Questões de matemática da prova da FUVEST.

1. FUVEST 2011 - ABERTA
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01. (Fuvest 2011) No plano cartesiano 0xy, considere a parábola P de equação 2
y 4x 8x 12
=
− + + e a reta r de equação
y 3x 6.
= + Determine:
a) Os pontos A e B, de intersecção da parábola P com o eixo coordenado 0x, bem como o vértice V da parábola P.
b) O ponto C, de abscissa positiva, que pertence à intersecção de P com a reta r.
c) A área do quadrilátero de vértices A, B, C e V.
02. (Fuvest 2011) a) Quantos são os números inteiros positivos de quatro algarismos, escolhidos sem repetição, entre 1,
3, 5, 6, 8, 9?
b) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 5?
c) Dentre os números inteiros positivos de quatro algarismos citados no item a), quantos são divisíveis por 4?

2. FUVEST 2011 - ABERTA
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03. (Fuvest 2011) Para a prova de um concurso vestibular, foram elaboradas 14 questões, sendo 7 de Português, 4 de
Geografia e 3 de Matemática. Diferentes versões da prova poderão ser produzidas, permutando-se livremente essas 14
questões.
a) Quantas versões distintas da prova poderão ser produzidas?
b) A instituição responsável pelo vestibular definiu as versões classe A da prova como sendo aquelas que seguem o
seguinte padrão: as 7 primeiras questões são de Português, a última deve ser uma questão de Matemática e, ainda
mais: duas questões de Matemática não podem aparecer em posições consecutivas. Quantas versões classe A distintas
da prova poderão ser produzidas?
c) Dado que um candidato vai receber uma prova que começa com 7 questões de Português, qual é a probabilidade de
que ele receba uma versão classe A?
04. (Fuvest 2011) Na figura abaixo, o cubo de vértices A, B, C, D, E, F, G, H tem lado ℓ. Os pontos M e N são pontos médios
das arestas AB e BC , respectivamente. Calcule a área da superfície do tronco de pirâmide de vértices M, B, N, E, F, G.

3. FUVEST 2011 - ABERTA
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05. (Fuvest 2011) As raízes da equação do terceiro grau x3
-14x2
+ kx – 64 = 0, são todas reais e formam uma progressão
geométrica. Determine
a) as raízes da equação
b) o valor de k
06. (Fuvest 2011) Determine o conjunto de todos os números reais x para os quais vale a desigualdade
( ) ( )
2
16 4
1
log 1 x log 1 x .
2
− − + <

4. FUVEST 2011 - ABERTA
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07. (Fuvest 2011) Define-se geometricamente a razão áurea do seguinte modo: O ponto C da figura abaixo divide o
segmento AB na razão áurea quando os valores AC/AB e CB/AC são iguais. Esse valor comum é chamado “razão áurea”.
A razão áurea, também denominada proporção áurea, número de ouro ou divina proporção, conquistou a imaginação
popular e é tema de vários livros e artigos. Em geral, suas propriedades matemáticas estão corretamente enunciadas, mas
muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética são falsas ou equivocadas.
Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas e adquiriram status de senso comum.
Mesmo livros de geometria utilizados no ensino médio trazem conceitos incorretos sobre ela.
a) Reescreva o trecho “(...) mas muitas afirmações feitas sobre ela na arte, na arquitetura, na literatura e na estética são
falsas ou equivocadas”, substituindo a conjunção que o inicia por “embora”, com as devidas alterações.
b) O verbo da oração “Infelizmente, essas afirmações sobre a razão áurea foram amplamente divulgadas” está na voz
passiva analítica. Reescreva-a com o verbo na voz passiva sintética, fazendo as devidas alterações.
c) Na figura a seguir, o polígono ADEFG é um pentágono regular. Utilize semelhança de triângulos para demonstrar que o
ponto C da figura divide o segmento AB na razão áurea.

5. FUVEST 2011 - ABERTA
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08. (Fuvest 2011) As circunferências C1 e C2 estão centradas em O1 e O2, têm raios r1 = 3 e r2 = 12, respectivamente, e
tangenciam-se externamente. Uma reta t é tangente a C1 no ponto P1, tangente a C2 no ponto P2 e intercepta a reta 1 2
O O

no ponto Q. Sendo assim, determine
a) o comprimento P1P2;
b) a área do quadrilátero O1O2 P2P1;
c) a área do triângulo QO2P2.
09. (Fuvest 2011) a) Sendo i a unidade imaginária, determine as partes real e imaginária do número complexo
0
1 1
z i.
1 i 2i
= − +
+
b) Determine um polinômio de grau 2, com coeficientes inteiros, que tenha z0 como raiz.
c) Determine os números complexos w tais que z0 . w tenha módulo igual a 5 2 e tais que as partes real e imaginária de
z0 . w sejam iguais.
d) No plano complexo, determine o número complexo z1 que é o simétrico de z0 com relação à reta de equação y – x = 0.

6. FUVEST 2011 - ABERTA
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QUESTÃO 1
a) V = (1,16)
b) C (2,12)
c) A = 36
QUESTÃO 2
a) 360
b) 60
c) 60
QUESTÃO 3
a) 14!
b) 7! 4! 3! 6 4.354.560
⋅ ⋅ ⋅ =
c)
7! 4! 3! 6 6
P
7! 7! 35
⋅ ⋅ ⋅
= =
⋅
QUESTÃO 4
A =
2
13
4

QUESTÃO 5
a) 2, 4 e 8
b) k = 56
QUESTÃO 6
3 3
S x R / x
5 5
 
= ∈ − < <
 
 
QUESTÃO 7
a) “(...) embora muitas afirmações feitas sobre ela na
arte, na arquitetura, na literatura e na estética sejam
falsas e equivocadas”.
b) “Infelizmente, divulgaram-se amplamente essas
afirmações sobre a razão áurea”.
c) PAC ~ MBC
∆ ∆
y x
x y y
AC BC
AB AC
=
+
=
Portanto, C divide o segmento AB na razão áurea.
QUESTÃO 8
a) x = 12
b) 𝐴𝐴 = 90
c) A = 96
QUESTÃO 9
a) Parte real =
1
2
e parte imaginária = 1.i
b) 4x2
– 4x + 5 = 0
c) W = −6 + 2𝑖𝑖
d) Z1 = 1 +
1
.i
2