Modul ini berisi tentang cara menghitung turunan fungsi biasa dan fungsu logaritma, aturan rantai dan turunan orde n

1. MODUL 3
TURUNAN
FUNGSI
PRAYUDI

2. TURUNAN FUNGSI
Turunan fungsi f ditulis f’ adalah
fungsi lain yang didefinisikan
oleh :
h
)x(f)hx(f
lim)x(f
0h
−+
=
→
jika limitnya ada
f(x)
f(x+h)
x x+h
f(x+h)-f(x)
h
y
x
Notasi dan pengertian turunan fungsi
dx
dy
y = Gradien garis singgung
dt
ds
tv =)( Kecepatan sesaat
dt
dm
m = Laju massa per satuan
waktu
dt
dq
q = Laju perubahan panas
per satuan waktu
dT
dh Perubahan entalpi
akibat perubahan
temperatur
dV
dP Perubahan tekanan
akibat perubahan
volume

3. Contoh Menghitung Turunan:
643)( 2 +−= xxxf
Jawab :
Hitung f’(x)
f(x+h) = 3(x+h)2 – 4(x+h)+6
= 3x2 + 6xh + 3h2 – 4x – 4h + 6
f(x+h)-f(x) = 6xh + 3h2 – 4h
h
xfhxf
xf
h
)()(
lim)(
0
−+
=
→
h
hhxh
h
436
lim
2
0
−+
=
→
)436(lim
0
−+=
→
hx
h
= 6x - 4
32
)(
+
=
x
x
xf
3)(2
)(
++
+
=+
hx
hx
hxf
323)(2
)()(
+
−
++
+
=−+
x
x
hx
hx
xfhxf
)322)(32(
)322())(32(
+++
++−++
=
hxx
hxxhxx
)322)(32(
3
+++
=
hxx
h
)322)(32(
3
lim)(
0 +++
=
→ hxxh
h
xf
h
2)32(
3
+
=
x

4. Menghitung Turunan
Grafik fungsi f(x)
Y=4x-x2
Y=4-2xY=2x
Y=2
4)x(flim
2x
=
→
adatidak)2(f 
4)x(flim
2x
=
→
2)2(f =
Y=5-(x-3)2
Y=1.5x2–4x+6
Y=3x-4
Y=-2(x-3)

5. Rumus Dasar Turunan Fungsi
0)().1( =k
dx
d
1)().2( −= nn nxx
dx
d
dx
du
kku
dx
d
=)().3(
dx
dv
dx
du
vu
dx
d
+=+ )().4(
dx
dv
u
dx
du
vuv
dx
d
+=)().5(
2
).6(
v
dx
dv
u
dx
du
v
v
u
dx
d
−
=





y=uv  y' = u' v + uv'
2v
vuvu
y
v
u
y
−
==
Contoh-contoh
(1). y=5x4 + 5x - 10
0)1(5)x4(5
)10(
dx
d
)x(
dx
d
5)x(
dx
d
5y
3
4
−+=
−+=
(2). y = (x4 + 10)(x5 – 5)
u=x4+10
u′=4x3
v=x5 – 5
v′=5x4
y' = u' v + uv‘ = (4x3)(x5–5)+(x4+10)(5x4)
3
4
).3(
4
3
+
−
=
x
x
y u=x3+4
u′=3x2
v=x4 + 3
v′=4x3
24
3324
)3(
)4)(4()3)(3(
+
−−+
=
x
xxxx
y

6. Aturan Rantai
Misalkan diberikan, y = (x4 + 3)6
x u=x4+3 y=u6
u=g(x) y=f(u)
3
4x
dx
du
=
5u6
du
dy
=
)x4)(u6(
dx
du
du
dy
dx
dy 35==
)x4()3x(6
dx
dy 354 +=
Rumus Umum
y=f(u), u = g(x)  y=f(g(x))
dx
du
du
dy
dx
dy
=
Kasus kedua, y = {4+3(x4+1)5}7
x u=x4+1 v=4+3u5 y=v7
u=g(x) v=h(u) y=f(v)
3x4
dx
du
= 4u15
du
dv
= 6v7
dv
dy
=
)x4)(u15)(v7(
dx
du
du
dv
dv
dy
dx
dy 346==
)x4}()1x(15}{)u34(7{ 34465 ++=
)x4}()1x(15}{)]1x[34(7{ 344654 +++=
Rumus Umum
y=f(v), v = h(v), u = g(x)  y=f{h[g(x)]}
dx
du
du
dv
dv
dy
dx
dy
=

7. CONTOH
Hitunglah,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦′ dari :
y = (𝑥6
+ 2)4
(𝑥3
+ 4)6
Jawab :
Ambil :
𝑢 = (𝑥6
+ 2)4
;
𝑢′ = 4(𝑥6
+ 2)3 𝑑
𝑑𝑥
(𝑥6
+ 2)
= 4 𝑥6 + 2 3 (6𝑥5)
𝑣 = (𝑥3 + 4)6
𝑣′ = 6(𝑥3
+ 4)5 𝑑
𝑑𝑥
(𝑥3
+ 4)
= 6(𝑥3 + 4)5 (3𝑥2)
Jadi,
𝑦′
= 𝑢′
𝑣 + 𝑢𝑣′
= {24𝑥5
𝑥6
+ 2 3
}(𝑥3
+ 4)6
+ (𝑥6
+ 2)4
{18𝑥2
(𝑥3
+ 4)5
}

8. CONTOH
Hitunglah,
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 𝑦′ dari :
Jawab :
Ambil,
𝑦 =
(𝑥5
+ 6)4
(𝑥3 + 4)7
𝑢 = (𝑥6
+ 2)4
;
𝑢′ = 4(𝑥6 + 2)3 𝑑
𝑑𝑥
(𝑥6 + 2)
= 4(𝑥6 + 2)3 (6𝑥5)
𝑣 = (𝑥3
+ 4)7
;
𝑣′ = 7(𝑥3
+ 4)6 𝑑
𝑑𝑥
(𝑥3
+4)
= 7(𝑥3
+ 4)6
(3𝑥2
)
Dengan demikian,
𝑦 =
𝑢
𝑣
𝑦′ =
𝑢′
𝑣 − 𝑢𝑣′
𝑣2
=
{24𝑥5(𝑥6+2)3}(𝑥3+4)7− 𝑥6+2
4
{21𝑥2(𝑥3+4)6}
{(𝑥3+4)7}2

9. SOAL LATIHAN






−





−+=






−





+=
+−+=
+−=
−+=
+=
++=
+=
+=
−=
2
5
3
44
5
6
4
3
532
54
34
3
44/3
3/44/5-4
2/3-4/53
2/34
10
x
1
x
x
4
3x)1().10(
x
6
5x
x
3
4xy).9(
)4)(43)(x(xy).8(
)24)(x2(3xy).7(
)103)(4(2xy).6(
10x
x
5
-
x
2
y(5).
10x5x3xy).4(
10x4x-2xy).3(
10x5x-2xy(2).
4x3xy(1).
xy
x
xx
xx
2)1)(x(x
1x
y(15).
1x
x)1)(x(x
y(14).
2x
1)1)(x(x
y(13).
2x
4x
(12).y
2x
3x
y(11).
22
3
3
32
2
32
4
2
2
3
+−
−
=
+
+−
=
+
−+
=
−
+
=
+
−
=

10. Dengan menggunakan rumus-rumus aturan rantai
hitunglah, dy/dx
3
3 3
2
2
22
5723
753
534
84
x
1x
(22).y
1x
x
(21).y
1xxy(20).
])3x(2x[6y(19).
]2)(x[4y(18).
3)2x(xy(17).
2x)(xy(16).
−
=
+
=
−=
++=
++=
++=
+=
−
32
22
4
3
3
2442
)1(
)1(x
(25).y
1
1
y(24).
)1(2)(xy(23).
+
−
=








−
+
=
−+=
x
x
x
x

11. Rumus Dasar Turunan Trigonometri
dx
du
ucos)u(sin
dx
d
).1( =
dx
du
usin)u(cos
dx
d
).2( −=
dx
du
usec)u(tan
dx
d
).3( 2=
dx
du
utanusec)u(sec
dx
d
).4( =
dx
du
ucotucsc)u(csc
dx
d
).5( −=
dx
du
ucsc)u(cot
dx
d
).6( 2−=
Contoh-contoh
Hitunglah y′ dari : y=x4 sin 3x
Jawab
u=x4, v=sin 3x
u′=4x3, v′=3 cos 3x
y′ = u v′ + u′v
= x4(3 cos 3x) + (4x3) sin 3x
Hitunglah y′ dari :
Jawab
u=x, v=x+sec2x
u′=1, v′=1+2sec2x tan x
)xsecx(
x
y
2+
=
22
22
)xsecx(
)xtanxsec21(x1)xsecx(
y
+
+−+
=

12. CONTOH
Hitunglah, y’ dari :
Jawab :
Jadi,
𝑦 = sin(𝑥4
+3)6
𝑢 = 𝑥4 + 3 ⟹ 𝑣 = 𝑢6 ⟹ 𝑦 = sin 𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4𝑥3
𝑑𝑣
𝑑𝑢
= 6𝑢5
𝑑𝑦
𝑑𝑣
= cos 𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= cos 𝑣 6𝑢5
4𝑥3
= cos 𝑢6
6(𝑥4
+ 3)5
4𝑥3
= cos(𝑥4
+ 3)6
6(𝑥4
+ 3)5
4𝑥3

13. CONTOH
Hitunglah, y’ dari :
Jawab :
Jadi :
𝑦 = cos5
(𝑥3
+ 4) = {cos(𝑥3
+ 4)}5
𝑢 = 𝑥3 + 4 ⟹ 𝑣 = cos 𝑢 ⟹ 𝑦 = 𝑣5
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 3𝑥2
𝑑𝑣
𝑑𝑢
= − sin 𝑢
𝑑𝑦
𝑑𝑣
= 5𝑣4
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 5𝑣4
− sin 𝑢 3𝑥2
= 5{cos 𝑢}4 − sin(𝑥3 + 4 ) 3𝑥2
= 5{cos(𝑥3
+ 4 )}4
− sin(𝑥3
+ 4 ) 3𝑥2

14. CONTOH
Hitunglah, y’ dari :
Jawab :
Jadi,
𝑦 = sec6
{(𝑥4
+ 5)8
} = {sec(𝑥4
+ 5)8
}6
𝑢 = 𝑥4
+ 5 ⟹ 𝑣 = 𝑢8
⟹ 𝑤 = sec 𝑣 ⟹ 𝑦 = 𝑤6
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 4𝑥3
𝑑𝑣
𝑑𝑢
= 8𝑢7
𝑑𝑤
𝑑𝑣
= sec 𝑣 tan 𝑣
𝑑𝑦
𝑑𝑤
= 6𝑤5
𝑑𝑦
𝑑𝑥
=
𝑑𝑦
𝑑𝑤
𝑑𝑤
𝑑𝑣
𝑑𝑣
𝑑𝑢
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 6𝑤5
sec 𝑣 tan 𝑣 {8𝑢7
} 4𝑥3
= 6 (sec 𝑣)5 sec 𝑢8 tan 𝑢8 {8(𝑥4 + 5)7} 4𝑥3
= 6 {sec 𝑢8
}5
sec(𝑥4
+ 5)8
tan(𝑥4
+ 5)8
{8(𝑥4
+ 5)7
} 4𝑥3
= 6 {sec(𝑥4 + 5)8}5 sec(𝑥4 + 5)8 tan(𝑥4 + 5)8 {8(𝑥4 + 5)7} 4𝑥3
= 6 {sec(𝑥4 + 5)8}6 tan(𝑥4 + 5)8 {8(𝑥4 + 5)7} 4𝑥3

15. Dalam soal latihan
hitunglah turunan dy/dx,
untuk fungsi-fungsi berikut
ini.
3
2
2
3
6
5
4
2cos
).5(
4sin
).4(
6sec)2().3(
4tan)1(xy(2).
3xcosx(1).y
x
xx
y
xx
x
y
xxy
x
−
=
+
=
+=
+=
=
6. y = sin(2 – 3x + x3)
7. y = cos(4 – 8x + x6)
8. y = tan(x + sin x)
9. y = sin(x2 + cos 2x)
10.y = tan4(x2 + 1)5
11. y = cot5(x3 + 1)4
12. y = sec5[(4 + x2)]8
13. y = sec3(2x – x2)6
14. y = sin3[cos(x – 3x2)]
15. y = sin3x tan4x
16. y = sec3x tan5x
SOAL-SOAL LATIHAN

16. Penurunan Secara Implisit
Persamaan fungsi Penulisan Menghitung Turunan Fungsi
-------------------------------------------------------------------------------------------------
(1). y = x3 – sin 4x + 10 Eksplisit Gunakan rumus-rumus dasar
(2). x3 + y3 – 3xy2 = 3x2y Implisit
-------------------------------------------------------------------------------------------------
Langkah-langkah untuk menghitung turunan fungsi secara implisit
adalah :
(1).Terapkan aturan rantai pada setiap suku yang terlibat pada
persamaan, dengan rumus :
(2). Kumpulkanlah suku yang memuat turunan pada ruas kiri dan yang
lain di ruas kanan, dan selesaikan persamaan turunan
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 𝑛
= 𝑛𝑥 𝑛−1
;
𝑑
𝑑𝑥
𝑦 𝑚
= 𝑚𝑦 𝑚−1
𝑑𝑦
𝑑𝑥
;
𝑑
𝑑𝑥
𝑥 𝑛
𝑦 𝑚
= 𝑛𝑥 𝑛−1
𝑦 𝑛
+𝑚𝑥 𝑛
𝑦 𝑚−1
𝑑𝑦
𝑑𝑥

17. Contoh : Tentukan dy/dx dari x3 + y3 – 3xy2 = 3x2y
Jawab :
Masing-masing suku pada persamaan diturunkan terhadap x, yaitu :
)yx(
dx
d
3)xy(
dx
d
3)y(
dx
d
)x(
dx
d 2233 =−+
22
22
xxy2y
yxxy2
dx
dy
−−
+−
=






+=





+−+
dx
dy
xxy23
dx
dy
xy2y3
dx
dy
y3x3 2222
CONTOH
3𝑦2
− 6𝑥𝑦 − 3𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 6𝑥𝑦 − 3𝑥2
+ 3𝑦2
3 𝑦2
− 2𝑥𝑦 − 𝑥2
𝑑𝑦
𝑑𝑥
= 3{2𝑥𝑦 − 𝑥2
+ 𝑦2
}
Jadi,

18. CONTOH
Carilah dy/dx dari,
x2+y2 = sin(x + y)
Jawab
Dengan menurunkan secara
implisit diperoleh hasil :
d
dx
(x2
+y2
)=
d
dx
sin(x+y)
2x+2y
dy
dx
=cos(x+y)[1+
dy
dx
]
{2y – cos(x+y)}
dy
dx
=cos(x+y) - 2x
dy
dx
=
cos(x+y) − 2x
2y–cos(x+y)
CONTOH
Carilah dy/dx dari,
x2 + y2 = tan(xy)
Jawab
Dengan menurunkan secara
implisit diperoleh hasil :
d
dx
(x2
+y2
)=
d
dx
tan(xy)
2x+2y
dy
dx
=sec2
(xy){y + x
dy
dx
}
{2y – xsec2
(xy)}
dy
dx
= y sec2
(xy) −2x
dy
dx
=
ysec2(xy) −2x
2y – xsec2(xy)

19. SOAL-SOAL LATIHAN
Hitunglah turunan pertama, dy/dx dari :
(1) x2 + y2 = 4xy
(2) x3 + y3 = 3xy2
(3) x3 + y3 = 3x2y
(4) x2 + 4xy + y2 = sin(xy)
(5) x2 + 2xy + y2 = tan(xy)
(6) x2 - 2xy + y2 = cos(y – x)
(7) x3 + 6xy + y3 = sec(xy)
(8) x2 + y2 = sin(x2 + y2)
(9) x2 + y2 = cos(y2 – x2)
(10)x2 + y2 = tan(x2 + y2)

20. Turunan Orde-n / Tingkat Tinggi
Turunan Notasi x5 sin 2x
Pertama y  5x4 2 cos 2x
Kedua y  5(4x3) - 4 sin 2x
Ketiga y  20(3x2) - 8 cos 2x
Keempat y(4) 60(2x) 16 sin 2x
Kelima y(5) 120 (1) 32 cos 2x
Ke-n y(n)
dx
dy
2
2
dx
yd
3
3
dx
yd
4
4
dx
yd
5
5
dx
yd
n
n
dx
yd
3x2
1
−
2)3x2(
2)1(
−
−
3
2
)3x2(
2)2)(1(
−
−−
4
33
)3x2(
2)!3()1(
−
−
5
44
)3x2(
2)!4()1(
−
−
6
55
32
251
)(
)!()(
−
−
x
1n
nn
)3x2(
2)!n()1(
+−
−

21. Contoh :
Carilah tutunan orde ke-n dari : y = sin 4x
Jawab :
𝑘 = 1; 𝑛 = 1 ⟹ 𝑦′
= 4 cos 4𝑥 ;
𝑘 = 2; 𝑛 = 3 ⟹ 𝑦′′′
= −42
(4 cos 4𝑥)
= −43
cos 4𝑥
𝑘 = 3; 𝑛 = 5 ⟹ 𝑦 𝑣
= 44
4 cos 4𝑥
= 45
cos 4𝑥
𝑛 = 2 ⟹ 𝑦′′
= 4(−4 sin 4𝑥)
= −42
sin 4𝑥
𝑛 = 4 ⟹ 𝑦 𝑖𝑣
= −43
(−4 sin 4𝑥)
= 44
sin 4𝑥
𝑛 = 6 ⟹ 𝑦 𝑣𝑖
= 45
−4 sin 4𝑥
= −46
sin 4𝑥
Dengan demikian,
𝑦(𝑛)
= ൝
(−1) 𝑘+1
42𝑘−1
cos 4𝑥 ; 𝑛 = ganjil
(−1) 𝑘
42𝑘
sin 4𝑥 ; 𝑛 = genap

22. Contoh :
Carilah tutunan orde ke-n dari :
Jawab :
𝑦 =
1
3𝑥 + 4
= (3𝑥 + 4)−1
𝑛 = 1 ⟹ 𝑦′
= −1(3𝑥 + 4)−2
3
𝑛 = 2 ⟹ 𝑦′′
= −1 −2 3𝑥 + 4 −3
3 3
= (−1)2
2.1 (3𝑥 + 4)−(2+1)
32
𝑛 = 3 ⟹ 𝑦′′′
= −1 2
−3 2.1 3𝑥 + 4 −4
3 32
= −1 3
3.2.1 (3𝑥 + 4)−(3+1)
33
= (−1) 𝑛 3! 33
(3𝑥+4)3+1
Dengan memperhatikan hasil diatas, maka :
𝑦(𝑛)
= (−1) 𝑛
𝑛! 3 𝑛
(3𝑥 + 4) 𝑛+1

23. Contoh :
Carilah tutunan orde ke-n dari :
Jawab :
𝑦 =
1
3
4𝑥 + 5
= (4𝑥 + 5)−1/3
𝑛 = 1 ⟹ 𝑦′
= −(1/3)(4𝑥 + 5)−4/3
4
𝑛 = 2 ⟹ 𝑦′′
= −(1/3) −4/3 (4𝑥 + 5)−7/3
4 4
= (−1)21.4
32 (4𝑥 + 5)−7/3
42
𝑛 = 3 ⟹ 𝑦′′′ = −1 2
(−7/3)
1.4
32
4𝑥 + 5 −10/3
4 42
= −1 3 1.4.7
33 4𝑥 + 5 −10/3
43
= (−1)3
7.4.1.
(4𝑥 + 5) 3 3 +1 /3
43
Dengan memperhatikan hasil diatas, maka :
𝑦(𝑛)
= (−1) 𝑛
ෑ
𝑛=1
𝑛
(3𝑛 + 1)
4 𝑛
(4𝑥 + 5)(3𝑛+1)/3

24. Contoh :
Carilah turunan kedua dan ketiga dari : y = x4 sin 3x
Jawab :
n=1, y’ = (4x3) sin 3x + x4 (3 cos 3x)
= 4x3 sin 3x + 3x4 cos 3x
n=2, y’’ = 4(3x2) sin 3x + 4x3 (3 cos 3x) + 3(4x3) cos 3x + 3x4 (-3 sin 3x)
= (12x2 – 9x4) sin 3x + 24x3 cos 3x
n=3, y’’’ = [12(2x) – 9(4x3)] sin 3x + (12x2 – 9x4) (3 cos 3x)
+ 24(3x2) cos 3x + 24x3 (– 3 sin 3x)
= (24x – 108x3) sin 3x + (108x2 – 27x4) cos 3x
Pendekatan lain :
Jika :
y=u.v
y’ = u’v + uv’
y’’ = u’’v + 2u’v’ + uv’’
y’’’ = u’’’ v + 3u’’ v’ + 3u’ v’’ + u v’’’

25. Dengan cara tersebut, maka :
u = x4 ; v = sin 3x
u’ = 4x3 ; v’ = 3 cos 3x
u’’ = 12x2 ; v’’ = – 9 sin 3x
u’’’ = 24x ; v’’’ = – 27 cos 3x
Dengan menggunakan rumus diperoleh :
y’’ = u’’v + 2u’v’ + uv’’
= (12x2) sin 3x + 2(4x3) (3 cos 3x) + x4(– 9 sin 3x)
= (12x2 – 9x4) sin 3x + 24x3 cos 3x
y’’’ = u’’’ v + 3u’’ v’ + 3u’ v’’ + u v’’’
= (24 x) sin 3x+3(12x2)(3 cos 3x)+3(4x3)(–9 sin 3x)+ x4 (-27 cos 3x)
= (24x – 108x3) sin 3x + (108x2 – 27x4) cos 3x

26. Dalam soal-soal berikut ini
tentukan turunan pertama,
kedua, dan ketiga dari :
Tentukan rumus turunan
orde-n dari :
(11). y = sin b x
(12). y = cos b x
(13). y = ax + b
(14). y =
3
a − bx
(15). y =
1
(ax − b)2
1 . 𝑦 = (5𝑥 + 2)3
(4𝑥 − 1)5
2 . 𝑦 = 𝑥3
sin 5 𝑥
3 . 𝑦 = 𝑥4
cos 3 𝑥
4 . 𝑦 = sec4
𝑥
(5). 𝑦 = 𝑥 𝑏
cos 𝑎 𝑥
(6). 𝑦 = 𝑥 𝑏
sin 𝑎 𝑥
(7). 𝑦 = sec 𝑏
𝑎 𝑥
(8). 𝑦 = sin 𝑎
𝑏 𝑥
(9). 𝑦 = cos 𝑏
𝑎 𝑥
(10). 𝑦 = 𝑥 𝑎
(1 − 𝑥) 𝑏
Soal-soal Latihan