1. ‫על־יסודיים‬ ‫ספר‬ ‫לבתי‬ ‫בגרות‬ .‫א‬ :‫הבחינה‬ ‫סוג‬ ‫ישראל‬ ‫מדינת‬
‫אקסטרניים‬ ‫לנבחנים‬ ‫בגרות‬ .‫ב‬ ‫החינוך‬ ‫משרד‬
‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ :‫הבחינה‬ ‫מועד‬
316 ,035806 :‫השאלון‬ ‫מספר‬
‫הבגרות‬ ‫בחינת‬ ‫לשאלות‬ ‫תשובות‬ ‫הצעת‬
‫ה‬‫ק‬‫י‬‫ט‬‫מ‬‫ת‬‫מ‬
‫ראשון‬ ‫שאלון‬ — ‫לימוד‬ ‫יחידות‬ 5
‫לנבחן‬ ‫הוראות‬
.‫וחצי‬ ‫שעות‬ ‫שלוש‬ :‫הבחינה‬ ‫משך‬ .‫א‬
.‫פרקים‬ ‫שלושה‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ :‫ההערכה‬ ‫ומפתח‬ ‫השאלון‬ ‫מבנה‬ .‫ב‬
‫נקודות‬ 40 — 20#2 — ‫ת‬‫והסתברו‬ ‫אלגברה‬ — ‫ראשון‬ ‫פרק‬
‫וטריגונומטריה‬ ‫גאומטריה‬ — ‫שני‬ ‫פרק‬
‫נקודות‬ 20 — 20#1 — ‫ר‬‫במישו‬
‫נקודות‬ 40 — 20#2 — ‫י‬‫ואינטגרל‬ ‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬ — ‫שלישי‬ ‫פרק‬
‫נקודות‬ 100 — ‫כ‬"‫סה‬
:‫בשימוש‬ ‫מותר‬ ‫עזר‬ ‫חומר‬ .‫ג‬
.‫לתכנות‬ ‫הניתן‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫להשתמש‬ ‫אין‬ .‫גרפי‬ ‫לא‬ ‫מחשבון‬ )1(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫במחשבון‬ ‫התכנות‬ ‫באפשרויות‬ ‫או‬ ‫גרפי‬ ‫במחשבון‬ ‫שימוש‬
.)‫(מצורפים‬ ‫נוסחאות‬ ‫דפי‬ )2(
:‫מיוחדות‬ ‫הוראות‬ .‫ד‬
.‫בלבד‬ ‫מספרה‬ ‫את‬ ‫סמן‬ ;‫השאלה‬ ‫את‬ ‫תעתיק‬ ‫אל‬ )1(
‫כאשר‬ ‫גם‬ ,‫הפתרון‬ ‫שלבי‬ ‫את‬ ‫במחברת‬ ‫רשום‬ .‫חדש‬ ‫בעמוד‬ ‫שאלה‬ ‫כל‬ ‫התחל‬ )2(
.‫מחשבון‬ ‫בעזרת‬ ‫מתבצעים‬ ‫החישובים‬
.‫ומסודרת‬ ‫ברורה‬ ‫ובצורה‬ ‫בפירוט‬ ,‫חישובים‬ ‫כולל‬ ,‫פעולותיך‬ ‫כל‬ ‫את‬ ‫הסבר‬
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫או‬ ‫בציון‬ ‫לפגיעה‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫פירוט‬ ‫חוסר‬
.‫מהמשגיחים‬ ‫שקיבלת‬ ‫בדפים‬ ‫או‬ ‫הבחינה‬ ‫במחברת‬ ‫להשתמש‬ ‫יש‬ ‫לטיוטה‬ )3(
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫אחרת‬ ‫בטיוטה‬ ‫שימוש‬
.‫כאחד‬ ‫ולנבחנים‬ ‫לנבחנות‬ ‫ומכוונות‬ ‫זכר‬ ‫בלשון‬ ‫מנוסחות‬ ‫זה‬ ‫בשאלון‬ ‫ההנחיות‬
! ‫ה‬ ‫ח‬ ‫ל‬ ‫צ‬ ‫ה‬ ‫ב‬
/‫לדף‬ ‫מעבר‬ ‫/המשך‬

2. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 2 -
1 ‫שאלה‬
.‫הבחינה‬ ‫לפסילת‬ ‫או‬ ‫בציון‬ ‫לפגיעה‬ ‫לגרום‬ ‫עלול‬ ‫פירוט‬ ‫חוסר‬
)‫נקודות‬ 40( ‫והסתברות‬ ‫אלגברה‬ — ‫ראשון‬ ‫פרק‬
.)‫נקודות‬ 20 — ‫שאלה‬ ‫(לכל‬ 3-1 ‫מהשאלות‬ ‫שתיים‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונות‬ ‫התשובות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫ייבדקו‬ ,‫שאלות‬ ‫משתי‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
.‫כיוון‬ ‫ובאותו‬ ‫קבועה‬ ‫במהירות‬ ‫רצו‬ ‫הם‬ .‫מקום‬ ‫מאותו‬ ‫רגע‬ ‫באותו‬ ‫יצאו‬ II ‫ורץ‬ I ‫רץ‬ .1
.‫קמ"ש‬ 7.5 ‫הייתה‬ II ‫רץ‬ ‫של‬ ‫והמהירות‬ ,‫קמ"ש‬ 6 ‫הייתה‬ I ‫רץ‬ ‫של‬ ‫המהירות‬
,‫הרצים‬ ‫שני‬ ‫של‬ ‫היציאה‬ ‫מרגע‬ ‫דקות‬ 20 ‫כעבור‬
.‫קבועה‬ ‫במהירות‬ ‫רץ‬ ‫והוא‬ ,‫כיוון‬ ‫ובאותו‬ ‫מקום‬ ‫מאותו‬ III ‫רץ‬ ‫יצא‬
. II ‫רץ‬ ‫את‬ ‫פגש‬ ‫הוא‬ ‫כך‬ ‫אחר‬ ‫ושעה‬ , I ‫רץ‬ ‫את‬ ‫בדרך‬ ‫פגש‬ III ‫רץ‬
. II ‫רץ‬ ‫עם‬ ‫לפגישתו‬ ‫עד‬ III ‫רץ‬ ‫של‬ ‫היציאה‬ ‫מרגע‬ ‫עברו‬ ‫שעות‬ ‫כמה‬ ‫מצא‬
, , , ...a a a1 2 3 :‫חשבונית‬ ‫סדרה‬ ‫נתונה‬ .2
:‫מקיימים‬ , , ,a a an n n1 2+ + ,‫בסדרה‬ ‫עוקבים‬ ‫איברים‬ ‫שלושה‬
a a 216n n2
2 2- =+
a a 54+ + =an n n1 2+ +
. an ‫האיבר‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
:‫חדשה‬ ‫חשבונית‬ ‫סדרה‬ ‫ובנו‬ ‫הנתונה‬ ‫בסדרה‬ ‫מהאיברים‬ ‫חלק‬ ‫לקחו‬ .‫ב‬
, , , ... ,a a a a k5 9 13 4 1+
. 450 ‫הוא‬ ‫החדשה‬ ‫בסדרה‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫סכום‬
. a 211= - ‫הוא‬ ‫בפתיח‬ ‫הנתונה‬ ‫בסדרה‬ ‫הראשון‬ ‫האיבר‬
. k ‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬
3‫בעמוד‬‫המשך‬
1 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
II ‫רץ‬ ‫עם‬ ‫לפגישתו‬ ‫עד‬ III ‫רץ‬ ‫של‬ ‫היציאה‬ ‫מרגע‬ ‫שעברו‬ ‫השעות‬ ‫מספר‬ — t :‫נסמן‬
III ‫רץ‬ ‫של‬ ‫המהירות‬ — v
‫מהירות‬
)‫(קמ"ש‬
‫זמן‬
)‫(שעות‬
‫דרך‬
)‫(ק"מ‬
III ‫רץ‬ ‫עם‬ ‫הפגישה‬ ‫עד‬ I ‫רץ‬6t 60
20
1+ -( )t6 60
20
1+ -
III ‫רץ‬ ‫עם‬ ‫הפגישה‬ ‫עד‬ II ‫רץ‬7.5t 60
20
+( ). t 60
20
7 5 +
II ‫לרץ‬ I ‫רץ‬ ‫עם‬ ‫הפגישה‬ ‫בין‬ III ‫רץ‬v1v 1$
I.
. ( )
t v
t7 5 60
20
=
+
:‫מקיים‬ II ‫רץ‬ ‫עם‬ ‫הפגישה‬ ‫עד‬ III ‫רץ‬ ‫של‬ ‫הזמן‬
. ( ) ( )
v
t t
1
7 5 60
20
6 60
20
1
=
+ - + -
:‫מקיים‬ II ‫לרץ‬ I ‫רץ‬ ‫עם‬ ‫הפגישה‬ ‫בין‬ III ‫רץ‬ ‫של‬ ‫הזמן‬
0
. .v t1 5 6 5= +
. .t t1 5 2 5 02 - - = :‫ונקבל‬ , I ‫במשוואה‬ . .v t1 5 6 5= + ‫נציב‬
0
t = ‫שעות‬ 3
5
:‫לכן‬ , t 02
/3 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

3. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 3 -
2 ‫שאלה‬
.‫קבועה‬ ‫במהירות‬ ‫רץ‬ ‫והוא‬ ,‫כיוון‬ ‫ובאותו‬ ‫מקום‬ ‫מאותו‬ III ‫רץ‬ ‫יצא‬
. II ‫רץ‬ ‫את‬ ‫פגש‬ ‫הוא‬ ‫כך‬ ‫אחר‬ ‫ושעה‬ , I ‫רץ‬ ‫את‬ ‫בדרך‬ ‫פגש‬ III ‫רץ‬
. II ‫רץ‬ ‫עם‬ ‫לפגישתו‬ ‫עד‬ III ‫רץ‬ ‫של‬ ‫היציאה‬ ‫מרגע‬ ‫עברו‬ ‫שעות‬ ‫כמה‬ ‫מצא‬
, , , ...a a a1 2 3 :‫חשבונית‬ ‫סדרה‬ ‫נתונה‬ .2
:‫מקיימים‬ , , ,a a an n n1 2+ + ,‫בסדרה‬ ‫עוקבים‬ ‫איברים‬ ‫שלושה‬
a a 216n n2
2 2- =+
a a 54+ + =an n n1 2+ +
. an ‫האיבר‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫א‬
:‫חדשה‬ ‫חשבונית‬ ‫סדרה‬ ‫ובנו‬ ‫הנתונה‬ ‫בסדרה‬ ‫מהאיברים‬ ‫חלק‬ ‫לקחו‬ .‫ב‬
, , , ... ,a a a a k5 9 13 4 1+
. 450 ‫הוא‬ ‫החדשה‬ ‫בסדרה‬ ‫האיברים‬ ‫כל‬ ‫סכום‬
. a 211= - ‫הוא‬ ‫בפתיח‬ ‫הנתונה‬ ‫בסדרה‬ ‫הראשון‬ ‫האיבר‬
. k ‫של‬ ‫הערך‬ ‫את‬ ‫מצא‬
3‫בעמוד‬‫המשך‬2 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
a a 216n n2
2 2- =+ :‫הנתון‬ ‫לפי‬ .‫א‬
0
( ) ( )a a a a 216n n n n2 2$- + =+ +
0
( )d a d2 2 2 216n + = :‫ונקבל‬, a a d2n n2 = ++ ‫ו־‬ a a d2n n2 - =+ ‫נציב‬
0
I. ( )d a d 54n + =
a a a 54n n n1 2+ + =+ + :‫הנתון‬ ‫לפי‬
0
a a d a d2 54n n n+ + + + =
0
II. a d 18n + =
a 15n = , d 3= :‫מקבלים‬ II ‫ו־‬ I ‫מ־‬
/4 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

4. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 4 -
.2 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
( )a a a d a d d8 4 49 5 1 1- = + - + = :‫הוא‬ ‫החדשה‬ ‫הסדרה‬ ‫הפרש‬ .‫ב‬
12 :‫הוא‬ ‫החדשה‬ ‫הסדרה‬ ‫הפרש‬ ‫לכן‬ , d 3= ‫כי‬ ‫מצאנו‬
4 1 5 4( 1)k N k N&+ = + - = :‫כי‬,‫החדשה‬‫בסדרה‬ N ‫האיברים‬‫מספר‬‫את‬‫מציין‬ k
( ( ))
k
a k450 2 2 12 15$= + - :‫מקיים‬ ‫החדשה‬ ‫בסדרה‬ ‫האיברים‬ k ‫סכום‬ ‫לכן‬
( )a 21 3 5 1 95 =- + - =- :‫הוא‬ ‫הנתונה‬ ‫בסדרה‬ ‫החמישי‬ ‫האיבר‬
( ( ))
k
k450 2 2 9 12 1$= - + - :‫מכאן‬
0
k 10=
/5 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

5. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 5 -
3 ‫שאלה‬‫נספח‬ + 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ,‫מתמטיקה‬
-3-
:‫שנתי‬ ‫לטיול‬ ‫המסלולים‬ ‫משני‬ ‫באחד‬ ‫בוחר‬ ‫מסוימת‬ ‫בשנה‬ ‫י"ב‬ ‫כיתות‬ ‫מתלמידי‬ ‫אחד‬ ‫כל‬ ‫גדולה‬ ‫בעיר‬ .3
.'‫ב‬ ‫מסלול‬ ‫או‬ '‫א‬ ‫מסלול‬
.‫בנות‬ ‫הן‬ '‫א‬ ‫במסלול‬ ‫שבחרו‬ ‫התלמידים‬ ‫מן‬ 75% :‫נמצא‬
.'‫ב‬ ‫במסלול‬ ‫בחרו‬ ‫הבנות‬ ‫מן‬ 10%
.‫בנות‬ ‫הם‬ ‫התלמידים‬ ‫מן‬ 40%
.)‫(בן/בת‬ ‫י"ב‬ ‫תלמיד‬ ‫באקראי‬ ‫בוחרים‬ .‫א‬
?'‫א‬ ‫במסלול‬ ‫בחר‬ ‫שהוא‬ ‫ההסתברות‬ ‫מהי‬
"‫בת‬ ‫הוא‬ ‫"התלמיד‬ ‫המאורע‬ ‫האם‬ ,)‫(בן/בת‬ ‫י"ב‬ ‫תלמיד‬ ‫באקראי‬ ‫בוחרים‬ ‫כאשר‬ .‫ב‬
.‫נמק‬ ?‫תלויים‬ ‫בלתי‬ ‫מאורעות‬ ‫הם‬ " '‫א‬ ‫במסלול‬ ‫בחר‬ )‫(בן/בת‬ ‫"התלמיד‬ ‫והמאורע‬
.‫התלמידים‬ ‫מבין‬ ‫בנות‬ ‫כמה‬ ‫באקראי‬ ‫בחרו‬ .‫ג‬
. 0.99 ‫היא‬ '‫א‬ ‫במסלול‬ ‫בחרה‬ ‫מהן‬ ‫אחת‬ ‫שלפחות‬ ‫שההסתברות‬ ‫נמצא‬
).‫תלויות‬ ‫בלתי‬ ‫הן‬ ‫שנבחרו‬ ‫הבנות‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המסלולים‬ ‫של‬ ‫(הבחירות‬
?‫נבחרו‬ ‫בנות‬ ‫כמה‬
4‫בעמוד‬‫המשך‬
3 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
‫הבנות‬ ‫קבוצת‬ — A :‫נסמן‬ .‫א‬
'‫א‬ ‫במסלול‬ ‫הבוחרים‬ ‫קבוצת‬ — B
( / ) .P A B 0 75= , ( / ) .P B A 0 1= ( ) 0.4P A = :‫הנתון‬ ‫לפי‬
0 0
( ) . ( )P A B P B0 75+ = ( ) . ..P A B 0 1 0 040 4+ $= =
( ) ( ) ( )P A P A B P A B+ += +
0
. . ( ) .P B0 4 0 75 0 04= +
0
( ) .P B 0 48=
"‫בת‬ ‫הוא‬ ‫"התלמיד‬ ‫המאורע‬ ‫שיקרה‬ ‫הסיכוי‬ ‫מכפלת‬ .‫ב‬
( ) ( ) . .P A P B 0 4 0 48$ #= :‫היא‬ " '‫א‬ ‫במסלול‬ ‫בחר‬ ‫"התלמיד‬ ‫המאורע‬ ‫שיקרה‬ ‫בסיכוי‬
( ) . ( ) . .P A B P B0 75 0 75 0 48+ #= = :‫הוא‬ " '‫א‬ ‫במסלול‬ ‫בחר‬ ‫וגם‬ ‫בת‬ ‫הוא‬ ‫"התלמיד‬ ‫המאורע‬ ‫שיקרה‬ ‫הסיכוי‬
( ) ( ) ( )P A B P A P B+ $! :‫מכאן‬
0
‫תלויים‬ ‫המאורעות‬
/6 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

6. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 6 -
.3 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
( / ) ( )
( )
.
. .
.P B A P A
P B A
0 4
0 75 0 48
0 9
+ #
= = = :‫היא‬ '‫א‬ ‫במסלול‬ ‫תבחר‬ ‫שבת‬ ‫ההסתברות‬ .‫ג‬
( )P P1 0n= -c m‫לפחות‬
‫אחת‬ :‫היא‬ '‫א‬ ‫במסלול‬ ‫בחרה‬ ‫אחת‬ ‫לפחות‬ ‫בנות‬ n ‫שמבין‬ ‫ההסתברות‬
0
. .0 99 1 0 1n= - :‫ונקבל‬ , ( ) ( . )P 0 1 0 9n
n= - ‫נציב‬
0
. .0 1 0 01n =
0
n 2=
/7 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

7. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 7 -
4 ‫שאלה‬
‫נספח‬ + 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ,‫מתמטיקה‬
-4-
)‫נקודות‬ 20( ‫במישור‬ ‫וטריגונומטריה‬ ‫גאומטריה‬ — ‫שני‬ ‫פרק‬
. 5-4 ‫מהשאלות‬ ‫אחת‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונה‬ ‫התשובה‬ ‫רק‬ ‫תיבדק‬ ,‫אחת‬ ‫משאלה‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
. O1 ‫שמרכזו‬ ‫במעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬ AC .4
. O2 ‫שמרכזו‬ ‫במעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬ BD
O2 ‫ו־‬ O1 ‫למעגלים‬ ‫משיק‬ ‫ישר‬
.‫בהתאמה‬ B ‫ו־‬ A ‫בנקודות‬
O O1 2 ‫המרכזים‬ ‫קטע‬ ‫את‬ ‫חותך‬ ‫המשיק‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ E ‫בנקודה‬
‫ס"מ‬ 30 ‫הוא‬ O1 ‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ :‫נתון‬
‫ס"מ‬ 20 ‫הוא‬ O2 ‫המעגל‬ ‫רדיוס‬
‫ס"מ‬ 90 ‫הוא‬ O O1 2 ‫המרכזים‬ ‫קטע‬ ‫אורך‬
.‫נמק‬ . O C
O E
1
1
‫היחס‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )1( .‫א‬
. EO DEO C 3+1 23 ‫כי‬ ‫הוכח‬ )2(
. CD ‫הישר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ E ‫הנקודה‬ ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫ב‬
) ACB 90oB = ( ACB ‫ישר־זווית‬ ‫במשולש‬ .5
. AC ‫הניצב‬ ‫אמצע‬ ‫היא‬ G ‫נקודה‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ BG PG4$= ‫ש־‬ ‫כך‬ GB ‫על‬ ‫נמצאת‬ P ‫נקודה‬
. R ‫הוא‬ CGB ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫רדיוס‬
. GC BC= :‫נתון‬
‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫את‬ R ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ .‫א‬
. ACB ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬
P ‫הנקודה‬ ‫מרחק‬ ‫את‬ R ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ .‫ב‬
. ACB ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫ממרכז‬
5‫בעמוד‬‫המשך‬
A
B
E
C
D
O1 O2
A
B
G
P
C
4 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
‫לרדיוס‬ ‫מאונך‬ ‫למעגל‬ ‫משיק‬ O AE O BE 90o
1 2B B= = )1( .‫א‬
‫שוות‬ ‫הן‬ ‫קדקודיות‬ ‫זוויות‬ O EA O EB1 2B B=
.‫ז.ז‬ ‫פי‬ ‫על‬ O BEO AE 3+1 23 :‫מכאן‬
0
O A
O E
O
O E
O
O O O E
B B1
1
2
2
2
1 2 1
= =
-
0
O E O E
20
90
30
1 1
=
-
0
O E 541 =
.O C
O E
30
54
1 8
1
1
= =
/8 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

8. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 8 -
.4 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
O D
O E
O D
O O O E
2
2
2
1 2 1
=
-
)2(
0
.O D
O E
20
90
1 8
54
2
2
=
-
=
O D
O E
O C
O E
2
2
1
1
= :‫מכאן‬
‫מקבילים‬ ‫הישרים‬ ‫אז‬ ‫שוות‬ ‫מתחלפות‬ ‫זוויות‬ AC DBz :‫לכן‬, O AE O BE1 2B B= ‫מצאנו‬
0
‫לזו‬ ‫זו‬ ‫שוות‬ ‫מקבילים‬ ‫ישרים‬ ‫בין‬ ‫מתחלפות‬ ‫זוויות‬ CO E DO E1 2B B=
‫צ.ז.צ‬ ‫פי‬ ‫על‬ EO DEO C 3+1 23 :‫מכאן‬
O EC O ED1 2B B b= = :‫מקבלים‬ ‫מהדמיון‬ .‫ב‬
O EA O EB1 2B B a= = :)1(‫א‬ ‫בתת־סעיף‬ ‫מצאנו‬
( )AED 180oB b a= - + :‫לכן‬ , O O1 2 ‫הישר‬ ‫על‬ E ‫נקודה‬
CED AEDB Bb a= + +
( )CED 180 180o oB b a b a= + + - + =
0
CD ‫הישר‬ ‫על‬ E ‫הנקודה‬
/9 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

9. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 9 -
5 ‫שאלה‬
.‫נמק‬ . O C1
1
‫היחס‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )1( .‫א‬
. EO DEO C 3+1 23 ‫כי‬ ‫הוכח‬ )2(
. CD ‫הישר‬ ‫על‬ ‫נמצאת‬ E ‫הנקודה‬ ‫כי‬ ‫הוכח‬ .‫ב‬
) ACB 90oB = ( ACB ‫ישר־זווית‬ ‫במשולש‬ .5
. AC ‫הניצב‬ ‫אמצע‬ ‫היא‬ G ‫נקודה‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ BG PG4$= ‫ש־‬ ‫כך‬ GB ‫על‬ ‫נמצאת‬ P ‫נקודה‬
. R ‫הוא‬ CGB ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫רדיוס‬
. GC BC= :‫נתון‬
‫המעגל‬ ‫רדיוס‬ ‫את‬ R ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ .‫א‬
. ACB ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬
P ‫הנקודה‬ ‫מרחק‬ ‫את‬ R ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ .‫ב‬
. ACB ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫ממרכז‬
5‫בעמוד‬‫המשך‬
A
B
G
P
C
5 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
‫קוטר‬ ‫על‬ ‫נשענת‬ 90o ‫של‬ ‫היקפית‬ ‫זווית‬ BG R2= .‫א‬
‫ישר־הזווית‬ BCG ‫במשולש‬‫מכאן‬
( )R BC GC2 2 2 2= + :‫מתקיים‬ ‫פיתגורס‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬
0
C RG 2= :‫לכן‬ , GC BC= ‫הנתון‬ ‫לפי‬
0
CA R2 2= :‫לכן‬ , CA ‫אמצע‬ G
ACB ‫ישר־הזווית‬ ‫במשולש‬
AB CABC2 2 2= + :‫מתקיים‬ ‫פיתגורס‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬
0
( ) ( )AB R R2 2 22 2 2= +
0
AB R10=
‫קוטר‬ ‫על‬ ‫נשענת‬ 90o ‫של‬ ‫היקפית‬ ‫זווית‬ ACB3 ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫במעגל‬ ‫קוטר‬ ‫הוא‬ AB
0
ACB3 ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫רדיוס‬
AB
R2 2
10
= =
/10 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

10. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 10 -
.5 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
( )CB
CA
tg ABCB= :‫מתקיים‬ ACB ‫ישר־הזווית‬ ‫במשולש‬ .‫ב‬
0
( )tg ABC2 B=
0
.ABC 63 435oB =
0
. .PBA 63 435 45 18 435o o oB = - = :‫לכן‬ , CGB CBG 45oB B= =
BP BG R R4
3
4
3
2 2
3
$= = = :‫נקבל‬ BG PG4= ‫מהנתון‬
, ACB ‫המשולש‬ ‫את‬ ‫החוסם‬ ‫המעגל‬ ‫מרכז‬ ‫את‬ O ‫ב־‬ ‫נסמן‬
cosPO BO BP BO BP PBA22 2 2 $ $ $ B= + - :‫מתקיים‬ POB ‫במשולש‬ ‫הקוסינוסים‬‫משפט‬‫לפי‬‫כי‬‫ונקבל‬
0
.cosPO R R R R2
10
2
3
2 2
10
2
3
18 435o2
2 2
$ $ $= + -c bm l
0
.PO R0 5= :‫לכן‬ , PO 02
/11 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

11. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 11 -
6 ‫שאלה‬
,‫פולינומים‬ ‫של‬ ‫ואינטגרלי‬ ‫דיפרנציאלי‬ ‫חשבון‬ — ‫שלישי‬ ‫פרק‬
‫רציונליות‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬ ,‫שורש‬ ‫פונקציות‬ ‫של‬
)‫נקודות‬ 40( ‫טריגונומטריות‬ ‫פונקציות‬ ‫ושל‬
.)‫נקודות‬ 20 — ‫שאלה‬ ‫(לכל‬ 8-6 ‫מהשאלות‬ ‫שתיים‬ ‫על‬ ‫ענה‬
.‫שבמחברתך‬ ‫הראשונות‬ ‫התשובות‬ ‫שתי‬ ‫רק‬ ‫ייבדקו‬ ,‫שאלות‬ ‫משתי‬ ‫יותר‬ ‫על‬ ‫תענה‬ ‫אם‬ !‫לב‬ ‫שים‬
( )f x x x8 2= - :‫פונקציות‬ ‫שתי‬ ‫נתונות‬ .6
( )g x x x8 2 4= -
.‫הגדרה‬ ‫תחום‬ ‫אותו‬ ‫יש‬ ‫הפונקציות‬ ‫לשתי‬ )1( .‫א‬
.‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫את‬ ‫מצא‬
.‫הצירים‬ ‫עם‬ g(x) ‫ו־‬ f(x) ‫מהפונקציות‬ ‫אחת‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
.‫סוגן‬ ‫את‬ ‫וקבע‬ , ‫מהפונקציות‬ ‫אחת‬ ‫כל‬ ‫של‬ ‫המוחלט‬ ‫הקיצון‬ ‫נקודות‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ .‫ב‬
, f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫סרטט‬ ,‫ב‬ ‫ו־‬ ‫א‬ ‫הסעיפים‬ ‫פי‬ ‫על‬ .‫ג‬
. g(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫וסרטט‬
. IV-I ,‫גרפים‬ ‫ארבעה‬ ‫לפניך‬ .‫ד‬
.‫נמק‬ ? g'(x) ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬ ‫את‬ ‫מתאר‬ ‫מהגרפים‬ ‫איזה‬
6‫בעמוד‬‫המשך‬
y
x
y
x
y
x
y
I II III IV
x
6 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
x8 02$- :‫להתקיים‬ ‫צריך‬ )1( .‫א‬
0
x2 2 2 2# #- : g(x) ‫ושל‬ f(x) ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬
( ) 0 0 , 2f x x x 2& != = = )2(
( ) 0 0 , 2g x x x 2& != = =
‫הצירים‬‫עם‬‫חיתוך‬‫נקודות‬
( , ) , ( , ) , ( , )0 0 2 2 0 2 2 0- : g(x) ‫ושל‬ f(x) ‫של‬
/12 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

12. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 12 -
.6 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
f'(x) = x x
x
x
x
x
8
2 8
2
8
8 22
2 2
2
- +
-
-
=
-
-
.‫ב‬
g'(x) =
x x
x x
x x
x x
2 8
4
8
8 216
2 4
3
2 4
3
-
-
=
-
-
8 2 0 2x x2 & !- = = :‫לקיצון‬ "‫"חשודות‬ ‫נקודות‬ f(x) ‫עבור‬
,x x x x8 2 0 2 03 & !- = = = :‫לקיצון‬ "‫"חשודות‬ ‫נקודות‬ g(x) ‫עבור‬
2 2202-2 2-x
0404-0f(x)
04040g(x)
( , )2 4 : f(x) ‫של‬ ‫מוחלט‬ ‫מקסימום‬
( , )2 4- - : f(x) ‫של‬ ‫מוחלט‬ ‫מינימום‬
( , ) ( , )2 4 2 4- : g(x) ‫של‬ ‫מוחלט‬ ‫מקסימום‬
( , ) ( , ) ( , )2 2 0 0 0 2 2 0- : g(x) ‫של‬ ‫מוחלט‬ ‫מינימום‬
.‫ג‬
20
y f(x)
x
2 22 2- 2-0 2
y
x
g(x)
2 22 2- 2-
x 0= ‫עבור‬ ‫מוגדרת‬ ‫אינה‬ g'(x) .‫ד‬
0
‫מתאימים‬ ‫אינם‬ IV ‫וגרף‬ III ‫גרף‬
,x x0 2 2 2 21 1 1 1- - ‫עבור‬ ‫עולה‬ g(x)
2 , 2x x2 2 01 1 1 1- ‫עבור‬ ‫יורדת‬ g(x)
,x x0 2 2 2 21 1 1 1- - ‫עבור‬ ‫חיובית‬ g'(x) :‫לכן‬
,x x0 2 2 2 01 1 1 1- ‫עבור‬ ‫שלילית‬ g'(x)
‫הנכון‬ ‫הוא‬ I ‫גרף‬ :‫מכאן‬ /13 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

13. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 13 -
7 ‫שאלה‬
‫נספח‬ + 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ,‫מתמטיקה‬
-6-
!‫בהצלחה‬
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
. ( )
( )
f x
x
x
1
2
2
2
=
-
-
‫הפונקציה‬ ‫נתונה‬ .7
. f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )1( .‫א‬
.‫לצירים‬ ‫המקבילות‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫האסימפטוטות‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )2(
.‫הצירים‬ ‫עם‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫החיתוך‬ ‫נקודות‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )3(
.‫סוגן‬ ‫את‬ ‫וקבע‬ , f(x) ‫הפונקציה‬ ‫של‬ ‫הקיצון‬ ‫נקודות‬ ‫של‬ ‫השיעורים‬ ‫את‬ ‫מצא‬ )4(
.f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫סקיצה‬ ‫סרטט‬ ,‫א‬ ‫סעיף‬ ‫פי‬ ‫על‬ ‫רק‬ .‫ב‬
:‫מתקיים‬ ‫שבו‬ ‫התחום‬ ‫את‬ ‫מצא‬ ,‫שסרטטת‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫הסקיצה‬ ‫פי‬ ‫על‬ ‫רק‬ .‫ג‬
.‫חיובית‬ f''(x) ‫השנייה‬ ‫הנגזרת‬ ‫ופונקציית‬ ‫שלילית‬ f'(x) ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬
.‫נמק‬
. ABCD ‫מלבן‬ ‫נתון‬ .8
‫מעגל‬ ‫חצי‬ ‫של‬ ‫הקוטר‬ ‫על‬ ‫מונחת‬ DC ‫הצלע‬
. DC R$ ‫ש־‬ ‫כך‬ M ‫ומרכזו‬ R ‫שלו‬ ‫שהרדיוס‬
, D ‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫לחצי‬ ‫משיקה‬ AD ‫הצלע‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נמצא‬ B ‫והקדקוד‬
BMC xB = :‫נסמן‬
ABCD ‫המלבן‬ ‫שטח‬ — ( )S x
.‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬ S(x) ‫המלבן‬ ‫ששטח‬ ‫כדי‬ , x ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬ ‫מצא‬ .‫א‬
x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬ S(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫את‬ R ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ .‫ב‬
. x0 2# #
r
‫בתחום‬
A
D
B
M C
7 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
x 1 02 !- :‫עבור‬ ‫מוגדרת‬ f(x) )1( .‫א‬
0
x 1!! : f(x) ‫של‬ ‫ההגדרה‬ ‫תחום‬
f(x) ‫של‬ ‫אסימפטוטות‬ )2(
,y x1 1!= = :‫לצירים‬ ‫המקבילות‬
( ) ( , )x f0 0 4 0 4& &= =- - : y ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ ‫נקודת‬ )3(
0( ) ( 2) 0 2 (2 , 0)f x x x& & &= =- = : x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫עם‬ ‫חיתוך‬ ‫נקודת‬
f'(x)
( )
2( 2)( 1) ( 2) (2 )
x
x x x x
12 2
2 2
=
-
- - - -
)4(
0
f'(x)
( )
( ) )(
x
x x
1
2 2 12
2 2=
-
- -
f'(x) 0 2 ,x x 2
1
&= = = :‫לקיצון‬ "‫"החשודות‬ ‫הנקודות‬ ‫של‬ x ‫ה־‬ ‫שיעורי‬
)( x2 4 5- :‫היא‬ f'(x) ‫הנגזרת‬ ‫בפונקציית‬ ‫המונה‬ ‫של‬ ‫הנגזרת‬
0
‫פי‬ ‫על‬ ‫נקבע‬ f''(x) ‫השנייה‬ ‫הנגזרת‬ ‫של‬ ‫הסימן‬
f'(x) ‫של‬ ‫המונה‬ ‫נגזרת‬ ‫של‬ ‫הסימן‬
f''(2) ‫של‬ ‫הסימן‬ ( )2 4 2 5 0$ 2= - :‫לכן‬ , x ‫לכל‬ ‫חיובי‬ f'(x) ‫של‬ ‫המכנה‬ ‫כי‬
f''( 2
1
) ‫של‬ ‫הסימן‬ ( )2 4 2
1
5 0$ 1= -
0
x 2
1
= ‫ב־‬ ‫ומקסימום‬ x 2= ‫ב־‬ ‫מינימום‬ f(x) ‫ל־‬
0
,2
1
3-b l ‫ב־‬ ‫מקסימום‬ , (2 , 0) ‫ב־‬ ‫מינימום‬ :‫הן‬ f(x) ‫של‬ ‫הקיצון‬ ‫נקודות‬
/14 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

14. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 14 -
.7 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
.‫ב‬
21
1
y
f(x)
x
3-
4-
1-
2
1
‫יורדת‬ f(x) ‫זה‬ ‫בתחום‬ ‫כי‬ ,x x2
1
1 1 21 1 1 1 :‫עבור‬ f'(x) 01 .‫ג‬
0
x2
1
21 1 , x1 21 1 ‫בתחום‬
x1 21 1 :‫עבור‬ , ‫מעלה‬ ‫כלפי‬ ‫קעורה‬ f(x)
0
,x x2
1
1 1 21 1 1 1 ‫בתחום‬
x1 21 1 :‫עבור‬ f''(x) 02
x1 21 1 :‫עבור‬ f''(x) 02 ‫ו־‬ f'(x) 01 ‫מכאן‬
/15 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

15. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 15 -
8 ‫שאלה‬
!‫בהצלחה‬
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
:‫מתקיים‬ ‫שבו‬ ‫התחום‬ ‫את‬ ‫מצא‬ ,‫שסרטטת‬ f(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫של‬ ‫הסקיצה‬ ‫פי‬ ‫על‬ ‫רק‬ .‫ג‬
.‫חיובית‬ f''(x) ‫השנייה‬ ‫הנגזרת‬ ‫ופונקציית‬ ‫שלילית‬ f'(x) ‫הנגזרת‬ ‫פונקציית‬
.‫נמק‬
. ABCD ‫מלבן‬ ‫נתון‬ .8
‫מעגל‬ ‫חצי‬ ‫של‬ ‫הקוטר‬ ‫על‬ ‫מונחת‬ DC ‫הצלע‬
. DC R$ ‫ש־‬ ‫כך‬ M ‫ומרכזו‬ R ‫שלו‬ ‫שהרדיוס‬
, D ‫בנקודה‬ ‫המעגל‬ ‫לחצי‬ ‫משיקה‬ AD ‫הצלע‬
.)‫ציור‬ ‫(ראה‬ ‫המעגל‬ ‫על‬ ‫נמצא‬ B ‫והקדקוד‬
BMC xB = :‫נסמן‬
ABCD ‫המלבן‬ ‫שטח‬ — ( )S x
.‫מקסימלי‬ ‫יהיה‬ S(x) ‫המלבן‬ ‫ששטח‬ ‫כדי‬ , x ‫להיות‬ ‫צריך‬ ‫מה‬ ‫מצא‬ .‫א‬
x ‫ה־‬ ‫ציר‬ ‫ידי‬ ‫ועל‬ S(x) ‫הפונקציה‬ ‫גרף‬ ‫ידי‬ ‫על‬ ‫המוגבל‬ ‫השטח‬ ‫את‬ R ‫באמצעות‬ ‫הבע‬ .‫ב‬
. x0 2# #
r
‫בתחום‬
A
D
B
M C
8 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬
sinBC R x= , cosMC R x= :‫מתקיים‬ MBC ‫ישר־הזווית‬ ‫במשולש‬ .‫א‬
( ) ( )S x BC R MC$= + :‫הוא‬ ABCD ‫המלבן‬ ‫שטח‬
0
( ) ( )sin cosS x R x R R x= +
0
( ) ( )sin sinS x R x
R
x2 22
2
= + :‫ונקבל‬ , ( )sin sin cosx x x2 2= ‫בזהות‬ ‫נשתמש‬
0
S'(x) ( ) ( ( ))cos cos cos cosR x
R
x R x x2 2 2 22
2
2$= + = +
S'(x) 0 2 0cos cosx x&= + =
0
cos cos sinx x x 02 2+ - = :‫ונקבל‬ , ( )cos cos sinx x x2 2 2= - ‫בזהות‬ ‫נשתמש‬
0
cos cosx x2 1 02 + - = :‫ונקבל‬ , sin cosx x12 2= - ‫בזהות‬ ‫נשתמש‬
0
cosx x2
1
3& r
= = :‫ולכן‬ , cosx 1!- ‫לכן‬ ,‫במשולש‬ ‫חדה‬ ‫זווית‬ x
/16 ‫בעמוד‬ ‫/המשך‬

16. 316 ,035806 '‫מס‬ ,‫ב‬ ‫מועד‬ ,‫תשע"ד‬ ‫קיץ‬ ,‫מתמטיקה‬ - 16 -
‫ישראל‬ ‫למדינת‬ ‫שמורה‬ ‫היוצרים‬ ‫זכות‬
‫החינוך‬ ‫משרד‬ ‫ברשות‬ ‫אלא‬ ‫לפרסם‬ ‫או‬ ‫להעתיק‬ ‫אין‬
.8 ‫לשאלה‬ ‫תשובה‬ ‫המשך‬
S''(x) ( ( ) )sin sinR x x2 22= - - :‫מקסימום‬ ‫בדיקת‬
0
S'' sin sinR R3 2 3
2
3 2 2
3
2
32 2 $
r r r
= - - = - -a b ck l m
0
S'' 3 01
r
a k
0
x 3
r
= ‫ב־‬ ‫מקסימום‬ S(x) ‫ל־‬
x0 2# #
r
‫בתחום‬ ‫שליליים‬ ‫אינם‬ S(x) ‫של‬ ‫הערכים‬ .‫ב‬
0
‫המבוקש‬ ‫השטח‬ ( ( )) [ ( )]sin sin cos cosR x x dx R x x2
1
2 4
1
22 2 2
0
2
= + = - -
r
r
0
#
0
‫המבוקש‬ ‫השטח‬ ( ( ) )cos cos cos cosR 2 4
1
2 2 0 4
1
02 $
r r
= - - + +
0
‫המבוקש‬ ‫השטח‬ R2
3 2=