hedva

1. ‫חי‬ ‫תל‬ ‫אקדמית‬ ‫מכללה‬
‫למדעים‬ ‫ספר‬ ‫בית‬
‫מחשב‬ ‫למדעי‬ ‫חוג‬
32
( ‫משתנים‬ ‫רבות‬ ‫פונקציות‬
‫נגזרת‬
‫בה‬ ‫ושימוש‬
)
)‫(א‬
‫חלקיות‬ ‫נגזרות‬
‫שניות‬
.
‫הגדרות‬
‫ודוגמאות‬
.
1
.
‫הגדרה‬
1
.)‫טהורות‬ ‫(נגזרות‬
( )
2
2
xx x x
f
f f
x
 
 
= =

( )
2
2
yy y y
f
f f
y
 
 
= =

2
.
‫הגדרה‬
2
.)‫מעורבות‬ ‫(נגזרות‬
( )
2
xy x y
f
f f
x y
 
 
= =
 
( )
2
yx y x
f
f f
y x
 
 
= =
 
3
.
‫דוגמאות‬
‫דוגמא‬
1
:‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬
( )
; x y
f x y e
=
.
‫את‬ ‫מצא‬
xx
f 
,
‫את‬
yy
f 
‫את‬ ,
xy
f 
‫ואת‬ ,
yx
f 
‫פתרון‬
1
.
‫את‬ ‫נמצא‬
:‫הראשונות‬ ‫הנגזרות‬
x y x y
x
f e y ye
 =  =
,
x y x y
y
f e x xe
 =  =
.
2
.
:‫הטהורות‬ ‫השניות‬ ‫הנגזרות‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
( ) 2
xy xy
xx x
f ye y e

 = =
,
( ) 2
xy xy
yy y
f xe x e

 = =
3
.
:‫המעורבות‬ ‫השניות‬ ‫הנגזרות‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
( ) ( )
1
xy xy xy xy
xy y
f ye e ye x e xy

 = = +  = +
,
( ) ( )
1
xy xy xy xy
yx x
f xe e xe y e xy

 = = +  = +
.
‫דוגמא‬
2
:‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬
( ) 3 2 2 4
,
f x y x y x y
= +
.
‫את‬ ‫מצא‬
xx
f 
‫את‬ ,
yy
f 
‫את‬ ,
xy
f 
‫ואת‬ ,
yx
f 
‫פתרון‬
1
.
:‫הראשונות‬ ‫הנגזרות‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
2 2 4
3 2
x
f x y xy
 = +
,
3 2 3
2 4
y
f x y x y
 = +
.
2
.
:‫הטהורות‬ ‫השניות‬ ‫הנגזרות‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
2 4
6 2
xx
f xy y
 = +
,
3 2 2
2 12
yy
f x x y
 = +
3
.
:‫המעורבות‬ ‫השניות‬ ‫הנגזרות‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
2 3
6 8
xy
f x y xy
 = +
,
2 3
6 8
yx
f x y xy
 = +
.
‫דוגמא‬
3

2. ‫חי‬ ‫תל‬ ‫אקדמית‬ ‫מכללה‬
‫למדעים‬ ‫ספר‬ ‫בית‬
‫מחשב‬ ‫למדעי‬ ‫חוג‬
33
‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬
( )
( ) ( )
( ) ( )
g x y
x xy
x y
x y
x y
;
; ; ;
; ; ;
=
+
+

=










4 3
2 2
2
0 0
0 0 0
.
‫את‬ ‫מצא‬
( )
0;0
xy
g
‫ואת‬ ,
( )
0;0
yx
g
.
‫פתרון‬
1
.
:‫ונקבל‬ ‫הראשונות‬ ‫הנגזרות‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 









=

+
+
−
=

0
;
0
;
;
0
0
;
0
;
;
2
2
4
;
2
2
2
5
3
2
2
3
y
x
y
x
y
x
y
y
x
y
x
y
x
gx
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) 









=

+
+
−
=

0
;
0
;
;
0
0
;
0
;
;
2
2
4
;
2
2
2
4
4
2
3
y
x
y
x
y
x
xy
y
x
y
x
y
x
gy
2
.
‫עתה‬
,
‫השניות‬ ‫הנגזרות‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
( )
0;0
xy
g
,
( )
0;0
yx
g
.
:‫מקבלים‬
( )
( ) ( ) ( )
3 2 2 3 5
2
2 2
0 0
4 0 2 0
0
2 0
0; 0;0
0;0 lim lim 1
x x
xy
h h
h h h
h
g h g
g
h h
→ →
 −  +
−
 +
 
−
 = = =
.
‫וגם‬
( )
( ) ( ) ( )
3 2 4 4
2
2 2
0 0
4 0 2 0 0
0
2 0
;0 0;0
0;0 lim lim 0
y y
yx
h h
h h h
h
g h g
g
h h
→ →
 −  + 
−
+
 
−
 = = =
4
.
‫מעורבות‬ ‫נגזרות‬ ‫על‬ ‫משפט‬
‫לפונקציה‬ ‫אם‬
( )
;
f x y
‫הנקודה‬ ‫בסביבת‬
( )
0 0
;
x y
‫נגזרות‬
x
f 
,
y
f 
,
xy
f 
,
yx
f 
,‫רציפות‬
‫אז‬
( ) ( )
0 0 0 0
; ;
xy yx
f x y f x y
 
=
.
(
‫ב‬
)
‫מקומי‬ )‫(אקסטקמום‬ ‫קיצון‬
.
1
.
‫הגדרה‬
‫תהי‬
( )
;
z f x y
=
.‫משתנים‬ ‫בשני‬ ‫פונקציה‬
‫נקודה‬
( )
0 0 0
;
M x y
‫נק‬
‫נקודת‬ ‫ראת‬
‫מקומי‬ ‫מינימום‬
‫הנקודה‬ ‫סביבת‬ ‫קיימת‬ ‫אם‬ ,
0
M
,
‫ש‬ ‫כך‬
‫לכל‬
( )
;
M x y
‫מתקיים‬ ‫לבסיסה‬ ‫השייכת‬
( ) ( )
0 0 0
; ;
z f x y f x y z
=  =
.
‫מושג‬ ‫מוגדר‬ ‫אופן‬ ‫באותו‬
.‫מקומי‬ ‫מכסימום‬
2
.
‫לקיצון‬ ‫הכרחי‬ ‫תנאי‬
‫לפונקציה‬ ‫אם‬
( )
;
f x y
‫ב‬ ‫קיצון‬ ‫יש‬
-
( )
0 0 0
;
M x y
‫הנגזרות‬ ‫וקיימות‬ ,
( )
0 0
;
x
f x y

,
( )
0 0
;
y
f x y

,
‫אז‬
( )
0 0
; 0
x
f x y
 =
,
( )
0 0
; 0
y
f x y
 =
.
3
.
)‫לקיצון‬ ‫(חשודות‬ ‫קריטיות‬ ‫נקודות‬

3. ‫חי‬ ‫תל‬ ‫אקדמית‬ ‫מכללה‬
‫למדעים‬ ‫ספר‬ ‫בית‬
‫מחשב‬ ‫למדעי‬ ‫חוג‬
34
‫לפונקציה‬ ‫אם‬
( )
;
f x y
‫בנקודה‬
( )
0 0 0
;
M x y
‫ל‬ ‫שוות‬ ‫חלקיות‬ ‫נגזרות‬
-
0
,‫קיימות‬ ‫לא‬ ‫או‬
‫אז‬
( )
0 0 0
;
M x y
‫נקראת‬
‫קריטית‬ ‫נקודה‬
.
‫דוגמא‬
‫ות‬
‫דוגמא‬
1
‫של‬ ‫הקריטיות‬ ‫הנקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬
4 4 2 2
2 2
z x y x y
= + − −
‫פתרון‬
1
.
:‫חלקיות‬ ‫נגזרות‬
3
8 2
x
z x x
 = −
,
3
4 4
y
z y y
 = −
.
2
.
:‫המשוואות‬ ‫מערכת‬
( ) ( ) ( )
3
3
8 2 0
4 4 0
1 1 1 1 1 1
0;0 , 0;1 , 0; 1 , ;0 , ;1 , ; 1 , ;0 , ;1 , ; 1
2 2 2 2 2 2
x
y
z x x
z y y

 = − =


 = − =



           
− − − − − −
           
           
3
.
‫ל‬ :‫מסקנה‬
-
4 4 2 2
2 2
z x y x y
= + − −
.‫קריטיות‬ ‫נקודות‬ ‫תשע‬ ‫יש‬
‫דוגמא‬
2
‫של‬ ‫הקריטיות‬ ‫הנקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬
3 2
1
z x y
= + +
.
‫פתרון‬
1
.
‫נגזרות‬
:‫חלקיות‬
2
3 2
3
2
x
x
z
x y
 =
+
,
3 2
2
2
y
y
z
x y
 =
+
.
2
.
:‫המשוואות‬ ‫מערכת‬
‫מובן‬
‫שלמערכת‬
0
0
x
y
z
z
 =


  =


.‫החלקיות‬ ‫הנגזרות‬ ‫הגדרת‬ ‫לפי‬ ‫לקבוע‬ ‫אפשר‬ ‫הפתרון‬
3
.
‫בסיו‬
‫מקבלים‬ ‫ההגדרה‬ ‫ע‬
( )
0;0 0
x
z =
,
‫ו‬
-
( )
0;0
y
z
-
.‫קיימת‬ ‫לא‬
‫לפונקציה‬ ,‫לכן‬
3 2
1
z x y
= + +
‫קריטית‬ ‫נקודה‬
( )
0;0
.
‫דוגמא‬
3
‫לפונקציה‬ ‫כי‬ ‫הראה‬
( ) 4 3
3
; 1
f x y x y
= + +
.‫קריטיות‬ ‫נקודות‬ ‫אין‬
‫פתרון‬
:‫נקבל‬ ‫הנגזרת‬ ‫הגדרת‬ ‫לפי‬
( )
0;0 0
x
f  =
‫אך‬ ,
( )
0;0 1
y
f  =
.
4
.
.‫משתנים‬ ‫בשני‬ ‫לפונקציה‬ ‫קריטיות‬ ‫נקודות‬ ‫מיון‬

4. ‫חי‬ ‫תל‬ ‫אקדמית‬ ‫מכללה‬
‫למדעים‬ ‫ספר‬ ‫בית‬
‫מחשב‬ ‫למדעי‬ ‫חוג‬
35
‫תהיה‬
( )
0 0 0
;
M x y
-
‫של‬ ‫קריטית‬ ‫נקודה‬
( )
;
f x y
.
‫ב‬ ‫נתבונן‬
-
( )
( ) ( )
( ) ( )
0 0 0 0
0 0
0 0 0 0
; ;
;
; ;
xx yx
xy yy
f x y f x y
D x y
f x y f x y
 
=
 
.
‫אם‬
( ) 0
; 0
0 
y
x
D
‫וגם‬
( )
 
f x y
xx 0 0 0
;
‫אז‬ ,
( )
x y
0 0
;
‫היא‬
.‫מינימום‬ ‫נקודות‬
‫אם‬
( ) 0
; 0
0 
y
x
D
‫וגם‬
( )
 
f x y
xx 0 0 0
;
‫אז‬ ,
( )
x y
0 0
;
‫היא‬
.‫מכסימום‬ ‫נקודות‬
‫אם‬
( ) 0
; 0
0 
y
x
D
‫אז‬ ,
( )
x y
0 0
;
‫היא‬
.‫אוכף‬ ‫נקודות‬
(
‫ג‬
)
.‫שלה‬ ‫והמטריצה‬ ‫ריבועית‬ ‫תבנית‬

5. ‫חי‬ ‫תל‬ ‫אקדמית‬ ‫מכללה‬
‫למדעים‬ ‫ספר‬ ‫בית‬
‫מחשב‬ ‫למדעי‬ ‫חוג‬
36
1
.
‫הגדרה‬
1
:‫המשתנים‬ ‫נתונים‬
1 2 3
, , ,. . . k
t t t t
.
‫הסכום‬
( ) ( )
1 2 3
, 1
, , ,. . .
k
k ij i j ij ji
i j
t t t t a t t a a
=
 =  =

‫נקרא‬
‫ריבועית‬ ‫תבנית‬
‫המש‬ ‫של‬
:‫תנים‬
1 2 3
, , ,. . . k
t t t t
.
:‫הביטוי‬ ,‫למשל‬
( ) 2 2
; 3 4 6
x y x y xy
 = + −
‫היא‬
‫של‬ ‫ריבועית‬ ‫תבנית‬
,
x y
.
‫והביטוי‬
( ) 2 2 2
; ; 3 4 8 4 2
x y z x y z xy xz yz
 = + − − + −
‫היא‬
‫של‬ ‫ריבועית‬ ‫תבנית‬
, ,
x y z
.
2
.
‫הגדרה‬
2
‫אם‬
( ) ( )
1 2 3
, 1
, , ,. . .
k
k ij i j ij ji
i j
t t t t a t t a a
=
 =  =

‫היא‬
‫ריבועית‬ ‫תבנית‬
‫של‬
1 2 3
, , ,. . . k
t t t t
,
‫המטריצה‬ ‫אז‬
( )
11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
. . .
. . . . . . . . . . . .
. . .
k
k
k k kk
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 =
 
 
 
‫של‬ ‫המטריצה‬ ‫נקראת‬
‫ריבועית‬ ‫תבנית‬
.
‫לתבנית‬ ,‫למשל‬
( ) 2 2
; 3 4 6
x y x y xy
 = + −
‫היא‬ ‫המטריצה‬
3 3
3 4
−
 
 
−
 
.
‫ולתבנית‬
( ) 2 2 2
; ; 3 4 8 4 2
x y z x y z xy xz yz
 = + − − + −
‫היא‬ ‫המטריצה‬
3 4 2
4 4 1
2 1 1
−
 
 
− −
 
 
− −
 
.
3
.
‫ריבועיות‬ ‫תבניות‬ ‫של‬ ‫מספריים‬ ‫ערכים‬
‫דוגמא‬
1
‫כי‬ ‫הראה‬
( ) 2 2
; 3 4 6
x y x y xy
 = + −
‫כאשר‬ ‫חיוביים‬ ‫ערכים‬ ‫מקבלת‬
0
x 
‫או‬
0
y 
‫פתרון‬
1
.
‫ונצי‬
:‫הבא‬ ‫באופן‬ ‫התבנית‬ ‫את‬ ‫ג‬
( ) ( )
2
2 2 2 2 2 2
; 3 4 6 0.75 2.25 2 1.5 2 4 0.75 1.5 2
x y x y xy x x x y y x x y
 = + − = + −   + = + −
2
.
,‫כלומר‬
( ) ( )
2
2 2 2
; 3 4 6 0.75 1.5 2
x y x y xy x x y
 = + − = + −
‫לכל‬ ‫חיובית‬
x
‫ולכל‬
y
.
‫דוגמא‬
2
‫כי‬ ‫הראה‬
( ) 2 2 2
; ; 3 4 8 4 2
x y z x y z xy xz yz
 = + − − + −
.‫ושליליים‬ ‫חיוביים‬ ‫ערכים‬ ‫מקבלת‬
‫פתרון‬
( ) 2
2;2;2 3 4 4 4 4 8 4 4 4 2 4 12
 =  +  − −  +  −  = −
( ) ( )
2
2; 2;0 3 4 4 4 0 8 4 4 0 2 0 60
 − =  +  − −  − +  −  =
‫הגדרה‬
3

6. ‫חי‬ ‫תל‬ ‫אקדמית‬ ‫מכללה‬
‫למדעים‬ ‫ספר‬ ‫בית‬
‫מחשב‬ ‫למדעי‬ ‫חוג‬
37
‫ריבועית‬ ‫תבנית‬
( )
1 2 3
, , ,. . . k
t t t t

‫נקראת‬
‫חיובית‬
‫ערכים‬ ‫מקבלת‬ ‫היא‬ ‫אם‬ ,
‫בלבד‬ ‫חיוביים‬
‫של‬ ‫הערכים‬ ‫לכל‬
1 2 3
, , ,. . . k
t t t t
‫מתאפסים‬ ‫שלא‬
‫יחד‬
.
‫ריבועית‬ ‫תבנית‬
( )
1 2 3
, , ,. . . k
t t t t

‫נקראת‬
‫של‬
‫ילית‬
‫ערכים‬ ‫מקבלת‬ ‫היא‬ ‫אם‬ ,
‫שליליים‬
‫בלבד‬
‫של‬ ‫הערכים‬ ‫לכל‬
1 2 3
, , ,. . . k
t t t t
‫מתאפסים‬ ‫שלא‬
‫יחד‬
.
‫ריבועית‬ ‫תבנית‬
( )
1 2 3
, , ,. . . k
t t t t

‫נקראת‬
‫מעורבת‬
‫ערכים‬ ‫מקבלת‬ ‫היא‬ ‫אם‬ ,
.‫ושליליים‬ ‫חיוביים‬
4
.
.)‫(סלבסטר‬ ‫הריבועית‬ ‫התבנית‬ ‫של‬ ‫המטריצה‬ ‫על‬ ‫משפט‬
( )
11 12 1
21 22 2
1 2
. . .
. . .
. . . . . . . . . . . .
. . .
k
k
k k kk
a a a
a a a
A
a a a
 
 
 
 =
 
 
 
‫של‬ ‫המטריצה‬ ‫היא‬
( )
1 2 3
, , ,. . . k
t t t t

,
‫ו‬
‫הראשיים‬ ‫המינורים‬
:‫המטריצה‬ ‫של‬
1 11
A a
=
,
11 12
2
21 22
a a
A
a a
=
,
11 12 13
3 21 22 23
31 32 33
a a a
A a a a
a a a
=
. . . ,
:‫אז‬
1
.
‫כל‬ ‫אם‬
‫הראשיים‬ ‫המינורים‬
: ‫חיוביים‬ ‫הם‬ ‫המטריצה‬ ‫של‬
1 0
A 
,
2 0
A 
,
3 0
A 
,'‫וכו‬
‫היא‬ ‫התבנית‬
‫חיובית‬
.
2
.
‫אם‬
‫הראשיים‬ ‫המינורים‬
‫מהשלילי‬ ‫מתחילים‬
: ‫בסימניהם‬ ‫ומתחלפים‬
1 0
A 
,
2 0
A 
,
3 0
A 
,'‫וכו‬
‫התבני‬
‫היא‬ ‫ת‬
‫שלילית‬
.
3
.
‫היא‬ ‫התבנית‬ ,‫אחר‬ ‫מקרה‬ ‫בכל‬
‫מעורבת‬
.
(
‫ד‬
)
.‫משתנים‬ ‫בשלושה‬ ‫פונקציה‬ ‫של‬ ‫קיצון‬

7. ‫חי‬ ‫תל‬ ‫אקדמית‬ ‫מכללה‬
‫למדעים‬ ‫ספר‬ ‫בית‬
‫מחשב‬ ‫למדעי‬ ‫חוג‬
38
1
.
‫קריטית‬ ‫נקודה‬ ‫של‬ ‫המטריצה‬
‫הנקודה‬ ‫אם‬
( )
0 0 0
; ;
x y z
‫של‬ ‫קריטית‬ ‫נקודה‬ ‫היא‬
( )
; ;
U f x y z
=
.
:‫המטריצה‬ ‫אז‬ ,‫לפחות‬ ‫שני‬ ‫מסדר‬ ‫רציפות‬ ‫נגזרות‬ ‫קיימות‬ ‫ובנקודה‬
( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
0 0 0
0
0 0 0
0 0
0 0 0 0 0 0
0 0
0 0 0
0 0 0
0
0
0
0 0
0 0
; ;
; ;
;
;
;
; ;
;
;
; ;
;
;
;
;
;
;
;
x
xx
yy
zz
yz
yz
xy
xy
z
xz
f x y z
f x y f x y z
f x y
A
f x y z
f x y z z
f x y
x
f x y z
f x y z
z
z
z
y








 
=  
 




 


‫הקריטית‬ ‫הנקודה‬ ‫של‬ ‫מיון‬ ‫מטריצת‬ ‫נקראת‬
( )
0 0 0
; ;
x y z
.
2
.
.‫הקריטית‬ ‫הנקודה‬ ‫סוג‬ ‫לזיהוי‬ ‫מספיק‬ ‫תנאי‬
)‫קריטיות‬ ‫נקודות‬ ‫(מיון‬ ‫משפט‬
‫הסוג‬ ‫מן‬ ‫מטריצה‬
( )
0 0 0
; ;
A x y z
.‫ריבועית‬ ‫תבנית‬ ‫מייצגת‬
2
.‫א‬
‫אם‬
( )
0 0 0
; ;
A x y z
‫ריבועית‬ ‫תבנית‬ ‫מייצגת‬
‫חיובית‬
‫אז‬ ,
( )
0 0 0
; ;
x y z
-
.‫מינימום‬ ‫נקודת‬
2
.‫ב‬
‫אם‬
( )
0 0 0
; ;
A x y z
‫ריבועית‬ ‫תבנית‬ ‫מייצגת‬
‫שלילית‬
‫אז‬ ,
( )
0 0 0
; ;
x y z
-
‫מכסימום‬ ‫נקודת‬
.
2
.‫ג‬
‫אם‬
( )
0 0 0
; ;
A x y z
‫ריבועית‬ ‫תבנית‬ ‫מייצגת‬
‫מעורבת‬
‫אז‬ ,
( )
0 0 0
; ;
x y z
-
."‫"אוכף‬ ‫נקודת‬
‫הערה‬
1
:
‫במקרה‬
( )
0 0 0
; ;
A x y z
,‫הנ"ל‬ ‫מהסוגים‬ ‫ריבועית‬ ‫תבנית‬ ‫מייצגת‬ ‫לא‬
‫תשו‬ ‫נותן‬ ‫לא‬ ‫המשפט‬ , )‫מתאפס‬ ‫הראשיים‬ ‫הדטרמיננטים‬ ‫אחד‬ ,‫(למשל‬
‫של‬ ‫הסוג‬ ‫מהו‬ ‫בה‬
( )
0 0 0
; ;
x y z
.
‫הערה‬
2
:
.‫משתנים‬ ‫מספר‬ ‫כל‬ ‫עם‬ ‫פונקציה‬ ‫לגבי‬ ‫עובדת‬ ‫הנ"ל‬ ‫במשפט‬ ‫המתוארת‬ ‫זיהוי‬ ‫שיטת‬
3
.
.‫דוגמא‬
‫של‬ ‫הקריטיות‬ ‫הנקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬
( ) ( )
2 3
; ; 7 2 3
f x y z xy z x y z
= − − −
.
‫פתרון‬
1
.
:‫ראשונות‬ ‫נגזרות‬
( )
2 3 2 3
7 2 3
x
f y z x y z xy z
 = − − − −
( )
3 2 3
2 7 2 3 2
y
f xyz x y z xy z
 = − − − −
( )
2 2 2 3
3 7 2 3 3
z
f xy z x y z xy z
 = − − − −
2
.
:‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הקריטיות‬ ‫הנקודות‬

8. ‫חי‬ ‫תל‬ ‫אקדמית‬ ‫מכללה‬
‫למדעים‬ ‫ספר‬ ‫בית‬
‫מחשב‬ ‫למדעי‬ ‫חוג‬
39
( )
( )
( )
2 3
3
2 2
7 2 2 3 0
2 7 3 3 0
3 7 2 4 0
y z x y z
xyz x y z
xy z x y z
 − − − =


− − − =


− − − =


:‫ומכאן‬
( )
;0;
x z
,
( )
; ;0
x y
,
( )
0;0; z
,
( )
0; ;0
y
,
7 3
0; ;
2
z
z
−
 
 
 
,
( )
1;1;1
.
3
.
:‫שניות‬ ‫נגזרות‬
2 3
2
xx
f y z
 = −
( )
3
2 7 6 3
yy
f xz x y z
 = − − −
( )
2
6 7 2 6
zz
f xy z x y z
 = − − −
( )
3
2 7 2 3 3
xy
f yz x y z
 = − − −
( )
2 2
3 7 2 3 4
xz
f y z x y z
 = − − −
( )
2
6 7 3 4
yz
f xyz x y z
 = − − −
4
.
:‫נקודות‬ ‫מיון‬
4
.‫א‬
( )
;0;
x z
-
‫ל‬ ‫פרט‬ ‫הנגזרות‬ ‫כל‬
-
yy
f 
‫ל‬ ‫שוות‬
-
0
.
.‫תשובה‬ ‫נותן‬ ‫לא‬ ‫המשפט‬ ,‫לכן‬
4
.‫ב‬
( )
; ;0
x y
-
‫ל‬ ‫שוות‬ ‫הנגזרות‬ ‫כל‬
-
0
.
.‫תשובה‬ ‫נותן‬ ‫לא‬ ‫המשפט‬ ,‫לכן‬
4
.‫ג‬
( )
0;0; z
-
‫ל‬ ‫שוות‬ ‫הנגזרות‬ ‫כל‬
-
0
.
.‫תשובה‬ ‫נותן‬ ‫לא‬ ‫המשפט‬ ,‫לכן‬
4
.‫ד‬
( )
0; ;0
y
-
‫ל‬ ‫שוות‬ ‫הנגזרות‬ ‫כל‬
-
0
.
.‫תשובה‬ ‫נותן‬ ‫לא‬ ‫המשפט‬ ,‫לכן‬
4
.‫ה‬
7 3
0; ;
2
z
z
−
 
 
 
-
‫ל‬ ‫שוות‬ ‫כאן‬
-
0
‫נגזרות‬
yy
f 
,
zz
f 
,
yz
f 
.
‫הנקודה‬ ‫מטריצת‬ ,‫לכן‬
7 3
0; ;
2
z
z
−
 
 
 
:‫היא‬
7 3
0; ; 0 0
2
0 0
xy xy xz
xy
xz
f f f
z
A z f
f
  
 
−
   

=
   
   

 
.
‫כי‬ ‫רואים‬
7 3
0; ; 0
2
z
A z
−
 
=
 
 
‫ל‬ .
.‫תשובה‬ ‫נותן‬ ‫לא‬ ‫המשפט‬ ,‫כן‬
4
.‫ו‬
( )
1;1;1
.
:‫מקבלים‬

9. ‫חי‬ ‫תל‬ ‫אקדמית‬ ‫מכללה‬
‫למדעים‬ ‫ספר‬ ‫בית‬
‫מחשב‬ ‫למדעי‬ ‫חוג‬
40
2
xx
f  = −
,
6
yy
f  = −
,
12
zz
f  = −
2
xy
f  = −
,
6
xz
f  = −
,
6
yz
f  = −
,‫לכן‬
( )
2 2 6
1;1;1 2 6 6
6 6 12
A
− − −
 
 
= − − −
 
 
− − −
 
.
,‫מכאן‬
( )
1 1;1;1 2 0
A = − 
,
( )
2
2 2
1;1;1 8 0
2 6
A
− −
= = 
− −
,
( )
3
2 2 6 0 4 0
1;1;1 2 6 6 2 6 6 48 0
6 6 12 6 6 12
A
− − −
= − − − = − − − = 
− − − − − −
.‫אוכף‬ ‫היא‬ ‫הנקודה‬ ,‫לכן‬
(
‫ה‬
)
.‫בתנאי‬ ‫קיצון‬
1
.
.'‫לגרנג‬ ‫כופלי‬
‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫מכסימום‬ ‫או‬ ‫מינימום‬ ‫למצוא‬ ‫מעוניינים‬ ‫אם‬
( )
f f x y z
= ; ;
‫באי‬
‫לוצים‬
( )
 x y z
, , = 0
‫וגם‬
( )
 x y z
, , = 0
‫פונקצ‬ ‫בונים‬ ,
:'‫לגרנג‬ ‫ית‬
( ) ( ) ( ) ( )
L x y z f x y z x y z x y z
, , , , , , , , , ,
     
1 2 1 2
= +  + 
‫הגורמים‬
1
‫ו‬
-
2
.'‫לגרנג‬ ‫כופלי‬ ‫נקראים‬
:‫המשוואות‬ ‫מערכת‬ ‫פתרון‬
 =
Lx 0
‫וגם‬
 =
Ly 0
‫וגם‬
 =
Lz 0
‫וגם‬
 =
L1
0
‫וגם‬
 =
L2
0
‫מגדיר‬
‫פונקצ‬ ‫של‬ ‫קריטיות‬ ‫נקודות‬
‫ית‬
'‫לגרנג‬
‫שהן‬
‫קריטיות‬ ‫נקודות‬ ‫גם‬
‫של‬
( )
f f x y z
= ; ;
‫באילוצים‬
( )
 x y z
, , = 0
‫וגם‬
( )
 x y z
, , = 0
.
2
.
.‫דוגמא‬
(
)‫א‬
‫של‬ ‫המכסימום‬ ‫את‬ ‫מצא‬
z x y
= 2
‫בתנאי‬
x y
2 2
1
+ =
.
)‫(ב‬
:‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬
( )
f x y x y
, = 2
3
.
‫בנקודה‬ ‫הפונקציה‬ ‫נגזרת‬ ‫את‬ ‫מצא‬
( )
0 0
;
‫העל‬ ‫בכיוון‬
‫י‬
.‫ביותר‬ ‫המהירה‬ ‫יה‬
‫פתרון‬
)‫(א‬
1
.
‫פונקצית‬ ‫את‬ ‫נרכיב‬
:'‫לגרנג‬
‫הנגזר‬ ‫לכן‬
:‫הן‬ ‫החלקיות‬ ‫ות‬
 = +  = +  = + −
L xy x L x y L x y
x y
2 2 2 1
2 2 2
  
; ;
:‫הקריטיות‬ ‫הנקודות‬ ‫את‬ ‫ונמצא‬ ‫המשוואות‬ ‫מערכת‬ ‫את‬ ‫נפתור‬
( ) ( )
1
,
, 2
2
2
−
+
+
= y
x
y
x
y
x
L 


10. ‫חי‬ ‫תל‬ ‫אקדמית‬ ‫מכללה‬
‫למדעים‬ ‫ספר‬ ‫בית‬
‫מחשב‬ ‫למדעי‬ ‫חוג‬
41
2 2 0
2 0
1 0
2
2 2
xy x
x y
x y
+ =
+ =
+ − =







‫את‬ ‫נחלץ‬

:‫ונקבל‬ ,‫הראשונות‬ ‫המשוואות‬ ‫משתי‬
2 0
2 3
xy x
− =
:‫ומכאן‬ ,
x = 0
‫או‬
x y
2 2
2
=
.
:‫הן‬ ‫הקריטיות‬ ‫הנקודות‬ ,‫לכן‬
( )
0 1
;
,
( )
0 1
;−
,
2
3
1
3
;






,
2
3
1
3
;−






,
−






2
3
1
3
;
,
− −






2
3
1
3
;
.
2
.
‫בפונקציה‬ ‫ההצבות‬ ‫ע"י‬
z x y
= 2
,‫נקבל‬
max ; ;
z z z
=





 = −





 =
2
3
1
3
2
3
1
3
2
3 3
.
)‫(ב‬
1
.
‫ש‬ ‫משום‬
-
( )
f x y x y x y
, = =
2
3
2
3
1
3
,
 =
f
y
x
x
2
3
3
‫וגם‬
 =
f
x
y
y
1
3
2
2
3
.
‫בנקודה‬ ‫הנגזרות‬ ‫לחישוב‬ ‫לכן‬
( )
0 0
;
‫לה‬ ‫נזדקק‬ ,
‫ש‬
‫ת‬
.‫בהגדרה‬ ‫מש‬
‫קיימות‬ ‫אפילו‬ ‫שאם‬ ‫גם‬ ‫מובן‬
( )

f x 0 0
;
‫ו‬ ,
-
( )

f y 0 0
;
‫הן‬
.‫רציפות‬ ‫לא‬ ‫זאת‬ ‫בכל‬
.‫המכוונת‬ ‫הנגזרת‬ ‫של‬ ‫בהגדרה‬ ‫נשתמש‬ ‫לכן‬
2
.
‫הגדרה‬ ‫לפי‬
( )
( ) ( )
D f
f a h a h f
h
U
h
I
0 0
0 0
0
1 2
; lim
; ;
=
−
→
‫ששם‬ ,
a a
1
2
2
2
1
+ =
.
,‫כלומר‬
( )
D f
a h a h
h
a a
U
h
I
0 0
0
0
1
2 2
2
3
1
2
2
3
; lim
=
−
=
→
.
3
.
‫העלי‬
‫י‬
‫כשהפונקציה‬ ‫תהיה‬ ‫ביותר‬ ‫המהירה‬ ‫ה‬
( )
g a a a a
1 2 1
2
2
; =
‫בתנאי‬ ‫המכסימום‬ ‫את‬ ‫תשיג‬
a a
1
2
2
2
1
+ =
.
‫סעיף‬ ‫קיבלנו‬ ‫בעצם‬
)‫(א‬
‫ולפיו‬ ,
max g =
2
3 3
.
,‫לכן‬
( )
 
max ;
D f
UI
0 0
2
3 3
3
=
.
(
‫ו‬
)
.‫סגור‬ ‫בתחום‬ ‫מוחלט‬ ‫קיצון‬

11. ‫חי‬ ‫תל‬ ‫אקדמית‬ ‫מכללה‬
‫למדעים‬ ‫ספר‬ ‫בית‬
‫מחשב‬ ‫למדעי‬ ‫חוג‬
42
.‫דוגמא‬
‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫המוחלט‬ ‫המינימום‬ ‫ואת‬ ‫המוחלט‬ ‫המכסימום‬ ‫את‬ ‫מצא‬
( )
z x y x xy y
; = − + +
2 2
5 7
‫בתחום‬
:
x y
2 2
20
+ 
‫וגם‬
x y
− + 
3 10 0
.
‫פתרון‬
1
.
.‫התחום‬ ‫את‬ ‫ונצייר‬ ‫האילוצים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
( 2, 4 )
( -4 , 2 )
2
.
.‫התחום‬ ‫בתוך‬ ‫הנמצאות‬ , ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הקריטיות‬ ‫הנקודות‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
 = −  = − +

− =
− + =




=
=



z x y z x y
x y
x y
x
y
x y
2 5 5 2
2 5 0
5 2 0
0
0
;
‫הק‬ ‫הנקודה‬ , ‫כלומר‬
‫היא‬ ‫ריטית‬
( )
0 0
,
.
3
.
‫הישר‬ ‫קטע‬ ‫על‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נחקור‬
x y
− + =
3 10 0
‫הנקודות‬ ‫בין‬
( )
2 4
,
‫ו‬
-
( )
−4 2
,
.
‫את‬ ‫נציב‬
x y
= −
3 10
‫בפונקציה‬
z
.
:‫מקבלים‬
( ) ( )
z y y y y
z y y
= − − − + +

= − − +
3 10 5 3 10 7
5 10 107
2 2
2
‫מכאן‬
 = − −  = − = −
z y y x
10 10 1 13
,
.
.‫הנבדק‬ ‫לקטע‬ ‫מחוץ‬ ‫שמצאנו‬ ‫הנקודה‬
4
.
‫המעגל‬ ‫קשת‬ ‫על‬ ‫הפונקציה‬ ‫את‬ ‫נחקור‬
x y
2 2
20
+ =
.
‫פונקצ‬ ‫נגדיר‬
‫י‬
:'‫לגרנג‬ ‫ית‬
( ) ( )
L x y x xy y x y
, , 
= − + + + + −
2 2 2 2
5 7 20
:‫החלקיות‬ ‫הנגזרות‬ ‫את‬ ‫נמצא‬
 = − +  = − + +  = + −
L x y x L x y y L x y
x y
2 5 2 5 2 2 20
2 2
  
; ;
:‫הקריטיות‬ ‫הנקודות‬ ‫את‬ ‫ונמצא‬ ‫המשוואות‬ ‫מערכת‬ ‫את‬ ‫נפתור‬

12. ‫חי‬ ‫תל‬ ‫אקדמית‬ ‫מכללה‬
‫למדעים‬ ‫ספר‬ ‫בית‬
‫מחשב‬ ‫למדעי‬ ‫חוג‬
43
2 5 2 0
5 2 2 0
20 0
2 2
x y x
x y y
x y
− + =
− + + =
+ − =







:‫נקבל‬ ‫הראשונות‬ ‫המשוואות‬ ‫משני‬
5 5 0
2 2 2 2
x y x y
− =  =
:‫קריטיות‬ ‫נקודות‬ ‫ארבע‬ ‫נקבל‬ ‫השלישית‬ ‫במשוואה‬ ‫ההצבה‬ ‫ולאחר‬
( ) ( ) ( ) ( )
10 10 10 10 10 10 10 10
, ; , ; , ; ,
− − − −
:‫הנקודה‬ ‫כי‬ ‫נקבע‬ ‫בקלות‬
( )
− 10 10
,
.‫לתחום‬ ‫מחוץ‬ ‫נמצאת‬
5
.
‫נקודות‬ ‫בכל‬ ‫הפונקציה‬ ‫ערכי‬ ‫את‬ ‫נחשב‬
:‫התחום‬ ‫ובקודקודי‬ ‫הקריטיות‬
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
z x xy y
z z z z z z
= − + +

= = − − = − − = = − − =
2 2
5 7
0 0 7 10 10 10 10 23 10 10 77 2 4 13 4 2 67
, ; , , ; , ; . ; ,
‫הוא‬ ‫המוחלט‬ ‫שהמכסימום‬ ‫רואים‬
( )
z 10 10 77
,− =
,
‫הוא‬ ‫המוחלט‬ ‫והמינימום‬
( ) ( )
z z
10 10 10 10 23
, ,
= − − = −