Dokumen tersebut berisi uraian tentang: 1) Riwayat dan kontribusi Rene Descartes dan Blaise Pascal dalam bidang matematika dan sains 2) Penjelasan bilangan rasional dan irasional beserta contohnya 3) Prosedur penyelesaian ketaksamaan bentuk kuadratik dan pembagian

1. Nama: Julian Valerio Gultom
Nim: 19412005
TI Sore 2019
Dosen: Ir. Wiyono, M.M
1. Uraikan riwayat dan kontribusi dalam bidang matematika (dan atau sains) tokoh –
tokoh dibawah ini:
a) Rene Descartes
b) Blaise Pascal
Jawab:
 Rene Descartes
Descartes dilahirkan di La Haye Perancis,31 Maret1596 dan wafatdi Stockholm Swedia pada
11 Februari 1650. Beliau merupakan seorang matematikawan, fisikawan, filsuf dan juga teolog.
Beliau memberikan kontribusi yang besar dalam kemajuan di bidang matematika sehingga
mendapat sebutan “Bapak Matematika Modern”. Beliau adalah salah satu pemikir penting dan
berpengaruh dalam sejarah barat modern.
Karya sains Descartes yang diterbitkan adalah “Discours de la methode pour bien conduire sa
raison et chercher la verite dans les sciences”. Karya ini dilengkapi 3 apendiks yaitu La
Dioptrique tentang optika, Les Meteores tentang meteorologi dan La Geometrie tentang
matematika. Karya yang lain adalah Principia Philosophiae yang dipublikasikan di Amsterdam
pada tahun 1644
Salah satu materi dalam geometri analitik adalah menentukan kemiringan posisi suatu garis
terhadap koordinat x dan koordinat y. Beliau memperkenalkan penyelesaian untuk kemiringan
dan persamaam linear. Rumus kemiringan dasar adalah y = mx + b, rumus kemiringan adalah m
= . Banyak ahli matematika mengakui Descartes sebagai orang yang menemukan rumus
kemiringan meskipun tidak banyak tulisan yang menunjukkan secara langsung bahwa beliau
sebagai penemu rumus kemiringan. Oleh karena itu Descartes mendapat sebutan “Bapak
Geometri Analitik”. Kontribusinya yang besar dalam dunia matematika terutama penemuannya
tentang geometri analitis yang akhirnya dikenal sebagai pencipta “Sistem Koordinat Cartesius”
yang mempengaruhi perkembangan kalkulus modern.

2.  Blaise Pascal
Blaise Pascallahir pada tanggal 19 Juni 1623 di kota Clermont, Auvergne, Perancis. Dia lahir
dari keluarga kaya raya. Sejak usia empat tahun Pascal telah kehilangan ibunya. Pascal dikenal
sebagaiseorang anak yang cerdas walaupun ia tidak menempuh pendidikan di sekolah formal. Di
usia 12 tahun, ia sudah bisa menciptakan sebuah mesin penghitung untuk membantu pekerjaan
ayahnya.Karya-karyanya terusbertambah mulai dari merancangbangunan segienam (hexagram),
menemukan prinsip kerja barometer, sistem kerja arloji, hingga ikut terlibat dalam pembuatan
sistem transportasi bawah tanah kota Paris.
Kontribusi yang diberikan untuk perkembangan dunia adalah:
 Blaise Pascal melakukan karya perintis dalam mesin penghitung dan muncul dengan
kalkulator mekanik
 Membuka mata bagi dunia dengan Teori Peluang (probabilitas), bahwa peluang menang
pada perjudian sangat kecil, untuk itu hindari karena judi tidak bisa membuat kaya
 Menciptakan kalkulator mekanik (kalkulator pascaline) yang sampaisekarangmasih besar
pengaruhnya bagi kemajuan ekonomi suatu negara
 Dalam matematika sangat terkenal Pola bilangan Segitiga pascal yang dapat diartikan
sebagai sebuah aturan geometri yang berisi susunan koefisien binomial yang bentuknya
menyerupai segitiga.
 Dalam Ilmu Pngetahuan Alam, Hukum pascal yaitu: “tekanan yang diberikan zat cair di
dalam ruang tertutup diteruskan oleh zat cair itu ke segala arahdengan sama besar”,sangat
menginspirasi terciptanya peralatan-peralatan yang sampai sekarang tetap digunakan
seperti: dongkrak hidrolik, rem hidrolik, mesin hidrolik pengangkut mobil, pompa sepeda,
dan mesin pengepres kapas.

3. 2. Apa perbedaan antara bilangan pecahaan yang rasional dan bilangan pecahaan yang tak
rasional. Berikan contohnya!
Jawab:
 Bilangan rasional adalah bilangan yang dapat diubah menjadi pecahan biasa (a/b) dan
apabila bilangan ini diubah ke pecahan desimal, maka angkanya akan berhenti di suatu
bilangan tertentu. Apabila tidak berhenti, maka akan membentuk pola pengulangan.
Contohnya:
 bilangan irasionaladalah bilangan yang tidak dapat diubah ke pecahanbiasa dan apabila
bilangan ini diubah ke pecahan desimal, maka angkanya tidak akan berhenti dan tidak
memiliki pola tertentu. Contohnya:
3. Jelaskanprosedurpenyelesaianketaksamaanbentukkuadratik.
Jawab: Langkah-Langkah Penyelesaian
Himpunan Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat bisa ditentukan dengan langkah-langkah
sebagai berikut yang dijelaska dibawah ini :
Langkah 1
Tentukanlah pembuat nol dengan cara merubah tanda pertidaksamaan hingga menjadi “sama
dengan”. Akar-akar persamaan kuadrat yang didapat yaitu pembuat nol.
X2
+ x – 6 = 0 ,difaktorkan
menjadi (x +3) (x-2) = 0
Pembuat nol dari persamaan tersebut bisa dicari dengan memakai cara ini..
Pertama gunakan :
x + 3 = 0
x = -3
Kedua kita gunakan :
x – 2 = 0
x = 2
Maka, pembuat nolnya sudah didapat yaitu -3 dan 2.

4. Langkah 2
Gambarlah pembuat nol pada garis bilangan, Lalu tentukan tanda masing-masing interval
dengan cara mensubstitusi sembarang bilangan yang ada pada tiap interval ke persamaan pada
ruas kiri. Tulis (+) adai hasil substitusi adalah bernilai positif dan tulis (−) jika hasil substitusi
adalah bernilai negatif.
Catatan :
Tanda untuk tiap interval yaitu slalu berselang-seling (+)(−)(+) atau (−)(+)(−), kecuali jika akar-
akar yang didapat sama (kembar)
Tips :
Jika akar-akar yang didapat berbeda, cukup caritanda pada satu interval saja, sisanya tinggal
ditulis berselang-seling mengikuti pola diatas. Dahulukan interval yang memuat angka nol agar
perhitungan lebih mudah (jika nol bukan merupakan pembuat nol).
Langkah 3
Tentukanlah daerah penyelesaian atau arsiran.
Untuk pertidaksamaan “>” atau “≥”, daerah penyelesaian yang berada pada interval bertanda
positif (+).
Untuk pertidaksamaan “<” atau “≤”, daerah pernyelesaian yang berada pada interval bertanda
negatif (−).
Langkah 4
Tulis sebuah himpunan penyelesaian, yaitu interval yang memuat daerah penyelesaian.
Himpunan penyelesaian ada pada ujung-ujung interval
4. Selesaikan:
a) X2
-3x-180 ≥0
b) X2
+2x-120≥0
Jawab:
a) X2
-3x-180 ≥0
(x+12) (x-15)
X=-12 x=15
(-∞,-12) (15,∞)
{x -12<x<15}
b) X2
+2x-120≥0
(x-10) (x+12)
X=10 x=-12
(10,∞) (-∞,-12)
{x -12<x≤10}

5. 5. Jelaskan prosedur penyelesaian ketaksamaan bentuk pembagian.
Jawab:A. Langkah pertama pindahkan seluruh suku ke dalam satu ruas misalnya kita ambil
ruas kiri sehingga tidak tersisa suku artinya tersisa nol di dalam ruas kanan. Begitu perlu untuk
diperhatikan anda, jika kita begitu dilarang untuk mengkali (x) silang penyebut maupun
pembilang antarruas tersebut. Mengapa begitu dilarang ? Karena nilai yang belum diketahui
begitu mungkin dapat mengubah bentuk pertidaksamaan tersebut jika kita melakukan kali silang
tersebut.
B. Langkah kedua, lakukanlah operasi aljabar. Sudah pernah belajar kan mengenai operasi jabar
ini ? Ya, tujuannya biasanya agar memperoleh atau mendapatkan bentuk yang lebih sederhana,
sesudahnya kamu lakukan pemfaktoran yang mana dapat difaktorkan agar memperoleh ataupun
mendapatkan nilai x tersebut.
C. Langkah terakhir adalah menyusun nilai x tersebut ke dalam garis bilangan yang ada.
Bagaimana halnya dengan pertidaksamaan pangkat tinggi maupun besar, tentukan dahulu tanda
yang terdapat pada masing-masing daerah dengan melakukannya secara manual. Caranya yaitu
dengan mengambil satu nilai x di dalam daerah tersebut kemudian sesudahnya menguji hasil
tersebut pada bentuk peridaksamaan yang ada.
6. Selesaikan:
3𝑥−56
𝑥+3
≥ −2
Jawban:
3𝑥−56
𝑥+3
≥ −2
=
3𝑥−56
𝑥+3
+ 2 ≥ 0
=
3𝑥−56
𝑥+3
+
2(𝑥+3)
𝑥+3
≥ 0
=
3𝑥−56+2𝑥+6
𝑥+3
≥ 0
=
5𝑥−42
𝑥+3
≥ 0
(5x-42) (x+3)
X=8,4 x=-3
(8.4,-3)
{x x<-3Ux≤8,4}
7. Apa yang dimaksud dengan daerah asaldari suatu fungsi.
Jawab: Fungsi f adalah suatu relasi yang menghubungkan setiap anggota x dalam suatu
himpunan yang disebut daerah asal (Domain) dengan suatu nilai tunggal f(x) dari suatu
himpunan kedua yang disebut daerahkawan(Kodomain). Himpunan nilai yang diperoleh dari
relasi tersebut

6. 8. Tentukan daerah asalfungsi sbb: f(x)=
𝑥2−𝑥−30
𝑥2−5𝑥−84
Jawab:
𝑥2−𝑥−30
𝑥2−5𝑥−84
X2
-5x-84
(x+7) (x-12)
X=-7 x=12
{x x ≠ -7 atau x ≠ 12}
9. Apa yang dimaksud dengan komposisi fungsi.
Jawab: Komposisi fungsi merupakan penggabungan operasi dua fungsi secara berurutan
yang akanmenghasilkan sebuahfungsi baru. Komposisidua fungsif(x) dan g(x) dinotasikan
dengan simbol (f∘g)(x) atau (g∘f)(x).
10. Jika f(x)=5x-2 dan g(x)= x2
-5x+10. Tentukan:
a. (f▫g) (-5)
b. (g▫f) (x)
Jawab:
a. (f▫g) (-5)
f[g(x)]
f(x) = (5x-2)2
– 5(5x-2) + 10
f(x) = 25x2
- 10x + 4 - 25x + 10 + 10
f(x) = 25x2
– 35x + 34
f(-5) = 25 (-5)2
– 35(-5) + 34
f(-5) = 25(25) + 35(5) + 34
f(-5) = 625 + 175 +34
f(-5) = 834
b. (g▫f) (x)
g[f(x)]
g(x) = 5(x2
-5x+10) – 2
g(x) = 5x2
-25x + 50 – 2
g(x) = 5x2
– 25x + 48

7. 11. Jika f(x) = 5x-2 dan g(x) = x2
- 5x + 10. Tentukan:
a. (f/g) (12)
b. (f*g) (x)
c. F4
(2)
Jawaban:
a. (f/g) (12) = f(12) / g(12)
= -38 / 94
= -19/47
b. (f*g) (x) = f(x) *g(x)
= (-3x-2) * (x2
-5x+10)
= -2x2
– 5x + 10
c. F4
(2) = ( -3x-2)4
= 84x4
+ 216x3
+ 216x2
+ 96x + 16
F4
(2) = 84(2)4
+ 216(2)3
+ 216(2)2
+ 96(2) + 16
= 1344 + 1728 + 864 + 192 + 16
=41444
12. Carilah nilai limit.
a. 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 (𝑥 → 3) =
( 𝑥−3)( 𝑥2+4𝑥−32)
( 𝑥25𝑥−24)
b. 𝐿𝑖𝑚𝑖𝑡 ( 𝑥 → 5) =
5𝑥2−125
−4𝑥+20
Jawab:
a. 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 (𝑥 → 3) =
( 𝑥−3)( 𝑥2+4𝑥−32)
( 𝑥25𝑥−24)
𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡 ( 𝑥 → 3) =
( 𝑥 − 3)( 𝑥 + 8)( 𝑥 − 4)
( 𝑥 + 8)( 𝑥 − 3)
Limit (x→3) = x – 4
= 3 – 4
= -1