Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

15,749 views

Published on

  • Be the first to comment

Determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar

  1. 1. DETERMINAN HASIL DEKOMPOSISI DENGAN CARA CROUT PADA MATRIKS BUJUR SANGKAR DISUSUN OLEH: NILA FITRIANA NIM: 09221044 DOSEN PEMBIMBING: HARTATIANA, M.Pd. DOSEN PENANGGUNG JAWAB: AGUSTIANY DUMEVA PUTERI, S.Si. M.Si. FAKULTAS TARBIYAH PRODI TADRIS MATEMATIKA 1INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI RADEN FATAH PALEMBANG TAHUN AJARAN 2012
  2. 2. BAB 1 PENDAHULUANA. LATAR BELAKANG Matematika merupakan ilmu yang pasti dan konkret, artinya matematika menjadi ilmu real yang dapat diaplikasikan secara langsung dalam kehidupan sehari-hari dalam berbagai bentuk. Bahkan tanpa disadari bahwa ilmu matematika sering diterapkan untuk menyelesaikan masalah kehidupan. Sehingga matematika merupakan ilmu yang benar- benar menyatu dalam kehidupan sehari-hari dan mutlak dibutuhkan oleh setiap manusia, baik untuk dirinya sendiri maupun untuk berinteraksi dengan sesama manusia. Pada dasarnya ilmu matematika juga digunakan dalam mempelajari ilmu apapun, termasuk dalam ilmu kedokteran, mesin, dan tekhnologi lainnya. Namun ada beberapa cara agar penyelesaian masalah yang ada dalam setiap kajian ilmu yang digunakan khususnya pada ilmu matematika yang dipakai oleh semua sumber ilmu, bahkan menjadi dasarnya ilmu pengetahuan yang diterapkan dari TK sampai perguruan tinggi, menjadi cara yang lebih mudah dan mencari cara termudah dan gampang namun hasilnya pun tetap benar dan tidak menyalahi aturan dalam konsep matematika. Hendaknya cara terbaik dan termudah itulah yang kita harapkan di dalam menyelesaikan sebuah masalah apapun. Dalam Matriks, banyak permasalahan yang harus diselesaikan untuk mencari hasil nilainya, seperti menyelesaikan penjumlahan matriks, pengurangan matrik, perkalian matriks, transpose matriks, invers matrik dan determinan matriks, dalam menyelesaikan masalah-masalah tersebut, banyak cara yang dapat digunakan untuk mencari hasil nilainya, seperti dalam menyelesaikan determinan matriks, ada beberapa cara /metode yang dapat digunakan dalam menentukan nilai determinan matriksnya, agar lebih mudah dalam mencari atau menyelesaikan determinan suatu matriks,
  3. 3. metode dekomposisi matriks dapat digunakan untuk mencari atau menyelesaikan nilai dari determinan matriks secara lebih mudah. Judul determinan hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar diambil karena metode ini adalah salah satu cara untuk menentukan nilai hasil determinan suatu matriks, adapun beberapa metode yang telah ada dalam menentukan hasil determian suatu matriks, namun cara tersebut tidak kurang cocok dan masih terlalu sempit dalam menentukan nilai hasil determinan matrik pada matriks bujur sangkar dibandingkan dengan metode dekomposisi dengan menggunakan cara crout ini. Dengan menggunakan metode dekomposisi matriks dengan cara crout akan lebih mudah dan cara terpendek dalam menentukan hasil determinan suatu matriks.B. RUMUSAN MASALAH1. Bagaimana metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara Crout dalam menentukan determinan matriks dan dapat digunakan oleh semua jenis matriks?2. Bagaimana metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara Crout dalam menentukan determinan dari matriks bujur sangkar menjadi cara yang mudah?C. BATASAN MASALAH Dalam mencari nilai hasil determinan dengan menggunakan metodedekomposisi matriks dengan cara Crout ini hanya dapat terdefinisi padamatriks bujur sangkar atau matriks kuadrat.D. TUJUAN
  4. 4. 1. Untuk mengetahui metode dekomposisi matriks dengan menggunakan cara Crout, apakah menentukan determinan suatu matriks dapat digunakan oleh semua jenis matriks atau tidak.2. Untuk mengetahui cara-cara termudah dalam menyelesaikan dan menentukan nilai determinan suatu matriks dan dapat lebih cepat dalam mencari nilai determinannya.E. MANFAAT1. Bagi Pembahas Manfaat bagi pembahas materi tentang determinan matriks hasil dekomposisi cara crout pada matriks bujur sagkar ini yaitu, dapat menambah pengetahuan yang mengenai beberapa cara atau metode yang dapat digunakan dalam menentukan determinan dari matriks bujur sangkar. dengan menggunakan metode dekomposisi matriks cara crout dalam menentukan determinan,metode ini adalah cara yang lebih mudah, cepat, dan gampang dalam menentukan nilai dari determinan suatu matriks.2. Bagi Pembaca Manfaat bagi pembaca yaitu, dapat menjadikan metode dekomposisi matriks dengan cara crout sebagai cara yang paling mudah dalam menentukan nilai determinan dari suatu matriks.
  5. 5. BAB II PEMBAHASAN a. MatriksDefinisi Matriks Matriks adalah kumpulan bilangan-bilangan yang disusun secara khususdalam bentuk baris dan kolom sehingga membentuk empat persegi panjang ataubujur sangkar yang ditulis diantara dua tanda kurung, yaitu ( ) atau [ ].matrikstersebut dapat dinyatakan dalam bentuk:dimana b. Matriks Bujur Sangkar Matriks bujur sangkar adalah suatu matriks yang banyaknya baris sama dengan banyaknya kolom, yang dinyatakan dengan , dimana m = n , dapat ditulis dengan n x n, Matriks berordo n x n disebut jugamatriks bujur sangkar ordo n.Matriks yang mempunyai m baris dan n kolom dinyatakan dengan: dimana m=n, Maka:
  6. 6. Elemen-elemen matriks bujur sangkar: disebut element diagonal utama, sedangkan disebut element diagonal kedua.Dalam hal ini hanya matriks bujur sangkar yang mempunyai elemen diagonalutama dan elemen diagonal kedua.Contoh: c. Dekomposisi MatriksDefinisi DekomposisiDekomposisi matriks adalah mengurai matriks dalam bentuk penjumlahan atauperkalian beberapa matriks. Dalam hal ini, apabila beberapa matriks hasildekomposisi tersebut dijumlahkan atau dikalikan, maka akan kembali lagi padabentuk matriks asalnya. Ada beberapa metode dalam mendekomposisikan suatumatriks, diantaranya adalah metode crout.Definisi Dekomposisi Matriks Dekomposisi Matriks adalah transformasi atau modifikasi dari suatumatriks menjadi matriks segitiga bawah (L) dan/atau matriks segitiga atas (U).jika A merupakan matriks bujur sangkar, matriks A dapat didekomposisi menjadiLU, L, atau U.A=
  7. 7. 1. A=LUdimana: L= 2. A=L 3. A=UDalam mendekomposisi suatu matriks menjadi matriks segitiga bawah (L) danatau matriks segitiga atas (U) dapat menggunakan empat metode yaitu: MetodeCrout, Doolittle, Cholesky, dan Eliminasi Gauss. d. Metode Crout Metode Crout mendekomposisi suatu matriks untuk memperoleh elemendiagonal utama matriks segitiga atas (U) bernilai satu dan elemen lainnya bernilaibebas.
  8. 8. e. Determinan MatriksDefinisi DeterminanDeterminan adalah susunan bilangan atau simbol yang berbentuk bujur sangkardan disajikan di antara dua garis tegak. Determinan sebagai satu kesatuan yangmewakili suatu nilai dari matriks yang diberikan. Determinan matriks Adinotasikan dengan atau det (A)..Jika diketahui matriks bujur sangkar A yang berordo 2 x 2Maka determinan matriks A didefinisikan sebagai hasil kali elemenelemen yangberada di diagonal dari kiri atas ke kanan dikurangi dengan hasil kali elemen-elemen yang berada di diagonal dari kanan atas ke kiri bawah. Secara matematisbisa ditulis sebagai berikut:Contoh:Tentukan determinan matriks A berikut:Penyelesaian:Definisi Determinan Matriks Determinan Matriks adalah bilangan tunggal yang diperoleh dari semuapermutasi elemen matriks bujur sangkar. jika subskrip permutasi elemenmatriks adalah genap (inversi genap) diberi tanda (+) sebaliknya jika subskrippermutasi elemen matriks adalah ganjil (inverse ganjil) diberi tanda (-). Inversiterjadi jika bilangan yang lebih besar mendahului bilanga yang lebih kecil dalamurutan subskrip permutasi elemen matriks.
  9. 9. Determinan matriks hanya didefinisikan pada matriks bujur sangkar (matrikskuadrat).Notasi determinan matriks A:det(A)= |A| atau det A= |A|Jika deketahui matriks A:Maka determinan dari matriks A:atauAda beberapa metode untuk menentukan determinan dari matriks bujur sangkar,salah satunya yaitu Metode dekomposisi matriks.Sifat-sifat Determinan
  10. 10. 1) Nilai determinan tidak berubah apabila baris dan kolomnya dipertukarkan. Jadi,2) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, determinan matriks itu sama dengan nol.3) Jika semua unsur dari suatu baris (atau kolom) adalah nol, kecuali satu unsur, determinannya sama dengan hasil kali unsur itu dengan kofaktornya.4) Pertukaran dua baris atau dua kolom sembarang akan mengubah tanda determinan.5) Jika semua unsur dalam suatu baris (atau kolom) dikalikan dengan sebuah bilangan, determinannya juga dikalikan dengan bilangan itu.6) Jika dua baris (atau kolom) sama atau sebanding, determinannya sama dengan nol.7) Jika setiap unsur dalam suatu baris (atau kolom) sebuah determinan merupakan jumlah dua suku, determinannya dapat dinyatakan sebagai jumlah dua determinan yang berukuran sama.8) Jika kita mengalikan unsur-unsur suatu baris (atau kolom) dengan sebuah bilangan kemudian dijumlahkan dengan unsur-unsur yang bersesuaian dengan suatu baris (atau kolom) yang lain, nilai determinannya tetap.9) Jika A dan B dua matriks bujur sangkar yang berukuran sama, maka10) Jumlah dari hasil kali unsur-unsur dalam suatu baris (atau kolom) dengan kofaktor-kofaktornya dari baris (atau kolom) lainnya adalah nol. Secara matematis, atau , jika Jika , hasilnya sama dengan f. Determinan Matriks Hasil Dekomposisi Cara CroutMenentukan determinan suatu matriks dengan cara matriks tersebut terlebihdahulu didekomposisi menggunakan metode Crout ( Elemen diagonal matriks Ladalah 1).
  11. 11. Determinan matriks A:det A= indeks barisataudet A= , i= indeks bariscontoh: 1. Tentukan determinan matriks berikut:A=Solusi:Tahap 1:Tahap 2:
  12. 12. Tahap 3:Tahap 4:Tahap 5:
  13. 13. = .Det A = ( ( 1) = 2. Tentukan determinan matriks berikut:B=Solusi:Tahap 1:Tahap 2:Tahap 3:
  14. 14. Tahap 4:Tahap 5: = .Det B = (Contoh matriks 4x4:A=
  15. 15. Tahap 1:Tahap 2:Tahap 3:
  16. 16. Tahap 4:Tahap 5:
  17. 17. Tahap 6:Tahap 7:Det A =
  18. 18. PENUTUPA. Kesimpulan Berdasarkan adanya beberapa cara atau metode dalam menentukan nilai hasil determinan suatu matriks, maka dapat disimpulkan bahwa metode dekomposisi dengan menggunakan cara crout adalah cara termudah dalam menentukan nilai hasil determinan dari suatu matriks. Jenis matriks yang dapat diselesaikan dalam determinan suatu matriks hanya terdefinisi pada matriks bujur sangkar saja, karena dalam menyelesaikan determinan suatu matriks hanya berlaku pada matriks yang berordo sama atau dapat disebut dengan matriks pangkat dan bujur sangkar.B. Saran Dari hasil pembahasan pada materi determinan dan cara untuk menentukan determinan matriks hasil dekomposisi dengan menggunakan cara crout pada matriks bujur sangkar ini, ada baiknya jika pembaca dapat lebih menggunakannya dalam menentukan nilai dari hasil determinan. Karena dengan menggunakan cara crout penyelasaiannya lebih cepat dan mudah untuk dipahami.
  19. 19. DAFTAR PUSTAKAAnton, Howard, Aljabar Linier Elementer, Jakarta: Erlangga, 1991.Ruminta, Matriks Persamaan Linier dan Pemrograman Linier, Bandung: Rekayasa Sains, 2009.Choiron,Mochammad,Agus,ST.,MT.http://mesin.brawijaya.ac.id/diktat_ajar/data/01_e _bab3_anum.pdf,Persamaan Aljabar linier serentak.http://p4tkmatematika.org/downloads/smk/Matriks.pdf
  20. 20. DETERMINAN HASIL DEKOMPOSISI DENGAN CARA CROUT PADA MATRIKS BUJUR SANGKAR Nila Fitriana1 ABSTRAK Determinan adalah susunan bilangan atau simbol yang berbentuk bujursangkar dan disajikan di antara dua garis tegak. Determinan sebagai satu kesatuanyang mewakili suatu nilai dari matriks yang diberikan. Determinan Matriks adalahbilangan tunggal yang diperoleh dari semua permutasi elemen matriks bujursangkar. Dekomposisi matriks adalah mengurai matriks dalam bentukpenjumlahan atau perkalian beberapa matriks. Dalam hal ini, apabila beberapamatriks hasil dekomposisi tersebut dijumlahkan atau dikalikan, maka akankembali lagi pada bentuk matriks asalnya. Ada beberapa metode dalammendekomposisikan suatu matriks, diantaranya adalah metode crout. Penyelesaiandeterminan hasil dekomposisi dengan cara crout pada matriks bujur sangkar dapatdisusun secara bertahap melalui beberapa langkah dan memudahkan cara dalammenentukan hasil determinannya. Metode Crout mendekomposisi suatu matriksuntuk memperoleh elemen diagonal utama matriks segitiga atas (U) bernilai satudan elemen lainnya bernilai bebas.Kata kunci: Dekomposisi, Segitiga Atas, Metode Crout.1 Mahasiswa Tadris Matematika 01 Angkatan 2009 IAIN Raden Fatah Palembang

×