Questões de matemática da prova da FUVEST.

1. FUVEST 2018 - ABERTA
1
01. (Fuvest 2018) Considere a sequência 1 2 3 4
a 6, a 4, a 1, a 2,
= = = = e n n 4
a a ,
−
= para n 5.
≥ Defina
k
n n n 1 n k
S a a a
+ +
= + + +
 para k 0,
≥ isto é, k
n
S é a soma de k 1
+ termos consecutivos da sequência começando do
n ésimo,
− por exemplo, 1
2
S 4 1 5.
= + =
a) Encontre n e k tal que k
n
S 20.
=
b) Para cada inteiro j,1 j 12,
≤ ≤ encontre n e k tal que k
n
S j.
=
c) Mostre que, para qualquer inteiro j, j 1,
≥ existem inteiros n 1
≥ e k 0
≥ tais que k
n
S j.
=
02. (Fuvest 2018) Considere a função real definida por
1 1
f(x) x 1 x.
x x
= − + − −
a) Qual é o domínio de f ?
b) Encontre o(s) valor(es) de x para o(s) qual(is) f(x) 0.
=

2. FUVEST 2018 - ABERTA
2
03. (Fuvest 2018) Em um torneio de xadrez, há 2n participantes.
a) Na primeira rodada, há n jogos. Calcule, em função de n, o número de possibilidades para se fazer o emparceiramento
da primeira rodada, sem levar em conta a cor das peças.
b) Suponha que 12 jogadores participem do torneio, dos quais 6 sejam homens e 6 sejam mulheres. Qual é a
probabilidade de que, na primeira rodada, só haja confrontos entre jogadores do mesmo sexo?
04. (Fuvest 2018) Em uma competição de vôlei, estão inscritos 5 times. Pelo regulamento, todos os times devem se
enfrentar apenas uma vez e, ao final da competição, eles serão classificados pelo número de vitórias. Dois ou mais times
com o mesmo número de vitórias terão a mesma classificação. Em cada jogo, os times têm probabilidade
1
2
de vencer.
a) Explique por que 2 times não podem empatar na classificação com 4 vitórias cada um.
b) Qual é a probabilidade de que o primeiro classificado termine a competição com 4 vitórias?
c) Qual é a probabilidade de que os 5 times terminem empatados na classificação?

3. FUVEST 2018 - ABERTA
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05. (Fuvest 2018) Para responder aos itens a) e b), considere a figura correspondente.
a) Num tetraedro OABC, os ângulos ˆ ˆ
AOB, BOC e ˆ
COA medem 90 .
° Sendo α e β as medidas dos ângulos ˆ
ACO e
ˆ
BCO, respectivamente, expresse o cosseno do ângulo ˆ
ACB em função de α e .
β
b) Um navio parte do ponto de latitude 0° e longitude 0° e navega até chegar a um ponto de latitude 45° sul e
longitude 45° oeste, seguindo a trajetória que minimiza a distância percorrida. Admita que a Terra seja esférica de raio
R 6.000 km.
= Qual foi a distância percorrida pelo navio?

4. FUVEST 2018 - ABERTA
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06. (Fuvest 2018) No plano cartesiano real, considere o triângulo ABC, em que A (5, 0), B (8, 0), C (5, 5),
= = = e a reta de
equação y x,
α
= 0 1.
α
< < Seja f( )
α a área do trapézio ABED, em que D é a intersecção da reta y x
α
= com a reta de
equação x 5,
= e o segmento DE é paralelo ao eixo Ox.
a) Encontre o comprimento do segmento DE em função de .
α
b) Expresse f( )
α e esboce o gráfico da função f.

5. FUVEST 2018 - ABERTA
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07. (Fuvest 2018) Sejam C um subconjunto não vazio e P um ponto, ambos em um mesmo plano, tais que P C.
∉ Diz-se
que "P enxerga C sob um ângulo "
α se α for a medida do menor ângulo com vértice em P que contenha C. Por
exemplo, na figura, o ponto P enxerga o quadrado C sob o ângulo α indicado.
a) Se C for um círculo de raio r, centrado na origem de um plano cartesiano real, determine o lugar geométrico dos
pontos que enxergam C sob um ângulo de 60 .
°
b) Se C for a união dos segmentos OA e OB, em que O (0, 0),
= A (a, 0),
= e B (0, b),
= com a, b 0,
> determine o lugar
geométrico dos pontos que enxergam C sob um ângulo de 90 .
°
08. (Fuvest 2018) Uma cerca tem formato de um polígono regular de n lados, cada lado com comprimento .
 A égua
Estrela pasta amarrada à cerca por uma corda, também de comprimento ,
 no exterior da região delimitada pelo polígono.
Calcule a área disponível para pasto supondo que:
a) a extremidade da corda presa à cerca está fixada num dos vértices do polígono;
b) a extremidade da corda pudesse deslizar livremente ao longo de todo o perímetro da cerca.

6. FUVEST 2018 - ABERTA
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09. (Fuvest 2018) Considere as funções [ ]
f : , 1,1
2 2
π π
 
− → −
 
 
e [ ] [ ]
g : 0, 1,1
π → − definidas por f(x) sen x
= e g(x) cos x.
=
Sendo f e g bijetoras, existem funções 1
f−
e 1
g−
tais que 1 1
f f f f id
− −
= =
  e 1 1
g g g g id,
− −
= =
  em que id é a função
identidade.
a) Para 0 1,
α
≤ ≤ mostre que 1 2
(g f )( ) 1 .
α α
−
= −

b) Mostre que 1 1
1 6 2
f g .
2 4 4
π
− −  
+
 
+ =
 
   
   

7. FUVEST 2018 - ABERTA
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QUESTÃO 1
a) O menor valor de n para o qual ocorre k
n
S 20
= é 2,
com k 6
= (pois a subsequência possui sete termos).
b) 𝛼𝛼 ∈ ℕ, temos n 4 4α
= + e k 2.
=
c) Pelo item (b) e sabendo que todo inteiro positivo j
pode ser escrito sob a forma 13 q r,
⋅ + segue o
resultado.
QUESTÃO 2
a) f
D [ 1, 0[ [1, [.
= − ∪ + ∞
b)
1 5
x .
2
+
=
QUESTÃO 3
a)
(2𝑛𝑛)!
2𝑛𝑛⋅𝑛𝑛!
b)
5
231
QUESTÃO 4
a) Cada time fará 5 1 4
− = jogos e, portanto, se um time
possui quatro vitórias não pode haver outro time
com o mesmo número de vitórias, já que todos os
outros possuem no mínimo uma derrota.
b)
5
16
c)
3
128
QUESTÃO 5
a) 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝐴𝐴 𝐶𝐶
̂𝐵𝐵 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛼𝛼 ⋅ 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐 𝛽𝛽.
b) 2000𝜋𝜋 𝑘𝑘𝑘𝑘
QUESTÃO 6
a) 3 - 3α
b)
QUESTÃO 7
a) 2 2 2
x y 4r .
+ =
b) O lugar geométrico dos pontos P (x, y)
= é dado por
2 2
2
a a
x y , y 0
2 4
 
− + = >
 
 
ou
2 2
2 b b
x y , x 0
2 4
 
+ − = <
 
 
ou
2 2 2 2
a b a b
x y , x 0 e y 0.
2 2 4
+
   
− + −
= > >
   
   
QUESTÃO 8
a)
𝑛𝑛+2
2𝑛𝑛
𝜋𝜋ℓ2
b)
2
2 2
n n (n ).
n
π
π
+ = +

 
QUESTÃO 9
a) 1 2
g(f ( )) cos 1 .
α α
−
= −
b) 1 1
1 6 2
f g .
2 4 6 12 4
π π π
− −  
+
 
+ = + =
 
   
   