Aljabar matriks, operasi matriks

1. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Modul 2: Aljabar Matriks
Kasiyah M. Junus
Siti Aminah

2. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Cakupan materi dan prasyarat
Cakupan materi
• Kesamaan matriks
• Jumlahan matriks
• Perkalian matriks dengan skalar
• Perkalian dua matriks
• Matriks inverse
Materi Prasyarat:
Sistem Persamaan Linier
Operasi baris elementer

3. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Matriks
• Matriks adalah susunan bilangan-bilangan yang terdiri atas baris-baris
dan kolom-kolom.
• Masing-masing bilangan dalam matriks disebut entri atau elemen.
Ordo (ukuran) matriks adalah jumlah baris kali jumlah kolom.
a11 a12…….a1j ……a1n
a21 a22 ……a2j…….a2n
: : : :
ai1 ai2 ……aij…….. ain
: : : :
am1 am2……amj……. amn
A =
baris
kolom
Notasi:
Matriks: A = [aij]
Elemen: (A)ij = aij
Ordo A: m x n

4. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Matriks persegi
Matriks persegi (bujur sangkar) adalah matriks yang jumlah baris
dan jumlah kolom sama.
1 2 4
2 2 2
3 3 3
Trace(A) = 1 + 2 + 3
Trace dari matriks adalah jumlahan elemen-elemen diagonal utama
diagonal utama

5. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Matriks nol dan identitas
matriks nol adalah matriks yang semua elemennya nol
0 0
0
0 0
0 0
1 0
0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
I2
I3 I4
matriks identitas adalah matriks persegi yang elemen diagonal utamanya 1
dan elemen lainnya 0

6. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Kesamaan dua matriks
• Dua matriks sama jika ukuran sama dan setiap entri yang bersesuaian sama.
1 2 4
2 1 3
A =
1 2 4
2 1 3
B =
1 2 2
2 1 3
C =
2 1 2
2 1 3
D =
1 2 4
2 2 2
E =
x 2 4
2 2 2
F =
2 2 2
4 5 6
9 0 7
G = H =
? ? ?
? ? ?
? ? ?
A = B
C ≠ D
E = F jika x = 1
G = H
2 2 2
4 5 6
9 0 7

7. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Jumlahan dan pengurangan dua matriks
• Contoh
10 22
1 -1
A = 2 6
7 5
B =
10+2 22+6
1+7 -1+5
A + B =
12 28
8 4
=
8 16
-6 -6
=
A - B = 10-2 22-6
1-7 -1-5
• Apa syarat agar dua matriks dapat dijumlahkan?
•Jawab: ordo dua matriks tersebut sama
A = [aij] dan B = [bij] berukuran sama,
A + B didefinisikan: (A + B)ij = (A)ij + (B)ij = aij + bij

8. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Latihan: Jumlahan dua matriks (lanjutan)
5 6 1
7 2 3
C =
25 30 5
35 10 15
D =
C + D =
? ? ?
? ? ?
1 4 -9
3 7 0
5 9 -13
K =
7 3 1
-2 4 -5
9 -4 3
L =
K + L =
? ? ?
? ? ?
? ? ?
D + C =
L + K =
Apa kesimpulanmu? Apakah jumlahan matriks bersifat komutatif?

9. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Quiz: Jumlahan dua matriks
• Quiz:
1. C + D =…
2. C + E = …
3. A + B = …
3 -8 0
4 7 2
-1 8 4
C = D =
3 7 2
5 2 6
-1 8 4
E =
2 7 2
5 2 6
0 0 0
0 0 0
A =
0 0 0
0 0 0
B =
6 -1 2
9 9 8
-2 16 8
C +D =
Feedback:

10. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Hasil kali skalar dengan matriks
• Contoh:
5 6 1
7 2 3
A = 5A =
5x5 5x6 5x1
5x7 5x2 5x3
25 30 5
35 10 15
=
250 300 50
350 100 150
H = H = 50A
Catatan: Pada himpunan Mmxn, perkalian matriks dengan skalar bersifat
tertutup (menghasilkan matriks dengan ordo yang sama)
Diberikan matriks A = [aij] dan skalar c, perkalian
skalar cA mempunyai entri-entri sebagai berikut:
(cA)ij = c.(A)ij = caij
Apa hubungan H dengan A?

11. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Hasil kali skalar dengan matriks (lanjutan)
• K 3 x 3
1 4 -9
3 7 0
5 9 -13
K =
5 20 -45
15 35 0
25 45 -65
5K =
4 16 -36
12 28 0
20 36 -52
4K =

12. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Latihan: Hasil kali skalar dengan matriks
Diketahui bahwa cA adalah matriks nol. Apa kesimpulan Anda tentang A
dan c?
0 0 0
0 0 0
A =
A =
2 7 2
5 2 6
c = 0
c = 7
cA =
0*2 0*7 0*2
0*5 0*2 0*6
0 0 0
0 0 0
=
cA =
7*0 7*0 7*0
7*0 7*0 7*0
Kasus 1: c = 0 dan A matriks sembarang.
Kasus 2: A matriks nol dan c bisa berapa saja.
Contoh:
kesimpulan

13. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Perkalian matriks
2 3 4 5
8 -7 9 -4
1 -5 7 -8
A =
1 2
7 -6
4 -9
11 3
B =
A B =
2.1 +3.7+4.4+5.11 -35
-49 -35
-94 -55
94 -35
-49 -35
-94 -55
=

14. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Perkalian matriks (lanjutan)
Definisi:
Jika A = [aij] berukuran m x r , dan B = [bij] berukuran r x n, maka matriks
hasil kali A dan B, yaitu C = AB mempunyai elemen-elemen yang
didefinisikan sebagai berikut:
r
∑ aikbkj = ai1b1j +ai2b2j+………airbrj
k = 1
(C)ij = (AB)ij =
2 3 4 5
8 -7 9 -4
1 -5 7 -8
A =
1 2
7 -6
4 -9
B = Tentukan AB dan BA
A B AB
m x r r x n m x n
• Syarat:

15. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Perkalian matriks (lanjutan)
2 3 4 5
8 -7 9 -4
1 -5 7 -8
A =
1 2
7 -6
4 -9
11 3
B =
A B =
2.1 +3.7+4.4+5.11 -35
-49 -35
-94 -55
94 -35
-49 -35
-94 -55
=
BA tidak didefinisikan

16. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Perkalian matriks (lanjutan)
1. Diberikan A dan B, AB dan BA terdefinisi. Apa kesimpulanmu?
2. AB = O matriks nol, apakah salah satu dari A atau B pasti matriks nol?
2 3
2 3
A =
3 -3
-2 2
B =
0 0
0 0
AB =
B A
n x k m x n
m = k
ABmxm ABnxn
AB dan BA
matriks persegi
AB matriks nol, belum tentu A atau B matriks nol
A B
n x k
m x n

17. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Latihan: Perkalian matriks (lanjutan)
Tentukan hasil kalinya jika terdefinisi.
• A B = ??
• AC = ??
• BD = ??
• CD = ??
• DB = ??
2 3 4 5
4 7 9 0
2 3 5 6
A =
1 2
-9 0
8 0
5 6
B =
7 -11 4
3 5 -6
C = 1 8 9 5 6
2 5 6 -9 0
0 -4 7 8 9
D =

18. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Perpangkatan matriks
Contoh:
2 3
1 2
A =
A2 =
2 3
1 2
2 3
1 2
A3 = A x A2 =
2 3
1 2
2 3
1 2
2 3
1 2
A0 = I
An =
n faktor
An+m = An Am
AAA …A

19. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Penyajian SPL dalam persamaan matriks
• SPL dalam bentuk:
• dapat disajikan dalam bentuk persamaan matriks:
a11x1 + a12x2 + a13x3 +….. ..a1nxn = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 +…….a2nxn = b2
:
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ……amnxn = bm
a11 a12……...a1n
a21 a22 ……..a2n
: : :
am1 am2…… amn
x1
x2
:
xn
=
b1
b2
:
bn
A: matriks koefisien
Ax = b
x b

20. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh: Penyajian SPL dengan
persamaan matriks
x1 + 2x2 + x3 = 6
-x2 + x3 = 1
4x1 + 2x2 + x3 = 4
SPL
1 2 1
0 -1 1
4 2 1
x1
x2
x3
=
6
1
4
1.x1 +2.x2 + 1.x3
0.x1 + -1.x2 + 1.x3
4.x1 +2.x2 + 1.x3
=
6
1
4

21. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Perkalian matriks sebagai fungsi: rotasi
• Matriks rotasi 45 derajat A dan vektor x
½√2 -½√2
-½√2 ½√2
A = A x =
½√2
-½√2
1
0
=
x
y
x
x’ = Ax =
x =
π/4
1
0
½√2
-½√2

22. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Perkalian dengan matriks identitas
1 0 0
0 1 0
0 0 1
A=
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
A.I =
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
=
1 0 0
0 1 0
0 0 1
I.A =
=
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7
1 2 3
7 5 6
-9 3 -7

23. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Perkalian dengan matriks identitas
AB = A dan BA = A, apa kesimpulanmu?
1 4 -9
3 7 0
5 9 -13
1 4 -9
3 7 0
5 9 -13
AB = A dan BA = A, maka B = I
(I matriks identitas)
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
=
1 4 -9
3 7 0
5 9 -13
1 4 -9
3 7 0
5 9 -13
A A
I
I A
= =

24. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Inverse matriks
B adalah inverse dari matriks A, jika AB = BA = I matriks identitas, ditulis B = A-1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
4 2
2 2
½ -½
-½ 1
4 2 1
2 2 1
3 3 1
½ -½ 1
-½ -½ 1
0 3 -2
1 0
0 1
Contoh
A I
A-1
A-1 A
= =
4 2
2 2
½ -½
-½ 1
= =
A A-1
A-1 A I
4 2 1
2 2 1
3 3 1
½ -½ 1
-½ -½ 1
0 3 -2
= =
B B-1 B-1 B I

25. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
d -b
ab-cd ab-cd
-c a
ab-cd ab-cd
 
 
 
Inverse matriks 2x2
4 2
2 2
½ -½
-½ 1
1 0
0 1
d -b
-c a
1
ad - bc
Jika ad –bc = 0 maka A TIDAK mempunyai inverse.
=
A I
A-1
a b
c d
A-1
1 0
0 1
=
A-1
= =

26. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh: Inverse matriks 2x2
3 2
4 1
A =
I
=
1 -2
3.1-4.2 3.1-4.2
3
-4
3.1-4.2 3.1-4.2
 
 
 
=
A-1
1 2
5 5
3
4
5 5

 
 

 

27. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Quiz: inverse matriks
1. Kapan matriks TIDAK mempunyai inverse?
a b
c d
 
 
 
2. Tentukan inverse matriks berikut ini
1 0
0 1
d.
5 1
1 2
a.
0 1
0 2
b.
0 0
4 1
c.
1 0
0 1
d.
2/3 -1/5
-1/5 5/3
a.
ad-bc = 0
b. tidak mempunyai inverse
c. tidak mempunyai inverse

28. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Transpose
Definisi:
Transpose mariks A adalah matriks AT kolom-kolomnya adalah baris-baris dari A,
baris-barisnya adalah kolom-kolom dari A.
4 2 6 7
5 3 -9 7
A = AT = A’ =
4 5
2 3
6 -9
7 7
Jika A adalah matriks m x n, maka matriks transpose AT berukuran ………..
[AT]ij = [A]ji
n x m

29. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Matriks Simetri
Matriks A disebut simetris jika dan hanya jika A = AT
4 2
2 3
A =
4 2
2 3
A’ = A simetri
1 2 3 4
2 5 7 0
3 7 8 2
4 0 2 9
A = = AT

30. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Matriks ortogonal
Matriks A orthogonal jika dan hanya jika AT = A–1
0 -1
1 0
A =
0 1
-1 0
AT=
B = ½√2 -½√2
½√2 ½√2
BT= ½√2 ½√2
-½√2 ½√2
Jika A adalah matriks orthogonal, maka (A-1)T = (AT)-1
= A-1
= B-1
(A-1)T = (AT)-1
A-1 AT

31. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Sifat-sifat transpose matriks
A AT (AT)T
(AT )T = A
1. Transpose dari A transpose adalah A:
4 2 6 7
5 3 -9 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
4 5
2 3
6 -9
7 7
= A
Contoh:

32. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Sifat-sifat transpose matriks
2. (A+B)T = AT + BT
A+B
(A+B)T
T
BT
B
T
A
T
AT
=
=
+
+

33. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Sifat-sifat transpose matriks
3. (kA)T = k(A) T untuk skalar k
kA
(kA)T = k(A)T
A
T T
k

34. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Sifat-sifat transpose matriks
4. (AB)T = BT AT
(AB)T
AB
T T
A
B
T
=
AB = BTAT

35. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Quiz:
Isilah titik-titik di bawah ini
1. A simetri maka A + AT= ……..
2. ((AT)T)T = …….
3. (ABC)T = …….
4. ((k+a)A)T = ….....
5. (A + B + C)T = ……….
Kunci:
1. 2A
2. AT
3. CTBTAT
4. (k+a)AT
5. AT + BT + CT

36. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Mengingat kembali
1. Sebutkan 3 operasi baris elementer
2. Diberikan matriks identitas 3x3. Terapkan satu, dua dan tiga kali operasi
baris elementer pada matriks identitas tersebut.
3. Berapa kali operasi baris elementer kamu terapak untuk memperoleh E dari
matriks identitas I?
1 10 0 0
0 7 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
E
 
 
 

 
 
 
4. Minimal berapa kali kamu menerapkannya untuk memperoleh E?
tiga kali
Salah satu jawaban: 7 kali yaitu,
[1] kalikan brs kedua dengan 7,
[2-4] tiga kali tukar baris 3 dan 4,
[5]kalikan 2 baris pertama,
[6] kalikan 5 baris pertama

37. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Matriks elementer
• Operasi baris elementer pada matriks
1. mengalikan baris dengan kontanta tidak nol
2. menukarkan posisi dua baris
3. baris dijumlahkan dengan skalar kali baris yang lain
1
1 0 0 0
0 7 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
B
 
 
 

 
 
 
1
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
E
 
 
 

 
 
 
2
0 4 0
0 0 1
1 0 0
B
 
 
  
 
 
2
1 9 0
0 1 0
0 0 1
E
 
 
  
 
 
Definisi:
Matriks elementer adalah matriks yang dapat diperoleh dari matriks
identitas dengan melakukan tepat satu kali operasi
B1 dan B2 bukan matriks elementer,
E1 dan E2 matriks elementer.

38. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Matriks elementer (lanjutan)
1 0 0 0
0 7 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
R2  7* R2
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
minimal 3 kali obe
1 0 0 0
0 7 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
1 0 0 8
0 7 0 0
0 0 0 1
0 0 1 0
R3  R4
minimal 2 kali obe

39. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Matriks elementer (lanjutan)
R2  4* R2
R3  R2
1 0 0
0 0 1
0 1 0
R1  4R2+R1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 4 0
0 0 1
1 4 0
0 1 0
0 0 1

40. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Inverse matriks elementer
1 0 0
0 0 1
0 1 0
E1 =
R2   R3
1 0 0
0 0 1
0 1 0
(E1)-1 = 1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
1 0 0
0 2 0
0 0 1
E3=
R2  2 R2
1 2 0
0 1 0
0 0 1
E3 =
R1  R1+2R2
1 -2 0
0 1 0
0 0 1
(E3)-1 = 1 2 0
0 1 0
0 0 1
1 -2 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
1 0 0
0 ½ 0
0 0 1
(E2)-1 = 1 0 0
0 2 0
0 0 1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
=
1 0 0
0 ½ 0
0 0 1

41. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Matriks elementer (lanjutan)
R2  4* R2
R3  R2
1 0 0
0 0 1
0 1 0
R1  4R2+R1
1 0 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 4 0
0 0 1
1 4 0
0 1 0
0 0 1
R2  (1/4)* R2
R3  R2
1 0 0
0 0 1
0 1 0
R1  - 4R2+R1
1 0 0
0 1/4 0
0 0 1
1 -4 0
0 1 0
0 0 1
E1=
E1
-1=
E2=
E3=
E2
-1=
E3
-1=

42. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Inverse matriks elementer (lanjutan)
I E I E
-1
Mengalikan baris ke dengan
konstanta tak nol k
Mengalikan baris ke i
dengan konstanta tak nol
1/k
Menukar baris ke i dengan
baris ke j
Menukar baris ke i dengan
baris ke j
Baris ke i ditambah k kali
baris ke j
Baris ke i dikurangi k kali
baris ke j
Kesimpulan:
Setiap matriks elementer mempunyai inverse dan
inverse matrks elementer adalah matriks elementer

43. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Latihan: inverse matriks elementer
Tentukan inverse matriks elementer berikut ini
Jawaban:
1 0 0
0 2 0
0 0 1
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 1 0
0 5 1
E1
E2
E3
1 0 0
0 0 1
0 1 0
1 0 0
0 1 0
0 -5 1
1 0 0
0 1/2 0
0 0 1
E1
-1
E3
-1
E2
-1

44. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Sifat-sifat
1. Inverse dari matriks jika ada adalah tunggal:
Jika B = A-1 dan C = A-1, maka B = C
4 2
2 2
A =
½ -½
-½ 1
A-1
4 2
2 2
1 0
0 1
2. (A-1)-1 = A
?
(A-1)-1
=
½ -½
-½ 1
A-1 =
A

45. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Sifat-sifat (lanjutan)
3. Jika A mempunyai inverse maka An mempunyai inverse dan
(An)-1 = (A-1)n, n = 0, 1, 2, 3,…
4 2
2 2
A =
4 2
2 2
A3 =
4 2
2 2
4 2
2 2
½ -½
-½ 1
A-1 =
=
104 64
64 40
(A3)-1 =
0.625 -1
-1 1.625
(A-1)3 = 0.625 -1
-1 1.625
½ -½
-½ 1
½ -½
-½ 1
½ -½
-½ 1
=
sama

46. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Sifat-sifat (lanjutan)
4. Jika k skalar tidak nol, maka (kA)-1 = 1/k A-1
4 2
2 2
20 10
10 10
(5 A)-1 =
0.1 -0.1
-0.1 0.2
1/5 (A)-1 = 1/5 =
0.1 -0.1
-0.1 0.2
½ -½
-½ 1
(5A) = =
5
sama

47. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Sifat-sifat (lanjutan)
5. (AB)-1 = B-1 A-1
4 2
2 2
A =
3 5
2 2
B = B-1 =
½ 5/4
½ - ¾
(AB)-1 = 16 24
10 14
-1
=
-0.875 1.5
0.625 -1
A-1 B-1 = ½ 5/4
½ - ¾
½ -½
-½ 1
=
-0.5 1
0.75 -1.375
B-1 A-1 = ½ 5/4
½ - ¾
½ -½
-½ 1
=
-0.875 1.5
0.625 -1

48. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Perkalian dengan matriks elementer
1 2 0
3 1 1
4 1 0
1 0 0
0 4 0
0 0 1
1 1 0
0 1 0
0 0 1
1 0 0
0 4 0
0 0 1
1 2 0
3 1 1
4 1 0
1 2 0
12 4 4
4 1 0
E
A
E A
R2 4R2
R2 4R2
I
Mengalikan matriks A dari kanan dengan matriks elementer (EA) sama
efeknya dengan menerapkan operasi baris elementer (yang sama dengan
operasi baris elementer untuk mendapat kan E dari I) pada A.

49. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Matriks elementer dan operasi baris
elementer
Diterapkan obe pada matriks A
R1 R3
I E
R1 R3
R2  ½ R2
I E
R2  ½ R2
R1  R1 + 2R2
I E
R1  R1 + 2R2
1 2 3
2 2 1
6 9 0
 
 
 
 
 
6 9 0
2 2 1
1 2 3
 
 
 
 
 
1 2 3
2 2 1
6 9 0
 
 
 
 
 
0 0 1 1 2 3
0 1 0 2 2 1
1 0 0 6 9 0
  
  
  
  
  
6 9 0
2 2 1
1 2 3
 
 
 
 
 
1 2 3
2 2 1
6 9 0
 
 
 
 
 
1
2
1 2 3
11
6 9 0
 
 
 
 
 
1
2
1 0 0 1 2 3
0 0 2 2 1
0 0 1 6 9 0
  
  
  
  
  
1
2
1 2 3
11
6 9 0
 
 
 
 
 
=
5 6 5
2 2 1
6 9 0
 
 
 
 
 
5 6 5
2 2 1
6 9 0
 
 
 
 
 
1 2 0 1 2 3
0 1 0 2 2 1
0 0 1 6 9 0
  
  
  
  
  
E
E
E
=
=
Hasilnya sama dengan EA
EA
EA
EA

50. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Mengingat kembali:
Menerapkan operasi baris
elementer pada matriks A sama
dengan mengalikan A dari kanan
dengan matriks elementer yang
sesuai.
Bentuk eselon baris
tereduksi dari matriks
persegi adalah matriks
identitas atau matriks
dengan baris nol
Matriks persegi yang
mempunyai inverse dapat
direduksi menjadi
matriks identitas dengan
serangkaian operasi baris
elementer.
Kita akan
menerapkan
operasi baris
elementer untuk
menentukan
inverse matriks.

51. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Mencari inverse dengan operasi baris
elementer
obe1 obe 2 ….. obe s
• A--------------------------------------- I
Es Es-1 ….E2 E1 A
Setiap penerapan operasi baris elemener ke i, obe-i pada A, sama dengan mengalikan dengan Ei
dari kanan dengan A.
Jadi, Es Es-1 ….E2 E1 A = I
(kelompokkan Es sd E1, namakan B)
BA= I
Maka B = A-1
Es Es-1 ….E2 E1 = A-1
Es Es-1 ….E2 E1 I = A-1
Sehingga, jika obe1 obe 2 ….. obe s diterapkan berturut-turut pada matriks identitas I maka akan
dihasilkan A-1
obe1 obe 2 ….. obe s
I ----------------------------------- A-1
• Prosedur: [A|I]  [I | A-1]
• [Contoh1: matriks 2x2 A [A|I]  [I | A-1]
• Contoh2:penerapan metode di atas untuk menentukan inverse matriks 3x3. (pilih matriks yang
sederhana) ]

52. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Mencari inverse dengan operasi baris
elementer
obe1 obe 2 ….. obe s
A I
Es …. E2 E1 A
Matriks persegi yang mempunyai inverse
dapat direduksi menjadi matriks identitas
dengan serangkaian operasi baris elementer.
Setiap penerapan operasi baris
elemener ke i, obe-i pada A, sama
dengan mengalikan dengan Ei dari
kanan dengan A.
Es Es-1 ….E2 E1 A = I
Inverse matriks A dapat
diperoleh dengan
serangkaian operasi baris
elementer pada A.
A-1
obe1 obe 2 ….. obe s
I A-1
Es …. E2 E1 A

53. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Mencari inverse dengan operasi baris
elementer (lanjutan)
Prosedur: Menentukan A-1
Diberikan matriks Anxn yang mempunyai inverse
1. Bentuk matriks [A|I]
2. Terapkan operasi baris elementer pada matriks [A|I] sedemikian hingga
A telah tereduksi menjadi matriks identitas I. maka pada saat yang
sama I berubah menjadi A-1.
[I | A-1]
obe obe… obe
[A | I]

54. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Contoh:
4 2
2 2
A =
A-1=
½ -½
-½ 1
4 2 1 0
2 2 0 1
1 ½ 1/4 0
2 2 0 1
1 ½ 1/4 0
0 1 -½ 1
1 0 ½ -½
0 1 -½ 1
Baris pertama kali 1/4
Brs kedua dikurangi
2 kali brs pertama
Brs pertama dikurangi
1/2 kali brs kedua
I A-1

55. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Quiz:
A. BENAR atau SALAH
1. Perkalian matriks bersifat komutatif komutatif.
2. Menerapkan operasi baris elementer ei pada A hasilnya sama dengan EA,
dengan E matriks elementer untuk memperoleh E dari I.
3. Setiap matriks elementer mempunyai inverse dan inversenya juga elementer
B. Pada prodesur apa saja operasi baris elementer digunakan?
1. Menyelesaikan sistem persamaan linier
2. Mencari inverse matriks, jika ada
salah
benar
benar

56. Kuliah Jarak Jauh Program e-Learning Inherent
Fakultas Ilmu Komputer Universitas Indonesia
Refleksi
1. Buatlah daftar konsep-konsep kunci dari modul ini. (Sebagi contoh: matriks
persegi, jumlahan matriks-matriks, dsb)
2. Buatlah daftar permasalahan yang muncul pada materi yang diberikan dalam
modul ini.
3. Buatlah daftar prosedur permasalahan yang ada pada daftar yang kamu
hasilkan pada peranyaan nomor 2.
4. Berilah tanda pada daftar materi yang telah kamu fahami dengan baik.