Taller 3 - Teorema de Pitágoras y números irracionales.

INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA “LA VOZ DE LA TIERRA” RONCESVALLES
“FORMAR HOMBRES Y MUJERES NUEVOS PARA UNA SOCIEDAD NUEVA,
FUERTE, PODEROSA Y SALUDABLE”
REGISTRO DANE 273622000683 - 01 REGISTRO EDUCATIVO N.º 237012 NIT: 890705121
RESOLUCIÓN DE APROBACIÓN DE ESTUDIOS N.º 2036 DE 24 DE ABRIL DE 2019
CÓDIGO ICFES 0694430 NATURALEZA OFICIAL
JORNADA MAÑANA – NOCTURA, CALENDARIO A, CARÁCTER MIXTO, NÚCLEO EDUCATIVO 065
Docente: Ing. Elkin Alirio Novoa Marin
1
NOMBRE DOCENTE: __ELKIN ALIRIO NOVOA MARIN__ GRADO: ______8______ PERIODO: _1__
ASIGNATURA: MATEMATICAS NOMBRE DE ESTUDIANTE: _______________________________________
Semana del 8 al 19 de marzo.
COMPETENCIAS
✓ Pensamiento numérico y variacional.
HABILIDADES
✓ Usar el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa en un triángulo rectángulo.
✓ Reconocer el conjunto de los números irracionales.
EJES TEMATICOS:
✓ Números reales.
UNIDADES TEMATICAS:
✓ Teorema de Pitágoras
✓ Números irracionales
✓ Números irracionales en la recta numérica.
Para recordar…
Un triángulo rectángulo es aquel en el
que uno de sus ángulos mide 90°, a los
ángulos con esta medida se les clasifica
como ángulos rectos.
Ángulo recto
90°

2
Teorema de Pitágoras
El teorema de Pitágoras establece que, en todo
triangulo rectángulo, la longitud de la hipotenusa es
igual a la raíz cuadrada de la suma del área de los
cuadrados de las respectivas longitudes de los catetos.
Es la proposición más conocida entre las que tienen
nombre propio en la matemática.
Entonces decimos que para determinar el valor de la hipotenusa ℎ de un triángulo rectángulo cuyos catetos
miden 𝑎 y 𝑏, se utiliza el teorema de Pitágoras.
Esto es:
ℎ2
= 𝑎2
+ 𝑏2
Partiendo de esta ecuación simplemente el paso a seguir es aplicar raíz cuadrada a ambos lados para despejar
la hipotenusa.
√ℎ2 = √𝑎2 + 𝑏2
Finalmente, la raíz y la potencia al cuadrado de ℎ se cancelan, de esta forma ℎ se despeja totalmente.
90°
En un triángulo rectángulo, la
hipotenusa es el lado que se
encuentra entre los dos
ángulos que no son rectos.

3
ℎ = √𝑎2 + 𝑏2
Vamos a realizar unos ejemplos prácticos a continuación:
Ejemplos:
• Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados miden 𝑎 = 5 𝑦 𝑏 = 7.
• Hallar la hipotenusa de un triángulo rectángulo cuyos lados miden 𝑎 = 4 𝑦 𝑏 = 2.
𝒂 = 5
𝒃 = 7
𝒉 = √𝑎2 + 𝑏2
𝒉 = √52 + 72
𝒉 = √25 + 49
𝒉 = √74
Haciendo la operación en
la calculadora obtenemos:
𝒉 = 8,6 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥.
𝒂 = 5
𝒃 = 7
𝒂 = 4
𝒃 = 2
𝒉 = √𝑎2 + 𝑏2
𝒉 = √42 + 22
𝒉 = √16 + 4
𝒉 = √20
Haciendo la operación en
la calculadora obtenemos:
𝒉 = 4,47 𝐴𝑝𝑟𝑜𝑥.
𝒂 = 4
𝒃 = 2

4
Números irracionales
Algunos números decimales no pueden ser representados como números racionales
de la forma
𝑎
𝑏
.
Por ejemplo, el número √2 = 1,41421356 . .. es un número decimal con infinitas
cifras decimales, además no presenta ningún tipo de periodicidad.
Los números √3, √5, 𝜋, √2
3
, log 2 son ejemplos de números irracionales, ya que, en su
representación decimal, tienen infinitas cifras decimales no periódicas.
√3 = 1,73205 . .. √5 = 2,23606 … π = 3,14159 …
√2
3
= 1,25992 . . . log 2 = 0,30102 . ..
Representación en la recta numérica de los números irracionales
En la recta numérica, a los puntos que no les corresponde un número racional, les corresponde un número
irracional. A cada número irracional le corresponde un punto sobre la recta numérica.
Es posible representar algunos números irracionales utilizando construcciones geométricas.
Por ejemplo, para ubicar en la recta numérica, el número irracional √2 se realizan los siguientes pasos:
- Primero, se construye 𝐴𝐵
̅̅̅̅ con 𝐴 en 0 y 𝐵 en 1.
- Segundo, se traza el segmento 𝐵𝐶
̅̅̅̅ perpendicular a 𝐴𝐵 de longitud 1.
- Tercero, se une 𝐴 con 𝐶 para formar 𝐴𝐶
̅̅̅̅.
La medida de 𝐴𝐶
̅̅̅̅ se halla aplicando el teorema de Pitágoras. Así:
(𝐴𝐶)2
= (𝐴𝐵)2
+ (𝐵𝐶)2
(𝐴𝐶)2
= (1)2
+ (1)2
𝐴𝐶 = √12 + 12
𝐴𝐶 = √2

5
Por último, con un compás, se hace centro en 𝐴 y se toma la distancia 𝐴𝐶. Luego, con esta distancia, se traza
un arco que corte la recta numérica. El punto corresponde a √2.
Representación de √𝟓
Para ubicar √5, se realizan los siguientes pasos:
- Primero, se construye 𝐴𝐵
̅̅̅̅ con 𝐴 en 0 y 𝐵 en 2.
- Segundo, se traza el segmento 𝐵𝐶
̅̅̅̅ perpendicular a 𝐴𝐵
̅̅̅̅ de longitud 1.
- Tercero se une 𝐴 con 𝐶 para formar 𝐴𝐶
̅̅̅̅.
La medida de 𝐴𝐶
̅̅̅̅ se halla aplicando el teorema de Pitágoras.
(𝐴𝐶)2
= (𝐴𝐵)2
+ (𝐵𝐶)2
(𝐴𝐶)2
= (2)2
+ (1)2
(𝐴𝐶)2
= 5
𝐴𝐶 = √5
Por último, con un compás, se hace centro en 𝐴 y se toma la distancia 𝐴𝐶. Luego, con esta distancia, se traza
un arco que corte la recta numérica. Este punto corresponde a √5.

6
Actividades
1. Con ayuda de la calculadora (puede ser la del celular) hallar la hipotenusa de los siguientes triángulos
rectángulos:
𝒂 = 3
𝒃 = 9
𝒂 = 12
𝒃 = 2
𝒂 = 7
𝒃 = 8
𝒂 = 5
𝒃 = 7
𝒂 = 6
𝒃 = 7
𝒂 = 31
𝒃 = 22

7
2. Marco con un × los números irracionales. Justifica tu respuesta.
3. Escribe los números irracionales que pueden aparecer en la siguiente figura.
4. Aplica el procedimiento para ubicar √2 y √5 en la recta numérica, con el fin de determinar el punto de la
recta asociado a cada número.
a. √10
b. √8
5. Lee y resuelve
El número de oro (𝜑 =
1+√5
2
), se aprecia en la naturaleza, por ejemplo, la longitud del abdomen de una abeja
dividido por el número 𝜑 es igual a la longitud del tórax, y la longitud del tórax dividido entre 𝜑 es igual a la
longitud de la cabeza.
a. Si el abdomen de una abeja mide 1,2 cm, ¿cuánto mide su cabeza?
b. Si el abdomen de una abeja mide 2,5 cm, ¿cuánto mide su cabeza?
a.
b.
c.
d.
e.

8
c. Si el abdomen de una abeja mide 3,7 cm, ¿cuánto mide su cabeza?

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