סיכום בנושא לוגיקה למדעי המחשב. קבוצות קשרים מינימאליות, כלל הדואליות.

1. ‫קבוצה מינימאלית של קשרים‬
‫הרעיון: קבוצה קטנה של קשרים שניתן לבטא באמצעותה כל ביטוי לוגי.‬
‫הגדרה: קבוצת קשרים תיקרא שלמה אם ניתן לבטא באמצעותה כל ביטוי לוגי.‬
‫הגדרה: קבוצת קשרים תיקרא מינימאלית אם היא שלמה ואם נוריד ממנה קשר אחד, היא כבר לא תהיה‬
‫שלמה.‬
‫טענה 1: הקבוצה }‪ {,,, , ‬היא קבוצה של קשרים.‬
‫טענה 2: הקבוצה }‪ {,,‬היא קבוצה שלמה של קשרים.‬
‫למה? הוכחנו שכל ביטוי ניתן לרשום אותו או כ‪ DNF‬או כ ‪ CNF‬מכיוון שב ‪ DNF‬או ב ‪ CNF‬אנו משתמשים רק‬
‫בקשרים }‪ , {,,‬זה אומר שניתן לבטא באמצעותם כל ביטוי לוגי.‬
‫הוכחת טענה 1: (לא בהסתמך על טענה 2 שהוכחה)‬
‫נרשום את כל האפשרויות לביטויים לוגיים ונראה שאפשר להגיע לכולם ע"י חמשת הקשרים:‬
‫(ההוכחה בטבלה בסוף הקובץ)‬
‫האם אחת מהקבוצות השלמות }‪ {,,} , {,,, , ‬היא מינימאלית?‬
‫התשובה היא לא.‬
‫הקבוצה }‪ {,,, , ‬אינה מינימאלית היות והקבוצה }‪ {,,‬מוכלת בה.‬
‫הקבוצה }‪ {,,‬אינה מינימאלית היות וניתן להוריד ממנה את אחד הקשרים ‪ ,‬ועדיין תהיה קבוצה שלמה.‬
‫טענה: הקבוצה }‪ {,‬שלמה‬
‫איך מוכיחים שקבוצת קשרים שלמה?‬
‫אם נוכיח שבאמצעות הקבוצה החדשה ניתן לבטא את אחת מהקבוצות הידועות כשלמות, הרי שהטענה הוכחה.‬
‫ההוכחה:‬
‫נראה ש }‪ {,‬היא שלמה אם נוכיח שניתן לבטא באמצעותה את הקבוצה }‪ {,,‬שהוכחנו בטענה מס' 2‬
‫שהיא שלמה.‬
‫את הקשרים ‪ ,‬בוודאי נוכל לבטא, כי הם נמצאים בקבוצה החדשה.‬
‫נותר להראות שניתן להראות את הקשר ‪ ‬באמצעות ‪: ,‬‬
‫)‪ P  Q  (P  Q‬לפי דה מורגן‬
‫ביטאנו את ‪ ‬באמצעות ‪ ,‬ולכן הקבוצה }‪ {,‬היא שלמה.‬
‫מסקנה:‬
‫הקבוצה }‪ {,,‬היא שלמה אך לא מינימאלית כי יש בה תת קבוצה אמיתית שהיא שלמה.‬
‫הערה: באותה צורה ניתן להראות שגם }‪ {,‬היא קבוצה שלמה.‬
‫טענה: הקבוצות }‪ {,} , {,‬הן קבוצות מינימאליות של קשרים.‬
‫הוכחה:‬
‫ראינו כבר ששתיהן קבוצות שלמות. נותר רק לראות שאם נוריד מהן קשר, כבר לא נגיע לקבוצה שלמה.‬
‫אם נוריד קשר נקבל אחת מהקבוצות הבאות: }‪{} {} {‬‬
‫}‪ {‬אינה קבוצה שלמה – ע"י הקשר ‪ ‬לא ניתן לעבור לקשר בינארי.‬
‫}‪ {} , {‬גם הן אינן שלמות, כי לא ניתן לבטא באמצעותן שלילה ‪P  P  P ‬‬

2. ‫האם קיימות קבוצות מינימאליות של קשרים ע"י קשר אחד בלבד?‬
‫חשיבות – מספיק לייצר שבב אלקטרוני רק עם הקשר הזה ונוכל לבטא באמצעותו כל ביטוי לוגי שנחפוץ.‬
‫נגדיר את הקשר ‪ NAND‬שסימונו ‪‬‬
‫)‪P  Q  ( P  Q‬‬
‫‪P‬‬ ‫‪Q‬‬ ‫‪Q P‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬
‫‪T‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬ ‫‪T‬‬
‫‪F‬‬ ‫‪F‬‬ ‫‪T‬‬
‫טענה: הקבוצה }‪ {‬היא קבוצה מינימאלית של קשרים‬
‫הוכחה:‬
‫ראשית, ברור שאם היא תהיה שלמה, היא תהיה מינימאלית, כי יש בה קשר אחד בלבד, לכן, מספיק להוכיח‬
‫ש }‪ {‬היא שלמה.‬
‫נראה זאת כך שנוכיח שע"י ‪ ‬בלבד, נוכל לבטא את הקבוצה }‪. {,‬‬
‫כיוון ש }‪ {,‬שלמה, גם }‪ {‬תהיה שלמה.‬
‫‪ P  P  ( P  P)  P  P  P‬ולכן ‪ P  P  P‬ומכאן שע"י ‪ NAND‬ביטאנו שלילה.‬
‫)‪P  Q  (P  Q)  (( P  P)  (Q  Q))  ( P  P)  (Q  Q‬‬
‫ולכן ניתן לבטא את ‪ ‬ע"י ‪ NAND‬בלבד.‬
‫כיוון שביטאנו את }‪ {,‬ע"י ‪ NAND‬ו }‪ {,‬היא שלמה, גם }‪ {‬היא שלמה כדרוש.‬
‫בתרגיל נכיר את הקשר ‪ NOR‬שגם הוא קבוצה מינימאלית של קשרים.‬
‫כלל הדואליות‬
‫תהיי נתונה זהות לוגית שמכילה רק את הקשרים ‪ , ,,‬אם נבצע על הזהות את התהליך הבא:‬
‫א) כל פסוק בסיסי יוחלף בשלילתו ולהיפך‬
‫ב) כל קשר ‪ ‬יוחלף בקשר ‪‬‬
‫אזי, הביטוי המתקבל גם הוא זהות לוגית.‬
‫דוגמא:‬
‫כלל הפילוג‬
‫)‪P  (Q  R)  ( P  Q)  ( P  R‬‬
‫‪‬‬
‫דואליות‬
‫)‪P  (Q  R)  (P  Q)  (P  R‬‬
‫‪‬‬
‫קיבלנו את כלל הפילוג השני – "שני כללים במחיר אחד"...‬
‫מדוע זה נכון?‬
‫אם נפעיל שלילה על שני צדי זהות ונחליף את השלילה ע"י כלל דה מורגן נקבל את חוק הדואליות.‬
‫‪‬‬

3. P Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1
6
T T T T T T T T T T F F F F F F F F
T F T T T T F F F F T T T T F F F F
F T T T F F T T F F T T F F T T F F
F F T F T F T F T F T F T F T F T F
T PQ Q  P P P Q Q P  Q P  Q ( P  Q) ( P  Q) Q ( P  Q) P (Q  P) ( P  Q) F
.‫{ היא קבוצה שלמה של קשרים‬,,, , } ‫הקבוצה‬