Questões de matemática da prova da FUVEST.

1. FUVEST 2015 - ABERTA
1
01. (Fuvest 2015) A função f está definida da seguinte maneira: para cada inteiro ímpar n,
( )
x n 1 , se n 1 x n
f(x)
n 1 x, se n x n 1
 − − − ≤ ≤
= 
+ − ≤ ≤ +

a) Esboce o gráfico de f para 0 x 6.
≤ ≤
b) Encontre os valores de x, 0 x 6,
≤ ≤ tais que
1
f(x) .
5
=
02. (Fuvest 2015) Um “alfabeto minimalista” é constituído por apenas dois símbolos, representados por * e #. Uma
palavra de comprimento n, n 1,
≥ é formada por n escolhas sucessivas de um desses dois símbolos. Por exemplo, # é uma
palavra de comprimento 1 e #* * # é uma palavra de comprimento 4.
Usando esse alfabeto minimalista,
a) quantas palavras de comprimento menor do que 6 podem ser formadas?
b) qual é o menor valor de N para o qual é possível formar 1.000.000 de palavras de tamanho menor ou igual a N?
03. (Fuvest 2015) Em uma transformação química, há conservação de massa e dos elementos químicos envolvidos, o que
pode ser expresso em termos dos coeficientes e índices nas equações químicas.
a) Escreva um sistema linear que represente as relações entre os coeficientes x, y, z e w na equação química
8 18 2 2 2
x C H y O z CO w H O
+ → +
b) Encontre todas as soluções do sistema em que x, y, z e w são inteiros positivos.
04. (Fuvest 2015) No cubo ABCDEFGH, representado na figura abaixo, cada aresta tem medida 1. Seja M um ponto na
semirreta de origem A que passa por E. Denote por θ o ângulo BMH e por x a medida do segmento AM.

2. FUVEST 2015 - ABERTA
2
a) Exprima cos θ em função de x.
b) Para que valores de x o ângulo θ é obtuso?
c) Mostre que, se x 4,
= então θ mede menos do que 45 .
°
05. (Fuvest 2015) Resolva as inequações:
a) 3 2
x x 6x 0;
− − >
b) ( )
3 2
2
log x x 6x 2.
− − ≤
06. (Fuvest 2015) Na figura abaixo, a circunferência de centro em O e raio r tangencia o lado BC do triângulo ABC no
ponto D e tangencia a reta AB


no ponto E. Os pontos A, D e O são colineares, AD 2r
= e o ângulo ACO é reto.
Determine, em função de r,
a) a medida do lado AB do triângulo ABC;
b) a medida do segmento CO.
07. (Fuvest 2015) Resolva os três itens abaixo.
a) Calcule ( )
cos 3 8
π e ( )
sen 3 8 .
π
b) Dado o número complexo z 2 2 i 2 2,
= − + + encontre o menor inteiro n 0
> para o qual n
z seja real.
c) Encontre um polinômio de coeficientes inteiros que possua z como raiz e que não possua raiz real.

3. FUVEST 2015 - ABERTA
3
QUESTÃO 1
a)
b)
1
x
5
= ou
9
x
5
= ou
11
x
5
= ou
19
x
5
= ou
21
x
5
= ou
29
x .
5
=
QUESTÃO 2
a) 2 4 9 16 32 62.
+ + + + =
b) N = 19
QUESTÃO 3
a)
z 8x
w 9x
2y 2z w
=


=

 = +

b) 𝑆𝑆 = {(2𝛼𝛼, 25𝛼𝛼, 16𝛼𝛼, 18𝛼𝛼) 𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝𝑝 𝛼𝛼 ∈ ℕ ∗}
QUESTÃO 4
a) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝜃𝜃 =
𝑥𝑥2−𝑥𝑥
√𝑥𝑥2−2𝑥𝑥+2⋅√𝑥𝑥2+1
b) {𝑥𝑥 ∈ ℝ/0 < 𝑥𝑥 < 1}
c)
12 144
x 4 cos
170 170
θ
=
⇒ =
QUESTÃO 5
a) 𝑆𝑆 = {𝑥𝑥 ∈ ℝ/−2 < 𝑥𝑥 < 0 ou x > 3}
b) [ [
S 2, 1 5 1, 0 3, 1 5
   
= − − ∪ − ∪ +
   
QUESTÃO 6
a) 𝐴𝐴𝐴𝐴 =
3⋅𝑟𝑟⋅√2
2
b) 𝐶𝐶𝐶𝐶 = 𝑟𝑟 ⋅ √3
QUESTÃO 7
a) 𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠𝑠 �
3𝜋𝜋
8
� =
�2+√2
2
b) n = 8
c) 8
z 256 0.
+ =