aljabar linier

1. MATEMATIKA TEKNIK IMATEMATIKA TEKNIK I
ZULFATRI AINI, ST., MTZULFATRI AINI, ST., MT
19721021 200604 2 00119721021 200604 2 001

2. SATUAN ACARA PENGAJARANSATUAN ACARA PENGAJARAN
Mata KuliahMata Kuliah : Matematika Teknik I: Matematika Teknik I
Kode Mata KuliahKode Mata Kuliah : TEL 2207: TEL 2207
SKSSKS : 2 SKS: 2 SKS
Waktu PertemuanWaktu Pertemuan : 100: 100
Pertemuan kePertemuan ke : 1: 1
A. TujuanA. Tujuan
1. TIU : Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat menguasai1. TIU : Setelah mengikuti mata kuliah ini mahasiswa dapat menguasai
konsep aljabar linier dan aplikasinyakonsep aljabar linier dan aplikasinya
2. TIK2. TIK : Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa akan mengenali aljabar: Setelah mengikuti kuliah ini, mahasiswa akan mengenali aljabar
linier dan aplikasinyalinier dan aplikasinya
B. Pokok BahasanB. Pokok Bahasan : Pengenalan Matematika Teknik I: Pengenalan Matematika Teknik I
C. Sub Pokok BahasanC. Sub Pokok Bahasan : 1. Pengertian Aljabar Linier: 1. Pengertian Aljabar Linier
2. Aplikasi Aljabar Linier2. Aplikasi Aljabar Linier

3. Aljabar linear, yang mempelajari sifat-sifatAljabar linear, yang mempelajari sifat-sifat
khusus ruang vektor (termasuk matriks).khusus ruang vektor (termasuk matriks).

4. SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
Bentuk umum :
dimana x1, x2, . . . , xn variabel tak diketahui, aij , bi,
i = 1, 2, . . . , m; j = 1, 2, . . . , n bil. diketahui.
Ini adalah SPL dengan m persamaan dan n variabel.
SPL
Mempunyai penyelesaian
disebut KONSISTEN
Tidak mempunyai penyelesaian
disebut TIDAK KONSISTEN
TUNGGAL
BANYAK

5. ILUSTRASI GRAFIKILUSTRASI GRAFIK
 SPL 2 persamaan 2 variabel:SPL 2 persamaan 2 variabel:
 Masing-masing pers berupa garis lurus. PenyelesaiannyaMasing-masing pers berupa garis lurus. Penyelesaiannya
adalah titik potong kedua garis ini.adalah titik potong kedua garis ini.
kedua garis sejajar kedua garis berpotongan kedua garis berhimpitan

6. PENYAJIAN SPL DALAM MATRIKSPENYAJIAN SPL DALAM MATRIKS
SPLSPL BENTUK MATRIKSBENTUK MATRIKS
STRATEGI MENYELESAIKAN SPL:
mengganti SPL lama menjadi SPL baru yang mempunyai
penyelesaian sama (ekuivalen) tetapi dalam bentuk yang
lebih sederhana.

7. TIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKANTIGA OPERASI YANG MEMPERTAHANKAN
PENYELESAIAN SPLPENYELESAIAN SPL
SPL
1. Mengalikan suatu persamaan
dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua
persamaan sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu
persamaan ke persamaan
lainnya.
MATRIKS
1. Mengalikan suatu baris
dengan konstanta tak nol.
2. Menukar posisi dua baris
sebarang.
3. Menambahkan kelipatan suatu
baris ke baris lainnya.
Ketiga operasi ini disebut OPERASI BARIS ELEMENTER (OBE)
SPL atau bentuk matriksnya diolah menjadi bentuk seder-
hana sehingga tercapai 1 elemen tak nol pada suatu baris

8. CONTOHCONTOH
DIKETAHUI
kalikan pers (i)
dengan (-2), kemu-
dian tambahkan ke
pers (ii).
kalikan baris (i)
dengan (-2), lalu
tambahkan ke
baris (ii).
…………(i)
…………(ii)
…………(iii)
kalikan pers (i)
dengan (-3), kemu-
dian tambahkan ke
pers (iii).
kalikan baris (i)
dengan (-3), lalu
tambahkan ke
baris (iii).
kalikan pers (ii)
dengan (1/2).
kalikan baris (ii)
dengan (1/2).

9. kalikan pers (iii)
dengan (-2).
kalikan brs (iii)
dengan (-2).
LANJUTAN CONTOHLANJUTAN CONTOH
kalikan pers (ii)
dengan (1/2).
kalikan baris (ii)
dengan (1/2).
kalikan pers (ii)
dengan (-3), lalu
tambahkan ke pers
(iii).
kalikan brs (ii)
dengan (-3),
lalu tambahkan
ke brs (iii).
kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).
kalikan brs (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke brs
(i).

10. Lanjutan CONTOHLanjutan CONTOH
kalikan pers (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke pers
(i).
kalikan brs (ii)
dengan (-1), lalu
tambahkan ke brs
(i).
kalikan pers (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke pers (i)
dan kalikan pers (ii) dg
(7/2), lalu tambahkan
ke pers (ii)
kalikan brs (iii)
dengan (-11/2), lalu
tambahkan ke brs (i)
dan kalikan brs (ii) dg
(7/2), lalu tambahkan
ke brs (ii)
Diperoleh penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3. Terdapat
kaitan menarik antara bentuk SPL dan representasi
matriksnya. Metoda ini berikutnya disebut dengan
METODA ELIMINASI GAUSS.

11. BENTUK ECHELON-BARISBENTUK ECHELON-BARIS
Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:Misalkan SPL disajikan dalam bentuk matriks berikut:
maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.maka SPL ini mempunyai penyelesaian x = 1, y = 2, z = 3.
Matriks ini disebut bentukMatriks ini disebut bentuk echelon-baris tereduksiechelon-baris tereduksi..
Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:Untuk dapat mencapai bentuk ini maka syaratnya adalah sbb:
1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen1. Jika suatu brs matriks tidak nol semua maka elemen
tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.tak nol pertama adalah 1. Brs ini disebut mempunyai leading 1.
2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.2. Semua brs yg terdiri dari nol semua dikumpulkan di bagian bawah.
3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading3. Leading 1 pada baris lebih atas posisinya lebih kiri daripada leading
1 baris berikut.1 baris berikut.
4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.4. Setiap kolom yang memuat leading 1, elemen lain semuanya 0.

12. Bentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksiBentuk echelon-baris dan echelon-baris tereduksi
Matriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebutMatriks yang memenuhi kondisi (1), (2), (3) disebut
bentukbentuk echelon-barisechelon-baris..
CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:CONTOH bentuk echelon-baris tereduksi:
CONTOH bentuk echelon-baris:CONTOH bentuk echelon-baris:

13. Bentuk umum echelon-barisBentuk umum echelon-baris
dimana lambang ∗ dapat diisi bilangan real sebarang.

14. Bentuk umum echelon-baris tereduksiBentuk umum echelon-baris tereduksi
dimana lambang ∗ dapat diisi bilangan real sebarang.

15. Penyelesaian SPL melalui bentuk echelon-barisPenyelesaian SPL melalui bentuk echelon-baris
Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:Misal diberikan bentuk matriks SPL sbb:
Tentukan penyelesaian masing-masing SPL di atas.

16. METODA GAUSS-JORDANMETODA GAUSS-JORDAN
Ide pada metoda eliminasi Gauss adalahIde pada metoda eliminasi Gauss adalah mengubahmengubah
matriks ke dalam bentukmatriks ke dalam bentuk echelon-baris tereduksiechelon-baris tereduksi..
CONTOH: Diberikan SPL berikut.CONTOH: Diberikan SPL berikut.
Bentuk matriks SPL ini adalah:Bentuk matriks SPL ini adalah:

17. -2B1 + B2B2
5B2+B3  B3












61808400
0000000
1-3-02-1-00
00202-31B4 B4+4B2
B3 ⇄ B4 B3 B3/3
-3B3+B2B2
2B2+B1B1

18. Akhirnya diperoleh:
Akhirnya, dengan mengambil x2:= r, x4:= s dan x5:= t maka diperoleh
penyelesaian:
dimana r, s dan t bilangan real sebarang. Jadi SPL ini mempunyai tak
berhingga banyak penyelesaian.

19. METODA SUBSTITUSI MUNDURMETODA SUBSTITUSI MUNDUR
Misalkan kita mempunyai SPL dalam matriks berikut:
Bentuk ini ekuivalen dengan:
LANGKAH 1: selesaikan variabel leading, yaitu x6. Diperoleh:
LANGKAH 2: mulai dari baris paling bawah subtitusi ke atas, diperoleh

20. LANJUTAN SUBSTITUSI MUNDURLANJUTAN SUBSTITUSI MUNDUR
LANGKAH 3: subtitusi baris 2 ke dalam baris 1, diperoleh:
LANGKAH 4: Karena semua persamaan sudah tersubstitusi maka peker-
jaan substitusi selesai. Akhirnya dengan mengikuti langkah pada
metoda Gauss-Jordan sebelumnya diperoleh:

21. Eliminasi GaussianEliminasi Gaussian
Mengubah menjadi bentuk echelon-baris (tidak perlu direduksi), kemudian
menggunakan substitusi mundur.
CONTOH: Selesaikan dengan metoda eliminasi Gaussian
PENYELESAIAN: Diperhatikan bentuk matriks SPL berikut:
Dengan menggunakan OBE diperoleh bentuk echelon-baris berikut: