Tugas Matematika Terjemahan bab 8

1. Integrasi dasar
8 ·Teknik
Integrasi dengan substitusi
Tak satu pun dari formula atau aturan integrasi dari Bab 7 yang sesuai secara langsung
dengan apapun
Mengikuti integral: ꭍ(𝑥2
+ 4)5
2𝑥 𝑑𝑥, ꭍ 𝑒𝑥3
𝑑𝑥 𝑎𝑡𝑎𝑢 ꭍ
𝑥3
𝑥4+2
𝑑𝑥
Untuk menemukan integral
Seperti ini, Anda bisa menggunakan metode yang disebut integrasi dengan substitusi (sering
Disebut Integrasi oleh μ - Pergantian). Integrasi dengan substitusi bergantung pada
Aturan rantai yang Anda gunakan dalam diferensiasi. (Lihat Bab 5 untuk pembahasan tentang
penggunaan
Aturan rantai dalam diferensiasi.) Diintegrasikan dengan substitusi Anda mengganti a
Variabel baru untuk ekspresi fungsional yang dipilih secara bijaksana dalam integrand; dan
Maka setelah mengubah integral asli, sesuai kebutuhan, berdasarkan pemahaman Anda
Dari aturan rantai, Anda mengintegrasikan sehubungan dengan variabel baru. Kapan
Mengubah integral, tujuannya adalah untuk menciptakan sebuah integral yang memiliki
bentuk
ꭍ 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑔′( 𝑥) 𝑑𝑥
Biasanya,variabel udigunakansebagai variabel substitusi,sepertiyangditunjukkanpada
Contohberikut.
MASALAH Temukan ꭍ (𝑥2 + 3)5 2𝑥 𝑑𝑥
SOLUSI JikaAndamembiarkanmaka 𝑢 = 𝑥2 + 3 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥.Bila Andamembuat
ini substitusi,integral mengambil bentukfungsidaya,YangbisaAndaintegrasikansepertigambardi
bawahini.
ꭍ(𝑥2
+ 3)5
2𝑥 𝑑𝑥 = ꭍ 𝑢5
𝑑𝑢 subsitusing u = 𝑥2 + 3 𝑎𝑛𝑑 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥
=
𝑢6
6
+ 𝑐 mengintegrasikan terhadap u
=
(𝑥2+3)6
6
+ 𝑐 Denganmensubstitusikan 𝑥2 + 3 = 𝑢 sehingga
Solusi adalahdalamhal yangasli variabel.
MASALAH Temukan ꭍ 𝑒 𝑥3
𝑥2
𝑑𝑥.
SOLUSI Jika Anda membiarkan 𝑢 = 𝑥3, maka 𝑑𝑢 = 3𝑥2 𝑑𝑥 Karena konstanta 3
tidak
Muncul di integrand asli, Anda perlu mengubahnya

2. Integrand dengan mengalikan integrand dengan 1 dalam bentuk
1
3
3
Dan kemudian melakukan anjak
1
3
. Dari integral, seperti yang ditunjukkan di sini.
ꭍ 𝑒 𝑥3 𝑥2 𝑑𝑥 = ꭍ 𝑒 𝑥3 1
3
.3𝑥2 𝑑𝑥 mengalikan dengan
1
3
.3
=
1
3
ꭍ 𝑒 𝑥3
3𝑥2 𝑑𝑥 =
1
3
ꭍ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢
1
3
faktor luar
1
3
𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑢 =
𝑥3 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑢 = 3𝑥2 𝑑𝑥
=
1
3
𝑒 𝑢 + 𝐶 Mengintegrasikandenganhormat kepadau
=
1
3
𝑒 𝑥3
+C Mengganti 𝑥3 = 𝑢 agar solusinyamasuk
Syaratdari variabel asli
Catatan: Andadapat menggunakanteknikini(ditunjukkanpadacontohdi atas) untukmengalikan
integranddenan1
Dalambentuk
1
𝑘
, dan kemudiananjak
1
𝑘
Dari integral untuksetiapkonstantanol,k;namun,
Teknikyangsama denganvariabel tidakvalid.Tidakbenarfaktorekspresiyangmengandung
Variabel dari suatuintegral.
MASALAH Temukanꭍ
𝑥3
𝑥4+2
𝑑𝑥
SOLUSI JikaAndamembiarkan 𝑢 = 𝑥4 + 2 𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑑𝑢 = 4𝑥3 𝑑𝑥
Karenakonstan4 tidakmuncul
Integrasi asli,Andaperlumengubahintegral dengan mengalikan
Integrandengan1 dalambentuk
1
4
. 4, dankemudiananjak
1
4
Dari integral.
ꭍ
𝑥3
𝑥2+2
𝑑𝑥 = ꭍ
1
4
.
𝑥4𝑥3
𝑥4+2
𝑑𝑥 mengalikandengan
1
4
.4
=
1
4
ꭍ
4𝑥3
𝑥4
𝑑𝑥 =
1
4
ꭍ
𝑑𝑢
𝑢
Factor
luar
1
4
𝑑𝑎𝑛 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑔𝑎𝑛𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑢 = 𝑥4 +
2 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑢 = 4𝑥3 𝑑𝑥
=
1
4
𝑙𝑛| 𝑢| + 𝑐 Mengintegrasikandenganhormatkepada
anda
=
1
4
ln(𝑥
4
+ 2) + 𝑐 𝑚𝑒𝑛𝑔𝑔𝑎𝑡𝑖𝑘𝑎𝑛 𝑥4
+ 2 =
𝑢 𝑚𝑒𝑛𝑗𝑎𝑑𝑖 𝑠𝑜𝑙𝑢𝑠𝑖 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑒𝑙 𝑎𝑠𝑙𝑖

3. Menjadi ahli dalammemilihsubstitusi umembutuhkanlatihan.Andaharusmenghafaldasar
Formulaintegrasi yangdisajikanpadaBab7 untukmemfasilitasi prosesnya.Berikutadalahbeberapa
panduanumum: Gantikanu untuk
 sebuah ekspresi dalam tanda kurun
 eksponen dalam ekspresi eksponensial
 penyebut pecahan atau pecahan
 ungkapan di bawah tanda radikal (kecuali bila integrand memiliki bentuk
turunannya
 Dari sinus terbalik atau fungsi secant)
LATIHAN 8.1
Gunakan tabel rumus integral pada Lampiran untuk menemukan integral tak tentu yang
paling umum.
1. ꭍ 3(𝑥3 − 5)4 𝑥2 𝑑𝑥 6. ꭍ
𝑥3−2𝑥
𝑥4−4𝑥2+5
𝑑𝑥
2. ꭍ 𝑒 𝑥4
𝑥3 𝑑𝑥 7. ꭍ 𝑥cos(3𝑥2 + 1) 𝑑𝑥
3.
t
t2+7
dt 8. ꭍ
3 𝑐𝑜𝑠 √ 𝑥 (sin√𝑥)
2
√ 𝑥
4. ꭍ (𝑥5 − 3𝑥)
1
4 (5𝑥4 − 3) 𝑑𝑥 9. ꭍ
𝑒2𝑥
1+𝑒4𝑥
𝑑𝑥
5. ꭍ
𝑥3−2𝑥
( 𝑥4−4𝑥
2
+5)
𝑑𝑥 10. ꭍ 6𝑡2 𝑒 𝑡3−2
𝑑𝑡
Integrasi oleh Bagian
Integrasi olehbagianadalahteknikyangampuhuntukmengintegrasikanintegralrumit
tertentuseperti ituSebagai ꭍ sin3x dx, ꭍ x5 lnx dx,dan ꭍ 𝑥5 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 yangtidak
meminjamkandirinyake formulaintegrasi dasarAtauteknikpenggabungandengan
substitusi.Jikaudanv adalahfungsi terdiferensialkan,makaPersamaanuntukintegrasioleh
bagiandiberikanoleh
ꭍ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ꭍ 𝑣. 𝑑𝑢

4. Bagianintegral yangdiberikanadalah ꭍ 𝑢 𝑑𝑣 yangmemilikidua"bagian":udan dv.
Tujuanintegrasi olehbagian Adalahdenganbijakmemilihduabagianini sehinggaintegral
yang dihasilkandi sebelahkanan, ꭍv.du,lebihmudahdilakukan
Mengintegrasikandari integral asli di sebelahkiri,ꭍ 𝑢 𝑑𝑣.Untukmelihatbagaimanaformula
bekerja,pertimbangkan
Contohberikut
Masalah temukan ꭍ x sin3xdx.
Solusi tinggalkan u =x and dv = sin3xdx.
kemudian du = dx and v = ꭍ sin3xdx = −
1
3
cos3𝑥. 1
Catatan: Konstantaintegrasi ditambahkanpadaakhirproses.
Sekarang,denganmenggunakanintegrasi denganpersamaanbagian,Andamemilikinya
ꭍ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ꭍ 𝑣. 𝑑𝑢
ꭍ 𝑥 sin 3𝑥 𝑑𝑥 = ( 𝑥)(−
1
3
cos3𝑥) − ꭍ (−
1
3
cos3𝑥) 𝑑𝑥
= −
1
3
x cos 3x +
1
3
ꭍ cos3𝑥 𝑑𝑥
= −
1
3
𝑥 cos3𝑥 +
1
3
.
1
3
sin 3𝑥
= −
1
3
𝑥 cos 𝑥 +
1
9
sin 3x+c
MASALAH Temukan ꭍ 𝑥5 ln 𝑥 𝑑𝑥
SOLUSI Biarkan 𝑢 = 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑣 = 𝑥5
Lalu 𝑑𝑢 =
1
𝑥
𝑑𝑥 𝑣 = ꭍ 𝑥5 𝑑𝑥 =
𝑥6
6
Sekarang,integrasikanolehbagianyangkamumiliki.
ꭍ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ꭍ 𝑣. 𝑑𝑢
ꭍ 𝑥5 𝑙𝑛𝑥 𝑑𝑥 = (ln x)(
x6
6
) − ꭍ
𝑥6
6
.
1
𝑥
dx
=
𝑥6 𝑙𝑛𝑥
6
−
1
6
𝑥5 𝑑𝑥
=
𝑥6ln 𝑥
6
−
1
6
.
𝑥6
6
=
𝑥6 ln 𝑥
6
−
𝑥6
36
+ 𝑐

5. Terkadang,Andamungkinperlu menerapkanintegrasi lebihbanyakdari satukali seperti
ditunjukkanpadaContohberikut
MASALAH Temukanꭍ 𝑥2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥
SOLUSI Biarkan 𝑢 = 𝑥2 𝑑𝑎𝑛 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥
Kemudian 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑥 𝑣 = ꭍ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥
Sekarang,denganmenggunakanintegrasi denganpersamaanbagian,Andamemilikinya
ꭍ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ꭍ 𝑣. 𝑑𝑣
ꭍ 𝑥2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = ( 𝑥2)(−𝑒−𝑥) − ꭍ −𝑒−𝑥.2𝑥 𝑑𝑥
= −𝑥2 𝑒−𝑥 + ꭍ 2𝑥𝑒−𝑥 𝑑𝑥
Seperti yangAndalihat,integral di sebelahkanantidaksesuai denganformulaintegrasi
dasar. Untukmengintegrasikan
Yang integral,Andabisamenerapkanintegrasi olehsukucadanguntukkeduakalinya.
Kali ini,biarkan 𝑢 = 2𝑥 𝑑𝑣 = 𝑒−𝑥 𝑑𝑥
Kemudian 𝑑𝑢 = 2𝑥 𝑣 = ꭍ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒−𝑥
Sekarang,denganmenggunakanintegrasi denganpersamaanbagian,Andamemilikinya
ꭍ 𝑢 𝑑𝑣 = 𝑢. 𝑣 − ꭍ 𝑣. 𝑑𝑢
ꭍ 2𝑥𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = (2𝑥) − (−𝑒−𝑥)− ꭍ −𝑒−𝑥 𝑑𝑥
= −2𝑥𝑒−𝑥 + 2ꭍ 𝑒−𝑥 𝑑𝑥
= −2𝑥𝑒−𝑥−2𝑒−𝑥
Menggabungkan kedua hasil ini, Anda punya
ꭍ 𝑥2 𝑒−𝑥 𝑑𝑥 = −𝑥2 𝑒−𝑥−2𝑥𝑒−𝑥−2𝑒−𝑥 + 𝑐�
Berikutadalahbeberapapanduanumumyangharusdiikuti untukintegrasiolehbagian-bagiannya.
1. Cobalahmembiarkandvmenjadi bagianpalingrumitdari integrand yangAndakenali
Integrable
2. Selalusertakanperbedaansebagaibagiandari dv.
3. CobalahmembiarkanAndamenjadi bagiandari integrandyangturunannyalebihsederhanadari
pada u.
4. Untuk integral yangterdiri dari faktortunggal kali diferensial,biardvmenjadi diferensial.
5. Bersiaplahuntukmenerapkanintegrasi olehbagianlebihdari satukali dalammasalahyangsama.

6. LATIHAN 8.2
Gunakan tabel rumus integral pada Lampiran untuk menemukan integral tak tentu yang
paling umum.
1. ꭍ 2𝑥 sin 2𝑥 𝑑𝑥 6. ꭍ 𝑥2 𝑒 𝑥 𝑑𝑥
2.ꭍ 𝑥3 ln 𝑥 𝑑𝑥 7.ꭍ 𝑤( 𝑤 − 3)2 𝑑𝑤
3.ꭍ 𝑡𝑒 𝑡 𝑑𝑡 8. ꭍ 𝑥3 ln(4𝑥) 𝑑𝑥
4.ꭍ 𝑥 cos 𝑥 𝑑𝑥 9.ꭍ 𝑡(𝑡 + 5)4 𝑑𝑡
5. ꭍ 𝑐𝑜𝑡−1( 𝑥) 𝑑𝑥 10.ꭍ 𝑥√ 𝑥 + 2 dx
Integrasi denganmenggunakan tabel rumus integral
Teknikintegrasi lainnyaadalahmengintegrasikandenganmenggunakantabel rumusintegral.Meja
67. Rumusintegral umumdiberikandi LampiranCuntukkenyamananAnda.Berikutini adalah
Beberapainformasi bermanfaattentangtabel integral secaraumum:
1. Huruf di awal alfabet(mis.,A,b,c, dand) mewakilikonstanta.
2. Huruf n seringdigunakanuntukmewakilieksponenkonstan(mis.,Xn).
3. Huruf k seringdigunakanuntukmewakilikonstantadalamekspresieksponensial (mis.,
Ekx).
4. Jika integrandmengandungpecahan,diferensialnyamungkinberadadalampembilang
pecahan.
5. Konstantaintegrasi mungkindiabaikan.
6. Logaritma natural bisaditulissebagai log(x) danbukanlnx.
Untuk mengintegrasikanmenggunakantabel formulaintegral,Andacukupmelihat-lihattabel
sampai Anda
Temukanformulaintegral dimanaintegrandpersissamadenganbentukintegral dari
Integral Andainginmengintegrasikan.Terkadang,tugasuntukmenemukanformulaintegral
semacamitusangat mudah
Seperti padacontohberikut.
MASALAH Temukanꭍ
1
1+𝑒 𝑥
𝑑𝑥
SOLUSI Unsur ini cocok denganformula38. Olehkarenaitu,
ꭍ
1
1 + 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥 − ln(1 + 𝑒 𝑥) + 𝑐
MASALAH Temukanꭍ tan 𝑢 𝑑𝑢
SOLUSI Unsur ini cocok denganFormula13. Olehkarenaitu,
ꭍ tan 𝑢 𝑑𝑢 − 𝑙𝑛|cos 𝑢| + 𝑐
MASALAH Temukanꭍ 𝑙𝑛𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 𝑙𝑛𝑡 𝑑𝑡
SOLUSI Pertandinganini cocokdenganFormula40

7. ꭍ 𝑙𝑛𝑡 𝑑𝑡 = 𝑡 𝑙𝑛𝑡− 𝑡 + 𝑐
Dalambeberapakasus,Andamungkinperlumenggantinilai untukkonstantayangmuncul
dalamformulaSeperti yangditunjukkanpadacontohini.
MASALAH Temukanꭍ
1
𝑥√3𝑥+5
𝑑𝑥
SOLUSI Unsur ini cocok denganFormula55 denganhuruf a=3 dan b = 5.Oleh
karenaitu,Andamemilikinya
ꭍ
1
𝑥√ 𝑎𝑥 + 𝑏
𝑑𝑥 =
1
√ 𝑏
𝑙𝑛 |
√ 𝑎𝑥 + 𝑏 − √ 𝑏
√ 𝑎𝑥 + 𝑏 + √ 𝑏
| + 𝑐
ꭍ
1
𝑥√3𝑥 + 5
𝑑𝑥 =
1
√5
𝑙𝑛 |
√3𝑥 + 5 − √ 𝑏
√3𝑥 + 5 + √ 𝑏
| + 𝑐
Terkadang,formulaintegrasi yangtepatmungkinsulit ditemukan.Sebelummenyerah,
Bereksperimenlahdenganteknikberikutuntukmencobamengubahintegralyangdiberikan
menjadi satu
Yang Andadapat menggunakantabel integralformula.
1. Perluasungkapanyangdiangkatke sebuahkekuatan.
2. Tulisulangekspresi yangdinaikkanke kekuatannegatif saatekspresi ekuivalendinaikkan
Sebuahkekuatanpositif
3. Faktor keluarkonstantaasingdari integral.
4. Pisahkanpembilangyangmemiliki lebihdari satufrase aljabarterpisah.
5. Tuliskanfraksi aljabaryangtidak semestinyasebagai hasil bagi dansisadaripada
penyebut.
6. Lengkapi kotakuntukekspresi kuadrat.
Jikagaris seranganini gagal,Andamungkinharusmengakui bahwaintegraltidakdapat
diintegrasikan
Menggunakanmetode dasar
Catatan: Kalkulatorgrafiktertentu(mis.,TI-92) danbeberapaprogramperangkatlunak
(misalnya,Derive,Maple,danMathematica) mampumenghasilkanhasil integrasi simbolis.
Namun,memangbegitu.
Tidakbiasahasilnyaberbedadari apayang Andadapatkanmelalui caratradisional.Selanjutnya,
Andamungkinmenemukanbahwaalatintegrasi simbolistidakdapatmenemukanantiderivatif
untukIntegrand.Meskipundemikian,alatintegrasi simbolisdapatbergunauntukmelakukan
integrasi Integral yangrumitMemahami prosesseperti yang ditunjukkandalambabini akan
sangat bermanfaatAndasaatmenggunakanutilitassemacamitu.

8. LATIHAN 8.3
Gunakan tabel rumus integral pada Lampiran untuk menemukan integral tak tentu yang
paling umum.
1. ꭍ cot 𝑥 𝑑𝑥 6.ꭍ 3𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥
2. ꭍ
1
( 𝑥+2)(3𝑥+5)
𝑑𝑥 7. ꭍ √10 𝑤 + 3 dw
3. ꭍ (ln 𝑥)2 𝑑𝑥 8. ꭍ 𝑡(𝑡 + 5)−1 𝑑𝑡
4. ꭍ 𝑥cos 𝑥 𝑑𝑥 9. ꭍ 𝑥 √ 𝑥 + 2 dt
5. ꭍ
𝑥
( 𝑥+2)2
𝑑𝑥 10. ꭍ
1
sin 𝑢 cos𝑢
𝑑𝑢