1. Turunan merupakan konsep penting dalam kalkulus yang menggambarkan laju perubahan suatu fungsi. Terdapat berbagai aturan untuk mencari turunan fungsi-fungsi dasar seperti polinomial, trigonometri, eksponensial, dan logaritma. Turunan tingkat tinggi dapat dicari dengan menurunkan turunan sebelumnya.
2. 2
4.1 Konsep Turunan
4.1.1 Turunan di satu titik
Definisi 4.1 Misalkan fungsi f terdefinisi pada selang I yang memuat c. Turunan pertama fungsi
f di titik c, ditulis
didefinisikan sebagai bila limit ini ada.
Arti geometris: Perhatikan gambar disamping
Kemiringan tali busur PQ adalah :
Jika x c , maka tali busur PQ akan
berubah menjadi garis singgung di ttk P
dgn kemiringan
c
x
c
f
x
f
c
f
c
x
)
(
)
(
lim
)
(
'
P(c,f (c))
Q
f(x)
x
y
c
x
c
f
x
f
mPQ
)
(
)
(
(c)
f
c
x
f(c)
f(x)
m '
c
x
lim
)
(
' c
f
3. 3
Jadi, arti geometris dari adalah kemiringan garis singgung
kurva f di titik (c,f(c)).
Sedangkan arti fisis dari adalah laju perubahan nilai fungsi
f(x) terhadap peubah x.
Notasi Lain :
Contoh Diketahui , tentukan
Jawab :
)
(
'
,
)
(
c
y
dx
c
df
x
x
f
1
)
(
9
1
3
1
lim
3
3
3
lim
3
3
1
1
lim
3
3
lim
3
3
3
3
3
x
)
x(x
x
x
x
x
)
f(
f(x)
)
f'(
x
x
x
x
)
(
' c
f
)
(
' c
f
)
3
(
'
f
4. 4
4.1.2 Turunan Sepihak
Turunan kiri dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
Turunan kanan dari fungsi f di titik c, didefinisikan sebagai :
bila limit ini ada.
Fungsi f dikatakan mempunyai turunan ( diferensiabel ) di c atau,
ada jika
sebaliknya f dikatakan tidak mempunyai turunan di c.
c
x
c
f
x
f
c
f
c
x
)
(
)
(
lim
)
(
'
c
x
f(c)
f(x)
(c)
f
c
x
'
lim
)
(
' c
f
)
(
)
(
)
(
'
dan
)
(
)
( '
'
_
'
'
c
f
c
f
c
f
c
f
c
f
5. 5
Contoh : Diketahui
1
,
2
1
1
,
3
)
(
2
x
x
x
x
x
x
f
Selidiki apakah f(x) diferensiabel di x=1
Jika ya, tentukan
Jawab :
a.
1
1
)
1
(
lim
1
lim
1
)
1
2
1
(
3
lim
1
)
1
(
)
(
lim
)
1
(
1
2
1
2
1
1
'
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
f
f
x
x
x
x
b.
1
)
1
2
1
(
2
1
lim
1
)
1
(
)
(
lim
)
1
(
1
1
'
x
x
x
f
x
f
f
x
x
1
)
1
)(
1
(
1
lim
2
1
2
2
lim
1
1
x
x
x
x
x
x
x
Jadi, f diferensiabel di x=1. .
1
)
1
(
maka
,
1
)
1
(
)
1
( '
'
'
f
f
f
)
1
(
'
f
6. 6
Teorema 4.1 Jika f diferensiabel di c f kontinu di c.
Bukti : Yang perlu ditunjukkan adalah bahwa
Perhatikan bahwa
Maka
Sifat tersebut tidak berlaku sebaliknya. Artinya, Jika f kontinu di c, maka
belum tentu f diferensiabel di c. Hal ini, ditunjukkan oleh contoh berikut.
)
(
)
(
lim c
f
x
f
c
x
c
x
c
x
c
x
c
f
x
f
c
f
x
f
,
)
.(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
lim
)
(
lim c
x
c
x
c
f
x
f
c
f
x
f
c
x
c
x
)
(
lim
.
)
(
)
(
lim
)
(
lim c
x
c
x
c
f
x
f
c
f
c
x
c
x
c
x
0
).
(
'
)
( c
f
c
f
= f(c). Terbukti.
7. 7
4.2 Aturan Pencarian Turunan
Fungsi Turunan Pertama
Definisi 4.3 Misalkan f (x) terdefinisi pada selang I. Fungsi turunan
pertama dari f, ditulis , didefinisikan sebagai
atau jika h=t-x
bila limitnya ada.
Notasi lain ,bentuk dikenal
sebagai notasi Leibniz.
x
x
t
x
f
t
f
x
f
x
t
,
)
(
)
(
lim
)
(
'
x
h
x
f
h
x
f
x
f
h
,
)
(
)
(
lim
)
(
'
0
)
(
,
,
)
(
,
,
' x
f
D
y
D
dx
x
df
dx
dy
y x
x
dx
dy
)
(
' x
f
8. 8
Dengan menggunakan definisi tersebut dapat diturunkan aturan untuk
mencari turunan sebagai berikut :
1. Jika f (x)=k, maka
2.
3.
4.
5. dengan g(x) 0.
R
r
x
x
r
dx
x
d r
r
,
0
;
1
(x)
g
(x)
f
dx
g(x)
f(x)
d '
'
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( '
'
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
x
g
x
f
d
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
'
'
)
(
)
(
x
g
x
g
x
f
x
g
x
f
dx
d x
g
x
f
Contoh Tentukan fungsi turunan pertama dari
1
3
)
( 2
x
x
x
f
Jawab:
.
)
1
(
1
6
)
1
(
2
6
1
)
1
(
)
3
(
2
)
1
.(
1
)
(
' 2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
0
)
(
'
x
f
9. Carilah turunan nya
1.
2.
3. jari-jari sebuah semangka bulat tumbuh dg
laju tetap sebesar 2 cm/minggu. Ketebalan
kulitnya selalu sepersepuluh jari-jarinya.
Seberapa cepat isi kulit berkembang pada
akhir minggu kelima? Anggap jari-jari
semula nol
9
1
2
7 3
5
2
2
x
y x
x
3
2
5
2
2
2
x
x
y
x
x
10. 10
4.3 Turunan Fungsi Sinus dan Cosinus
Turunan fungsi trigonometri yang lain :
1. 2.
3. 4.
Contoh: Tentukan dari
x
x
f
x
x
f cos
)
(
'
sin
)
(
x
x
f
x
x
f sin
)
(
'
cos
)
(
x
dx
x
d 2
sec
tan
x
dx
x
d 2
csc
cot
x
x
dx
x
d
tan
sec
sec
x
x
dx
x
d
cot
csc
csc
x
x
x
f sin
)
( 2
)
(
' x
f
11. 11
4.4 Aturan Rantai
Andaikan y = f(u) dan u = g(x). Jika dan ada ,
maka
Jika y = f (u ) , u = g(v), dan v = h(x) maka :
Contoh: Jika
Tentukan
Jawab:
dx
du
du
dy
dx
dy
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
du
dy
dx
du
1
;
1
2
;
3 2
2
x
v
v
u
u
y
dx
dy
x
x
x
v
x
u
dx
dv
dv
du
du
dy
dx
dy
4
).
1
)
1
(
2
(
6
4
.
)
1
2
(
6
2
.
2
.
6 2
)
1
(
24 2
x
x
15. 15
4.5 Turunan Tingkat Tinggi
Turunan ke-n didapatkan dari penurunan turunan ke-(n-1).
Turunan pertama
Turunan kedua
Turunan ketiga
Turunan ke-n
Contoh : Tentukan dari
Jawab : , maka
f x
df x
dx
'( )
2
2
)
(
"
dx
x
f
d
x
f
3
3
)
(
'
"
dx
x
f
d
x
f
n
n
n
dx
x
f
d
x
f
)
(
)
(
)
( )
1
(
)
(
x
f
dx
d
x
f n
n
x
x
y sin
4 3
x
x
y cos
12
' 2
x
x
y sin
24
'
'
'
'
y
16. 16
4.6 Turunan Fungsi Implisit
Jika hubungan antara y dan x dapat dituliskan dalam bentuk y = f(x) maka
y disebut fungsi eksplisit dari x, yaitu antara peubah bebas dan tak
bebasnya dituliskan dalam ruas yang berbeda.
Bila tidak demikian maka dikatakan y fungsi implisit dari x. Untuk
menentukan turunan dari bentuk implisit digunakan aturan rantai dan
anggap y fungsi dari x.
Contoh:Tentukan y’ dari bentuk implisit Sin(xy) = x2 + 1
Jawab: Dx (Sinxy) = Dx(x2 + 1)
Cos(xy) Dx(xy) = 2x
Cos(xy) (y + x ) = 2x
Maka
)
(
)
(
2
'
xy
xCos
xy
yCos
x
y
'
y