Penerapan Matematika dalam bidang teknik sipil terutama dalam perancangan desain analisis struktur

1. PENYELESAIAN PERSOALAN ANALISIS STRUKTUR STATIS
TAK TENTU DENGAN METODE PERSAMAAN TIGA MOMEN
DAN METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN SERTA
PEMOGRAMANNYA DALAM MATLAB
ABSTRAK
Seorang teknik sipil dituntut memiliki kemampuan dalam menganalisis suatu
struktur, salah satunya struktur statis tak tentu yang banyak terdapat saat ini,
khususnya struktur jembatan yang merupakan perpaduan dari struktur balok dan
portal. Analisis struktur dilakukan untuk mengetahui perilaku struktur tersebut.
Perilaku utama yang harus diketahui adalah gaya – gaya momen sebagai akibat dari
beban yang diberikan (beban luar). Dengan menggunakan metode Persamaan Tiga
Momen, akan didapatkan Sistem Persamaan Linier (SPL) dengan gaya momen sebagai
variabelnya yang kemudian akan diubah kedalam bentuk matriks dan matriks tersebut
akan dicarikan solusinya dengan metode Eliminasi Gauss Jordan sehingga akan
diketahui besarnya gaya – gaya momen yang bekerja pada struktur tersebut. Seorang
engineer, harus bisa melakukan perhitungan tersebut secara manual, namun agar
didapatkan hasil yang lebih akurat dan penggunaan waktu yang optimal, perhitungan
akan diselesaikan dengan bantuan program MatLab.
Kata Kunci :
Analisis Struktur, Persamaan Tiga Momen, Sistem Persamaan Linier, Metode
Eliminasi Gauss Jordan, Matlab.
PENDAHULUAN
Dunia teknik sipil tidak akan terlepas dari analisis struktur, baik itu struktur statis
tertentu atau statis tak tentu. Agar didapatkan bangunan atau struktur yang kuat
diperlukan analisis struktur yang tepat saat melakukan perancangan desain struktur.
Analisis struktur dilakukan untuk mengetahui perilaku struktur seperti untuk
mengetahui gaya - gaya dalam struktur yaitu gaya momen, gaya lintang, gaya normal
serta lendutan sebagai akibat dari beban struktur itu sendiri atau akibat dari beban yang
diberikan (beban luar) serta dapat juga sebagai akibat dari keduanya.
Untuk didapatkan hasil analisa yang tepat (mendekati hasil sebenarnya), seorang civil
engineer harus memiliki dasar ilmu teknik sipil yang kuat serta dituntut untuk memiliki
kemampuan matematika yang tinggi sebab dunia teknik sipil tidak terlepas dari
perhitungan.
Untuk menganalisis suatu struktur telah disajikan banyak metode –

2. metode perhitungan, seorang engineer harus dapat memilih metode perhitungan yang
mana yang sesuai dengan kondisi struktur, yang hasilnya mendekati hasil sebenarnya
serta tidak terlalu rumit dalam perhitungannya. Salah satu metode perhitungan analisis
struktur yang paling mudah dipahami dan mudah untuk dilakukan perhitungan serta
akan memberikan hasil yang mendekati hasil sebenarnya adalah Metode Persamaan 3
Momen. Metode ini menganalisis suatu struktur dari rotasinya di tiap titik kumpul
(joint) dimana rotasi di tiap titik terhadap batang yang menjadi percabangannya harus
sama, baik besar maupun nilainya. Untuk mengetahui rotasi di suatu titik maka kita
harus mengetahui besar momen di tiap ujung batang.
METODE PERSAMAAN TIGA MOMEN
Analisis struktur statis tak tentu merupakan suatu kesatuan perhitungan dari keseluruhan
gaya dalam batang dan reaksi perletakan yang ditentukan berdasarkan penerapan dari
persamaan kompabilitas dan persamaan keseimbangan.
Persamaan tiga momen mengekspresikan hubungan antara momen – momen lentur di
tiga tumpuan yang berturutan pada suatu balok kontinu yang ditujukan untuk memikul
beban – beban yang bekerja pada kedua bentangan yang bersebelahan, dengan atau
tanpa penurunan – penurunan tumpuan yang tak sama. Hubungan ini dapat diturunkan
berdasarkan kontinuitas kurva elastis di atas tumpuan – antaranya : yakni, kemiringan
kurva elastis di ujung kanan bentangan sebelah kiri (Ѳ BA) harus sama dengan
kemiringan kurva elastis di sebelah ujung kiri bentangan sebelah kanan(Ѳ BC).
A
ѲBA
B
ѲBC
C
Konsekuensi dari adanya hubungan tersebut, maka pada tumpuan B akan timbul gaya
momen terhadap bentangan yang mengapitnya (MBA dan MBC), namun pada tumpuan B
itu sendiri jumlah dari gaya – gaya momen yang bekerja harus sama dengan nol jika
pada tumpuan tersebut tidak diberi gaya atau beban luar berupa gaya momen. Jika pada
tumpuan atau titik tersebut diberi gaya luar berupa momen maka jumlah gaya – gaya
momen yang bekerja terhadap bentangan yang mengapitnya harus sama dengan gaya
luar (momen) yang diberikan.

3. MBA
A
MBC
B
C
Secara matematis kedua hubungan tersebut dapat kita tulis :
Ѳ BA = Ѳ BC
∑ MB = 0 → MBA + MBC = 0
Perjanjian Tanda
Searah Jarum Jam (sjj) = (+)
Berlawanan Jarum Jam (bjj) = (–)
Dari perjanjian tanda tersebut, dapat kita tarik bahwa untuk mendapatkan nilai MB=0,
maka salah satu nilai MBA atau MBC harus negative yang artinya keduanya saling
berlawanan arah. Untuk balok kontinu diatas, nilai MBC negative (-) artinya berlawanan
arah jarum jam sedangkan MBA positif (+) artinya searah jarum jam.
Kedua hubungan yang telah disebutkan diatas merupakan persyaratan yang harus
dipenuhi dalam setiap melakukan analisis struktur. Kedua syarat itu disebut juga dengan
:
1. Persamaan kompabilitas
Ѳ BA = Ѳ BC
2. Persamaan keseimbangan
∑ MB = 0
Bila struktur tersebut bukanlah balok kontinu seperti gambar diatas maka kedua syarat
tersebut tetap harus dipenuhi, misalnya untuk rigid point (titik kaku) :
Persyaratan yang berlaku :
1. Persamaan kompabilitas
Ѳ ij = Ѳ il = Ѳ ik
2. Persamaan keseimbangan
∑ Mi = 0
Mij + Mil + Mik = 0

4. Selain kedua persyaratan tersebut harus dipenuhi, terdapat kondisi batas (boundary
condition) yang tidak boleh diabaikan dalam melakukan analisis struktur. Hal – hal
yang dijadikan sebagai kondisi batas tersebut adalah :
1. Lendutan (simpangan), baik arah vertical dan horizontal (∆v , ∆H)
2. Rotasi (perputaran sudut, Ѳ )
Untuk perletakan :
1. Sendi
∆v = 0
∆H = 0
Ѳ≠ 0
∆H ≠ 0
Ѳ≠ 0
∆H ≠ 0
Ѳ= 0
2. Roll
∆v = 0
3. Jepit
∆v ≠ 0
METODE NUMERIK
Adanya perkembangan teknologi informasi yang sangat pesat pada saat ini mendorong
praktisi untuk mengembangkan cara baru agar pekerjaan analisa dapat dilakukan dengan
lebih baik dan lebih efektif. Metode kalkulasi dengan matriks dapat dilakukan dengan
mudah menggunakan teknologi informasi. Banyak persoalan di bidang teknik maupun
sains yang dapat diselesaikan dengan menggunakan permodelan matematika yang
terkadang muncul dengan bentuk yang tidak ideal, sehingga sulit untuk diselesaikan
dengan menggunakan metode analitik.
Jika persoalan – persoalan yang kita hadapi tidak dapat diselesaikan dengan metode
permodelan matematika metode analitik menggunakan dalil – dalil kalkulus, maka
solusinya dapat diperoleh dengan metode numerik. Secara istilah metode numerik
adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik sehingga
dapat diselesaikan dengan operasi aritmatika biasa.
Dengan metode numerik, solusi eksak dari persoalan yang dihadapi tidak akan
diperoleh. Metode numerik hanya bisa memberikan solusi yang mendekati atau

5. menghampiri solusi eksaknya. Ada enam tahapan yang harus dilakukan dalam
menyelesaikan persoalan dengan metode numerik, yaitu :
1. Permodelan
Semua parameter dalam persoalan dimodelkan dalam bentuk persamaan matematik.
Penyederhanaan model, model matematik yang diperoleh pada tahap pertama bisa
saja masih kompleks. Untuk memudahkan dan mempercepat kinerja komputer,
model tersebut disederhanakan lagi dengan membuang parameter yang diabaikan.
2. Formulasi numerik
Setelah model matematika yang disederhana diperoleh,tahap selanjutnya adalah
memformulasikan secara numerik, yaitu :
a. Menentukan metode numerik yang akan digunakan beserta taksiran error-nya.
Pemilihan metode didasari pada :
-
Apakah metode tersebut teliti?
-
Apakah metode tersebut mudah diprogramkan dan waktu eksekusinya cepat?
3. Menyusun algoritma dari metode numerik yang dipilih
4. Pemrograman
Algoritma yang telah disusun diterjemahkan dalam program komputer, dengan
terlebih dahulu membuat flowchart-nya kemudian dituliskan dalam bentuk program.
(dengan menggunakan salah satu software yang dapat mendukung untuk
mempermudah pembuatannya, misalnya MatLab, sebagai catatan penulis juga akan
menggunakan software ini).
5. Operasional
Program komputer dijalankan dengan data uji coba sebelum menggunakan data
sebenarnya.
6. Evaluasi
Bila program sudah selesai dijalankan dengan menggunakan data sesungguhnya,
hasil yang diperoleh diinterpretasikan. Interpretasi meliputi analisis hasil
perhitungan dan membandingkannya dengan prinsip dasar dan hasil – hasil empirik
untuk menentukan kualitas solusi numerik.

6. SISTEM PERSAMAAN LINIER (SPL)
Persamaan linier adalah persamaan dimana peubahnya tidak memuat eksponensial,
trigonometri (seperti sin, cos, dll), perkalian, pembagian dengan peubah lain atau
dirinya sendiri.
Bentuk umum Persamaan Linier :
a1x1 + a2x2 + … + a,nxn = b
Keterangan :
a1, a2, …, an disebut koefisien
x1, x2, …, xn disebut variabel
b disebut suku konstan
Sistem Persamaan linier adalah sehimpunan persamaan linier yang menjadi satu
kesatuan.
Bentuk umum Sistem Persamaan Linier :
a11x1 + a12x2 + … + a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 +… + a2nxn = b2
am1x1 + am2x2 + … + amnxn = bm
Sistem Persamaan Linier dapat dinyatakan sebagai matriks :
atau
AX = B,
dimana : A = matriks koefisien
X = matriks peubah
B = matriks konstanta

7. METODE ELIMINASI GAUSS JORDAN
Metode eliminasi Gauss Jordan akan memecahkan solusi pada sistem persamaan linear.
Persamaan tersebut harus bersifat vektor baris dan kolom (matrik) yang berordo n x n,
dan harus ≥ 2. Motede tersebut dinamai Eliminasi GaussJordan untuk menghormati Carl
Friedrich Gauss dan Whilhelm Jordan.
Eliminasi Gauss-Jordan adalah pengembangan dari eliminasi Gauss yang hasilnya lebih
sederhana. Caranya adalah dengan meneruskan operasi baris dari eliminasi Gauss
sehingga menghasilkan matriks yang Eselon-baris tereduksi. Ini juga dapat digunakan
sebagai salah satu metode penyelesaian persamaan linear dengan menggunakan matrik.
Caranya dengan mengubah persamaan linear tersebut ke dalam matriks teraugmentasi
dan mengoperasikannya. Setelah menjadi matriks Eselon-baris tereduksi, maka
langsung dapat ditentukan nilai dari variabel-variabelnya tanpa substitusi balik.
Penyelesaian dari persamaan linier simultan diatas adalah nilai d1,d2,d3,…,dn dan atau:
x1 = d1, x2 = d2, x3 = d3, ..., xn = dn
Pendapat lain menjelaskan bahwa Eliminasi Gauss Jordan mirip sekali dengan metode
Eliminasi Gauss, namun dalam metode ini jumlah operasi numerik yang dilakukan jauh
lebih besar, karena matriks A mengalami inversi terlebih dahulu untuk mendapatkan
matriks identitas (I).
Teknik yang digunakan dalam metode eliminasi Gauss-Jordan ini sama seperti Metode
Eliminasi Gauss yaitu menggunakan OBE (Operasi Baris Elementer). Hanya saja
perhitungan penyelesaian secara langsung diperoleh dari nilai pada kolom terakhir dari
setiap baris.

8. Konsep utama yang dikerjakan dalam metode eliminasi gauss jordan sangat sederhana,
yaitu :
1. Menentukan matrikaugmen, yaitu matriks yang berukuran n x (n+1)
2. Proses pivoting, matriks diagonal = 1
3. Matrik identitas [I] (matrik eselon tereduksi)
4. Mendapatkan solusi
Konsep sederhana MetodeEliminasi Gauss Jordan dengan ordo n x n adalah sebagai
berikut:
*
......E1
......E2
......E3
=
Matrik augmen
Matrik identitas [I]
x1 = d1,x2 = d2,x3 = d3
Solusi
Algoritma Eliminasi Gauss Jordan
AlgoritmaMetodeEliminasiGauss Jordan adalahsebagai berikut:
1. MasukkanmatrikA, danvektorB beserta ukurannya.
2. Buat matrik augmen[A|B] namakandenganAB.
3. Untukbariskei dimanai=1 s/dn,
Perhatikanapakahnilai ai,i = 0 :
Bila ya:
Pertukarkan baris ke i dan baris ke i+k≤n, dimana ai+k, i ≠0, bila tidak ada berarti
perhitungan tidak bisa dilanjutkan dan proses dihentikan dengan tanpa
penyelesaian
Bila tidak: lanjutkan.

9. Jadikan nilai diagonalnya menjadi satu, dengan cara untuk setiap kolom k
dimana k = 1 s/d n+1, hitung
.
4. Untuk baris ke j, dimana j = i+1 s/d n, lakukanoperasibariselementer:
Hitung c = aj,i
Hitung aj,k = aj,k – c.ai,k
5. Penyelesaian, untuk i = n s/d 1 (bergerak dari baris ke n sampai baris pertama) =
ai,n+1.
Flowchart
Adapun diagram flowchart metode eliminasi gauss Jordanyaitu :

10. HASIL DAN PEMBAHASAN
Kasus
Terdapat suatu struktur yang terdiri dari balok kontinu yang ditopang oleh 5 buah
kolom. Model struktur ini banyak digunakan sebagai permodelan sederhana dari
jembatan. Bila pada struktur ini diberi beban berupa beban merata sebesar q, dengan
tinggi kolom setinggi T dan panjang tiap bentang yang sama satu sama lain sepanjang
L, berapakah besar dan arah dari gaya – gaya momen di tiap titik (joint) dari struktur
tersebut? Dari data yang ada beban merata q=10 kN/m, panjang bentang=6m, tinggi
jembatan=4m.
1. Permodelan
Analisis Kasus
Estimasi Arah Momen

11. 1. Persamaan Kompabilitas
2. Persamaan Keseimbangan
Titik B
∑MB = 0
Ѳ BA = Ѳ BC = Ѳ BH
M1 + M2 + M3 = 0 (SPL 1)
Titik C
∑MC = 0
Ѳ CB = Ѳ CD = Ѳ CI
M4 + M5 + M6 = 0 (SPL 2)
Titik D
∑MD = 0
Ѳ DC = Ѳ DE = Ѳ DJ
M7 + M8 + M9 = 0 (SPL 3)
Titik E
∑ME = 0
Ѳ ED = Ѳ EF = Ѳ EK
M10 + M11 + M12 = 0 (SPL 4)
Titik F
∑MF = 0
Ѳ FE = Ѳ FG =Ѳ FM
M13 + M14 + M15 = 0 (SPL 5)
Terdapat 15 gaya momen yang belum diketahui nilainya. Berarti ada 15 SPL.
Titik B
Titik C

12. Titik D
Titik F
Titik E
Jadi, 15 Sistem Persamaan Liniernya yaitu :
1. M1 + M2 + M3 = 0
2. M4 + M5 + M6 = 0

13. 3. M7 + M8 + M9 = 0
4. M10 + M11 + M12 = 0
5. M13 + M14 + M15 = 0
10.
11.
6.
12. –
7.
13.
14.
8.
15.
9.

14. 1. Penyerdehanaan Model
Disederhanakan dalam bentuk matrik :
2. Formulasi Numerik
Setelah kita mendapatkan matriknya, langkah selanjutnya adalah mencari solusi dari
matriks tersebut dengan menggunakan Metode Eliminasi Gauss Jordan. Dengan
menggunakan Metode Eliminasi Gauss Jordan, kita harus membuat matrik tersebut
menjadi matrik identitas [I]. Agar memudahkan dalam membuat matrik identitas maka
baris – baris dari matriks tersebut di-arrange agar diagonal dari matriks tersebut
memiliki nilai karena pada matriks diatas, diagonalnya yang berwarna merah terdiri dari
banyak angka 0 sehingga menyulitkan dalam melakukan perhitungan. Maka matriknya
kita arrange ulang menjadi :

15. Dengan memasukan data panjang bentang, tinggi jembatan, dan beban merata jembatan.
Maka persamaan matrik menjadi seperti berikut :
Kemudian dilakukan proses matrik Eselon-baris tereduksi, dengan pivot adalah nilai
yang berada pada matrik diagonal. Selanjutnya dilakukan operasi baris elementer
sehingga matrik sebenarnya menjadi matrik diagonal. Dan ditemukan suatu solusi
persamaan tiga momen. Dengan hasil akhir sebagai berikut :

16. SCRIPT PROGRAM MATLAB
1. Pemodelan input data Persamaan Tiga Momen berbentuk matrik dengan ordo 15 x
15 yang diprogramkandalam softwarematlab.
clc;
clear;
disp('Aplikasi SPL
dalam Teknik Sipil
(ASSTTT-Portal)');
disp(' ');
disp('Program ini
khusus untuk bentuk
portal yg ada dalam
paper');
L = input ('panjang
bentang = ');
T = input ('tinggi
jembatan = ');
q = input ('beban
merata = ');
Rki=L/3;
Rka=L/6;
Rv=T/3;
Rbl=q*(L^3)/24;
for j=1:3
A(1,j)=1;
end
for j=4:6
A(4,j)=1;
end
for j=7:9
A(9,j)=1;
end
for j=10:12
A(12,j)=1;
end
for j=13:15
A(14,j)=1;
end
end
for i=2
A(i,1)=Rki;
A(i,2)=-Rki;
A(i,3)=0;
A(i,4)=Rka;
end
for i=8
A(i,8)=Rki;
A(i,9)=-Rv;
A(i,10)=-Rka;
end
for i=3
A(i,1)=Rki;
A(i,2)=0;
A(i,3)=-Rv;
end
for i=6
A(i,1)=0;
A(i,2)=-Rka;
A(i,3)=0;
A(i,4)=Rki;
A(i,5)=0;
A(i,6)=-Rv;
end
for i=5
A(i,5)=Rki;
A(i,6)=-Rv;
A(i,7)=-Rka;
end
for i=7
A(i,4)=0;
A(i,5)=-Rka;
A(i,6)=0;
A(i,7)=Rki;
A(i,8)=0;
A(i,9)=-Rv;
for i=10
A(i,7)=0;
A(i,8)=-Rka;
A(i,9)=0;
A(i,10)=Rki;
A(i,11)=0;
A(i,12)=-Rv;
end
for i=11
A(i,11)=Rki;
A(i,12)=-Rv;
A(i,13)=-Rka;
end
for i=13
A(i,10)=0;
A(i,11)=-Rka;
A(i,12)=0;
A(i,13)=Rki;
A(i,14)=0;
A(i,15)=-Rv;
end
for i=15
A(i,14)=Rki;
A(i,15)=-Rv;
end
A(i,j)=A(i,j)

17. B(2,1)=2*Rbl;
B(3,1)=Rbl;
B(6,1)=Rbl;
B(5,1)=-Rbl;
B(7,1)=Rbl;
B(8,1)=-Rbl;
B(10,1)=Rbl;
B(11,1)=-Rbl;
B(13,1)=Rbl;
B(15,1)=-Rbl
disp ('Arah momen
positif = sjj')
2. Hasil input persamaan tiga momen sudah dalam bentuk matrik. Kemudian
dilanjutkan dengan mencari solusi persamaan linier dengan memasukan fungsi
Metode Eliminasi Gauss Jordan yang diprogramkan padasoftware matlab.
function x=EliminasiGaussJordan(A,B)
[m,n] = size(A);
if m~=n, error('A matriks yang dibutuhkan tidak persegi'); end
nB = n+1; AB = [A B]; % sistem Augment
fprintf('n Memulai matriks sebelum di Eliminasi dengan MATRIKS AUGMENT;n');
disp(AB);
% --- Proses pivot --for i =1:n
pivot = AB(i,i);
for j= 1:n
AB(i,j) = AB(i,j)/pivot;
end
% --- Proses eliminasi --for k=1:n
faktor = - AB(k,i);
% --- Operasi baris elementer --if(k~=i), AB(k,i:nB) = AB(k,i:nB) - (AB(k,i))*AB(i,i:nB); end
fprintf('Faktor eliminasi adalah %gn',faktor);
disp(AB);
end
fprintf('n setelah eliminasi pada kolom %d dengan pivot = %f nn',i,pivot);
disp(AB);
pause;
end

18. ANALISIS
Dari data yang telah ditemukan dari bantuan Metode Eliminasi Gauss jordan, maka nilai
momen yang telah ditemukan dari persamaan tiga momen nilai masing-masing momen
yaitu, M1 = - 441.3459 kNm, M2 = 45.8649 kNm, M3 = 395.4811 kNm, M4 = 254.4216
kNm, M5 = -142.9309 kNm, M6 = -111.4907 kNm, M7 = 42. 7924 kNm, M8 = 55.7570
kNm, M9 = 136.5183 kNm, M10 = 109.489 kNm, M11 = -137.4138 kNm, M12 = 4.6274
kNm, M13 = -100.9975 kNm, M14 = 211.9499 kNm, M15= -156.250 kNm. Kemudian
akan ditemukan gaya lintang dan gaya normal. Selanjutnya data analisis perhitungan
struktur tersebut dapat digunakan untuk pemodelan serta rancangan bahan yang akan
dibuat.
SIMPULAN DAN SARAN

Perhitungan momen pada analisis struktur dengan metode persamaan tiga
momen yang akan menghasilkan sistem persamaan linier, mampu diselesaikan
dengan bantuan metode eliminasi gauss jordan.

Metode eliminasi gauss jordan dipilih karena proses perhitungannya lebih
sederhana dan teliti.

Dengan memprogramkan metode eliminasi gauss jordan ke dalam matlab dapat
memberikan keuntungan diantaranya efisiensi tenaga, waktu dan tingkat error
yang tidak jauh berbeda dengan perhitungan secara manual.

Metode eliminasi gauss jordan tidak bisa menyelesaiakan persamaan matrik
yang bukan persegi.

Untuk menemukan solusi persamaan linier dengan matrik yang berdimensi
besar, sebaiknya menggunakan komputer yang memilki kapsitas bandwith yang
memadai.

19. DAFTAR PUSTAKA
[1].Wang C.K., 1993, Analisa Struktur Lanjutan Jilid I, Erlangga, Jakarta
[2].Sartono A.A., 2006, Penggunaan Metode Numerik dan Matlab dalam Fisika,
FMIPA UI
[3].Catatan Mata Kuliah Analisis Struktur Statis Tak Tentu
[4] http://lecturer.eepis-its.edu.
[5] http://www.chemeng.ui.ac.id
[6] http://stommel.tamu
[7] http://id.wikipedia.org