The document contains 8 math problems from a university entrance exam in Brazil (Fuvest). Problem 1 involves finding the possible values of x in an arithmetic progression and calculating the sum of the first 100 terms using the smallest value of x. Problem 2 involves graphing a piecewise defined function f over several intervals, finding the area under the graph over two intervals, and determining the value of f(4). Problem 3 involves counting the number of ways to separate 16 children into 4 groups under certain constraints and calculating a probability involving the chances of boys and girls winning a tournament. The remaining problems involve calculating volumes, lengths, areas, polynomials, and trigonometric functions.

1. FUVEST 2012 - ABERTA
1
01. (Fuvest 2012) Considere uma progressão aritmética cujos três primeiros termos são dados por
2
1 2 3
a 1 x, a 6x, a 2x 4
=
+ = = + em que x é um número real.
a) Determine os possíveis valores de x.
b) Calcule a soma dos 100 primeiros termos da progressão aritmética correspondente ao menor valor de x encontrado no
item a).
02. (Fuvest 2012) Observe o gráfico abaixo.
Considere a função f, cujo domínio é o intervalo fechado [0, 5] e que está definida pelas condições:
- para 0 x 1
≤ ≤ , tem-se f(x) = 3x + 1;
- para 1 x 2
< < , tem-se f(x) 2x 6
=
− + ;
- f é linear no intervalo [2, 4] e também no intervalo [4, 5], conforme mostra a figura ao lado;
- a área sob o gráfico de f no intervalo [2, 5] é o triplo da área sob o gráfico de f no intervalo [0, 2].
a) desenhe, no sistema de coordenadas indicado a seguir, o gráfico de f no intervalo [0, 2];
b) determine a área sob o gráfico de f no intervalo [0, 2];
c) determine f (4).

2. FUVEST 2012 - ABERTA
2
03. (Fuvest 2012)
a) Dez meninas e seis meninos participarão de um torneio de tênis infantil. De quantas maneiras distintas essas 16 crianças
podem ser separadas nos grupos A, B, C e D, cada um deles com 4 jogadores, sabendo que os grupos A e C serão
formados apenas por meninas e o grupo B, apenas por meninos?
b) Acontecida a fase inicial do torneio, a fase semifinal terá os jogos entre Maria e João e entre Marta e José. Os vencedores
de cada um dos jogos farão a final. Dado que a probabilidade de um menino ganhar de uma menina é 3 5 , calcule a
probabilidade de uma menina vencer o torneio.
04. (Fuvest 2012) A base do tetraedro PABCD é o quadrado ABCD de lado  , contido no plano α .
Sabe-se que a projeção ortogonal do vértice P no plano α está no semiplano de α determinado pela reta BC


e que não
contém o lado AD . Além disso, a face BPC é um triângulo isósceles de base BC cuja altura forma, com o plano α , um
ângulo θ , em que 0 2
θ π
< < . Sendo PB 2/2
=  , determine, em função de  e θ ,
a) o volume do tetraedro PABCD;
b) a altura do triângulo APB relativa ao lado AB ;
c) a altura do triângulo APD relativa ao lado AD .

3. FUVEST 2012 - ABERTA
3
05. (Fuvest 2012) Determine para quais valores reais de x é verdadeira a desigualdade 2
x 10x 21 3x 15
− + ≤ − .
06. (Fuvest 2012) Na figura, a circunferência de centro 0 é tangente à reta CD

no ponto D, o qual pertence à reta AO

.
Além disso, A e B são pontos da circunferência, AB 6 3
= e BC 2 3
= . Nessas condições, determine
a) a medida do segmento CD ;
b) o raio da circunferência;
c) a área do triângulo AOB;
d) a área da região hachurada na figura.

4. FUVEST 2012 - ABERTA
4
07. (Fuvest 2012) O polinômio 4 3 2
p(x) x ax bx cx 8
= + + + − , em que a, b, c são números reais, tem o número complexo
1 + i como raiz, bem como duas raízes simétricas.
a) Determine a, b, c e as raízes de p(x).
b) Subtraia 1 de cada uma das raízes de p(x) e determine todos os polinômios com coeficientes reais, de menor grau, que
possuam esses novos valores como raízes.
08. (Fuvest 2012) No triângulo acutângulo ABC, ilustrado na figura, o comprimento do lado BC mede 15/5 , o ângulo
interno de vértice C mede α , e o ângulo interno de vértice B mede 2
α .
Sabe-se, também, que 2 cos(2 ) 3cos 1 0
α α
+ + = . Nessas condições, calcule
a) o valor de sen α
b) o comprimento do lado AC .

5. FUVEST 2012 - ABERTA
5
QUESTÃO 1
a) Os possíveis valores de x são
1
5 ou x =
2
b) 7575
QUESTÃO 2
a)
b)
𝐴𝐴 =
11
2
c)
( )
29
f 4
3
=
QUESTÃO 3
a) 47250
b)
44
125
QUESTÃO 4
a) V =
ℓ3.senθ
6
b) ℎ =
ℓ.√1+𝑠𝑠𝑠𝑠𝑛𝑛2𝜃𝜃
2
c) 𝑑𝑑 =
ℓ
2
√5 + 4. 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃
QUESTÃO 5
𝑠𝑠 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ/1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 4 𝑜𝑜𝑜𝑜 6 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 9}
QUESTÃO 6
a) 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 4√3
b) 𝑟𝑟 = 6
c) 𝐴𝐴 = 9. √3
d) 𝐴𝐴 = 3 ⋅ �4𝜋𝜋 − 3√3�
QUESTÃO 7
a) a 2, c 2 e c 8.
=
− =
− =
b) Para k diferente de zero.
QUESTÃO 8
a) sen 𝛼𝛼 =
√15
4
b) x =
2√15
15