Dokumen tersebut membahas tentang nilai dan vektor eigen dari suatu matriks persegi. Secara singkat, nilai eigen adalah skalar λ yang memenuhi persamaan Ax = λx, sedangkan vektor eigen adalah vektor x yang memenuhi persamaan tersebut.

1. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai dan Vektor Eigen

2. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Mengingat kembali: perkalian matriks
• Diberikan matriks A2x2 dan vektor-vektor u, v, dan w
• Hitunglah Au, Aw, Av. Manakah dari hasil kali tersebut yang hasilnya adalah vektor
yang sejajar dengan vektor semula
2 0 1 0 5
4 1 4 4 4
A v w u
       
   
       
       
2 0 1 2 1
2 2
4 1 4 8 4
Av v
       
   
       
       
2 0 5 10
4 1 4 24
untuksemua
Au ku
k R
     
  
     
     

2 0 0 0
1.
4 1 4 4
Aw w
     
  
     
     
v dan Av sejajar
Jawab:
w dan Aw sejajar
u dan Au TIDAK sejajar

3. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Mengingat kembali: SPL homogen dan
determinan
1. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian trivial saja.
Apa kesimpulanm tentang A?
2. A adalah matriks nxn dan SPL Ax = 0 mempunyai penyelesaian TIDAK
trivial. Apa kesimpulanmu tentang A dan det(A)?
Jawaban:
A mempunyai inverse. Det(A) ≠ 0
Jawaban:
A tidak mempunyai inverse.
Det(A) = 0

4. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Ax
Perkalian vektor dengan matriks
A x = x
λ
x
Ax
x
x dan Ax sejajar

5. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Perkalian vektor dengan matriks
y
x
1
4
y
x
y
x
2
8
0
4
1
4
 
 
 
= 2
2 0
4 1
 
 
 
1
4
 
 
 
2 0
4 1
 
 
 
0
4
 
 
 
=1
0
4
 
 
 

2 0
4 1
 
 
 
5
4
 
 
 
=
10
24
 
 
 
5
4
 
 
 
k
5
4
10
24
Au = 2u Av = v Aw ≠ kw

6. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Definisi: Nilai dan Vektor Eigen
Definisi:
Diberikan matriks A nxn, vektor tak nol v di Rn disebut vektor eigen
dari A jika terdapat skalar sedemikian hingga
Av = λv.
λ disebut nilai eigen, x adalah vektor eigen dari A yang
bersesuaian dengan λ .
Syarat perlu: v ≠ 0
(1) λ ≥ 1 (2) 0 ≤ λ ≤ 1 (3) -1 ≤ λ ≤ 0 (4) λ ≤ - 1

7. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Masalah Vektor Eigen
Diberikan matriks persegi A,
Temukan semua vektor tidak nol x sedemikian hingga Ax
adalah kelipatan skalar x (Ax sejajar dengan x).
atau
Temukan semua vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = λx
untuk suatu skalar λ
A x sejajar x
A x = x
λ

8. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Masalah Nilai Eigen
Diberikan matriks persegi A.
A =
Temukan semua skalar λ sedemikian hingga Ax = λx untuk suatu
vektor tak nol x.
atau
Temukan semua vektor skalar λ sedemikian hingga persamaan
Ax = λx mempunyai penyelesaian tak nol
x λ x
x vektor tak nol
Ax = λx

9. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Pernyataan-pernyataan ekuivalen
Jika A matriks persegi nxn, maka kalimat-kalimat berikut ekuivalen
1.  nilai eigen A
2. terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga Ax = x
3. SPL (A – I)x = 0 mempuyai solusi tidak nol (non-trivial)
4.  adalah penyelesaian persamaan det(A – I) = 0
Mencari nilai eigen A sama saja mencari penyelesaian
persamaan det(I-A) = 0

10. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Persamaan Karakteristik
Jika diuraikan, det((A - λI) merupakan suku banyak berderajat n dalam λ,
p(λ ) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 suku banyak karakteristik
Persamaan det((A - λI) = λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0 disebut
persamaan karakteristik
Persamaan dengan derajat n mempunyai paling banyak n penyelesaian, jadi
matriks nxn paling banyak mempunyai n nilai eigen.
A-λI
det λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0
λI
A -
= = 0
•persamaan
karakteristik
A-λI
=

11. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh
Mencari semua nilai eigen A=
2 0
4 1
 
 
 
Mencari semua penyelesaian persamaan
Mencari penyelesaian persamaan karakteristik
Nilai eigen A adalah
1
2
2,
1




det
2 - λ 0
= 0
4 1 - λ
( )( ) = 0
2 - λ
1 - λ
4
0
2 - λ 1 - λ

12. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Prosedur: menentukan nilai eigen
Diberikan matriks persegi A.
Nilai-nilai eigen A dapat diperoleh sebagai berikut:
1. Tentukan persamaan karakteristik det((A - λI) = 0
tuliskan A dan matriks yang elemen diagonal utamanya dikurangi λ
2. (Jika diperlukan) uraikan persamaan karakteristik ke dalam persamaan
sukubanyak karakteristik:
λⁿ + cn-1λn-1 +cn-2 λn-2 + …+ c1λ+ c0 = 0
3. Selesaikan persamaan yang diperoleh pada langkah di atas. Nilai-nilai eigen
merupakan penyelesaian persamaan tersebut.

13. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh: Menentukan nilai eigen
Diberikan matriks persegi
1. Tentukan persamaan karakteristik det(A - λI) = 0
2. Ubahlah persamaan karakteristik ke dalam persamaan sukubanyak karakteristik:
3. Selesaikan persamaan di atas untuk memperoleh nilai-nilai eigen
1 1 1
0 3 3
2 1 1
A
 
 
  
 

 
2
1 1 1
det( ) det 0 3 3
2 1 1
(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 )
A I

 

   

 
 
  
 
 
 
 
      
2
(1 ) (3 ) (3 ) 0
  
    
2
(1 ) (3 ) 6 2(3 ) 3(1 ) 0
   
       
( 2)(3 ) 0
  
  
Nilai-nilai eigen A:
λ1 = 0
λ2 = 2
λ3 = 3

14. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai eigen matriks diagonal
Diberikan matriks diagonal
2 0 0 0
0 5 0 0
0 0 6 0
0 0 0 1
A
 
 
 

 
 
 
Nilai-nilai eigen matriks diagonal adalah elemen diagonal
utamanya.
•Persamaan karakteristik:
•Nilai-nilai eigen 2, 6, 5, 1
(merupakan entri diagonal utama)
2 0 0 0
0 5 0 0
0 0 6 0
0 0 0 1
A I






 
 

 
 
 

 

 
(2 )(5 )(6 )(1 ) 0
   
    

15. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Bagaimana menentukan apakah suatu
skalar merupakan nilai eigen?
• Tentukan apakah 2, 0, 4 merupakan nilai eigen A.
Jawab:
Bentuk det(A-λI) untuk λ = 2, 0, 4. Jika det(A-λI) ≠ 0, maka merupakan nilai eigen, kalau = 0,
maka bukan nilai eigen. Kunci: 2, 4 nilai eigen A, 0 bukan nilai eigen A.
2 adalah nilai eigen A
0 bukan nilai eigen A
4 nilai eigen A
2 2 0
0 4 0
0 1 0
A
 
 
  
 
 
2 2 2 0
det( 2 ) det 0 4 2 0 0
0 1 0 2
A I

 
 
   
 
 

 
2 4 2 0
det( 4 ) det 0 4 4 0 0
0 1 0 4
A I

 
 
   
 
 

 
2 0 2 0
det( 0 ) det 0 4 0 0 8 0
0 1 0 0
A I

 
 
    
 
 

 

16. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Kelipatan skalar vektor eigen
• Diberikan A. Diketahui bahwa x adalah vektor eigen A yang bersesuaian dengan nilai
eigen 2. Selidiki apakah 1/2x, 10x, 5x juga vektor-vektor eigen A
1 1 1
0 3 3 ,
2 1 1
A
 
 
  
 

 
1 1 1 4 8
0 3 3 6 12 2
2 1 1 2 4
Ax x
 
    
    
    
    
    

    
1 1 1 40 80
(10 ) 0 3 3 60 120 2(10 )
2 1 1 20 40
A x x
 
     
     
    
     
     

     
1
2
2
3
1
x

 
 
 
 
 
 
4
6
2
x

 
 
 
 
 
 
20
5 30
10
x

 
 
 
 
 
 
40
10 60
20
x

 
 
 
 
 
 
Ax = 2 x A(10x) = 2 (10x)
A =
x λ x
A =
(10) λ (10) x
x

17. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Kelipatan skalar vektor eigen
1 1 1
0 3 3 ,
2 1 1
A
 
 
  
 

 
1 1 1 4 8
0 3 3 6 12 2
2 1 1 2 4
Ax x
 
    
    
    
    
    

    
1 1
2 2
1 1 1 2 4
( ) 0 3 3 3 6 2( )
2 1 1 1 2
A x x
 
     
     
    
     
     

     
1
2
2
3
1
x

 
 
 
 
 
 
4
6
2
x

 
 
 
 
 
 
Ax = 2 x A(1/2 x) = 2 (1/2 x)
A =
x λ x
Kelipatan skalar (tak nol) dari vektor eigen adalah
vektor eigen terhadap nilai eigen yang sama
A =
(1/2) λ (1/2) x
x

18. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Menentukan semua vektor eigen Eλ
• Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ. Tentukan semua
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ.
• Vektor-vektor eigen A yang bersesuaian dengan λ = 3 dapat diperoleh dengan
menyelesaikan SPL (A - λ I)x = 0. Vektor eigen adalah anggota Null(A - λ I)
Null(A - λ I)
Null(A - λ I)-{0}
Himpunan semua penyelesaian
SPL (A - λ I)x = 0
Himpunan semua vektor eigen
bersesuaian dengan λ
0

19. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Ruang Eigen
0
Ruang penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0
Null(A - λ I)x
Ruang Eigen
Eλ
Ruang eigen A yang bersesuaian dengan λ terdiri atas semua
vektor eigen yang bersesuaian dengan λ dan vektor nol
Null(A - λ I) = Eλ
Menentukan Eλ sama dengan menentukan himpunan penyelesaian SPL (A - λ I)x = 0

20. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Menentukan ruang eigen Eλ
• Diberikan vektor matriks A dan salah satu nilai eigennya, misalnya λ = 3. Tentukan
semua vektor eigen yang bersesuaian dengan λ = 3.
1 2 3
3
1 2 3
2 0
3 0
2 2 0
x x x
x
x x x
   

   
1
2 ,
0
a a R
 
 
 
  
 
 
 
 
 
 
1
2
3
1 3 1 1 0
( 3 ) 0 3 3 3 0
2 1 1 3 0
x
A I x x
x
  
   
 
   
   
 
   
 
   
 
   
 
SPL (A - 3 I)x = 0
Penyelesaian 1
2
3
2
0
x a
x a
x



Himpunan vektor eigen A bersesuaian dengan λ =3 :
Himpunan penyelesaian
1
2 , 0,
0
a a a R
 
 
 
   
 
 
 
 
 
 
1 3 1 1
0 3 3 3
2 1 1 3
A I


 
 
  
 
 
 
 
1 1 1
0 3 3
2 1 1
A
 
 
  
 

 

21. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Nilai eigen matriks pangkat
• Nilai eigen dari A adalah 0, 2, dan 3.
• Tentukan nilai eigen untuk
• Diberikan sembarang matriks A dan diketahui bahwa λ adalah nilai eigennya.
Maka terdapat vektor tak nol x sedemikian hingga
Ax = λx kalikan kedua ruas dengan matriks A
A.Ax = A λx
A2x = λ(Ax) substitusi Ax dengan λx
A2x = λ2x jadi, λ2 merupakan nilai eigen A2
• Teorema: Jika n adalah bilangan bulat positif, λ nilai eigen matriks A, maka λn
adalah nilai eigen An
1 1 1
0 3 3
2 1 1
A
 
 
  
 

 
2 13 20
1 5 5
6 12 12 , ,
4 2 1
A A A

 
 
 
 
 

 