Questões de matemática da prova do IME.

1. IME 2016 - FECHADA
1
01. (Ime 2016) Dados três conjuntos quaisquer F, G e H. O conjunto G H
− é igual ao conjunto:
a) (G F) (F H)
∪ − −
b) (G H) (H F)
∪ − −
c) (G (H F)) H
∪ − ∩
d) G (H F)
∪ ∩
e) (H G) (G F)
∩ ∩ −
02. (Ime 2016) Sabendo-se que os números reais positivos a, b e c formam uma progressão geométrica e
5c
log ,
a
 
 
 
3b
log
5c
 
 
 
e
a
log
3b
 
 
 
formam uma progressão aritmética, ambas nessa ordem, então se pode afirmar que a, b e c
a) formam os lados de um triângulo obtusângulo.
b) formam os lados de um triângulo acutângulo não equilátero.
c) formam os lados de um triângulo equilátero.
d) formam os lados de um triângulo retângulo.
e) não podem formar os lados de um triângulo.
03. (Ime 2016) Os inteiros n e m são sorteados do conjunto {1, 2, 3, ..., 2016}, podendo haver repetição. Qual a
probabilidade do produto n m
× ser múltiplo de 12?
a)
5
12
b)
5
18
c)
5
24
d)
5
36
e)
5
144

2. IME 2016 - FECHADA
2
04. (Ime 2016) Sejam dois quadrados de lado a situados em planos distintos que são paralelos entre si e situados a uma
distância d, um do outro. A reta que liga os centros dos quadrados é perpendicular a esses planos. Cada diagonal de um
quadrado é paralela a dois lados do outro quadrado. Liga-se cada vértice de cada quadrado aos dois vértices mais próximos
do outro quadrado. Obtêm-se, assim, triângulos que, conjuntamente com os quadrados, formam um sólido S. Qual a
distância entre estes planos distintos em função de a, de modo que os triângulos descritos acima sejam equiláteros?
a)
a
2
b)
a 3
2
c)
a 10
8
d)
4
a 2
8
e)
a(4 3 2
2
−
05. (Ime 2016) O lugar geométrico dos pontos em ℝ2
equidistantes às retas de equações 4x 3y 2 0
+ − = e
12x 16y 5 0
− + = é
a) 4x 28y 13 0
+ + =
b) 8x 7y 13 0
− − =
c) 28x 4y 3 0
− − =
d) 2 2
56x 388y 184x 56y 16y 19 0
+ − − − + =
e) 2 2
112x 768xy 376x 112y 32y 39 0
+ − − − + =
06. (Ime 2016) Quantos inteiros k satisfazem à desigualdade 1
1 4
10 10
2 log k 1 10log k 3 0?
−
− + + >
a) 10
b) 89
c) 90
d) 99
e) 100

3. IME 2016 - FECHADA
3
07. (Ime 2016) Em um triângulo ABC, o ponto D é o pé da bissetriz relativa ao ângulo 𝐴𝐴
̂. Sabe-se que
AB
AC AD, r
AC
= =
e que 𝐶𝐶
̂ = 𝛼𝛼. Portanto o valor de 2
sen α é
a)
3r 1
4
−
b)
3r 1
4r
−
c)
r 3
4
+
d)
3r 1
4r
+
e)
3r 1
4
+
08. (Ime 2016) Considere quatro pontos distintos coplanares. Das distâncias entre esses pontos, quatro delas valem a e
duas delas valem b. O valor máximo da relação
2
b
a
 
 
 
é
a) 2
b) 1 3
+
c) 2 3
+
d) 1 2 2
+
e) 2 2 3
+
09. (Ime 2016) O valor do somatório
15
2k 1
k 1
Img(cis )
36
π
−
=
∑ é
Observação: Img(w) é a parte imaginária de w.
a)
2 3
4 sen
36
π
+
b)
2 3
4 sen
36
π
−
c)
1
4 sen
36
π
d) sen
36
π
e)
1
4

4. IME 2016 - FECHADA
4
10. (Ime 2016) Seja 2
P(x) x ax b.
= + + Sabe-se que P(x) e P(P(P(x))) têm uma raiz em comum. Pode-se afirmar que para
todo valor a e b
a) P( 1)P(1) 0
− <
b) P( 1)P(1) 0
− =
c) P( 1) P(1) 2
− + =
d) P(0)P(1) 0
=
e) P(0) P(1) 0
+ =
11. (Ime 2016) O polinômio 3 2
x ax bx c
+ + + tem raízes reais ,
α α
− e
1
.
α
Portanto o valor da soma 2
2
b
b c ac
c
+ + + é
a) 2
−
b) 1
−
c) 0
d) 1
e) 2
12. (Ime 2016) Sabendo-se que m e n são inteiros positivos tais que m 2
3 14400 n ,
+ =
determine o resto da divisão de
m n
+ por 5.
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
13. (Ime 2016) O valor da soma
2016 2017 2018 2019 2020 2016
5 5 5 5 5 6
           
+ + + + +
           
           
é
a)
2020
6
 
 
 
b)
2020
7
 
 
 
c)
2021
5
 
 
 
d)
2021
6
 
 
 
e)
2022
5
 
 
 

5. IME 2016 - FECHADA
5
14. (Ime 2016) Seja
a b
A .
b a
 
=  
−
 
O maior valor de a, com a 1,
≠ que satisfaz 24
A I
= é:
Observação: I é a matriz identidade 2 2.
×
a)
1
2
b)
2
2
c)
3
2
d)
2
( 3 1)
4
−
e)
2
( 3 1)
4
+
15. (Ime 2016) Seja a equação
sen(2x) 1
.
tgx 2
= As soluções dessa equação para x ,
2
π
π
 
∈ −
 
 
formam um polígono no círculo
trigonométrico de área
a)
3
2
b) 3
c)
5 3
8
d)
1
2
e) 1

6. IME 2016 - FECHADA
6
GABARITO
1 - C 2 - E 3 - B 4 - D 5 - E
6 - C 7 - D 8 - C 9 - A 10 - D
11 - A 12 - E 13 - D 14 - E 15 - A