1. MAKALAH SISTEM DIGITAL
“Konsep Dasar Teorema Boole & De Morgan”
NAMA: JULIAN VALERIO GULTOM
NIM 19412005
PROGRAM STUDI TEKNIK INFORMATIKA STMIK WIDURI
SEMESTER II
GENAP 2019/2020
2. 1
KATAPENGANTAR
Puji syukur kami ucapkan kehadapan Tuhan Yang Maha Esa karena atas berkat
rahmatnyalah kami dapat menyelesaikan makalah yang berkaitan dengan Mata Kuliah Sistem
Digital. Makalah ini memberikan gambaran materi teorema bolle dan de Morgan, dari dasar hukum
penyajian fungsi boole, serta contoh soal
Makalah ini tentunya masih sangat jauh dari sempurna, kami berharap semoga makalah ini
dapat berguna bagi semua pihak sesuai dengan tujuan pembuatan makalah ini. Selain itu juga
kami mengharapkan kritik dan saran untuk menyempurnakan makalah kami ini. Kami juga
berterima kasih kepada semua pihak dan sumber-sumber referensi yang telah membantu dalam
penulisan makalah ini.
Jakarta , 12 April 2020
Julian Valerio Gultom
3. 2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR 2
DAFTAR ISI 3
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang 4
B. Rumusan Masalah 5
C. Tujuan Dan Manfaat 5
BAB II PEMBAHASAN
A.Teorema dasar Bolee 6
Hukum Distributif 6
Hukum Asosiatif 6
Hukum Komutatif 7
Hukum Komplemen 8
Hukum Operasi 0 dan 1 8
Hukum Idempoten 9
Hukum Involusi 10
B.Penyajian Fungsi Boole 11
A.bentuk kanomik
Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP) 12
Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS) 12
D.Penyederhanaan fungsi Boole 13
A. Penyederhanaan secara Teorema
13
B.Penyederhanaan dengan peta karnaugh 13
E.Teorema dasar De morgan 18
BAB III PENUTUP
KESIMPULAN................................................................................. 21
SARAN 21
DAFTAR PUSTAKA 22
4. 3
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Teorema boole dan de Morgan merupakan teorema yang berhubungan dengan variabel-variabel
biner dan operasi-operasi logik. Variabel-variabel diperlihatkan dengan huruf-huruf alfabet, dan
tiga operasi dasar dengan AND, OR dan NOT (komplemen).
Fungsi boole terdiri dari variabel-variabel biner yang menunjukkan fungsi, suatu tanda sama
dengan, dan suatu ekspresi teorema yang dibentuk dengan menggunakan variabel-variabel biner,
konstanta-konstanta 0 dan 1, simbol-simbol operasi logik, dan tanda kurung. Suatu fungsi boole
bisa dinyatakan dalam tabel kebenaran. Suatu tabel kebenaran untuk fungsi boole merupakan
daftar semua kombinasi angka-angka biner 0 dan 1 yang diberikan ke variabel-variabel biner dan
daftar yang memperlihatkan nilai fungsi untuk masing-masing kombinasi biner.
Oleh karena itulah si penulis berharap si pembaca dapat mengetahui fungsi dan menambah
wawasan tentang teorema Boole & De Morgan.
B. Rumusan Masalah
a. Pengertian Teorema dasar boole & Hukum hukumnya?
b. Cara penyajian Fungsi Boole?
c. Penyederhanaan Fungsi Boole?
d. Pengertian Teorema dasar De Morgan?
C. Tujuan Penulisan
Selain permasalahan yang ditemuai dalam pembuatan makalah ini si penulis juga mempunyai
beberapa tujuan dalam menulis makalah ini yaitu sebagai berikut:
1. Si pembaca dapat mengetahui apa yang dimaksud dengan Teorema Boole & De Morgan
2. Si pembaca dapat mengetahui cara penyajian & penyederhanaan fungsi Boole.
3. Si pembaca dapat mengetahui apa saja hukum-hukum dari teorema dasar Boole.
D.Manfaat Penulisan
Dengan menulis makalah ini si penulis mengharapkan si pembaca dapat menambah wawasan,
memperdalami teorema Boole dan Teorema De Morgan.
5. 4
BAB II
PEMBAHASAN
A. Teorema Dasar Boole
Konsep dasar teorema Boole (Boole Algebra) telah diletakkan oleh seorang matematisi
Inggris George Boole, pada tahun 1854. Konsep dasar itu membutuhkan waktu yang cukup
lama untuk disadari kegunaannya, baik dalam bidang matematika maupun dalam bidang
teknik.
Pada tahun 1938 Claude Shannon, seorang ahli komunikasi, memanfaatkan dan
menyempurnakan konsep Boole tersebut. Sekarang ini, teorema Boole memegang peranan
yang sangat penting, tidak saja dalam logika, tetapi juga di bidang lain seperti teori
peluang/kemungkinan, teori informasi/komunikasi, teori himpunan dan lain-lain. Teori ini juga
dipakai dalam merancang komputer elektronik dengan menerjemahkannya ke dalam
rangkaian saklar (switching circuits) yang pada dasarnya adalah logika, tertutup atau terbuka,
mengalirkan arus listrik atau tidak.
Seperti telah diterangkan di bagian depan, setiap peubah Boole hanya dapat
berkeadaan satu dari dua keadaan, 0 atau 1. Jadi, kalau satu peubah di-OR-kan dengan 0
maka hasilnya akan tidak berubah sedangkan bila satu peubah di-OR-kan dengan 1, maka
apapun keadaan peubah itu sebelumnya akan menjadi 1. Tetapi, bila satu peubah di-AND-
kan dengan 1, maka hasilnya tidak akan berubah sedangkan bila di-AND-kan dengan 0,
apapun keadaan peubah itu sebelumnya akan berubah menjadi 0.
Ini dapat disimpulkan dalam bentuk teorema dasar:
X + 0 = X
X.0 = 0
X + 1 = 1
X.1 = X
Kalau suatu peubah di-OR-kan dengan dirinya sendiri, maka hasilnya akan 0 bila keadaan
variabel itu adalah 0 dan hasilnya akan 1 bila keadaan variabel itu adalah 1.
Jadi, peng-OR-an satu variabel dengan dirinya sendiri menghasilkan keadaan yang sama
dengan keadaan variabel itu. Keadaan serupa berlaku untuk operasi AND. Ini disebut
hukum idempoten:
X + X = X X.X = X
6. 5
Sesuai dengan logika, maka kalau tidak benar disangkal (di-NOT-kan), hasilnya menjadi
benar dan kalau tidak-salah di-NOT-kan, hasilnya menjadi salah.
Dengan kata lain, penidakan/penyangkalan (komplementasi) dua kali akan menghasilkan
keadaan aslinya. Ini dikenal dengan nama hukum involusi yang dituliskan sebagai:
= X
Hasil dari keadaan benar ATAU tidak benar pasti selalu benar dan keadaan salah
ATAU tidak salah juga akan selalu benar (terpenuhi). Tetapi keadaan salah DAN tidak
salah dan benar DAN tidak benar akan selalu salah. Jadi, dalam teorema Boole dapat
dinyatakan dengan hukum komplemen sebagai berikut:
X + X = 1 (selalu benar)
X . X = 0 (selalu salah)
Untuk fungsi-fungsi Boole dengan dua peubah atau lebih, dikenal juga hukum-hukum kumulatif,
assosiatif dan distributif yang berlaku dalam teorema biasa, yaitu:
Hukum Kumutatif : XY = YX
X + Y = Y + X
Hukum Assosiatif: (X Y) Z = X (Y Z) = XYZ
(X+Y) + Z = X + (Y+Z) = X + Y + Z
Hukum Distributif: X (Y + Z) = X Y + X Z
X + Y Z = (X + Y)(X + Z)
7. 6
B.Teorema dasar Boole
Hukum Distributif
1. A (B + C) = A B + A C (BENAR)
Pembuktian:
2. A+(B+C)=(A+B)+C=A+B+C (BENAR)
3. Pembuktian:
8. 7
Hukum Asosiatif
1. (A + B) + C =A + (B + C)(BENAR)
Pembuktian:
A B C A+B B+C (A+B)+C A+(B+C)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 1 1 1
0 1 0 1 1 1 1
0 1 1 1 1 1 1
1 0 0 1 0 1 1
1 0 1 1 1 1 1
1 1 0 1 1 1 1
1 1 1 1 1 1 1
2. (A B) C = A (B C) (BENAR)
Pembuktian:
A B C AB BC (A B) C A (B C)
0 0 0 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 0 1 0 0 0 0
0 1 1 0 1 0 0
1 0 0 0 0 0 0
1 0 1 0 0 0 0
1 1 0 1 0 0 0
1 1 1 1 1 1 1
9. 8
Hukum Komutatif
(a) A + B = B + A(BENAR)
Pembuktian:
A B A+B B+A
0 0 0 0
0 1 1 1
1 0 1 1
1 1 1 1
(b) A B = B A(BENAR)
Pembuktian:
A B AB BA
0 0 0 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 1 1 1
Teorema kompelement
(a) A + Ā=1) (BENAR)
Pembuktian:
A Ā 1 (A + Ā=1)
0 1 1 1
0 1 1 1
1 0 1 1
1 0 1 1
10. 9
(b) A Ā = 0 (BENAR)
Pembuktian:
A Ā 0 (A Ā= 0)
0 1 0 0
0 1 0 0
1 0 0 0
1 0 0 0
Hukum Operasi 0 dan 1
(a) 1 + A = 1(BENAR)
Pembuktian:
A 1 1+A
0 1 1
0 1 1
1 1 1
1 1 1
(b) 1 A = A (BENAR)
Pembuktian:
A 1 1.A=A
0 1 0
0 1 0
1 1 1
1 1 1
(a) 0 + A = A (BENAR)
Pembuktian:
11. 10
A 0 0+A=A
0 0 0
0 0 0
1 0 1
1 0 1
(b) 0 A = 0 (BENAR)
Pembuktian:
A 0 0 A = 0
0 0 0
0 0 0
1 0 0
1 0 0
Hukum Idempoten
(a) A + A = A (BENAR)
Pembuktian:
A A A + A =
A
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
(b) AA =A (BENAR)
Pembuktian:
12. 11
A A A . A =
A
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
Hukum Involusi
=
A
. = A (BENAR)
Pembuktian:
. = A
0 0 0
0 0 0
1 1 1
1 1 1
C.Penyajian Fungsi Boole
A.bentuk kanomik
• Ada dua macam bentuk kanonik:
1) Penjumlahan dari hasil kali (sum-of-product atau SOP)
2) Perkalian dari hasil jumlah (product-of-sum atau POS)
Contoh:
1. f(x, y, z) = x’y’z + xy’z’ + xyz SOP
Setiap suku (term) disebut minterm
2. g(x, y, z) = (x + y + z)(x + y’ + z)(x + y’ + z’)
13. 12
(x’ + y + z’)(x’ + y’ + z) POS
Setiap suku (term) disebut maxterm
• Setiap minterm/maxterm mengandung literal lengkap
• Suatu fungsi Booelan dapat dibentuk secara teorema dari tabel kebenaran yang
diketahui dengan membentuk minterm/maxterm dari setiap kombinasinya.
Untuk membentuk SOP, tinjau kombinasi peubah-peubah yang menghasilkan nilai 1.
Untuk membentuk POS, tinjau kombinasi peubah-peubah yang menghasilkan nilai 0.
• Contoh:
Nyatakan fungsi Boole f(x, y, z) = x + y’z dalam
bentuk kanonik SOP dan POS!
• Cara 1
f(x, y, z) = x + y’z
(a) SOP
x = x(y + y’)
= xy + xy’
= xy (z + z’) + xy’(z + z’)
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’
14. 13
y’z = y’z (x + x’)
= xy’z + x’y’z
Jadi,
f(x, y, z) = x + y’z
= xyz + xyz’ + xy’z + xy’z’ + xy’z + x’y’z
= x’y’z + xy’z’ + xy’z + xyz’+ xyz
atau
f(x, y, z) = m 1+ m 4 + m5 +
m 6 + m7
= (1,4,5,6,7)
(b) POS
f(x, y, z) = x + y’z
= (x + y’)(x + z)
(Hk Distributif)
x + y’ = x + y’ + zz’
= (x + y’ + z)(x + y’ + z’)
x + z = x + z + yy’ = (x + y + z)(x + y’ + z
Jadi,
f(x,y,z)=(x +y’+ z)(x +y’+ z’)
(x + y + z)(x + y’ + z)
= (x +y+ z)(x +y’ + z)
(x + y’ + z’)
atau
f(x, y, z) = M0M2M3
= (0, 2, 3)
15. 14
D. Penyederhanaan fungsi Boole
dapat dilakukan dengan 2 cara:
Secara teorema
Menggunakan Peta Karnaugh
a. Penyederhanaan Secara Teorema
Contoh:
1.f(x, y) = x + x’y
= (x + x’)(x + y) hukum distributif
= 1 . (x + y ) hukum komplemen
= x + y
2. f(x, y, z) = x’y’z + x’yz + xy’
= x’z(y’ + y) + xy’ hukum distributif
= x’z + xz’
3. f(x, y, z) = xy + x’z + yz = xy + x’z + yz(x + x’)
= xy + x’z + xyz + x’yz hukum asosiatif
= xy(1 + z) + x’z(1 + y) = xy + x’z hukum distributif
b.Penyederhanaan dengan Peta Karnaugh
Peta Karnaugh adalah sebuah diagram / peta yang terbentuk dari kotak - kotak yang
bersisian. Tiap kotak
merepresentasikan sebuah minterm. Peta Karnaugh dengan jumlah kotak lebih dari 4
buah akan memiliki sisi yang berseberangan. Sisi yang berseberangan
tersebut sebenarnya merupakan sisi yang bersisian juga. Artinya sebuah peta karnaugh
dapat dibayangkan sebagai sebuah kotak kubus atau balok atau silinder yang tersusun
atas kotak – kotak itu.
16. 15
a. Peta Karnaugh dengan dua peubah
Fungsi Boole yang merepresentasikannya adalah f (x, y) = x y
Fungsi Boole yang merepresentasikannya adalah f (x, y) = x y‘ + x y
b. Peta Karnaugh dengan tiga peubah
17. 16
Fungsi Boole yang merepresentasikannya adalah f (x, y,z) = x’ y z‘ + x y z’ + x y z
c. Peta Karnaugh dengan empat peubah
Teknik Minimasi Fungsi Boole dengan Peta Karnaugh
1. Pasangan : dua buah 1 yang bertetangga
Fungsi Boole sebelum disederhanakan : f (w, x, y, z) = w x y z + w x y z’
Setelah disederhanakan : f (w, x, y, z) = w x y
18. 17
Bandingkan dengan cara teorema
f (w, x, y, z) = w x y z + w x y z’
= w x y (z + z’ )
= w x y (1)
= w x y
2. Kuad : empat buah 1 yang bertetangga
Fungsi Boole sebelum disederhanakan : f (w, x, y, z) = w x y’ z’ + w x y’ z + w x y z +
w x y z’
Setelah disederhanakan : f (w, x, y, z) = w x
3. Oktet : delapan buah 1 yang bertetangga
Fungsi Boole sebelum disederhanakan : f (w, x, y, z) = w x y’ z’ + w x y’ z + w x y z
+ w x y z’ + w x’ y’ z’ + w x’ y’ z + w x’ y z + w x’ y z’
Setelah disederhanakan : f (w, x, y, z) = w
E. Teorema Dasar De Morgan
Dua persamaan berikut dikenal dengan nama Hukum De Morgan:
Untuk membuktikan Persamaan (1-1) perlu di perhatikan, bahwa jikalau semua masukan 1,
19. 18
masing-masing ruas persamaan akan memberikan suatu hasil yang sama dengan 0. Di pihak
lain, kalau satu (atau lebih dari satu) masukan sama dengan 0, maka masing-masing ruas
persamaan akan memberikan suatu hasil yang sama dengan 1. Sehingga, untuk semua
kemungkinan masukan dari ruas sebelah kanan persamaan sama dengan ruas sebelah kiri.
Persamaan (1-2) dibuktikan dengan cara yang sama. Hukum De Morgan memperlengkap
daftar identitas Boole dasar. Untuk masing-masing acuan selanjutnya, semua hubungan-
hubungan tersebut di ringkas dalam tabel 1a.
Contoh penggunaan teorema boole hukum-hukum De Morgan pada ekuivalensi rangkaian
EXCLUSIVE OR adalah sebagai berikut:
Diketahui suatu fungsi logika boole EXCLUSIVE OR dan ekuivalen dengan
fungsi logika boole , buktikan bahwa memang kedua persamaan tersebut
ekuivalen. Maka dua persamaan tersebut dapat dibuktikan dengan penjabaran dengan
pertolongan teorema boole sebagai berikut:
20. 19
Dari hukum De Morgan dapat disimpulkan, bahwa untuk mendapatkan komplemen
(pelengkap) dari suatu fungsi boole adalah dengan mengubah semua operasi OR menjadi
operasi AND, ataupun sebaliknya mengubah semua operasi AND menjadi operasi OR, dan
melakukan penolakan masing-masing simbol binernya. Dan dengan pertolongan hukum De
Morgan dapat kita tunjukkan bahwa suatu rangkaian AND untuk logika positif juga bekerja
seperti halnya suatu gerbang OR untuk logika negatif. Misalkan Y adalah keluaran dan A, B, ...
, N adalah masukan-masukan ke AND positif, sehingga
Kalau keluaran dan semua masukan dari rangkaian dikomplemenkan sedemikian hingga 1
menjadi 0 dan sebaliknya, maka logika positif berubah menjadi logika negatif. Karena Y dan
menggambarkan terminal keluaran yang sama,A dan menggambarkan terminal masukan
yang sama, dan lain sebagainya. Rangkaian yang melaksanakan logika AND positif dalam
persamaan (1-3) juga bekerja sebagai gerbang logika OR negatif pada persamaan (1-4).
Alasan yang sama digunakan untuk membuktikan, bahwa rangkaian yang sama mungkin
berlaku sebagai AND negatif atau OR positif, tergantung kepada bagaimana tingkat biner
didefinisikan. Hal ini telah dibuktikan untuk logika dioda. Untuk lebih jelasnya berikut
ditampilkan aplikasi teorema De Morgan dalam diagram blok fungsi logika boole pada gambar
1-1c. Suatu OR yang diubah ke AND dengan membalikkan semua masukan dan keluarannya,
gambar 1-1d. Suatu AND menjadi OR, kalau semua masukan dan keluaran komplemen.
22. 21
BAB III
PENUTUP
A.KESIMPULAN
Teorema boole digunakan untuk menyatakan pengaruh berbagai rangkaian digital pada
masukan-masukan logika, dan untuk memanipulasi variabel logika dalam menentukan cara terbaik
pada pelaksaan fungsi rangkaian tertentu. Oleh karena hanya ada dua niai yang mungkin,
teorema boole lebih cocok digunakan untuk rangkaian digital dibandingkan dengan teorema yang
lain. Kenyataanya alajabar boole hanya mengenal tiga operasi dasar, yaitu: Aturan operasi OR,
AND dan NOT
Teorema De Morgan sebenarnya juga tidak perlu menggunakan semua gerbang logika,
yakni cukup adanya OR dan NOT atau AND dan NOT saja, karena dari hukum De Morgan
persamaan (1-1) AND dapat diperoleh dari OR dan NOT, seperti ditunjukkan dalam gambar 1-1c.
Dan dengan cara yang sama,AND dan NOT dapat dipilih sebagai rangkaian gerbang logika dasar,
dan dari hukum De Morgan persamaan (1-2), OR mungkin dapat dibangun seperti ditunjukkan
dalam gambar 1-1d. Gambar ini akan menjelaskan lagi, bahwa OR (AND) dibalikkan pada
masukan dan keluaran membentuk logika AND (OR)
B.SARAN
Untuk memahami lebih lanjut tentang Teorema Boole saya harap si pembaca dapat mencari
sumber-sumber yang lain di internet dan buku-buku yang terkait dengan Teorema Boole
