1) A body slides down a logarithmic slide due to gravity. Its coordinates (x, y) belong to the graph of the function f(x) = 1/2 log(x) + 4. It starts from rest at point A and reaches the ground at point B. 2) The intersections of the graph of the function f(x) = m/x^n - 2 with the axes are analyzed for different values of m and n. 3) The lengths of successive similar triangles constructed from an equilateral triangle are shown to form a geometric progression.

1. FUVEST 2014 - ABERTA
1
01. (Fuvest 2014) Um corpo de massa M desliza sem atrito, sujeito a uma força gravitacional vertical uniforme, sobre um
“escorregador logarítmico”: suas coordenadas (x, y) no plano cartesiano, que representam distâncias medidas em
metros, pertencem ao gráfico da função 1
2
f(x) log x 4.
= + O corpo começa sua trajetória, em repouso, no ponto A, de
abscissa x 1,
= e atinge o chão no ponto B, de ordenada y 0,
= conforme figura abaixo.
Não levando em conta as dimensões do corpo e adotando 2
10 m s como o valor da aceleração da gravidade,
a) encontre a abscissa do ponto B;
b) escreva uma expressão para a energia mecânica do corpo em termos de sua massa M, de sua altura y e de sua
velocidade escalar v;
c) obtenha a velocidade escalar v como função da abscissa do ponto ocupado pelo corpo;
d) encontre a abscissa do ponto a partir do qual v é maior do que 60 m s.
02. (Fuvest 2014) Dados m e n inteiros, considere a função f definida por
m
f(x) 2 ,
x n
= −
+
para x n.
≠ −
a) No caso em que m n 2,
= = mostre que a igualdade f( 2) 2
= se verifica.
b) No caso em que m n 2,
= = ache as interseções do gráfico de f com os eixos coordenados.
c) No caso em que m n 2,
= = esboce a parte do gráfico de f em que x 2,
> − levando em conta as informações obtidas nos
itens a) e b). Utilize o par de eixos dado na página de respostas.
d) Existe um par de inteiros (m,n) (2,2)
≠ tal que a condição f( 2) 2
= continue sendo satisfeita?2

2. FUVEST 2014 - ABERTA
2
03. (Fuvest 2014) Considere o triângulo equilátero 0 0
A OB
Δ de lado 7cm.
a) Sendo 1
A o ponto médio do segmento 0 0
A B , e B1 o ponto simétrico de 1
A em relação à reta determinada por O e
0
B , determine o comprimento de 1
OB .
b) Repetindo a construção do item a), tomando agora como ponto de partida o triângulo 1 1
A OB ,
Δ pode‐se obter o
triângulo 2 2
A OB
Δ tal que 2
A é o ponto médio do segmento 1 1
A B , e 2
B o ponto simétrico de 2
A em relação à reta
determinada por O e 1
B . Repetindo mais uma vez o procedimento, obtém‐se o triângulo 3 3
A OB .
Δ Assim,
sucessivamente, pode‐se construir uma sequência de triângulos n n
A OB
Δ tais que, para todo n
n 1, A
≥ é o ponto médio
de n 1 n 1
A B ,
− − e n
B , o ponto simétrico de n
A em relação à reta determinada por O e n 1
B ,
− conforme figura abaixo.
Denotando por n
a , para n 1,
≥ o comprimento do segmento n 1 n
A A ,
− verifique que 1 2 3
a ,a ,a , ... é uma progressão
geométrica. Determine sua razão.
c) Determine, em função de n, uma expressão para o comprimento da linha poligonal 0 1 2 n
A A A ...A ,n 1.
≥
O ponto P’ é simétrico ao ponto P em relação à reta r se o segmento PP' é
perpendicular à reta r e a interseção de PP' e r é o ponto médio de PP'.

3. FUVEST 2014 - ABERTA
3
04. (Fuvest 2014) Um recipiente hermeticamente fechado e opaco contém bolas azuis e bolas brancas. As bolas de mesma
cor são idênticas entre si e há pelo menos uma de cada cor no recipiente. Na tentativa de descobrir quantas bolas de cada
cor estão no recipiente, usou‐se uma balança de dois pratos. Verificou‐se que o recipiente com as bolas pode ser
equilibrado por:
i) 16 bolas brancas idênticas às que estão no recipiente ou
ii) 10 bolas brancas e 5 bolas azuis igualmente idênticas às que estão no recipiente ou
iii) 4 recipientes vazios também idênticos ao que contém as bolas.
Sendo PA, PB e PR, respectivamente, os pesos de uma bola azul, de uma bola branca e do recipiente na mesma unidade de
medida, determine
a) os quocientes A
B
P
P
e R
B
P
;
P
b) o número A
n de bolas azuis e o número B
n de bolas brancas no recipiente.
05. (Fuvest 2014) Deseja-se formar uma comissão composta por sete membros do Senado Federal brasileiro, atendendo
às seguintes condições: (i) nenhuma unidade da Federação terá dois membros na comissão, (ii) cada uma das duas regiões
administrativas mais populosas terá dois membros e (iii) cada uma das outras três regiões terá um membro.
a) Quantas unidades da Federação tem cada região?
b) Chame de N o número de comissões diferentes que podem ser formadas (duas comissões são consideradas iguais
quando têm os mesmos membros). Encontre uma expressão para N e simplifique-a de modo a obter sua decomposição
em fatores primos.
c) Chame de P a probabilidade de se obter uma comissão que satisfaça as condições exigidas, ao se escolher sete senadores
ao acaso. Verifique que P 1/ 50.
<
Segundo a Constituição da República Federativa do Brasil – 1988,
cada unidade da Federação é representada por três senadores.

4. FUVEST 2014 - ABERTA
4
06. (Fuvest 2014) Considere a circunferência λ de equação cartesiana 2 2
x y 4y 0
+ − =e a parábola α de equação
2
y 4 x .
= −
a) Determine os pontos pertencentes à interseção de λ com .
α
b) Desenhe, no par de eixos dado na página de respostas, a circunferência λ e a parábola .
α Indique, no seu desenho, o
conjunto dos pontos (x,y), que satisfazem, simultaneamente, as inequações 2 2
x y 4y 0
+ − ≤ e 2
y 4 x .
≥ −
07. (Fuvest 2014) Os coeficientes a, b e c do polinômio 3 2
p(x) x ax bx c
= + + + são reais. Sabendo que 1
− e 1 i,
α
+ com
0,
α > são raízes da equação p(x) 0
= e que o resto da divisão de p(x) por (x 1)
− é 8, determine
a) o valor de ;
α
b) o quociente de p(x) por (x 1).
+

5. FUVEST 2014 - ABERTA
5
08. (Fuvest 2014) Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha,
no ponto P, conforme a figura abaixo.
A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento PR, e
o ângulo agudo formado por PR e L mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua
trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo α com o lado L antes
e depois da reflexão. Determine a tangente de α e o seno de .
θ

6. FUVEST 2014 - ABERTA
6
QUESTÃO 1
a) x = 16
b) 𝐸𝐸𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚𝑚 = 𝑀𝑀 �
𝑣𝑣2
2
+ 10𝑦𝑦� 𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢𝑢 𝑑𝑑𝑑𝑑 𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒𝑒
c) 2
v 20 log x
= unidades de velocidade.
d) 𝑥𝑥 > 8
QUESTÃO 2
a) √2
b) ( 1, 0).
−
c)
d) m n 2.
= =
QUESTÃO 3
a)
7 3
cm.
2
b)
3
.
2
c)
n
n
3
1
2
7 3
7(2 3) 1 cm.
2 2
3
1
2
 
−    
   
   
⋅ = + −  
 
 
 
−  
QUESTÃO 4
a)
𝑃𝑃𝐴𝐴
𝑃𝑃𝐵𝐵
=
6
5
e
𝑃𝑃𝑅𝑅
𝑃𝑃𝐵𝐵
= 4
b) A
n 5
= e B
n 6.
=
QUESTÃO 5
a) A região Norte possui 7 unidades, a Nordeste 9, a
Centro-Oeste 4, a Sudeste 4, e a Sul 3.
b) 7 5 11
N 36 6 7 4 3 3 2 3 7.
= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅
c)
18 63
,
19 79
e
108
143
QUESTÃO 6
a) (±√3, 1) ou (0, 4)
b) ( 3,1)
− e ( 3,1).
QUESTÃO 7
a) 𝛼𝛼 = 2
b) 𝑥𝑥2
− 2𝑥𝑥 + 5
QUESTÃO 8
𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 𝜃𝜃 =
√21
7