1. LEMBAR KERJA MAHASISWA
ALJABAR LINIER
“VEKTOR KARAKTERISTIK”
I. Pengantar Materi
Jika A adalah matriks n x n, sering kita jumpai tidak ada hubungan geometrik
yang nyata diantara vektor x dan bayangannya Ax di bawah perkalian oleh A. Akan
tetapi, ada beberapa vektor tak nol yang sering memetakan A ke dalam skalar dengan
perkalian skalarnya sendiri. Seperti halnya vektor yang memainkan peran penting
dalam analisis transformasi linear dan secara natural mengangkatnya dalam
penelaahan vibrasi, sistem elektris, genetika, reaksi kimia, mekanika kuantum,
tegangan mekanis, ekonomi, dan geometri.
II. Ruang Konsep
Kata “vektor eigen” adalah ramuan bahasa Jerman dan Inggris. Dalam bahasa
Jerman “eigen” dapat diterjemahkan sebagai “sebenarnya” atau “karakteristik”; oleh
karena itu, nilai eigen dapat juga kita namakan nilai sebenarnya atau nilai
karakteristik. Dalam literatur lama kadang-kadang dinamakan akar-akar latent.
Definisi :
Jika A adalah matriks n x n, maka vektor taknol x di dalam Rn dinamakan vektor
eigen (eigen vektor) dari A jika Ax adalah kelipatan skalar dari x; yakni
Untuk suatu skalar . Skalar
dinamakan nilai eigen (eigenvalue) dari A dan x
dikatakan vektor eigen yang bersesuaian dengan .
Cara mencari vektor karakteristik yaitu dengan cara memasukkan nilai eigen
ke dalam persamaan : (λI – A)x =0.
Banyaknya nilai eigen maksimal n buah. Ruang solusi yang diperoleh disebut
ruang eigen. Vektor eigen yang berhubungan dengan λ adalah vektor-vektor tidak
nol dalam ruang eigen.
Persamaan di atas akan mempunyai penyelesaian tak nol (mempunyai
penyelesaian non trivial) jika dan hanya jika: det (λ I – A) = 0. Persamaan det (λ I – A)
= 0 dengan λ sebagai variabel disebut persamaan karakteristik dari matriks A.
Akar-akar atau skalar-skalar yang memenuhi persamaan ini adalah nilai-nilai eigen
(nilai-nilai karakteristik) dari matriks A. Dengan kata lain, untuk menentukan nilai
eigen suatu matriks, maka kita harus menentukan dahulu persamaan karakteristiknya.
Det (λI – A) ≡ f(λ) yaitu berupa polinom dalam λ yang dinamakan polinom
karakteristik.

2. Dengan demikian jika An n, maka persamaan karakteristik dari matriks A
mempunyai derajat n dengan bentuk
det (λ I – A) = f(λ) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + an - 1xn - 1 + anxn = 0
Menurut teorema dasar aljabar kita dapatkan bahwa persamaan karakteristik tersebut
mempunyai paling banyak n penyelesaian yang berbeda (Ingat metode Horner dan
persamaan pangkat tinggi). Jadi, suatu matriks yang berukuran n n paling banyak
mempunyai n-nilai eigen yang berbeda.
Adapun teorema berikut mengikhtisarkan hasil-hasil yang telah kita peroleh
sampai sejauh ini.
Teorema 1. Jika A dalah matriks n x n, maka pernyataan-pernyataan berikut
ekivalen satu sama lain:
(a) adalah nilai eigen A.
(b) Sistem persamaan (λI-A)x=0 menpunyai pemecahan yang taktrivial.
(c) Ada vektor taknol x di dalam Rn sehingga Ax= λx.
(d) Λ adalah pemecahan riil dari persamaan karakteristik det(λI-A)=0
III. Ruang Pembuktian/ Penemuan
Ax = λx
(1)
IAx = λIx
Ax = λIx
(λI – A)x = 0
Dinyatakan sebagai set persamaan yang terpisah diperoleh
=
(2)
Diperoleh
(3)
Dengan mengumpulkan matriks ke sisi kanan, diperoleh
(4)

3. (5)
Dari persamaan (5) didapatkan
(6)
Perhatikan bahwa matrik satuan dimunculkan karena hanya dapat dikurangkan suatu
matrik dari matrik lain. Untuk set persamaan linear homogen agar diperoleh
penyelesaian non-trivial maka
harus sama dengan nol .
(7)
(8)
Persamaan (8) disebut determinan karakteristik A dan persamaan (7) merupakan
persamaan karakteristik. Pada waktu menguraikan determinan ini, penguraian ini
menghasilkan suatu polinomial berderajat n dan penyelesaian persamaan karakteristik
ini menghasilkan nilai λ yakni nilai Eigen A.
selanjutnya untuk mencari vector eigen
( ) pada persamaan (5)
yaitu dengan mensubtitusikan vector eigen
(9)
Persamaan (9) dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:

4. (10)
Persamaan (10) adalah sistem persamaan linier homogen, vektor dalam ruang Rn
yang tidak nol didapatkan jika dan hanya jika persamaan tersebut mempunyai solusi
non trivial untuk nilai eigen yang sesuai.
IV. Ruang Contoh
1. Carilah vektor eigen dari
A
4
2
1
1
4
2
1
Penyelesaian:
det( I
(
4)(
2
1) 2
5
(
1 0
0 1
A)
6
2)
3,
2
Untuk
1
( I
0
3 substitusikan ke persamaan
0
x2
0
0
x1
2 x2
Misal x1
0
x2
x1
s, maka x 2
x2
s
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
s
x
s
s
Untuk
( I
1
1
3 adalah
1
2 adalah
1
1
2 substitusikan ke persamaan
A) x 0
2 1 x1
2 1 x2
2 x1
x2
Misal x1
0
0
2 x1 2 x2
2 x1
0
x2
2 x1
x2
s, maka x2
2s
Jadi vektor eigen yang bersesuaian dengan
x
0
0
1 1 x1
2 2 x2
2 x1
1
2
A) x
x1
1
1
0
3)(
1
4
2
s
2s
s
1
2

5. 2.
Carilah vektor eigen dari
3
A
2
0
2 0
3
0
0
5
Penyelesaian:
(
0
0
0
5) (4
20)
35
5)(
2
1,
Untuk
1
( I
2
3)(
11
1)(
(
2 0
3 0
25 0
5) 0
A)
3)(
3
3
2
0 0 1
det( I
1 0 0
0 1 0
5
3
2
3
0
0
5
1 substitusikan ke persamaan
2
1
A) x
0
2
2
0
2
2
0
2 x1
2 x2
0
x1
x2
2 x1
2 x2
0
x1
x2
4 x3
0
x3
Misal x1
0 x1
0 x2
4 x3
0
0
s, maka x2
s, serta x 3
0
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan
s
s
0
x
1
s 1
0
Untuk
( I
1 adalah
1
A) x
5 substitusikan ke persamaan
0
2 2 0 x1
2 2 0 x2
0 0 0 x3
0
2 x1
2 x2
0
x1
x2
2 x1
2 x2
0
x1
x2
Misal x1
s, maka x 2
s, serta x 3
t
Jadi, vektor eigen yang bersesuaian dengan
s
x
s
t
1
s
1
0
0
t 0
1
5 adalah
0
0
0
5

6. V. Ruang Latihan Terbimbing
4
0 1
2 1 0
Carilah vektor eigen dari A =
2 0 1
Jawab:
1.
Langkah pertama, mencari nilai eigen dari matriks, dengan mencari
det I A 0
(
det
4)
2
0
(
2
(
4)(
1
1)
0
1)(
0
(
1) 2(
0
1)
1) 0
Maka nilai eigen matriks tersebut adalah:
1
.....,
2
....,
3
....
Catatan : bila terdapat nilai eigen kembar, cukup ditulis satu kali.
2.
Langkah kedua mencari Vektor eigen, didapatkan dari mensubtitusikan nilai
eigen pada persamaan I A sehingga:

Untuk
1 , subtitusi ke persamaan
, sehingga diperoleh
Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:

7. Solusi non trivialnya adalah:
Vektor eigen yang sesuai adalah:
Misalkan x1
p maka vektor eigennya adalah:
dengan p adalah bilangan sembarang yang tidak nol.

Untuk
2 ,subtitusi ke persamaan
, sehingga diperoleh
Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:
Solusi non trivialnya adalah:

8. Vektor eigen yang sesuai adalah:
Misalkan x1
p maka vektor eigennya adalah:
dengan p adalah bilangan sembarang yang tidak nol.

Untuk
3 ,subtitusi ke persamaan
, sehingga diperoleh
Dalam bentuk sistem persamaan linier dituliskan:
Solusi non trivialnya adalah:
Vektor eigen yang sesuai adalah:
Misalkan x1
p maka vektor eigennya adalah:

9. dengan p adalah bilangan sembarang yang tidak nol.
VI. Ruang Kerja Mandiri
Carilah vektor eigen dari matriks di bawah ini!
0 3
1. A
2 1
2.
B
4 0
3 5
2 0 0
3.
C
3 3 6
3 2 4
1 0
4.
D
0
3 6
7
0 8
1