Taller 2 - Números racionales, representación de racional en forma decimal.

INSTITUCIÓN EDUCATIVA TÉCNICA “LA VOZ DE LA TIERRA” RONCESVALLES
“FORMAR HOMBRES Y MUJERES NUEVOS PARA UNA SOCIEDAD NUEVA,
FUERTE, PODEROSA Y SALUDABLE”
REGISTRO DANE 273622000683 - 01 REGISTRO EDUCATIVO N.º 237012 NIT: 890705121
RESOLUCIÓN DE APROBACIÓN DE ESTUDIOS N.º 2036 DE 24 DE ABRIL DE 2019
CÓDIGO ICFES 0694430 NATURALEZA OFICIAL
JORNADA MAÑANA – NOCTURA, CALENDARIO A, CARÁCTER MIXTO, NÚCLEO EDUCATIVO 065
Docente: Ing. Elkin Alirio Novoa Marin
1
NOMBRE DOCENTE: __ELKIN ALIRIO NOVOA MARIN__ GRADO: ______8______ PERIODO: _1__
ASIGNATURA: MATEMATICAS NOMBRE DE ESTUDIANTE: _______________________________________
Taller 2 – Semana del 22 al 26 de febrero y 1 al 5 de marzo.
COMPETENCIAS
✓ Pensamiento numérico y variacional.
HABILIDADES
✓ Reconocer las características del conjunto de los números racionales.
✓ Ordenar números racionales.
✓ Realizar operaciones con números racionales.
✓ Convertir números racionales decimales a fraccionario y viceversa.
EJES TEMATICOS:
✓ Números reales.
UNIDADES TEMATICAS:
✓ Números racionales
✓ Orden en los racionales
✓ Operaciones con números raciones
✓ Conversión de decimal a fraccionario y de fraccionario a decimal.
Números racionales
El conjunto de los números racionales. está formado por los números de la forma
𝑎
𝑏
, donde 𝑎 y 𝑏 son números
enteros y 𝑏 ≠ 0.
El conjunto de los números racionales se simboliza como ℚ y se determina como:
ℚ = {
𝑎
𝑏
, 𝑎 𝑦 𝑏 ∈ ℤ 𝑦 𝑏 ≠ 0} , 𝑎 𝑠𝑒 𝑙𝑙𝑎𝑚𝑎 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 𝑏 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟.
Cada número racional se representa con un único punto en la recta numérica, donde los números racionales
positivos se ubican a la derecha del cero y los racionales negativos a la izquierda del cero.
Orden en el conjunto de los números racionales
Dados los números racionales
𝑎
𝑏
y
𝑏
𝑐
con 𝑏 y 𝑑 ≠ 0, se puede establecer una y solo una de las siguientes
relaciones:
𝑎
𝑏
<
𝑐
𝑑
,
𝑎
𝑏
>
𝑐
𝑑
,
𝑎
𝑏
=
𝑐
𝑑
Para determinar la relación de orden entre dos números racionales se transforman los números en fracciones
equivalentes de igual denominador. Luego, se determina la relación que existe entre los numeradores de las
fracciones equivalentes.

2
Además, si 𝑏 > 0 𝑦 𝑑 > 0, se cumple que: si 𝑏 < 𝑑 entonces 𝑎 ∙ 𝑑 < 𝑏 · 𝑐.
Ejemplos:
1. Ordenar de menor a mayor los siguientes números racionales
3
4
, −
2
3
,
4
5
y −
5
4
.
Primero, se expresan los números como fracciones equivalentes.
3
4
=
45
60
−
2
3
= −
40
60
4
5
=
48
60
−
5
4
= −
75
60
Luego, se ordenan las fracciones equivalentes, así:
−
75
60
< −
40
60
<
45
60
<
48
60
Por tanto, el orden de los números es:
−
5
4
< −
2
3
<
3
4
<
4
5
2. Para envolver un regalo María emplea
2
3
del papel y Manuel
1
4
del papel, ¿quién utilizó más papel?
Se buscan fracciones equivalentes y se comparan:
2
3
=
8
12
y
1
4
=
3
12
Como
8
2
>
3
12
, entonces,
2
3
>
1
4
.
Luego María empleó más papel para envolver su regalo.
Operaciones con números racionales
Adición y sustracción: La suma o resta de dos o más números racionales con igual denominador es un número
racional que corresponde a la suma o resta de los numeradores con el mismo denominador. Mientras que la
suma o resta de dos números racionales con distinto denominador equivale a la suma o resta de los números
racionales equivalentes con igual denominador.
Multiplicación: el producto de dos o más números racionales es otro número racional, cuyo numerador es el
producto de los numeradores y cuyo denominador es el producto de los denominadores.
División: el cociente entre dos números racionales es el producto del primer número racional con el recíproco
del segundo.

3
Ejemplos:
1. Realizar las siguientes operaciones.
a. −
10
3
+
8
3
=
−10 + 8
3
= −
2
3
b. −
1
6
−
5
14
= −
7
42
−
15
42
= −
22
42
= −
11
21
c. −
1
6
÷
4
3
= −
1
6
×
3
4
= −
3
24
= −
1
8
d. −
3
4
+ {
1
5
× [−
3
8
+ (−
1
4
)]}
= −
3
4
+ {
1
5
× [−
3
8
+ (−
2
8
)]}
= −
3
4
+ {
1
5
× [−
5
8
]}
= −
3
4
+ {−
5
40
}
= −
3
4
+ {−
1
8
}
= −
6
8
+ {−
1
8
}
= −
7
8

4
2. Leer y resolver.
Andrés realizó las siguientes inversiones.
Primero, abrió una cuenta bancaria con la mitad del capital. Luego, gastó
1
3
de
lo que le quedaba en un viaje de vacaciones. Por último, donó $280.000 a las
personas damnificadas por el invierno. Si al final quedó con $1.120.000,
¿cuánto dinero tenía Andrés antes de hacer las inversiones?
Para resolver el problema, se realizan las operaciones inversas del final hacia el
comienzo, como sigue:
- Donó $280.000, antes tenía:
1.120.000 + 280.000 = 1.400.000
- Gastó
1
3
, le queda
2
3
de lo que tenía, así:
3
2
× 1.400.000 = 2.100.000
- Invirtió la mitad, es decir,
1
2
Luego, al principio tenía 2 𝑋 2.100.000 = 4.200.000.
Por tanto, Andrés tenía $4.200.000 antes de hacer las inversiones.
Representación decimal de un número fraccionario.
Los números fraccionarios se pueden representar en forma de número decimal dividiendo el numerador entre
el numerador. Los números decimales obtenidos de esta forma pueden ser:
❖ Números decimales finitos: son los números decimales que tienen una cantidad exacta de cifras
decimales, ejemplo: 3,4 − 4,2 5,12 − 8,32 − 1,21 9,3 − 10,2 100,24
❖ Números decimales infinitos periódicos: son los números decimales que tienen una o varias cifras que
se repiten indefinidamente, a las cuales se definen como período
Los números decimales infinitos periódicos se clasifican como decimales periódicos puros, cuando el periodo
comienza a partir de la primera cifra decimal, y decimales periódicos mixtos, cuando hay una o varias cifras
que no se repiten después de la coma y el período se repite después.

5
Ejemplo de decimales infinitos periódicos puros: 5,33333 … −
6,222 … 7, 11111. .. −3,999 … − 1, 3333. . . 49,66 …. − 50,5555 … . 140,444. ..
Ejemplo de decimales infinitos periódicos mixtos: 5,343434 … −
2,123123123 … 9, 213333. .. −4,91919 … − 8, 30303030. . . 5,66776677 …. −
70,51555 … . 670,4443344433. ..
Ejemplos:
- Representemos en forma decimal la fracción
9
2
, para realizar esto simplemente debemos dividir 9 entre
2 y el cociente que en este caso es 4,5 es el resultado, es su forma decimal.
- Representemos en forma decimal la fracción
4
3
, para realizar esto simplemente debemos dividir 4 entre
3 y el cociente que en este caso es 1,333… es el resultado, es su forma decimal.
- Representemos en forma decimal la fracción −
7
6
, para realizar esto simplemente debemos dividir 7
entre 6 y el cociente que en este caso es 1,1666... es el resultado, es su forma decimal.
9 2
4,5
10
4,5 es la forma decimal
de la fracción
9
2
y es un
decimal finito.
4 3
1,333
10
1,333… es la forma decimal
de la fracción
4
3
y es un
decimal infinito periodico
puro.
7 6
1,1666
10
1,75 es la forma decimal
de la fracción
7
4
y es un
decimal infinito periodico
mixto.
40
40
10
1

6
Representación fraccionaria de un número decimal
Para escribir un número decimal en forma de fracción se debe tener en cuenta lo siguiente:
❖ Si el número es decimal finito se plantea una fracción, donde el numerador corresponde al número
decimal sin la coma y el denominador es una potencia de 10, cuyo exponente coincide con la cantidad
de cifras decimales del número.
❖ Si el número es decimal periódico, se plantean ecuaciones de tal manera que se elimine el período y se
determine la fracción requerida.
EJEMPLOS:
- Escribir en forma de fracción el número decimal 3,2; para esto lo primero que debemos hacer es
observar que tiene 1 cifra decimal exacta, entonces multiplicamos el número por 10 lo que nos da
como resultado 32, luego escribimos el número en forma de fracción dejando como denominador el
número por que se multiplico que en este caso es 10 dando como resultado la fracción
32
10
.
3,2 × 10 = 32 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛
32
10
- Escribir en forma de fracción el número decimal 4,12; para esto lo primero que debemos hacer es
observar que tiene 2 cifras decimales exactas, entonces multiplicamos el número por 100 lo que nos da
como resultado 412, luego escribimos el número en forma de fracción dejando como denominador el
número por que se multiplico que en este caso es 100 dando como resultado la fracción
412
100
.
4,12 × 100 = 412 𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑠𝑒 𝑟𝑒𝑝𝑟𝑒𝑠𝑒𝑛𝑡𝑎 𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑓𝑟𝑎𝑐𝑐𝑖ó𝑛
412
100
- Escribir en forma de fracción el número decimal infinito -1,55...
𝑥 = −1,55… Primero representamos el número
10𝑥 = −15,55 … Luego multiplicamos por 10
10𝑥 − 𝑥 = −15,55 … − (−1,55 … ) Ahora restamos las ecuaciones
9𝑥 = −14 Realizamos las restas
𝑥 = −
14
9
Despejamos la x dividiendo por 9 en ambos lados

7
- Escribir en forma de fracción el número decimal infinito 2,1212...
𝑥 = 2,12 … Primero representamos el número
100𝑥 = 212,12 … Luego multiplicamos por 100
100𝑥 − 𝑥 = 212,12 … − (2,12 … ) Ahora restamos las ecuaciones
99𝑥 = 210 Realizamos las restas
𝑥 =
210
99
Despejamos la x dividiendo por 99 en ambos lados
Actividades
1. Ordene de menor a mayor los siguientes grupos de números.
a.
1
4
, −
2
3
,
1
7
,
2
9
b. −
2
7
, −
4
3
,
5
2
,
2
3
2. Ordene de mayor a menor los siguientes grupos de números.
a.
7
2
,
2
3
, −
1
7
,
3
4
b. −
3
7
,
4
3
,
1
2
, −
2
3
3. Lee y resuelve.
a. Para envolver un tamal Helena emplea
3
4
de la hoja de plátano y Pedro
5
7
del papel, ¿quién utilizó más
hoja de plátano?
b. El área de hielo del monte Kilimanjaro se ha reducido en
2
5
,los glaciares del monte Kenya se han
reducido en
3
4
de su superficie y los glaciales del Cáucaso, en Rusia, han disminuido su superficie en
1
2
·
¿Qué lugar ha perdido más hielo en su superficie?

8
4. Realiza las siguientes operaciones
a.
4
5
+
7
5
b.
1
3
+
8
5
c.
7
2
−
3
4
d. −
9
4
− (
6
5
)
e.
2
3
×
7
4
f. −
8
7
×
5
2
g.
3
2
÷
8
5
h.
1
9
÷ (−
7
4
)
i.
3
2
+ {
1
3
× [
3
5
+ (−
2
7
)]}
5. Represente en forma decimal las siguientes fracciones e indique que tipo de decimal es (finito, infinito
periódico puro o mixto).
6
4
=
5
2
=
13
4
=
5
4
=
7
2
=
11
2
=
24
5
=
33
7
=
8
7
=
9
4
=
7
4
=
15
2
=
13
7
=
6
5
=
8
3
=
6. Represente en forma de fracción los siguientes números decimales:
1,2 3,4 -5,8 6,2 -4,2 5,22… 8,33…. -14,111…. 2,3131…
3,2 9,4 -7,3 13,7 -0,2 15,1212… 4,5454…. -1,001

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