Questões de matemática selecionadas dos principais vestibulares militares.

1. APOSTILA DE EXERCÍCIOS
MATRIZES

2. MATRIZES
1
01. (Epcar 2020) Um jogo consiste na disputa de dois adversários que, em um tabuleiro quadrado, dividido em 16
outros quadrados menores e congruentes, conforme figura abaixo, devem conseguir alinhar VERTICALMENTE,
HORIZONTALMENTE ou em DIAGONAL, quatro algarismos iguais.
Cada jogador, após escolher o algarismo com o qual irá preencher os quadrados menores, escreve um número por
vez, em qualquer quadrado menor do tabuleiro, e passa a vez para o adversário. Vence o primeiro que alinhar os
quatro algarismos iguais. No quadrado abaixo, estão registradas, numa partida desse jogo, as jogadas de Lucas, que
escolheu o algarismo 5, e as jogadas de Mateus, que escolheu o algarismo 7.
Analise cada proposição abaixo quanto a ser (V) Verdadeira ou (F) Falsa.
( ) Se o próximo jogador for Lucas, ele não terá chance de ganhar o jogo, nessa jogada.
( ) Se o próximo jogador for Mateus, então, para garantir a vitória nessa jogada, ele poderá escrever o algarismo 7
em duas posições.
( ) Se Mateus for o próximo a jogar e NÃO escrever o algarismo 7 em um quadrado que dê a vitória a ele, então,
Lucas poderá ganhar a partida na jogada seguinte à de Mateus.
Sobre as proposições, tem-se que
a) apenas uma é falsa.
b) todas são verdadeiras.
c) apenas duas são falsas.
d) todas são falsas.

3. MATRIZES
2
02. (Espcex 2020) Duas cidades A e B têm suas áreas urbanas divididas em regiões Comercial, Residencial e Industrial.
A tabela 1 fornece as áreas dessas regiões em hectares para as duas cidades. A tabela 2, por sua vez, fornece os valores
anuais médios de arrecadação, em milhões de reais por hectare, referentes ao Imposto Predial e Territorial Urbano
(IPTU), ao fornecimento de energia elétrica e ao fornecimento de água.
Tabela 1
Área
Comercial
Área
Residencial
Distrito
Industrial
Cidade A 10 25 42
Cidade B 8 12 18
Tabela 2
Área
Comercial
Área
Residencial
Distrito
Industrial
IPTU 12 6 5
Energia Elétrica 25 12 60
Água 15 10 50
Considere as matrizes 1
T e 2
T , associadas respectivamente às tabelas 1 e 2.
1 2
12 6 5
10 25 42
T T 25 12 60
8 12 18
15 10 50
 
   
= =
   
   
 
Seja ij
a os elementos da matriz resultante do produto t
1 2
T T .
 Nessas condições, a informação contida no termo de
ordem 22
a desse produto de matrizes é o valor total arrecadado com
a) fornecimento de energia elétrica nas áreas residenciais.
b) fornecimento da água da cidade A.
c) fornecimento da água nas áreas residenciais.
d) IPTU nos distritos industriais.
e) fornecimento de energia elétrica na cidade B.
03. (Ita 2020) Considere o conjunto M (n, k) de todas as matrizes quadradas de ordem n n,
 com exatamente k
elementos iguais a 1, e os demais iguais a 0 (zero). Escolhendo aleatoriamente matrizes L M (3,1)
 e R M (4, 2),
 a
probabilidade de que 2
L 0
= e 2
R 0
= é igual a
a)
1
.
3
b)
1
.
5
c)
4
.
15
d)
13
.
30
e)
29
.
30

4. MATRIZES
3
04. (Eear 2019) Dadas as matrizes
1 3
A
2 0
 
=  
 
e
0 1
B ,
1 2
 
=  
 
o produto A B
 é a matriz
a)
3 7
2 2
 
 
 
b)
4 7
2 2
 
 
 
c)
3 7
0 2
 
 
 
d)
4 4
0 2
 
 
 
05. (Ita 2019) Considere as seguintes afirmações a respeito de matrizes A de ordem n n
 inversíveis, tais que os seus
elementos e os de sua inversa sejam todos números inteiros:
I. | det(A) | 1.
=
II. T 1
A A .
−
=
III. 1
A A−
+ é uma matriz diagonal.
É(são) sempre VERDADEIRA(S)
a) apenas I
b) apenas III
c) apenas I e II
d) apenas I e III
e) todas
06. (Espcex 2018) Uma matriz quadrada A, de ordem 3, é definida por ij i j
i j, se i j
a .
( 1) , se i j
+
− 


= 
− 


Então 1
det(A )
−
é igual a
a) 4.
b) 1.
c) 0.
d)
1
.
4
e)
1
.
2
07. (Ita 2018) Sejam A e B matrizes quadradas n n
 tais que A B A B
+ =  e n
I a matriz identidade n n.
 Das
afirmações:
I. n
I B
− é inversível;
II. n
I A
− é inversível;
III. A B B A.
 = 
é (são) verdadeira(s)
a) Somente I
b) Somente II
c) Somente III
d) Somente I e II
e) Todas

5. MATRIZES
4
08. (Efomm 2018) Para descrever um código que permite transformar uma palavra P de três letras em um vetor 𝑤 ∈
ℝ3
, inicialmente, escolhe-se uma matriz 3 3.
 Por exemplo, a nossa “matriz código” será:
2 2 0
A 3 3 1
1 0 1
 
 
=  
 
 
A partir da correspondência
A 1 / B 2 / C 3 / D 4 / E 5 /
F 6 / G 7 / H 8 / I 9 / J 10 /
L 11 / M 12 / N 13 / O 14 / P 15 /
Q 16 / R 17 / S 18 / T 19 / U 20 /
V 21 / X 22 / Z 23
→ → → → →
→ → → → →
→ → → → →
→ → → → →
→ → →
a palavra P é transformada em vetor v do ℝ3
. Em seguida, o código da palavra P é obtido pela operação w Av.
=
Por exemplo, a palavra MAR corresponde ao vetor (12,1
,17) v,
= a qual é codificada com w Av (26, 56, 29).
= =
Usando o processo acima para decodificar w (64,107, 29),
= teremos
a) x 18, y 14, z 11/ SOL
= = =
b) x 12, y 5, z 11/ MEL
= = =
c) x 12, y 1
, z 20 / MAU
= = =
d) x 11
, y 20, z 1/ LUA
= = =
e) x 20, y 21
, z 1/ UVA
= = =
09. (Ita 2018) Sejam 1 5
x , , x e 1 5
y , , y números reais arbitrários e ij
A (a )
= uma matriz 5 5
 definida por
ij i j
a x y ,1 i, j 5.
= +   Se r é a característica da matriz A, então o maior valor possível de r é
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
10. (Espcex 2017) Considere a matriz
3 3
3
a a b b
M a a 0 .
2 5 3
 
−
 
 
=
 
 
 
Se a e b são números reais não nulos e det(M) 0,
= então
o valor de 2 2
14a 21b
− é igual a
a) 15
b) 28
c) 35
d) 49
e) 70
11. (Ita 2017) Sejam
1 0 0
D 0 2 0
0 0 3
 
 
=  
 
 
e
7 0 2
P 0 1 0 .
2 0 5
 
 
=  
 
 
Considere 1
A P DP.
−
= O valor de 2
det(A A)
+ é
a) 144.
b) 180.
c) 240.
d) 324.
e) 360.

6. MATRIZES
5
12. (Epcar 2017) Considere A, B, C e X matrizes quadradas de ordem n e inversíveis. Assinale a alternativa FALSA.
a) 1 1
(A ) A
− −
=
b) 1 1 1 1
(A B C) C B A
− − − −
=
c) 1 1
A X C B X A C B
− −
=  =
d) 1 n det A
det (2 A B ) 2
det B
−
=
13. (Efomm 2017) Determine uma matriz invertível P que satisfaça a equação 1 5 0
P A ,
0 2
−  
 =  
−
 
sendo
1 2
A .
3 3
−
 
=  
 
a)
5 10
3 9
P
2 2
3 9
 
 
=  
 
−
 
 
b)
2 10
P
6 15
 
=  
−
 
c)
2 10
1
P
3 3
10
 
=  
−
 
d)
2 2
9 3
P
10 5
9 3
 
− −
 
=  
 
−
 
 
e)
1
1
5
P
3 3
5 2
 
 
=  
 
−
 
 
14. (Ime 2017) Seja
1 a 2
A a 2 1 1
2 3 1
−
 
 
= −
 
 
−
 
com 𝑎 ∈ ℝ. Sabe-se que 2
det(A 2A I) 16.
− + = A soma dos valores de a que
satisfazem essa condição é
Obs.: det(X) denota o determinante da matriz X
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
15. (Eear 2016) Se
1 a
1 2
 
 
−
 
e
b 1
x 2k
−
 
 
 
são matrizes opostas, os valores de a, b, x e k são respectivamente
a) 1
, 1
,1
,1
−
b) 1
,1
, 1
, 1
− −
c) 1
, 1
,1
, 1
− −
d) 1
, 1
, 2, 2
− − − −
GABARITO
1 - A 2 - E 3 - B 4 - C 5 - A
6 - D 7 - E 8 - A 9 - B 10 - C
11 - A 12 - C 13 - E 14 - D 15 - C