Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
CÔNICAS

2. CÔNICAS
1
01. (Ime 2016) O lugar geométrico dos pontos em ℝ2
equidistantes às retas de equações 4x 3y 2 0
+ − = e
12x 16y 5 0
− + = é
a) 4x 28y 13 0
+ + =
b) 8x 7y 13 0
− − =
c) 28x 4y 3 0
− − =
d) 2 2
56x 388y 184x 56y 16y 19 0
+ − − − + =
e) 2 2
112x 768xy 376x 112y 32y 39 0
+ − − − + =
02. (Ime 2015) Determine o produto dos valores máximo e mínimo de y que satisfazem às inequações
2
2x 12x 10 5y 10 2x
− + ≤ ≤ − para algum valor de x.
a) 3,2
−
b) 1,6
−
c) 0
d) 1,6
e) 3,2
03. (Espcex 2015) Uma reta t passa pelo ponto A( 3,0)
− e é tangente à parábola de equação 2
x 3y
= no ponto P.
Assinale a alternativa que apresenta uma solução correta de acordo com essas informações.
a) t : x 10y 3 0
− + = e P(27,3)
b) t : 2x 15y 6 0
− + = e P(12,2)
c) t : 2x 15y 6 0
− + = e P(12, 2)
−
d) t : y 0
= e P(0,0)
e) t : x 6y 3 0
+ + = e P(3, 1)
−
04. (Ita 2015) Considere as afirmações a seguir:
I. O lugar geométrico do ponto médio de um segmento AB, com comprimento l fixado, cujos extremos se deslocam
livremente sobre os eixos coordenados é uma circunferência.
II. O lugar geométrico dos pontos (x,y) tais que 3 2 2 2
6x x y xy 4x 2xy 0
+ − − − =
é um conjunto finito no plano
cartesiano ℝ2
.
III. Os pontos (2,3), (4, 1)
− e (3,1) pertencem a uma circunferência.
Destas, é (são) verdadeira(s)
a) apenas I
b) apenas II
c) apenas III
d) I e II
e) I e III
05. (Espcex 2014) Sobre a curva 9x2
+ 25y2
– 36x + 50y – 164 = 0, assinale a alternativa correta.
a) Seu centro é (– 2,1).
b) A medida do seu eixo maior é 25.
c) A medida do seu eixo menor é 9.
d) A distância focal é 4.
e) Sua excentricidade é 0,8.

3. CÔNICAS
2
06. (Ime 2014) Uma elipse cujo centro encontra-se na origem e cujos eixos são paralelos ao sistema de eixos
cartesianos possui comprimento da semi-distância focal igual a 3 e excentricidade igual a
3
.
2
Considere que os
pontos A, B, C e D representam as interseções da elipse com as retas de equações y x
= e y x.
= − A área do
quadrilátero ABCD é
a) 8
b) 16
c)
16
3
d)
16
5
e)
16
7
07. (Epcar 2013) Sobre a circunferência de menor raio possível que circunscreve a elipse de equação
2 2
x 9y 8x 54y 88 0
+ − − + =
é correto afirmar que
a) tem raio igual a 1.
b) tangencia o eixo das abscissas.
c) é secante ao eixo das ordenadas.
d) intercepta a reta de equação 4x – y 0.
=
08. (Ime 2013) Considere uma haste AB de comprimento 10 m. Seja um ponto P localizado nesta haste a 7 m da
extremidade A. A posição inicial desta haste é horizontal sobre o semieixo x positivo, com a extremidade A localizada
na origem do plano cartesiano. A haste se desloca de forma que a extremidade A percorra o eixo y, no sentido positivo,
e a extremidade B percorra o eixo x, no sentido negativo, até que a extremidade B esteja sobre a origem do plano
cartesiano. A equação do lugar geométrico, no primeiro quadrante, traçado pelo ponto P ao ocorrer o deslocamento
descrito é
a) 2 2
49x 9y – 280x 120y – 441 0
+ + =
b) 2 2
49x – 406x – 49y 441 0
+ =
c) 2 2
9x 49y – 441 0
+ =
d) 2 2
9x 9y 120y – 441 0
+ + =
e) 2 2
9x – 49y – 441 0
=
09. (Esc. Naval 2013) A equação 2 2
4x y 32x 8y 52 0,
− − + + =no plano xy, representa
a) duas retas
b) uma circunferência
c) uma elipse
d) uma hipérbole
e) uma parábola

4. CÔNICAS
3
10. (Ita 2013) Sobre a parábola definida pela equação 2 2
x 2xy y 2x 4y 1 0
+ + − + + = pode-se afirmar que
a) ela não admite reta tangente paralela ao eixo Ox.
b) ela admite apenas uma reta tangente paralela ao eixo Ox.
c) ela admite duas retas tangentes paralelas ao eixo Ox.
d) a abscissa do vértice da parábola é x 1.
= −
e) a abscissa do vértice da parábola é
2
x .
3
= −
11. (Esc. Naval 2012) Considere a sequência (a,b,2) uma progressão aritmética e a sequência (b,a,2) uma progressão
geométrica não constante, 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 ∈ ℝ. A equação da reta que passa pelo ponto (a,b) e pelo vértice da curva
2
y 2y x 3 0
− + + = é
a) 6y x 4 0
− − =
b) 2x 4y 1 0
− − =
c) 2x 4y 1 0
− + =
d) x 2y 0
+ =
e) x 2y 0
− =
12. (Ime 2012) Os triângulos ABC e DEF são equiláteros com lados iguais a m. A área da figura FHCG é igual à metade
da área da figura ABHFG.
Determine a equação da elipse de centro na origem e eixos formados pelos segmentos FC e GH.
a) 2 2 2
48x 36y – 2m 0
+ =
b) 2 2 2
8x 16y – 3m 0
+ =
c) 2 2 2
16x 48y – 3m 0
+ =
d) 2 2 2
8x 24y – m 0
+ =
e) 2 2 2
16x – 24y – m 0
=
13. (Espcex 2012) A representação no sistema cartesiano ortogonal da equação − = + −
2 2
9x y 36x 8y 11 é dada por
a) duas retas concorrentes
b) uma circunferência
c) uma elipse
d) uma parábola
e) uma hipérbole

5. CÔNICAS
4
14. (Espcex 2012) O ponto
 
 
 
1
P a,
3
pertence à parábola
+
=
2
y 3
x .
3
A equação da reta perpendicular à bissetriz dos
quadrantes ímpares que passa por P é
a) + =
27x 27y – 37 0
b) + =
37x 27y – 27 0
c) + =
27x 37y – 27 0
d) + =
27x 27y – 9 0
e) + =
27x 37y – 9 0
15. (Espcex 2012) Num estádio de futebol em forma de elipse, o gramado é o retângulo MNPQ, inscrito na cônica,
conforme mostra a figura. Escolhendo o sistema de coordenadas cartesianas indicado e tomando o metro como
unidade, a elipse é descrita pela equação + =
2 2
2 2
x y
1.
36 60
Sabe-se também que os focos da elipse estão situados em
lados do retângulo MNPQ.
Assim, a distância entre as retas MN e PQ é
a) 48 m
b) 68 m
c) 84 m
d) 92 m
e) 96 m
GABARITO
1 - E 2 - A 3 - E 4 - A 5 - E
6 - D 7 - B 8 - C 9 - D 10 - B
11 - D 12 - D 13 - E 14 - A 15 - E