Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
COMPLEXOS

2. COMPLEXOS
1
01. (Esc. Naval 2014) Sabendo que z é o número complexo
1 3
z i,
2 2
= + qual o menor inteiro positivo n, para o qual
o produto 2 3 n
z z z z
  é um real positivo?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
02. (Esc. Naval 2014) Desenha-se no plano complexo o triângulo T com vértices nos pontos correspondentes aos
números complexos 1 2 3
z , z , z , que são raízes cúbicas da unidade. Desenha-se o triângulo
S, com vértices nos pontos correspondentes aos números complexos 1 2 3
w , w , w , que são raízes cúbicas de 24 3.
Se A é a área de T e B é a área de S, então
a) B 12A
=
b) B 18A
=
c) B 24A
=
d) B 36A
=
e) B 42A
=
03. (Espcex 2014) Sendo z o número complexo obtido na rotação de 90°, em relação à origem, do número complexo
1 + i, determine z3
a) 1 – i
b) – 1 + i
c) – 2i
d) – 1 – 2i
e) 2 + 2i
04. (Ita 2014) Sejam 𝑧, 𝑤 ∈ ℂ. Das afirmações:
I. ( )
2 2 2 2
z w z w 2 z w ;
+ + − = +
II. ( ) ( )
2 2
z w z w 4zw;
+ − − =
III. ( )
2
z w z w 2 4Re zw ,
+ − − =
é(são) verdadeira(s)
a) apenas I
b) apenas I e II
c) apenas I e III
d) apenas II e III
e) todas
05. (Esc. Naval 2014) Se z é o conjugado do número complexo z, então o número de soluções da equação 2
z z
= é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4

3. COMPLEXOS
2
06. (Epcar 2014) Considere no plano complexo, o conjunto dos números z x yi ;
= + {𝑥, 𝑦} ⊂ ℝ e 2
i 1
= − que
satisfazem a condição | z | | 2z 1|
 +
É falso afirmar que
a) este conjunto pode ser representado por um círculo de raio igual a
1
3
b) z 1
= − é o elemento de maior módulo, neste conjunto.
c)
1
z
3
= − é o elemento de maior argumento, neste conjunto.
d) não existe z, neste conjunto, que seja imaginário puro.
07. (Espcex 2013) A figura geométrica formada pelos afixos das raízes complexas da equação 3
x 8 0
− = tem área igual
a
a) 7 3
b) 6 3
c) 5 3
d) 4 3
e) 3 3
08. (Espcex 2013) Sendo Z o conjugado do número complexo Z e i a unidade imaginária, o número complexo Z que
satisfaz à condição Z 2Z 2 Zi
+ = − é
a) z 0 1i
= +
b) z 0 0i
= +
c) z 1 0i
= +
d) z 1 i
= +
e) z 1– i
=
09. (Ita 2013) Considere a equação em ℂ, ( )4
z 5 3i 1
.
− + = Se 0
z é a solução que apresenta o menor argumento
principal dentre as quatro soluções, então o valor de 0
| z | é
a) 29.
b) 41.
c) 3 5.
d) 4 3.
e) 3 6.
10. (Esc. Naval 2013) Qual valor de n,n inteiro maior que zero, para que ( )n
1 i
+ seja um número real?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6

4. COMPLEXOS
3
11. (Ime 2013) Seja o número complexo
( )2
a
z ,
ib 1 ib
=
+
onde a e b são números reais positivos e i 1.
= − Sabendo
que o módulo e o argumento de z valem, respectivamente, 1 e ( )
– rd,
π o valor de a é
a)
1
4
b)
1
2
c) 1
d) 2
e) 4
12. (Esc. Naval 2013) Os números complexos z e w são representados no plano xy pelos pontos A e B,
respectivamente. Se z 2w 5wi
= + e w 0,
 então o cosseno do ângulo AOB, onde O é a origem, é igual a
a)
26
26
b)
26
13
c)
2 29
29
d)
29
29
e)
3 26
26
13. (Ita 2013) A soma das raízes da equação em ℂ, 8 4
z 17z 16 0,
− + = tais que z | z | 0,
− = é
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
14. (Ita 2013) Seja λ solução real da equação 9 2 17 12.
λ λ
+ + + = Então a soma das soluções z, com Re z 0,
 da
equação 4
z 32,
λ
= − é
a) 2.
b) 2 2.
c) 4 2.
d) 4.
e) 16.
15. (Epcar 2013) Considerando os números complexos 1
z e 2
z , tais que:
— 1
z é a raiz cúbica de 8i que tem afixo no segundo quadrante
— 2
z é raiz da equação 4 2
x x 12 0
+ − = e ( )
2
Im z 0

Pode-se afirmar que 1 2
z z
+ é igual a
a) 2 3
b) 3 3
+
c) 1 2 2
+
d) 2 2 2
+

5. COMPLEXOS
4
16. (Epcar 2012) O valor de n tal que ( )
n
j
j 1
1+i = 31+ i,
=
 sendo i a unidade imaginaria, é
a) par menor que 10
b) primo maior que 8
c) ímpar menor que 7
d) múltiplo de 9
17. (Esc. Naval 2012) Seja p a soma dos módulos das raízes da equação 3
x 8 0
+ = e q o módulo do número complexo
Z, tal que ZZ 108,
= onde Z é o conjugado de Z. Uma representação trigonométrica do número complexo p+qi é
a) 12 cos i sen
3 3
π π
 
+
 
 
b) 20 cos i sen
3 3
π π
 
+
 
 
c) 12 cos i sen
6 6
π π
 
+
 
 
d) 20 2 cos i sen
6 6
π π
 
+
 
 
e) 10 cos i sen
3 3
π π
 
+
 
 
18. (Espcex 2012) Seja o número complexo
+
=
+
x yi
z ,
3 4i
com x e y reais e = −
2
i 1. Se + =
2 2
x y 20, então o módulo de z
é igual a
a) 0
b) 5
c)
2 5
5
d) 4
e) 10
19. (Ime 2012) As raízes cúbicas da unidade, no conjunto dos números complexos, são representadas por 1, w e w2
,
onde w é um número complexo. O intervalo que contém o valor de ( )6
1– w é
a) ( , 30]
− −
b) ( 30, 10
− − 

c) ( 10, 10
− 

d) (10,30

e) (30, )

20. (Ita 2012) Se arg z
4
π
= , então um valor para arg (−2iz) é
a)
2
π
− b)
4
π
c)
2
π
d)
3
4
π
e)
7
4
π

6. COMPLEXOS
5
GABARITO
1 - C 2 - A 3 - E 4 - E 5 - E
6 - C 7 - E 8 - D 9 - B 10 - C
11 - D 12 - C 13 - C 14 - B 15 - A
16 - D 17 - A 18 - C 19 - B 20 - E