
Ta có
 
 
1
*
1 2 2
.3 2 1
3 3
,
n
n n
n n
a n
u u n
an a an a n n



     
 

Để dãy số tăng thì
 
 
*
1 2 2
.3 2 1
0, 0
n
n n
a n
u u n a
a n n


      


Câu 102: Cho dãy số ( )
n
u biết 3 2 3 1
n
u n n
    . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
Lời giải
Ta có
1
3 2 3 1
3 2 3 1
n
u n n
n n
    
  
Khi đó
   
  
1
*
1 1
3 5 3 4 3 2 3 1
3 2 3 5 3 1 3 4
0,
3 5 3 4 3 2 3 1
n n
u u
n n n n
n n n n
n
n n n n
   
     
      
   
     

Câu 103: Cho dãy số ( )
n
u biết 2
1
n
u n n
   . Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Các số hạng đều dương
Lời giải
Ta có 2
2
1
1
1
n
u n n
n n

   
 

51. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 26
Sưu tầm và biên soạn
Khi đó
 
 
 
 
  
2 2
*
1 2 2 2 2
1 1 1 1
1 1
0,
1
1 1 1 1 1 1 1
n n
n n
u u n
n n
n n n n n n

    

      
 
         

Vậy dãy số đã cho là dãy tăng
Câu 104: Cho dãy số ( )
n
u biết
2
2 1
2
n
n n
u
n
 


. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có số hạng âm
Lời giải
Ta có
  
2 2 2
*
1
2 3 2 1 2 10 3
0,
3 2 3 2
n n
n n n n n n
u u n
n n n n

    
      
   

Vậy dãy số đã cho là dãy tăng
Câu 105: Trong các dãy số  
n
u cho bởi số hạng tổng quát n
u sau, dãy số nào tăng?
A.
sin
.
n
n
u
n
 B.
2
1
.
2 1
n
n
u
n



C. 2
3
.
n
n
u
n
 D. 3 2
4 3 1.
n
u n n
  
Lời giải
* Với  
sin
k 2 ; 2 , sin 0 0
n
n k k n
n
  
      

và  
sin
2 ;2 2 , sin 0 0
n
n k k k n
n
   
       
 . Suy ra dãy số trong đáp án A không
tăng, không giảm  loại A
* Ta có
 
2 2
2
1 1
2 1 2 1
n
n n
u
n n
 
 
 
. Xét dãy  
n
v với
 
2
2
1
2 1
n
n
v
n



   
2 2 2
1 2 2
2 2
2 2 1 4 2 7
4 12 9 4 4 1 2 3 2 1
n n
n n n n n
v v
n n n n n n

    
   
     
Do 1
n n
v v
  vừa nhận giá trị âm lẫn dương nên dãy số  
n
v không tăng, không giảm loại B
*
 
 
 
2
1 2 2
2 2
3 2 2 1
3.3 3
1 1
n
n n
n n
n n
u u
n
n n n

 
   
 
. Do 1
n n
u u
  nhận giá trị âm lẫn dương nên dãy đã
cho không tăng, không giảm  loại C
* Theo phương pháp loại trừ ta chọn D
Câu 106: Cho dãy số ( )
n
u biết
1
1
1
1 5
3 3
n n
u
u u 




 


. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm

52. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 27
Sưu tầm và biên soạn
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
Lời giải
Ta có 1 2 3
u u u
  . Dự đoán dãy số đã cho tăng, ta chứng minh bằng quy nạp
Từ giả thiết thì *
0,
n
u n
  
Giả sử 1, 2
k k
u u k

  . Ta chứng minh 1
k k
u u
 
Thật vậy:  
1 1 1
1
0
3
k k k k k k
u u u u u u
  
      . Vậy dãy đã cho là dãy tăng
Câu 107: Cho dãy số ( )
n
u biết
1
2
1
1
3,
n n
u
u u n 





   

 
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Dãy số vừa tăng vừa giảm
Lời giải
Ta có 1 2 3
0 u u u
   . Dự đoán dãy số đã cho tăng, ta chứng minh bằng quy nạp
Từ giả thiết thì *
0,
n
u n
  
Giả sử 1, 2
k k
u u k

  . Ta chứng minh 1
k k
u u
 
Thật vậy:
  
1 1
2 2
1 1 1
2 2
1
3 3 0
3 3
k k k k
k k k k k k
k k
u u u u
u u u u u u
u u
 
  

 
        
  
. vậy dãy đã cho
là dãy tăng
Câu 108: Cho dãy số ( )
n
u biết
1
1
3
3
3
n
n
n
u
u
u
u






 

. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có 10 2
u 
Lời giải
Ta có 1 2 3
u u u
  . Dự đoán dãy số đã cho giảm, ta chứng minh bằng quy nạp
Từ giả thiết thì *
0,
n
u n
  
Giả sử 1, 2
k k
u u k

  . Ta chứng minh 1
k k
u u
 
Thật vậy:
 
  
1
1
1 1
1 1
9
3 3
0
3 3 3 3
k k
k k
k k k k
k k k k
u u
u u
u u u u
u u u u


 
 

      
   
. vậy dãy đã cho là dãy
giảm
Câu 109: Cho dãy số ( )
n
u biết
1 1 1
...
1 2
n
u
n n n n
   
  
. Mệnh đề nào sau đây đúng?
A. Dãy số tăng B. Dãy số giảm
C. Dãy số không tăng, không giảm D. Có hữu hạn số hạng

53. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 28
Sưu tầm và biên soạn
Lời giải
Xét hiệu
  
2
*
1 2
1 1 1 4 3 1
0
2 1 2 2 1 2 2 1 1
n n
n n
u u n
n n n n n

 
       
    

Câu 110: Cho dãy số ( )
n
u biết
1
*
1
1
1
n n
u
u au n




   
 
. Tìm tất cả các giá trị của a để ( )
n
u tăng?
A. 0.
a  B. 0.
a  C. 0.
a  D. 1.
a 
Lời giải
Xét hiệu 1 1
1 1
n n n n
u au u au
 
      
1 1
n n n n
u u a u u
 
   
 
 
2
3 2 2 1
3
4 3 3 2
1
...
0
n
n n
u u a u u a
u u a u u a
u u a

    
    
   
Để dãy số ( )
n
u tăng suy ra a 0
 .
Câu 111: Trong các dãy số dưới đây, dãy số nào là dãy giảm?
A.
2
n
u n
 . B.
1
3
n
u
n
  . C. 3
n
u n
 . D.
3
2
n
u n
  .
Lời giải
Xét đáp án A, ta có  
2 2 *
1 1 2 1 0,
n n
u u n n n n
          nên dãy này là dãy tăng.
Xét đáp án B, ta có
 
*
1
1 1 1
0,
1 1
n n
u u n
n n n n


      
 
 nên dãy này là dãy giảm.
Xét đáp án C, ta có   *
1 3 1 3 3 0,
n n
u u n n n
         nên dãy này là dãy tăng.
Xét đáp án D, ta có  
3 3 *
1 1 0,
n n
u u n n n
        nên dãy này là dãy tăng.
Câu 112: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm?
A. 2
3
n
u
n
 . B.
3
1
n
n
u
n



. C.
2
n
n
u  . D.
 
1
3
n
n n
u

 .
Lời giải
Xét A:
Ta có 2
3
n
u
n
 ,
 
1 2
3
1
n
u
n
 

 
2 2
1
2 2
1,
1
n
n
u n n
n
u n
n


    

 . Vậy  
n
u là dãy giảm.
Xét B:

54. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 29
Sưu tầm và biên soạn
Ta có
3
;
1
n
n
u
n



1
2
2
n
n
u
n




. Khi đó:
  
1
2 3 4
0
2 1 1 2
n n
n n
u u
n n n n

 
    
   
n
 
Vậy  
n
u là dãy số tăng.
Xét C:
Ta có ;
2
n
n
u  1
1
2
n
n
u 

 . Khi đó: 1
1 1
0
2 2 2
n n
n n
u u


     n
 
Vậy  
n
u là dãy số tăng.
Xét D:
Ta có 1
1
;
3
u

 2
1
;
9
u  3
1
27
u

 . Vậy  
n
u là dãy số không tăng không giảm.
Câu 113: Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?
A.
*
5 3
,
2 3
n
n
u n
n

 

 . B.
*
5
,
4 1
n
n
u n
n

 

 .
C. 2 *
2 3,
n
u n n
   . D.   *
cos 2 1 ,
n
u n n
   .
Lời giải
* Với dãy
5 3
2 3
n
n
u
n



.
Ta có
 
 
     
     
1
*
5 3 1 5 3 2 3 5 3
2 1 3 2 3 2 5 2 3
2 3 2 3 5 3 2 5 19
0
2 5 2 3 2 3 2 5
n n
n n n n
u u
n n n n
n n n n
n
n n n n

    
    
    
     
    
   

Suy ra  
n
u là dãy giảm.
Câu 114: Trong các dãy số  
n
u cho bởi số hạng tổng quát n
u sau, dãy số nào là dãy số giảm?
A.
1
2
n n
u  . B.
3 1
1
n
n
u
n



. C.
2
n
u n
 . D. 2
n
u n
  .
Lời giải
Ta có
1
2
n n
u  1
1
1
2
n
n
u 

  *
n
  .
Câu 115: Trong các dãy số  
n
u cho bởi số hạng tổng quát n
u sau, dãy số nào là dãy số tăng?
A.
1
2
n n
u  . B.
3 1
1
n
n
u
n



. C.
2
1
n
u n
  . D.
1
2
n
u
n


.
Lời giải
Câu 116: Trong các dãy số sau, dãy số nào là dãy số giảm

55. CHUYÊN ĐỀ II – TOÁN – 11 – DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
Page 30
Sưu tầm và biên soạn
A.
3
1
n
n
u
n



. B.
2
n
n
u  . C. 2
2
n
u
n
 . D.
 
1
3
n
n n
u

 .
Lời giải
Xét A:
Ta có
3
;
1
n
n
u
n



1
2
2
n
n
u
n




. Khi đó:
  
1
2 3 4
0
2 1 1 2
n n
n n
u u
n n n n

 
    
   
n
 
Vậy  
n
u là dãy số tăng.
Xét B:
Ta có ;
2
n
n
u  1
1
2
n
n
u 

 . Khi đó: 1
1 1
0
2 2 2
n n
n n
u u


     n
 
Vậy  
n
u là dãy số tăng.
Xét C:
Ta có 2
2
n
u
n
 ,
 
1 2
2
1
n
u
n
 

 
2 2
1
2 2
1,
1
n
n
u n n
n
u n
n


    

 . Vậy  
n
u là dãy giảm.
Xét D:
Ta có 1
1
;
3
u

 2
1
;
9
u  3
1
27
u

 . Vậy  
n
u là dãy số không tăng không giảm.
Câu 117: Dãy số nào sau đây là dãy số giảm?
A.  
5 3
, *
2 3
n
n
u n
n

 

 . B.  
5
, *
4 1
n
n
u n
n

 

 .
C.  
3
2 3, *
n
u n n
   . D.    
cos 2 1 , *
n
u n n
   .
Lời giải
Xét  
5 3
, *
2 3
n
n
u n
n

 

 , ta có
 
 
1
5 3 1 5 3
2 1 3 2 3
n n
n n
u u
n n

  
  
  
2 3 5 3
2 5 2 3
n n
n n
 
 
 
     
  
2 3 2 3 2 5 5 3
2 5 2 3
n n n n
n n
    

    
2 2
4 6 6 9 10 6 25 15
2 5 2 3
n n n n n n
n n
      

 
  
19
0, *
2 5 2 3
n
n n

   
 
 .
Vậy  
5 3
, *
2 3
n
n
u n
n

 

 là dãy giảm.
Câu 118: Trong các dãy số  
n
u cho bởi số hạng tổng quát n
u sau, dãy số nào là dãy số tăng?
A.
1
.
2
n n
u  B.
1
.
n
u
n
 C.
5
.
3 1
n
n
u
n



D.
2 1
.
1
n
n
u
n



Lời giải
Vì 2 ;
n
n là các dãy dương và tăng nên
1 1
;
2n
n
là các dãy giảm, do đó loại các đáp án A và
B.