Θεωρητική μηχανική. Ολοκλήρωση εξισώσεων κίνησης. Σταθερή δύναμη.

1. ΟΛΟΚΛΗΡΩΣΗ ΤΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ
ΚΙΝΗΣΗΣ.
ΚΙΝΗΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ.
(Η ΑΠΛΗ ΠΕΡΙΠΤΩΣΗ ΤΗΣ ΣΤΑΘΕΡΗΣ ΔΥΝΑΜΗΣ).
Για ένα σωματίδιο μάζας m, το οποίο κινείται σε μια διάσταση
υπό την επίδραση δύναμης ( )
F x , έχοντας ολική ενέργεια Ε (που
αποτελεί σταθερά της κίνησης), η διατήρηση της ενέργειας δίνει:
2
1
( )
2
E mx U x
= +
(1)
Στη σχέση (1), Ε είναι η ολική ενέργεια του σωματιδίου, ( )
U x
είναι η δυναμική του ενέργεια και x η ταχύτητά του. ( dx
x
dt
= ). Από τη
σχέση λοιπόν (1), έχουμε διαδοχικά:
2
1
( )
2
mx U x E
+ = ή
2
1
( ) ( )
2
dx
m U x E
dt
+ = ή
2 2
( ) [ ( )]
dx
E U x
dt m
= − ή
2
[ ( )]
dx
E U x
dt m
= − ή

2. 2 ( )
m dx
dt
E U x
=
−
(2)
Στην παραπάνω σχέση (2), η υπόριζη ποσότητα ( )
E U x
− ισούται
με την κινητική ενέργεια του σωματιδίου και πρόκειται προφανώς για
μη αρνητική ποσότητα.
Με ολοκλήρωση της σχέσης (2), παίρνουμε:
0
0
2 ( )
x
x
m dx
t t
E U x
− =
−

(3)
Στη σχέση (3), 0
x είναι η θέση του σωματιδίου τη χρονική
στιγμή 0
t . Εισάγοντας στη σχέση (3) τη συνάρτηση ( )
U x που μας
δίνει τη δυναμική ενέργεια στο εκάστοτε πρόβλημά μας και
ολοκληρώνοντας, βρίσκουμε τη συνάρτηση ( )
t x , η αντίστροφη της
οποίας ( ( )
x t ) αποτελέι την εξίσωση κίνησης του σώματος.
Ας θεωρήσουμε λοιπόν την πολύ απλή περίπτωση όπου στο
σωματίδιο ασκείται μια σταθερή δύναμη ( )
F x F
= . Θα έχουμε λοιπό
τότε:
( )
( )
dU x
F x
dx
= − ή
( )
dU x Fdx
= − ή
( )
U x Fx c
= − + (4)
Στη σχέση (4) θεωρώντας ότι (0) 0
U = , προκύπτει ότι είναι
επίσης 0
c = , οπότε η (4) απλουστεύεται:
( )
U x Fx
= − (5)

3. Η σχέση λοιπόν (3) (θεωρώντας ότι το σώμα βρίσκεται στη θέση
0
x τη χρονική στιγμή 0 0
t = ), μας δίνει:
0 0
( )
2 2
( )
x x
x x
m dx m dx
t x
E U x E Fx
= =
− +
  ή
0
1 ( )
( )
2
x
x
m d E Fx
t x
F E Fx
+
=
+
 ή
0
2
( ) ( )
2
m
t x E Fx E Fx
F
= + − + ή
0
2
( ) ( )
m
t x E Fx E Fx
F
= + − +
(6)
Τώρα, στη θέση 0
x , έχουμε:
2 2
0 0 0 0
1 1
( )
2 2
E m U x m Fx
 
= + = −
(7)
Από τις σχέσεις (6) και (7), παίρνουμε:
2 2
0 0 0 0 0
2 1 1
( ) ( )
2 2
m
t x m Fx Fx m Fx Fx
F
 
= − + − − + ή
2
0 0 0
2 1
( )
2
m m
t x m Fx Fx
F F
 
+ = − + ή
2
0 0 0
1 ( )
2 2
2
Ft x m
m Fx Fx
m
 
− + = + ή
2 2
2 2
0 0 0 0
1 ( ( )) 1
( )
2 2 2
F t x
m Fx Fx m F t x
m
  
− + = + + ή
2 2
0 0
( ( ))
( )
2
F t x
Fx Fx F t x
m

= + + και τελικά, λύνοντας ως προς x :

4. 2
0 0
1
( ) ( )
2
F
x x t x t t
m

= = + +
(8)
Στη σχέση (8) αναγνωρίζουμε τη γνωστή μας σχέση για το x στην
ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση με αρχική ταχύτητα 0
 και
αρχική απομάκρυνση 0
x :
2
0 0
1
2
x x t t
 
= + +
(9)
όπου
F
m
 = είναι η (σταθερή) επιτάχυνση του σωματιδίου.
ΙΟΥΛΙΟΣ 2013
ΦΙΟΡΕΝΤΙΝΟΣ ΓΙΑΝΝΗΣ