Tugas akhir membahas tentang geometri datar. Terdapat penjelasan dan bukti matematika mengenai luas bangun datar segi empat yang diagonalnya tegak lurus, titik tembus garis ke bidang, dan identifikasi unsur-unsur parabola dari persamaannya.

1. TUGAS AKHIRMODUL 4
GEOMETRI
WIA UTIRAH 19022318010615

2. 1. Buatlah bangun datar segi empat dengan diagonal-diagonalnya saling tegak lurus. Tunjukkan bahwa
luas suatu segi empat yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan setengah
perkalian diagonal-diagonalnya!
Penyelesaian:
Bangun datar segi empat yang diagonal-diagonalnya saling tegak lurus adalah persegi, belah ketupat
dan layang.
(i) belah ketupat (ii) layang-layang
(iii) persegi
Akan dibuktian luas persegi yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan
setengah perkalian diagonal-diagonalnya
Misal: AO = OC = BO = OD = x
Diagonal AC = BD = 2.AO = 2x
Luas belah ketupat = 𝐿. ∆𝐴𝑂𝐵 + 𝐿. ∆𝐵𝑂𝐶 + 𝐿. ∆𝐶𝑂𝐷 + 𝐷𝑂𝐴
=
1
2
. 𝑥. 𝑥 +
1
2
. 𝑥. 𝑥 +
1
2
. 𝑥. 𝑥 +
1
2
. 𝑥. 𝑥
=
1
2
. ( 𝑥2
+ 𝑥2
+ 𝑥2
+ 𝑥2)
=
1
2
. (4. 𝑥2 )
=
1
2
(2𝑥).(2𝑥 )
=
1
2
. 𝐴𝐶. 𝐵𝐷
Luas belah ketupat =
𝟏
𝟐
× 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝟏 × 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝟐
A
B
C
D
O
xx
y
y
K
L
M
N
O
y1
y2
x x
BA
O
CD
x

3. Akan dibuktian luas belah ketupat yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan
setengah perkalian diagonal-diagonalnya
Misal: BO = OD = x
AO = OC = y
Diagonal AC = 2.AO = 2x
Diagonal BD = 2.BO = 2y
Luas belah ketupat = 𝐿. ∆𝐴𝑂𝐵 + 𝐿. ∆𝐵𝑂𝐶 + 𝐿. ∆𝐶𝑂𝐷 + 𝐷𝑂𝐴
=
1
2
. 𝑥. 𝑦 +
1
2
. 𝑥. 𝑦 +
1
2
. 𝑥. 𝑦 +
1
2
. 𝑥. 𝑦
=
1
2
. ( 𝑥. 𝑦 + 𝑥. 𝑦 + 𝑥. 𝑦 + 𝑥. 𝑦)
=
1
2
. (4. 𝑥. 𝑦 )
=
1
2
(2𝑥).(2𝑦 )
=
1
2
. 𝐴𝐶. 𝐵𝐷
Luas belah ketupat =
𝟏
𝟐
× 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝟏 × 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝟐
Akan dibuktian luas layang-layang yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama dengan
setengah perkalian diagonal-diagonalnya
Misal: KO = OM = x
NO = y1
OL = y2
Diagonal KM = 2.KO = 2x
Diagonal BD = NO + OL = y1 + y2
Luas layang-layang = 𝐿. ∆𝐾𝑂𝑁 + 𝐿. ∆𝑁𝑂𝑀 + 𝐿. ∆𝐾𝑂𝐿 + 𝐿. ∆𝑀𝑂𝐿
=
1
2
. 𝑥. 𝑦1 +
1
2
. 𝑥. 𝑦1 +
1
2
. 𝑥. 𝑦2 +
1
2
. 𝑥. 𝑦2
=
1
2
. ( 𝑥. 𝑦1 + 𝑥. 𝑦1 + 𝑥. 𝑦2 + 𝑥. 𝑦2)
=
1
2
. (2. 𝑥. 𝑦1 )(2. 𝑥. 𝑦2 )
=
1
2
. 2𝑥. ( 𝑦1 + 𝑦2 )
=
1
2
. 𝐴𝐶. 𝐵𝐷
Luas layang-layang =
𝟏
𝟐
× 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝟏 × 𝒅𝒊𝒂𝒈𝒐𝒏𝒂𝒍 𝟐
Akan dibuktian luas segi empat sebarang yang diagonal-diagonalnya tegak lurus sesamanya sama
dengan setengah perkalian diagonal-diagonalnya
Diperoleh diagonal diagonal 𝐴𝐵𝐶𝐷 adalah 𝐴𝐶 dan 𝐵𝐷

4. Luas segi empat 𝐴𝐵𝐶𝐷 dapat ditentukan dengan menjumlahkan luas Δ 𝐴𝐵𝐷 dan Δ 𝐵𝐶𝐷
Misal
𝐵𝐷 = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑙𝑎𝑠 𝛥𝐴𝐵𝐷 = 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑎𝑙𝑎𝑠 𝛥𝐵𝐶𝐷,
karena 𝐴𝐶 tegak lurus 𝐵𝐷 dengan titik sekitu di 𝑂 maka
𝐴𝑂 = 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝛥𝐴𝐵𝐷
𝐶𝑂 = 𝑡𝑖𝑛𝑔𝑔𝑖 𝛥𝐵𝐶𝐷
sehingga
𝐿𝑢𝑎𝑠 𝐴𝐵𝐶𝐷 = 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝛥𝐴𝐵𝐷 + 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝛥𝐵𝐶𝐷
=
1
2
∙ 𝐵𝐷 ∙ 𝐴𝑂 +
1
2
∙ 𝐵𝐷 ∙ 𝐶𝑂
=
1
2
𝐵𝐷( 𝐴𝑂 + 𝐶𝑂)
=
1
2
( 𝐵𝐷 ∙ 𝐴𝐶)

5. 2. Lukiskan titik tembus PQ ke bidang ACF dengan P adalah titik tengah AD dan Q terletak pada BF
(BQ:QF = 2:1)!
Penyelesaian:
Langkah-langkah:
1) Buatlah kubus ABCD.EFGH
2) Tentukan titik P sebagai titik tengah AD
3) Bagi garis BF menjadi 3 bagian, kemudian tentukan titik Q sehingga BQ : BF = 2
: 1
4) Buatlah bidang ACF
5) Tarik garis dari P ke B yang memotong AC di R
6) Tarik garis dari R ke F
7) Hubungkan P dan Q sehingga memotong garis RF di S
8) Titik S adalah titik tembus PQ ke bidang ACF
A
B
C
D
E
F
G
H
P
Q
R
S

6. 3. Tulis dalam bentuk standar, dan identifikasilah unsur-unsur (contoh: pusat, fokus, nilai a, nilai b,
atau yang lainnya) yang ada pada: 𝑦2
− 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0, dan lukiskan grafiknya.
Penyelesaian:
𝑦2
− 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0 merupakan persamaan parabola horizontal dengan puncak M(a, b)
𝑦2
− 𝑥 − 𝑦 + 1 = 0
(𝑦2
−
1
2
)
2
−
1
4
− 𝑥 + 1 = 0
(𝑦2
−
1
2
)
2
− 𝑥 +
3
4
= 0
(𝑦2
−
1
2
)
2
= (𝑥 −
3
4
)
Dari bentuk umum persamaan parabola horizontal ( 𝑦2
− 𝑏)2
= 4𝑝( 𝑥 − 𝑎) diperoleh:
Titik puncak = (a, b) = (
3
4
,
1
2
)
4𝑝 = 1 ↔ 𝑝 =
1
4
Titik fokus = ( 𝑝 + 𝑎, 𝑏) = (
1
4
+
3
4
,
1
2
) = (1,
1
2
)
Persamaan garis direktris : 𝑥 = −𝑝 + 𝑎
= −
1
4
+
3
4
=
1
2
Sumbu simetris = 𝑦 = 𝑏 =
1
2
Panjang latus rectum = |4𝑝| = 1
Gambar grafik:

7. 4. Gambarlah sebuah garis s. Pilih titik A dan B. Jika A’ pencerminan dari A, dan B’ pencerminan
dari B, tunjukkan bahwa AB = A’B’!
Penyelesaian:
Melukis garis 𝑠 dan titik 𝐴, 𝐵, 𝐴′
, 𝐵′
Akan ditunjukkan 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵′
Konstruk ruas garis 𝐴𝐵, ruas garis 𝐴′𝐵′, 𝑓 = 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐴𝐴′, 𝑔 = 𝑔𝑎𝑟𝑖𝑠 𝐵𝐵′, ruas garis 𝐴𝐵′, ruas garis 𝐵𝐴′
𝐷 = perpotongan 𝑓 dan 𝑠
𝐶 = perpotongan 𝐴𝐵′dan 𝐵𝐴′
𝐸 = perpotongan 𝑔 dan 𝑠
Ilustrasi ditunjukkan gambar berikut

8. Perhatikan 𝜟𝑩𝑪𝑫 𝒅𝒂𝒏 𝜟𝑩’𝑪𝑫
Karena 𝐵′ pencerminan 𝐵 oleh 𝑠 maka 𝑓 ⊥ 𝑠 sehingga ∠𝐵𝐶𝐷 = ∠𝐵′𝐷𝐶
𝐶𝐷 = 𝐶𝐷 (berimpit)
𝐵𝐷 = 𝐵𝐷′ (B’ pencerminan B)
berdasakan teorema sisi, sudut,sisi maka 𝛥𝐵𝐶𝐷 ≅ 𝛥𝐵’𝐶𝐷
Perhatikan 𝜟𝑨𝑪𝑬 𝒅𝒂𝒏 𝜟𝑨′𝑪𝑬
Karena 𝐴′ pencerminan 𝐴 oleh 𝑠 maka g⊥ 𝑠 sehingga ∠𝐴𝐸𝐶 = ∠𝐴′𝐸𝐶
𝐸𝐶 = 𝐸𝐶 (berimpit)
𝐴𝐸 = 𝐸𝐴′ (A’ pencerminan A)
berdasakan teorema sisi, sudut,sisi maka 𝛥𝐴𝐶𝐸 ≅ 𝛥𝐴′𝐶𝐸
Perhatikan ∆𝑨𝑩𝑪 dan ∆𝑨′𝑩′𝑪
Karena 𝛥𝐵𝐶𝐷 ≅ 𝛥𝐵’𝐶𝐷 maka 𝐵𝐶 = 𝐵′𝐶
Karena 𝛥𝐴𝐶𝐸 ≅ 𝛥𝐴′𝐶𝐸 maka 𝐴𝐶 = 𝐴′𝐶
Karena 𝐵𝐴′ berpotongan dengan 𝐴𝐵′ di 𝐶 maka ∠𝐴𝐶𝐵 = ∠𝐴′𝐶𝐵′
berdasakan teorema sisi, sudut,sisi maka ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶
Perhatikan ∆𝑨𝑨′𝑩′ dan ∆𝑨′𝑨𝑩
𝑨𝑨′
= 𝑨′𝑨 (berimpit)
∠𝐸𝐴′𝐶 = ∠𝐴𝐴′𝐵 (berimpit)
∠𝐸𝐴𝐶 = ∠𝐴′
𝐴𝐵′
(berimpit)
Karena 𝛥𝐴𝐶𝐸 ≅ 𝛥𝐴′
𝐶𝐸 maka ∠𝐸𝐴′
𝐶 = ∠𝐸𝐴𝐶
Akibatnya ∠𝑨𝑨′
𝑩 = ∠𝑨′𝑨𝑩′
Karena ∆𝐴𝐵𝐶 ≅ ∆𝐴′𝐵′𝐶 maka ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝐶𝐴′𝐵′
Jelas ∠𝐴′
𝐴𝐵 = ∠𝐸𝐴𝐶 + ∠𝐶𝐴𝐵
∠𝐴𝐴′
𝐵′
= ∠𝐸𝐴′
𝐶 + ∠𝐶𝐴′
𝐵 = ∠𝐸𝐴𝐶 + ∠𝐶𝐴𝐵 = ∠𝐴′
𝐴𝐵
Diperoleh ∠𝐴𝐴′
𝐵′
= ∠𝐴′
𝐴𝐵
Berdasarkan terorema sisi, sudut,sisi ∆𝐴𝐴′𝐵′ ≅ ∆𝐴′𝐴𝐵
Akibatnya 𝐴𝐵 = 𝐴′𝐵′
Terbukti