Prova de matemática do ITA.

1. ITA 2016 - ABERTA
1
01. (Ita 2016) Seja A a matriz de ordem 3 2,
× dada por
1 0
A 0 1 .
1 1
 
 
=  
 
 
a) Determine todas as matrizes B tais que 2
BA I .
=
b) Existe uma matriz B com 2
BA I
= que satisfaça T
2
BB I ?
= Se sim, dê um exemplo de uma dessas matrizes.
02. (Ita 2016) Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada apenas
com apenas uma destas letras: N, S, L e O. Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra correspondente e devolve a
bola à caixa. Se essa letra for N, ele dá um passo na direção Norte, se S, em direção Sul, se L, na direção Leste e se O, na
direção Oeste. Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo?
03. (Ita 2016) Em um cone circular reto de altura 1 e raio da base 1 inscreve-se um tetraedro regular com uma de suas
faces paralela à base do cone, e o vértice oposto coincidindo com o centro da base do cone. Determine o volume do
tetraedro.

2. ITA 2016 - ABERTA
2
04. (Ita 2016) Considere as circunferências
2 2
1
2 2
2
: x y 8x 4y 20
e
: x y 2x 8y 8.
λ + − + =
λ + − − =
O triângulo ABC satisfaz as seguintes propriedades:
a) o lado AB coincide com a corda comum a 1
λ e 2;
λ
b) o vértice B pertence ao primeiro quadrante;
c) o vértice C pertence a 1
λ e a reta que contém AC é tangente a 2.
λ
Determine as coordenadas do vértice C.
05. (Ita 2016) Sejam S um subconjunto de ℝ2
e P (a, b)
= um ponto de ℝ2
. Define-se distância de P a S, d(P, S), como a
menor das distâncias d(P, Q), com Q S :
∈ { }
d(P, S) min d(P, Q) : Q S .
= ∈ Sejam 𝑆𝑆1 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ2
: 𝑥𝑥 = 0 𝑒𝑒 𝑦𝑦 ≥ 2} e
𝑆𝑆2 = {(𝑥𝑥, 𝑦𝑦) ∈ ℝ2
: 𝑦𝑦 = 0}.
a) Determine 1
d(P, S ) quando P (1, 4)
= e 1
d(Q, S ) quando Q ( 3, 0).
= −
b) Determine o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de 1
S e de 2
S .

3. ITA 2016 - ABERTA
3
06. (Ita 2016) Seja f a função definida por 2
x 1
f(x) log (x 2x 8).
+
= − − Determine:
a) O domínio f
D da função f.
b) O conjunto de todos os valores de x Df
∈ tais que f(x) 2.
=
c) O conjunto de todos os valores de x Df
∈ tais que f(x) 1.
>
07. (Ita 2016) Um hexágono convexo regular H e um triângulo equilátero T estão inscritos em circunferência de raios H
R
e T
R , respectivamente. Sabendo-se que H e T têm mesma área, determine a razão H
T
R
.
R
08. (Ita 2016) Sejam a, b, c números reais com a 0.
≠
a) Mostre que a mudança
1
x z
x
+ =transforma a equação 4 3 2
ax bx cx bx a 0
+ + + + = numa equação de segundo grau.
b) Determine todas as raízes da equação 4 3 2
x 3x 2x 3x 1 0.
+ − + + =

4. ITA 2016 - ABERTA
4
09. (Ita 2016) Determine o termo constante do resto da divisão do polinômio 2 40
(1 x x )
+ + por 3
(1 x) .
+
10. (Ita 2016) Sejam x e y pertencentes ao intervalo [0, ].
π Determine todos os pares ordenados (x, y) tais que
1
2 cos x sen y
2
1
2 sen x 3 cos y .
2

− =



 + =
−



5. ITA 2016 - ABERTA
5
GABARITO
Questão 1
a)
x x 1 1 x
B ,
a 1 a 1 a
− −
 
=  
+ +
 
com x e a números reais.
b)
1 0 0
B
0 1 0
 
=  
 
Questão 2
𝑃𝑃 =
25
256
Questão 3
( )
6 5 2 7
V .
4
⋅ −
=
Questão 4
38 36
, .
5 5
 
−
 
 
Questão 5
a) 2 3
1
d((Q,S ) 2 3 13
= + = (hipotenusa do triângulo
retângulo de vértices ( 3, 0), (0, 0)
− e (0, 2)).
b) Para y 2,
≥ temos os pontos pertencentes às retas
y x
= e y x.
= −
Para y 2,
< temos os pontos pertencentes à parábola de
equação:
2
x
y 1.
4
= +
Questão 6
a) D ]4, [.
= + ∞
b) S = φ.
c)
3 3 5
S ,
2
 
+
= +∞
 
 
 
Questão 7
H
T
R x 3 3 2
R 2
3 2 6 3 3 2
y
2 3
= = = =
⋅ ⋅
⋅ ⋅
Questão 8
a)
( )
2
2
2
2
2
b a
ax bx c 0
x x
1 1
a x b x c 0
x
x
a z 2 b z c 0
+ + + + = ⇒
   
⋅ + + ⋅ + + = ⇒
   
 
 
⋅ − + ⋅ + =
b) x 2 3
=− + ou x 2 3
=− − ou
1 3 i
x
2
+ ⋅
= ou
1 3 i
x .
2
− ⋅
=
Questão 9
781
Questão 10
5
,
4 6
π π
 
 
 
e
2
, .
12 3
π π
 
 
 