Euclid menggunakan pendekatan geometri berdasarkan aksioma dan teorema untuk membahas konsep-konsep seperti kesejajaran, kongruensi, sudut, luas, dan volume. Pendekatan ini melibatkan konstruksi geometri dan logika untuk membuktikan proposisi geometri.

1. PENDEKATAN EUCLID PADA GEOMETRY
1. PENDAHULUAN
Panjang merupakan dasar dari geometri euclid, akan tetapi yang paling penting
dalam geometri euclid adalah sudut atau luas daerah. Misalnya, teorema tentang
jumlah sudut dalam segitiga dan teorema pythagoras dalam jumlah kuadrat sisi
persegi. Euclid sering menggunakan luas daerah untuk membuktikan teorema
tentang panjang, seperti teorema thales. Dalam sudut dikenal dengan SAS (sisi
sudut sisi) untuk segitiga sama sisi dan ASA (sudut sisi sudut)
Kemudian teori sudut ini digabungkan dengan teorema Thales dan memberikan
dua pembuktian teorema Pythagoras. Dengan begitu, kita mempelajari lebih lanjut
tentang ruang lingkup dari penggunaan penggaris dan jangka. Untuk menarik
kesimpulan dari penyelidikan ini kita harus melewati proses pemotongan poligon
menjadi potongan-potongan yang membentuk persegi, pemberian akar kuadrat
dari setiap sisi dan konstruksi dari pentagon biasa.
2. PEMBAHASAN
2.1 Aksioma Kesejajaran
Dalam Bab 1, kita telah mempelajari penggunaan empat sisi poligon yang
semuanya adalah sudut siku-siku atau yang disebut persegi. Bentuk aksioma
kesejajaran euclid adalah jika sebuah garis melewati dua garis maka terbentuk
sudut dalam di satu sisi bersama-sama kurang dari dua sudut siku-siku, maka akan
terbentuk dua garis lurus pada sisinya. Pada Gambar 1 menunjukkan situasi yang
dimaksud oleh aksioma kesejajaran Euclid ketika dua garis L dan M tidak sejajar.
Jika
ini kurang dari dua sudut siku-siku, maka L dan M bertemu akan
bertemu di suatu titik.

2. N
M
β
α
L
Gambar 1. Ketika garis tidak sejajar
Maka dapat dikatakan jika L dan M tidak bertemu di suatu sisi, maka α + β = π.
Dengan kata lain, jika L dan M adalah sejajar, maka α dan β membentuk sudut
lurus, dan sudut yang terbentuk oleh garis L, M dan N ditunjukkan oleh gambar 2.
N
M
α π–α
π–α α
L
Gambar 2. Ketika garis sejajar
Jumlah sudut segitiga. Jika α, β, dan γ adalah sudut segitiga sembarang, maka α
+β+γ=π
Untuk membuktikannya, tarik sebuah garis L melalui salah satu titik sudut dan
sejajar dengan sisi yang berada di hadapannya, seperti yang ditunjukkan pada
Gambar 3.
α
α
β
L
γ
γ
Gambar 3. Jumlah sudut segitiga

3. Latihan
2.1.1 Tunjukkan bahwa jumlah sudut setiap segiempat adalah 2 π.
2.1.2 Jelaskan mengapa konvek n-segi dapat dipotong menjadi n - 2 segitiga.
2.1.3 Gunakan diseksi dari n-segi menjadi segitiga untuk menunjukkan bahwa
jumlah sudut konvek n-segi adalah (n – 2) π.
Penyelesaian
2.1.1
α
β
γ
I
γ
2.1.2
II
α
I: α + β + γ = π
II: α + β + γ = π +
I: α + β + γ = 2π
β
+
n segi dapat dipotong menjadi n – 2 segitiga.
+
Misal n = 6. Dapat dibentuk menjadi: n – 2 = 6 – 2 = 4 segitiga
Perhatikan gambar Pada gambar ada tiga segitiga yaitu segitiga a, b dan c.
2.1.3
Satu segitiga memiliki jumlah sudut = π,
misal, n = 6.
Maka, (n – 2) π = (6 – 2) π = 4π
2.2 Aksioma Kongruen
Jika dua segitiga memiliki dua sisi bersesuaian yang sama, dan satu sudut antara
sisi tersebut juga sama, maka sisi ketiga mereka dan dua sudut lainnya juga sama.
Jadi dapat disimpulkan bahwa dua segitiga dikatakan kongruen jika besar sudut
dan panjang sisi yang bersesuaian sama.

4. Aksioma SAS. Jika segitiga ABC dan A’B’C’ adalah sedemikian rupa |AB| =
|A’B’|, Sudut ABC = sudut A’B’C’ , |BC| = |B’C’|. Maka |AC| = |A’C’|, Sudut
BCA = sudut B’C’A’ dan Sudut CAB = sudut C’A’B’
Keadaan yang sama juga berlaku untuk ASA dan SSS, yang juga menunjukkan
kekongruenan, akan tetapi tidak untuk SSA. Segitiga dengan dua sisi yang sama
memiliki dua sudut yang sama besar. Segitiga seperti ini disebut sama kaki
Teorema segitiga sama kaki. Jika segitiga memiliki dua sisi yang sama, maka
sudut yang berhadapan dengan sisi ini juga sama.
Anggap bahwa segitiga ABC memiliki |AB| = |AC|. Kemudian segitiga ABC dan
ACB, yang tentu saja segitiga sama yang kongruen oleh SAS (gambar 2.4). Sisi
kiri mereka sama, sisi kanan mereka sama, dan begitu juga sudut antara sisi kiri
dan kanan, karena mereka memiliki sudut yang sama yaitu sudut A.
Akibat yang berguna dari ASA adalah teorema berikut tentang jajar genjang, yang
memungkinkan kita untuk menentukan luas segitiga. Jajar genjang didefinisikan
sebagai gambar yang dibatasi oleh dua pasang garis sejajar–definisi ini tidak
mengatakan apapun tentang panjang sisinya.
Teorema sisi jajar genjang. Sisi yang berhadapan dari jajar genjang adalah
sama.
Untuk membuktikan teorema ini jajar genjang dibagi menjadi dua segitiga oleh
diagonal seperti pada gambar 4, dan akan dibuktikan bahwa segitiga-segitiga
tersebut kongruen. Karena segitiga-segitiga tersebut memiliki:
•
Sisi yang sama yaitu AC.
•
Sudut-sudut α yang bersesuaian adalah sama, menjadi sudut dalam untuk
kesejajaran AD dan BC.
•
Sudut-sudut β yang bersesuaian adalah sama, menjadi sudut dalam untuk
kesejajaran AB dan DC,

5. D
α
A
β
β
C
α
B
Gambar 4. Membagi jajar genjang menjadi dua segitiga
Latihan
2.2.1 Gunakan teorema sisi jajar genjang dan ASA untuk temukan segitiga yang
kongruen pada gambar di bawah dan tunjukkan bahwa diagonal jajar
genjang saling membagi dua.
2.2.2 Simpulkan bahwa diagonal belah ketupat atau jajar genjang yang sisisisinya sama bertemu di sudut siku-siku. (Petunjuk: Anda mungkin
menggunakan SSS, yang mengatakan bahwa segitiga kongruen jika sisi
yang sesuai mereka sama)
Penyelesaian
2.2.1
Diketahui: Jajar Genjang ABCD
Akan dibuktikan bahwa |AB| = |DC| dan |AD| = |BC|
Bukti :
Buat diagonal AC, ada ∆ ADC dan ∆ ABC
|AC| berhimpit
DAC =
BCA =
α (sudut dalam berseberangan)
DCA =
BAC =
β (sudut dalam berseberangan)

6. Maka, berdasarkan teorema Sudut Sisi Sudut (ASA) maka ∆ ADC ≡ ∆ ABC
Sehingga terbukti bahwa | AB | = | DC | dan | AD | = | BC |
2.2.1 Diket : ∆ ABC sama kaki
β=
Akan dibuktikan bahwa
α
Bukti:
Perhatikan ∆ ABD = ∆ ACD
berhimpit
Maka ∆ ADB kongruen dengan ∆ ACD (S,S,S)
Akibatnya,
ADB =
terbukti bahwa
β=
ACD
α
D
AC berpotongan dengan diagonal BD pad sudut 900
A
C
|AB| = |BC| = |CD| = |DA|. Definisi Belah ketupat
| BD | berhimpit
B
D
∆ ABD dan ∆ BCD
| AB | = | BC | Sisi
| AD | = | CD | Sisi
| BD | = | BD | Sisi
sehingga, ∆ ABD
A
O
∆ BCD
| AD | = | CD | definisi segitiga sama kaki
| OD | = | OD | berhimpit
Akibatnya | OA | = | OC |
∆ AOD
∆ COD
Maka OD Adalah garis Sumbu. Jadi , OD
AC
C

7. 2.3 Luas dan Kesamaan
Prinsip logika yang digunakan adalah lima prinsip Euclid, yaitu:
1. Hal yang sama dengan hal yang sama juga akan sama satu dengan lainnya.
2. Jika sesuatu yang sama ditambahkan ke sesuatu yang sama, keutuhannya
adalah sama.
3. Jika sama dikurangkan dari sesuatu yang sama, sisanya adalah sama.
4. Hal-hal yang bertepatan dengan satu sama lain adalah sama satu dengan
lainnya.
5. Keseluruhan lebih besar daripada sebagian.
Kuadrat dari jumlah
Sebagai contoh adalah persegi dan persegi panjang yang dinyatakan dengan
rumus aljabar.
Euclid tidak memiliki notasi aljabar, sehingga persamaan ini harus dinyatakan
dalam kata-kata: Jika garis dipotong secara acak, kuadrat secara keseluruhan
adalah sama dengan kuadrat pada segmen dan dua kali persegi panjang yang
dikandung oleh segmen. Perhatikan gambar 5 berikut, Garisnya adalah a + b
karena dipotong menjadi dua bagian a dan b.
Gambar 5. Kuadrat dari sejumlah segmen garis
• Kuadrat pada garis adalah apa yang kita tulis sebagai (a + b)2.
• Kuadrat pada dua ruas a dan b adalah a2 dan b2.
• Persegi panjang "diisi" oleh ruas a dan b adalah ab
• Kuadrat (a + b)2 sama (dalam luas) jumlah a2, b2, dan dua bentuk dari ab

8. Latihan
2.3.1 Berikan diagram untuk identitas a (b + c) = ab + ac.
2.3.2 Berikan diagram untuk identitas a2 – b2 = (a + b) (a – b).
2.3.3 Buatlah gambar kubus dengan tepi a + b dan tunjukkan itu dipotong oleh
bidang yang membagi setiap sisi menjadi panjang ruas a dan panjang ruas b.
Penyelesaian
2.3.1 Diagram untuk identitas a (b + c) = ab + ac
1
b
a
a(b + c) = L1 + L2
= ab + ac
2
c
2.3.2 Diagram untuk identitas a2 – b2 = (a + b) (a – b)
a–b
a–b
b
a–b
b
a
a
1
2
a–b
1
a+b
a–b
b
a2 – b2 = L1 + L2
b
2
a–b
= a(a – b) + b(a – b)
= a2 – ab + ab – b2
= (a + b)(a – b)
2.3.3 Kubus dengan tepi a + b
a
b
b 7
b
a
a a
a 5
b
a
1
2
a
b
6
b
3
4
b
b
a
a
b
Dimensi masing-masing kotak:
1. a, a, a
2. a, a, b
3. a, a, b
4. a, b, b
5. a, b, b
6. b, b, b
7. a, a, b
8. Bagian belakang pojok kiri, yaitu
a, b, b

9. Identitas dari (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 dapat dicari dengan
menjumlahkan masing-masing volume dari tiap-tiap kotak.
(a + b)3 = V1 + V2 + V3 + V4 + V5 + V6 + V7 + V8
= a3 + a2b + a2b + ab2 + ab2 + b3 + a2b + ab2
= a3 + a2b + a2b + a2b + ab2 + ab2 + ab2 + b3
= a3 + 3a2b + 3b2a + b3
2.4. Luas Jajaran Genjang dan Segitiga
Daerah yang bukan persegi panjang dapat ditunjukkan sama dengan persegi
panjang dalam arti euclid adalah jajaran genjang. Gambar 6 menunjukkan
bagaimana garis lurus dapat memotong jajar genjang menjadi potongan yang
dapat membentuk persegi panjang.
Gambar 6. Bentuk jajar genjang dan persegi panjang dari potongan yang sama
Hanya satu pemotongan yang dibutuhkan pada gambar 6, akan tetapi banyak
potongan yang dibutuhkan dalam jajaran genjang seperti gambar 7
Gambar 7. Kasus dimana lebih membutuhkan banyak pemotongan
Berdasarkan gambar di atas, dibutuhkan dua potongan, yang menghasilkan
potongan-potongan 1, 2, 3. Jumlah potongan bisa menjadi tidak beraturan
besarnya. Untuk menghindari pemotongan dalam jumlah besar dengan
memungkinkan
pengurangan
potongan
serta
penambahan.
Gambar
8
menunjukkan bagaimana mengubah persegi panjang menjadi jajar genjang dengan
OR sebagai alas dan OP sebagai tingginya. Kita perlu hanya menambah sebuah
segitiga, dan kemudian menguranginya dengan segitiga sama.

10. Gambar 8. Persegi panjang dan jajar genjang dengan alas dan tinggi yang sama
Dimulai dengan persegi panjang OPQR dan menambahkan segitiga RQT,
kemudian dikurangi dengan segitiga OPS, hasilnya adalah jajar genjang OSTR.
Dengan demikian, jajar genjang sama (dalam luas) terhadap persegi panjang
dengan alas dan tinggi yang sama. Dari hal ini diperoleh:
Luas jajar genjang = alas x tinggi
Untuk menemukan luas segitiga ABC, lihat bahwa hal tersebut dapat dipandang
sebagai “setengah” dari jajaran genjang dengan menambahkan segitiga kongruen
ACD seperti yang ditunjukkan pada gambar 9.
Gambar 9. Segitiga sebagai setengah jajar genjang
Jelas, luas segitiga ABC + luas segitiga ACD = luas jajar genjang ABCD, dan dua
segitiga "bertepatan" (karena mereka adalah kongruen), sehingga kedua segitiga
tersebut memiliki luas yang sama berdasarkan pemikiran Euclid nomor 4. Dengan
demikian,
Luas Segitiga =
alas x tinggi.
Latihan
2.4.1 Diberikan segitiga dengan sisi tertentu yang ditetapkan sebagai alas,
tunjukkan bagaimana menemukan ketinggian dengan konstruksi penggaris
dan jangka.

11. Berdasarkan gambar 8.
2.4.2 Atas dasar apa |PQ| = |ST|?
2.4.3 Dengan aksioma kongruensi apa yang membuat segitiga OPS kongruen
dengan segitiga RQT?
Penyelesaian
2.4.1 Cara menentukan tinggi segitiga dengan konstruksi penggaris dan jangka
Misal diketahui segitiga sembarang ABC dengan AB sebagai alas dan titik
C sebagai puncak segitiga. Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:
1. Perpanjang garis AB atau alas segitiga
2. Buat busur lingkaran dengan titik pusat C yang melalui perpanjangan
ruas garis AB, sehingga diperoleh dua titik potong busur tersebut dengan
perpanjangan garis AB. Misal kita beri nama titik P dan Q.
3. Buat busur lingkaran di bawah perpanjangan garis AB masing-masing
dengan pusat P dengan jari-jari |PC| dan pusat Q dengan jari-jari |QC|.
4. Tarik garis dari C ke perpotongan dua busur tersebut. Akan didapat
perpotongan garis tersebut dengan alas segitiga yang diberi nama R.
Maka ruas garis CR adalah tinggi segitiga. Karena CR tegak lurus
dengan AB.
2.4.2 Berdasarkan definisi jajar genjang yaitu sisi yang berhadapan dari jajar
genjang adalah sama. Maka pada jajar genjang OSTR, |ST| = |OR| karena
OR merupakan alas dari persegi panjang OPQR maka |OR| = |PQ| sehingga
|PQ| = |ST|.

12. 2.4.3 Diketahui
| PO | = | QR | sisi
| PS | = | QT | sisi
| OS | = | RT | sisi
Berdasarkan aksioma SSS, akibatnya ∆ OPS
∆ RQT
2.5.Teorema Pythagoras
Teorema Pythagoras. Untuk setiap segitiga siku-siku, jumlah kuadrat dua sisi
pendek sama dengan kuadrat dari sisi miring.
Euclid membuktikannya dengan cara persegi di sisi miring dibagi menjadi dua
persegi panjang seperti ditunjukkan pada Gambar 10. Kemudian akan ditunjukkan
bahwa luas persegi abu-abu terang sama dengan luas persegi panjang abu-abu
terang dan luas persegi abu-abu gelap sama dengan luas persegi panjang abu-abu
gelap, sehingga jumlah dari terang dan gelap adalah persegi di sisi miring.
Gambar 10. Membagi persegi untuk pembuktian euclid
Pertama akan dibuktikan bahwa luas dari persegi abu-abu terang akan sama
dengan luas persegi panjang abu-abu terang dengan cara menunjukkan luas
setengah dari persegi abu-abu terang akan sama dengan setengah dari luas persegi
panjang abu-abu terang. Dimulai dengan sebuah segitiga abu-abu terang yang
merupakan setengah dari luas persegi abu-abu terang, dan berturut-turut
menggantinya dengan segitiga yang sama alas dan tingginya, dan berakhir dengan
sebuah segitiga yang jelas merupakan setengah dari persegi panjang abu-abu
terang. Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut.

13. Luas segitiga CDF adalah setengah dari persegi CDEF
Anggap CD sebagai alas segitiga dan CF adalah
tingginya.
Perhatikan segitiga CDG, anggap CD sebagai alasnya
dan CF sebagai tingginya.
Oleh karena itu segitiga CDG memiliki luas yang
sama dengan segitiga CDF karena memiliki alas dan
tinggi yang sama.
Perhatikan segitiga BCF dengan segitiga CDG di atas,
|CF| = |DC| karena merupakan sisi-sisi dari persegi
CDEF, |BC| = |CG| karena merupakan sisi-sisi dari
persegi ABCG, dan memiliki besar sudut yang sama
pada titik C.
Jadi segitiga BCF dan segitiga CDG merupakan
segitiga yang kongruen berdasarkan aksioma SAS.
Anggap BC sebagai alas segitiga dan CH adalah
tinggi segitiga.
Perhatikan segitiga BCH, anggap BC adalah alasnya
dan CH sebagai tingginya.
Oleh karena itu luas segitiga BCH sama dengan luas
segitiga BCF karena memiliki alas dan tinggi yang
sama.
Gambar 11. Merubah bentuk segitiga tanpa merubah luasnya
Berdasarkan langkah-langkah di atas, dapat disimpulkan bahwa pada gambar 10
luas dari setengah persegi abu-abu terang sama dengan luas dari setengah persegi

14. panjang abu-abu terang. Yang mengakibatkan luas persegi abu-abu terang sama
dengan luas persegi panjang abu-abu terang. Dengan cara yang sama akan
diperoleh juga untuk persegi dan persegi panjang abu-abu gelap. Sehingga
teorema phytagoras dapat terbukti.
Latihan
2.5.1 Pastikan bahwa (5, 12, 13), (8, 15, 17), dan (7, 24, 25) adalah segitiga sikusiku.
2.5.2 Bagaimana kita bisa yakin bahwa panjang a, b, c > 0 dengan
bersama-sama tepat akan membentuk segitiga? (Petunjuk: Tunjukkan bahwa
a + b> c.)
Segitiga siku-siku dapat digunakan untuk membangun panjang irasional tertentu.
Sebagai contoh, kita lihat di Bagian 1.5 bahwa segitiga siku-siku dengan sisi 1, 1
memiliki sisi miring
.
2.5.3 Mulai dari segitiga dengan sisi 1, 1, dan
dan jangka yang membangun
.
2.5.4 Oleh karena itu, dapatkan konstruksi
Penyelesaian:
2.5.1
terbukti
terbukti
terbukti
, temukan konstruksi penggaris
untuk n = 2, 3, 4, 5, 6, ....

15. 2.5.2 Panjang segitiga a, b, c > 0 dengan
, akan dibuktika bahwa
a+b>c
Misal:
Sebuah segitiga siku-siku dengan panjang sisi pendeknya a = x dan b = x
dengan x > 0.
 Teorema Pythagoras:
c2 = a2 + b2
c
a=x
c2 = x2 + x2
c2 = 2x2
b=x
c=x
 a+b=x+x
a + b = 2x
 Kita tahu bahwa 2 lebih besar dari
, dengan x > 0 maka:
2 >
2.x >
. x
2x > x
a+b > c
Terbukti
2.5.3 Diketahui segitiga siku-siku dengan panjang sisi-sisi: 1, 1,
.
Langkah-langkah
untuk
mendapatkan
panjang sisi
dengan menggunakan
konstruksi penggaris dan jangka:
1. Perpanjang garis AC
2. Buat busur lingkaran dengan jari-jari
|BC|
3. Buat garis tegak lurus terhadap garis AC
yang melalui titik C dan berpotongan
dengan busur lingkaran. Misal di D.
4. Segitiga ACD adalah segitiga siku-siku
dengan sudut siku d C. Sehingga teorema
phytagoras berlaku.

16. 2.5.4 Konstrusi
, jika n = 2, 3, 4, 5, ...
2.6 Bukti dari Teorema Thales
Teorema Thales. Sebuah garis yang ditarik sejajar dengan salah satu sisi segitiga
memotong dua sisi lainnya secara proporsional.
Misal segitiga ABC, dengan sisi-sisinya AB dan AC dipotong oleh PQ sejajar
dengan sisi BC (Gambar 12). Karena PQ sejajar dengan BC, segitiga PQB dan
PQC dengan alas PQ memiliki ketinggian yang sama, yaitu jarak antara garis yang
sejajar. Oleh karena itu mereka memiliki luas yang sama.

17. Gambar 12. Sisi segitiga dipotong dengan sejajar
Jika kita menambahkan segitiga APQ untuk masing-masing segitiga PQB dan
PQC, kita mendapatkan segitiga AQB dan APC. Oleh karena itu, kedua segitiga
tersebut juga memiliki luas yang sama.
Sekarang perhatikan dua segitiga APQ dan PQB yang membentuk segitiga AQB
dengan alas garis AB. Mereka memiliki tinggi yang sama terhadap alas AB, yaitu
jarak tegak lurus dari Q ke AB. Oleh karena itu, alas mereka adalah dalam
perbandingan luasnya:
Demikian pula pada segitiga APQ dan PQC yang membentuk segitiga APC:
Karena luas PQB sama dengan Area PQC, sisi kanan kedua persamaan adalah
sama, dan begitu juga sisi kirinya. Artinya,
Dengan kata lain, garis PQ memotong sisi AB dan AC secara proporsional.

18. Latihan
Misalkan ada beberapa garis sejajar P1Q1, P2Q2, P3Q3, ... terhadap sisi BC dari
segitiga ABC. tunjukkan bahwa
Penyelesaian
 Garis P1Q1
 Garis P2Q2

19.  Begitu juga untuk garis P3Q3, akan diperoleh:
Dan seterusnya, jadi:
2.7 Sudut Dalam Lingkaran
Invarian sudut dalam lingkaran. Jika A dan B adalah dua titik pada lingkaran,
kemudian, untuk semua titik C pada salah satu busur yang menghubungkan
mereka, ACB sudut konstan.
Untuk membuktikan invarian, tarik garis dari A, B, C ke pusat lingkaran O,
bersama dengan garis yang membentuk sudut ACB (Gambar 13). Karena semua
jari-jari lingkaran adalah sama, |OA| = |OC|. Jadi segitiga AOC adalah sama kaki,
dan sudut α di dalamnya adalah sama berdasarkan teorema segitiga sama kaki.
Sudut β di segitiga BOC adalah sama karena alasan yang sama.
Karena jumlah sudut segitiga sembarang adalah π, maka sudut O pada segitiga
AOC adalah π – 2α dan sudut di O pada segitiga BOC adalah π – 2β. Oleh
karenanya sudut ketiga di O yaitu sudut AOB, adalah 2(α + β), karena total sudut
dalam satu lingkaran adalah 2π. Akan tetapi sudut AOB adalah konstan, sehingga
α + β juga konstan, dan α + β justru sudut pada C.
Hal penting dalam teorema ini adalah ketika A, O, dan B terletak pada garis lurus
dan melalui titik pusat lingkaran, maka 2 α + β) = π. Dalam kasus ini, α + β = π/2,
sehingga didapatkan teorema berikut.
Teorema sudut dalam setengah lingkaran. Jika A dan B adalah ujung diameter
lingkaran, dan C adalah titik lain pada lingkaran, maka sudut ACB adalah sudut
siku-siku.

20. α
β
π–α π–β
β
α
2(α + β)
Gambar 13. Sudut α + β dalam lingkaran

21. DAFTAR PUSTAKA
Stillwell, John. 2005. The Four Pillars of Geometry. San Fransisco: Springer.