Deret Fourier hanya mengandung suku-suku sinus untuk fungsi ganjil, dan hanya mengandung suku-suku kosinus untuk fungsi genap.

1. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 1 of 14
KALKULUS LANJUT
DERET FOURIER SINUS / COSINUS ½ JANGKAUAN
− Deret hanya mengandung suku-suku sinus atau cosinus saja,
− Fungsi didefinisikan pada interval (0,L) { ½ jangkauan dari (-L,L)}
kemudian untuk interval (-L,0) ditentukan sehingga fungsi dapat
berupa fungsi ganjil atau genap.
− Deret Fourier Sinus ½ Jangkauan adalah Deret suku-suku Sinus,
( Deret yang suku-sukunya berupa fungsi-fungsi sinus saja ).
∞
Contoh : f(x) = ∑(-1) n-1 sin nx
n
, f(x) = fungsi ganjil pada (-L, L)
n=1
− Deret Fourier Cosinus ½ Jangkauan adalah Deret suku-suku Cosinus,
( Deret yang suku-sukunya berupa fungsi-fungsi cosinus saja ).
π 4 ∞ cos (2n − 1) x
Contoh : ƒ(x) = − ∑ , f(x) = fungsi genap pada (-L,
2 π n = 1 (2n − 1) 2
L)
− Suatu fungsi f(x) dalam interval (0, L) dapat diperderetkan dalam dua cara,
baik Sinus maupun Cosinus.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

2. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 2 of 14
− Pada interval (-L, L) atau periode = 2 L
(i). Deret Sinus ½ jangkauan merupakan fungsi ganjil, jadi an = a0 = 0,
∞
nπ
ƒ(x) = ∑ sin
b n
L
x
dx
n=1
L
nπx
∫
2
bn = ƒ(x) sin dx
L L
0
(ii). Deret Cosinus ½ jangkauan merupakan fungsi genap, jadi bn = 0,
a0 ∞ nπ
ƒ(x) = +∑ an cos
L
x
2 n =1
2 L nπ
∫
x
an = ƒ(x) cos dx
L
L 0
2 L
a0 =
∫ ƒ(x) dx
L 0
Contoh soal :
Soal 1). Perderetkan ƒ(x) = x, 0 < x < π dalam deret fourier Sinus ½ jangkauan !
Jawab :
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

3. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 3 of 14
Definisi fungsi ( f(x) = x ) diperluas sehingga menjadi fungsi ganjil dengan periode 2π
(perluasan ini dinamakan perluasan ganjil untuk ƒ(x))
Grafiks f(x) = x , 0 < x < π yang diperluas menjadi fungsi periodik dengan
periode = 2 π untuk Deret Fourier Sinus adalah sebagai berikut:
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

4. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 4 of 14
Grafiks f(x) = x, 0 < x < π ½ jangkauan.
ƒ(x)
π
f(x) = x
| | | | x π
-π 0 π
-π
Periode 2 L = 2 π  Jadi L = π
Karena f(x) akan diperderetkan Deret Sinus, maka
an = 0
a0 = 0
2L
∫
nπx
bn = ƒ(x) sin dx ( karena L = π ), maka
L
L0
π
2
∫
x cos ax sin ax
= x sin nx dx , (Rumus ∫ x sin ax dx = - +
π0 a a2
)
π
2  1   1 
= x .  − n cos nx  −1 − n 2 sin nx 
π    0
π
 
2 x 1 
= − cos nx + 2 sin nx 
π n
 n 
  
 =0 0
2  −π 
= cos nπ − 0
π n
 
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

5. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 5 of 14
2
= − cos nπ
n
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

6. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 6 of 14
 1 n genap
2
bn = − cos nπ cos nπ = (-1) n
=
n
 − 1 n ganjil
2
∴ bn = − untuk n genap (b2=-2/2 = -1, b4=-2/4 = -1/2, .... )
n
2
= untuk n ganjil ( b1=2, b3=2/3, b5=2/5, ... )
n
⇒ uraian ƒ(x) menjadi deret fourier sinus :
∞
ƒ(x) = ∑b n sin nx
n=1
= b1 sin x + b2 sin 2x + b3 sin 3x + ...
2
= 2 sin x − sin 2x + sin 3x - ...
3
sin 2 x sin 3 x sin nx
= 2 (sin x − + −...( −1) n+1 ....)
2 3 n
∞
= 2 ∑(-1) n+1 sin nx
n
n=1
Soal 2). Perderetkan ƒ(x) = x, 0 < x < π dalam deret fourier Cosinus ½ jangkauan !
Jawab: Dalam deret fourier cosinus,
definisi fungsi diperluas sehingga menjadi fungsi genap dengan periode 2π
(perluasan ini dinamakan perluasan genap untuk ƒ(x))
ƒ(x)
π
x
-π π
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

7. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 7 of 14
Karena f(x) diperderetkan Cosinus ( fungsi genap), maka bn = 0,
ƒ(x) = x, 0 < x < π ,  L=π ( karena f(x), 0 < x < π ½ jangkauan )
a0 1π π
π2 π
∫
1 1 2  1
= x dx = 2 x  = π . =
π0
2 π 0 2 2
2π
an =
∫ ƒ(x) cos nx dx
π0
2π
=
∫ x cos nx dx
π0
π
 
2 1  1 
= x. sin nx −  − 2 cos nx 
π   n
n 

 =0 0
π
21  2
2 (cos nπ − 1)
= cos nx  =
π n2
 0 πn
 1 n genap
∴an = 0 untuk n genap (a2= a4= …=0) cos nπ = (-1) n
=
 − 1 n ganjil
−4 4 4
= 2 untuk n ganjil (a1=− , a3=− , …)
πn π 9π
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

8. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 8 of 14
π ∞
Jadi ƒ(x) = +∑a n cos nx
2 n =1
π 2 a cos 2 x 4 a cos 4 x + ...
= + a1 cos x +   + a3 cos 3x +  
   
2 =0 =0
π 4 4
− cos x −
= 2 π π. 9 cos 3x − …
π 4  cos x cos 3 x 
= −  2 + +...
2 π 1 32

π 4 ∞ cos (2n − 1) x
= − ∑
2 π n = 1 (2n − 1) 2
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

9. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 9 of 14
PEMBUKTIAN-PEMBUKTIAN
Soal 1). Tunjukkanlah bahwa sebuah fungsi genap f(x) dalam Fouriernya
tidak mempunyai suku-suku sinus.
Jawab: Metode 1:
Tidak terdapatnya suku – suku sinus terjadi jika bn = 0, n = 1,2,3,...
Akan dibuktikan bahwa bn = 0 pada fungsi genap f(x), seperti berikut :
1 L nπ x 1 0 nπ x 1 L nπ x
bn =
∫ − L f ( x) sin dx = ∫ − L f ( x) sin dx + ∫ 0 f ( x) sin dx ....(1)
L L L L L L
= I1 + I2
Jika dibuat transformasi x = -u pada integral pertama ( I1 ) di ruas kanan (1)
maka diperoleh dx = - du, batas-batas : x = - L  u = L, x = 0  u =0
1 0 nπ x 1 0  nπ u 
I1 =
f ( x) sin dx = ∫ f ( − u) sin −  (− )du
∫− L L L L  L  =
L
Karena f(x) atau f(u) fungsi genap, maka f(-u) = f(u), sehingga diperoleh
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

10. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 10 of 14
1  nπ u  1 nπ u
f ( − u ) sin  −  du = − f ( u ) sin
L L
I1 =
L ∫ 0
 L L ∫ 0 L
du
Atau
1 nπx
f ( x ) sin
L
I1 = −
L ∫0 L
dx = - I2 …………….. (2)
(2) masuk (1) diperoleh : bn = I1 + I2 = - I2 + I2 = 0 atau
1 L nπ x 1 L nπ x
bn =
− ∫ 0 f ( x) sin dx + ∫ 0 f ( x) sin dx = 0 ( Terbukti )
L L L L
Metode 2 : Akan dibuktikan, jika f(x) fungsi genap, maka deretnya
tidak mempunyai suku-suku sinus, dengan menggunakan
definisi Deret Fourier dari f(x):
∞ 
a0 nπx nπx 
Andaikan f(x) = + ∑ a n cos
 + bn sin 
2 n −1  L L 
a0 ∞ nπx nπx 
maka f(-x) = + ∑ an cos − bn sin 
2 n −1
 L L 
Karena f(x) fungsi genap , maka f(-x) = f(x), sehingga diperoleh identitas :
a0 ∞  nπx nπx  a0 ∞  nπx nπx 
+ ∑  an cos + bn sin = + ∑  an cos − bn sin 
2 n =1 L L  2 n =1 L L 
∞
 nπx  ∞  nπx  ∞  nπx  ∞  nπx 
∑a
 n cos  + ∑  bn sin
L  n =1 
 = ∑  a n cos
 
L  n =1 
 − ∑  bn sin
L  n =1  L 

n =1  
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

11. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 11 of 14
∞ nπx ∞ nπx
diperoleh 2 ∑ bn sin = 0, atau ∑ bn sin = 0, sehingga
n =1 L n =1 L
a0 ∞ nπx
diperoleh f(x) = + ∑ an cos
2 n=1 L
Terbukti jika f(x) fungsi genap maka Deretnya tidak mempunyai
suku – suku sinus.
Dengan cara yang sama kita dapat menunjukkan bahwa uraian Fourier
suatu fungsi ganjil tidak mempunyai suku–suku cosinus maupun konstan.
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

12. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 12 of 14
Soal 2). Jika ƒ(x) genap, buktikan bahwa
2 L nπx
(a). an = ∫ ƒ(x) cos dx,
L 0 L
(b). bn = 0
Bukti:
1 L nπx 1 0 nπx
(a) an = ∫ ƒ(x) cos dx = ∫ ƒ(x) cos +
L −L L
L −L L
1 L nπ x
∫ ƒ(x) dx
L −L L
Misalkan x = -u, maka
1 0 nπx 1 L − nπu
∫−L ƒ(x) cos
L
dx = ∫0 ƒ (-u) cos (
L
) du =
L L
1 L nπu
∫ ƒ (u) cos du
L 0 L
karena menurut definisi fungsi genap, ƒ (-u) = ƒ (u). Jadi
1 L nπu 1 L nπx
an = ∫ ƒ (u) cos du + ∫ ƒ(x) cos dx =
L 0 L
L 0 L
2 L nπx
∫ ƒ(x) cos dx
L 0 L
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

13. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 13 of 14
(b) Langsung diperoleh dengan Metode 1 di atas.
SOAL-SOAL LATIHAN
1. Sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut :
f(x) = 0 untuk π ≤ x ≤ 2π
1 untuk 0 < x ≤ π
Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier sinus ½ jangkauan !
2. Sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut :
f(x) = 0 untuk π ≤ x ≤ 2π
1 untuk 0 < x ≤ π
Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier cosinus ½ jangkauan !
3. Sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut :
f(x) = 1 untuk π ≤ x ≤ 2π
0 untuk 0 < x ≤ π
Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier sinus ½ jangkauan !
4. Sebuah fungsi didefinisikan sebagai berikut :
f(x) = 1 untuk π ≤ x ≤ 2π
0 untuk 0 < x ≤ π
Uraikanlah f(x) menjadi deret fourier cosinus ½ jangkauan !
5. Buktikan deret fourier dari f(x) = x, 0 < x < 2π adalah:
 sin x sin 2 x sin 3x 
f(x) = π - 2  + + + ......
 1 2 3 
6. Buktikan deret fourier dari f(x) = x, -π < x < π adalah:
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

14. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 14 of 14
 sin x sin 2 x sin 3 x 
f(x) = 2  − + − ...... 
 1 2 3 
7. Buktikan deret fourier dari f(x) = x2, -π < x < π adalah:
π2  cos x cos 2 x cos 3x 
f(x) = -4  2
− 2
+ 2
− ...... 
3  1 2 3 
8. Buktikan deret fourier dari f(x) = x (π - x), 0 < x < π adalah:
π2  cos 2 x cos 4 x cos 6 x 
f(x) = -  2
+ 2
+ 2
+ ......
6  1 2 3 
 1 0 < x < π
9. Buktikan deret fourier dari f(x) =  adalah:
 − 1 − π < x < 0
4  sin x sin 2 x sin 3 x 
f(x) =  + + + ...... 
π 1 2 3 
10. Buktikan deret fourier dari f(x) = π - x, -π < x < π adalah:
 sin x sin 2 x sin 3 x 
f(x) = π - 2  − + − ...... 
 1 2 3 
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

15. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 14 of 14
 sin x sin 2 x sin 3 x 
f(x) = 2  − + − ...... 
 1 2 3 
7. Buktikan deret fourier dari f(x) = x2, -π < x < π adalah:
π2  cos x cos 2 x cos 3x 
f(x) = -4  2
− 2
+ 2
− ...... 
3  1 2 3 
8. Buktikan deret fourier dari f(x) = x (π - x), 0 < x < π adalah:
π2  cos 2 x cos 4 x cos 6 x 
f(x) = -  2
+ 2
+ 2
+ ......
6  1 2 3 
 1 0 < x < π
9. Buktikan deret fourier dari f(x) =  adalah:
 − 1 − π < x < 0
4  sin x sin 2 x sin 3 x 
f(x) =  + + + ...... 
π 1 2 3 
10. Buktikan deret fourier dari f(x) = π - x, -π < x < π adalah:
 sin x sin 2 x sin 3 x 
f(x) = π - 2  − + − ...... 
 1 2 3 
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

16. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 14 of 14
 sin x sin 2 x sin 3 x 
f(x) = 2  − + − ...... 
 1 2 3 
7. Buktikan deret fourier dari f(x) = x2, -π < x < π adalah:
π2  cos x cos 2 x cos 3x 
f(x) = -4  2
− 2
+ 2
− ...... 
3  1 2 3 
8. Buktikan deret fourier dari f(x) = x (π - x), 0 < x < π adalah:
π2  cos 2 x cos 4 x cos 6 x 
f(x) = -  2
+ 2
+ 2
+ ......
6  1 2 3 
 1 0 < x < π
9. Buktikan deret fourier dari f(x) =  adalah:
 − 1 − π < x < 0
4  sin x sin 2 x sin 3 x 
f(x) =  + + + ...... 
π 1 2 3 
10. Buktikan deret fourier dari f(x) = π - x, -π < x < π adalah:
 sin x sin 2 x sin 3 x 
f(x) = π - 2  − + − ...... 
 1 2 3 
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT

17. 15044-9-594441735220-130327155443-phpapp02.doc
Page 14 of 14
 sin x sin 2 x sin 3 x 
f(x) = 2  − + − ...... 
 1 2 3 
7. Buktikan deret fourier dari f(x) = x2, -π < x < π adalah:
π2  cos x cos 2 x cos 3x 
f(x) = -4  2
− 2
+ 2
− ...... 
3  1 2 3 
8. Buktikan deret fourier dari f(x) = x (π - x), 0 < x < π adalah:
π2  cos 2 x cos 4 x cos 6 x 
f(x) = -  2
+ 2
+ 2
+ ......
6  1 2 3 
 1 0 < x < π
9. Buktikan deret fourier dari f(x) =  adalah:
 − 1 − π < x < 0
4  sin x sin 2 x sin 3 x 
f(x) =  + + + ...... 
π 1 2 3 
10. Buktikan deret fourier dari f(x) = π - x, -π < x < π adalah:
 sin x sin 2 x sin 3 x 
f(x) = π - 2  − + − ...... 
 1 2 3 
Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.S
KALKULUS LANJUT