1. MATRIKS
1. Pengertian matriks
Matriks ialah susunan bilangan yang berbentuk persegi
panjang diatur menurut baris dan kolom (lajur).
o Bilangan-bilangan tersebut dinamakan unsur-
unsur matriks.
o Susunan unsur-unsur matriks itu dibatasi dengan
tanda kurung.

2. Pengertian Notasi dan Ordo Suatu Matriks
Contoh :
3 2 1
A3 3 2 5 3 Baris ke 2
3 6 9
Kolom ke 1
o A adalah lambang huruf untuk matriks.
o A3x3 artinya matriks berordo 3x3 mempunyai 3 baris
dan 3 kolom.
o Unsur baris ke-I dan kolom ke-j dari matriks A
dilambangkan dengan a ixj

3. 2. Ordo suatu matriks
a. Ordo suatu matriks ditentukan oleh banyaknya baris (m)
dan diikuti banyaknya kolom (n) = A mxn
b. Contoh : a = adalah matriks A berordo
2x3
3. Jenis-jenis matriks
a. Matriks persegi (bujur sangkar) matriks yang banyaknya
baris sama dengan banyaknya kolom.
b. Matriks baris adalah matriks yang mempunyai satu baris
(A 1xn)
1

4. 4. Transpose suatu matriks
a. Transpose dari matriks (Amxn) dinotasikan dengan A’.
b. A = Anxm yaitu matriks yang barisnya menjadi kolom dan
kolom menjadi baris.
24
25 1
Contoh : A 2x3 makaA t 53
4 36
16
Contoh : Tentukan ordo dari matriks berikut ini :
3 5 1
1 234
a. A 4 2 3 b. B
98 7 6
9 6 5 Jawab : B2x4
Jawab : A3x3

5. B. Kesamaan Dua Matriks
o Dua buah matriks A dan B dikatakan sama (A=B), jika dan hanya jika
berordo sama dan unsur yang seletak juga sama.
Contoh :
Hitunglah x dan y jika 2 3y 2 9
x 5 3 5
Jawab : x 3; 3y 9
y 3
C. Penjumlahan dan Pengurangan Matriks

6. 1. Penjumlahan Matriks (A+B)
a. Jika A dan B adalah matriks yang berordo sama, maka jumlah
matriks A dan B (ditulis A+B) adalah matriks baru yang diperoleh
dari menjumlahkan setiap unsur A dengan unsur yang seletak
pada B
42 13 4 1 2 3 55
b. contoh :
37 24 7 2 3 4 97
2. Matriks Nol
a. Matriks nol adalah matriks yang semua unsurnya nol
dan dinotasikan dengan 0.
0 0 0
b. contoh : 02x3 sifat 0 A A 0 A
0 0 0

7. 3. Lawan Suatu Matriks
• Matriks B disebut lawan (negatif) dari matriks A, jika
setiap unsur matriks B merupakan lawan (negatif) dari
unsur matriks A yang seletak, maka B = -A
• Maka berlaku : A – B = A + (-A) = 0
contoh :
3 1 -3 -1
A 2x3 0 - 4 makalaw anny a
(-A) 0 -4
2 3 -2 -3
4. Pengurangan Matriks
• Pengurangan matriks A dengan matriks B = (A-B)
dengan menjumlahkan matriks A dengan lawan matriks B

8. contoh :
4 5 4 2
Jika A dan B tentukan A - B !
1 3 3 5
Jawab :
A -B 4 5 4 2
1 3 3 5
4 5 - 4 -2
1 3 -3 -5
0 3
-2 -2

9. 5. Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan matriks
• Komutatif : A+B=B+A
• Assosiatif : (A+B)+C=A+(B+C)
• Terdapat sebuah matriks identitas penjumlahan yaitu
dimana A+0=0+A=A
• Setiap matriks A mempunyai lawan (negatif) yaitu –A
dimana A+(-A) = 0
D. Perkalian Bilangan Real (skalar) dengan Matriks
oJika k suatu bilangan real dan A suatu matriks, maka kA
adalah matriks yang diperoleh dari A dengan mengalikan
setiap elemen A dengan k.

10. a b a b a b
 Misal matriks A makakA k
c d c d c d
3 2 -2 4
 Contoh : A dan B
-1 5 3 1
T entukan 5A - 2B
:
Jaw ab:
3 2 -2 4
5A - 2B 5 2
-1 5 3 1
15 10 -4 8 19 2
- 5 25 6 2 - 11 23

11. E. Perkalian Matriks
Dua macam perkalian matriks yang kita kenal, yaitu :
1. Hasil kali (dot product) dari dua matriks yaitu suatu
matriks baris 1 x n dengan suatu matriks kolom n x 1 yang
didefinisikan sebagai berikut :
b
b
b
a1 a2 a3 ..... n .
a a1 b1 a2 b2 ..... an bn
.
.
b

12. 2. Hasil kali matriks (matriks product) suatu matriks A yang
berordo m x p dengan suatu matriks B yang berordo p x n
adalah pada matriks C yang berordo m x n.
Dalam perkalian matriks ini yang perlu diperhatikan adalah :
Banyaknya kolom pada matrik A harus sama dengan
banyaknya baris pada matriks B.
F. Invers Matriks Bujur Sangkar
• Jika A dan B ordo n x n, maka B invers A dan B adalah
invers dari A.
Jika dan hanya jika AB = BA = I
I = matriks identitas

13. • Dengan demikian, B adalah invers dari A ditulis B=A-1
• Oleh karena itu BA=I dan B=A-1, maka A-1.A=I
• Dapat pula dikatakan bahwa A . A -1 = 1
Sehingga : jika A-1 ada, maka kita katakan bahwa A invertibel
atau nonsingular.
• Tidak semua matriks bujur sangkar invertibel.
• Oleh karena tidak ada matriks yang jika dikalikan dengan A
menghasilkan identitas, maka A tidak invertibel.
• Mencari invers matriks bujur sangkar ordo 2 x 2 dapat
dilakukan seperti berikut :

14. a b x1 x2
Dengan inversmatriks adalah , maka
c d y1 y2
a b x1 x2 ax 1 by1 ax2 by2 1 0
c d y1 y2 cx1 dy1 cx2 dy2 0 1
Dengan demikianada empat persamaandengan 4 peubah, yaitu:
ax1 by1 1 ax2 by2 0
cx1 dy1 0 cx2 dy2 1
Dari keempatpersamaandapat diperoleh hasil :
d -b -c
x1 x2 y1
ad - bc ad - bc ad - bc

15. a b
Jadi inversdari matriks adalah :
c d
d -b
x1 x2 ad - bc ad - bc 1 d -b
y1 y2 -c a ad - bc - c a
ad - bc ad - bc
1
a b 1 d -b
c d ad - bc - c a
a b a b
Harga ad - bc disebut determinandari suatu matriks ditulis ad - bc
c d c d
a b a b
Matriks mempunyaiinvers(invertibe jika dan hanyajika
l) 0
c d c d
a b a b
Jika 0, makamatriks tidak mempunyaiinvers(singular)
c d c d

16. a11 a12 a13
A a21 a22 a23
a31 a32 a33 + + + - - -
a11 a12 a13 a11 a12 a13 a11 a12
Determinan matriks A adalah A a21 a22 a23 a21 a22 a23 a21 a22
a31 a32 a33 a31 a32 a33 a31 a32
a11a12 a13 a12 a23 a31 a13 a21 a32 a13 a22 a31 a11 a23 a32 a12 a21 a33
Mencari detrminan dengan cara tersebut dinamakanMetode Sarrus

17. I. Minor dan Kofaktor
Jika dalam suatu determinan A elemen-elemen dari baris ke-I
dan kolom ke-j dihilangkan, determinan yang tertinggal disebut
minor dan kofaktor dari determinan A dan dinyatakan dengan
Mij
a11 a12 a13
Misalkan A a21 a22 a23
a31 a32 a33
Jika elemen - elemen pada baris pertama dan kolompertama dihitung, makaminor
bagi a11 ialah :
a22 a23
M11 dan kofaktor bagi a11 (-1)1 1 M11 M11
a32 a33
A a11 M11 a12 M12 a13 M13

18. J. Adjoint Matriks Ordo 3 x 3
Jika A = (aij) adalah suatu matriks persegi ordo 3 x 3 dengan
elemen-elemen aij dan kofaktor aij, maka adjoint A ialah :
11 12 13
Adj. A 21 22 23
31 32 33
K. Invers Matriks Ordo 3 x 3
1
A 1
Adj. A
A