geometrikes_lyseis_se_algebrika_provlimata

1. 1
Διιεληθή Μαζεκαηηθή Δηαηξεία
Παξάξηεκα Ζκαζίαο
Θεξηλό Σρνιείν 2013
Γεωκεηξηθέο Λύζεηο
ζε αιγεβξηθά πξνβιήκαηα
Εαληαξίδεο Νίθνο
Μαζεκαηηθόο

2. 2
Πξόινγνο
Ζ παξνύζα εξγαζία απνηειεί έλα κηθξό ζηαρπνιόγεκα από ηνλ επξύηεξν
ρώξν ηωλ Μαζεκαηηθώλ, όπνπ ε ζπλεξγαζία ηεο Άιγεβξαο κε ηε Γεωκεηξία καο
δίλεη αμηνζαύκαζηα απνηειέζκαηα.
Δηδηθόηεξα ζηηο ζειίδεο πνπ αθνινπζνύλ κπνξεί θαλείο λα κειεηήζεη ηε
ιύζε δύζθνιωλ αιγεβξηθώλ ζρέζεωλ νη ιύζεηο ηωλ νπνίωλ εδξάδνληαη ζε
γεωκεηξηθέο θαζώο θαη ζε ηξηγωλνκεηξηθέο έλλνηεο.
Ζ εξγαζία απνηειείηαη από ηξία κέξε:
1ο) Χρήσιμες αναυορές
Δίλαη ζύληνκεο ελζπκίζεηο ζε πξνηάζεηο ηεο γεωκεηξίαο θαζώο θαη ηεο
ηξηγωλνκεηξίαο. Αλαθέξνληαη δέθα βαζηθέο πξνηάζεηο πνπ απνηεινύλ ζεκέιην θαη
κπνξνύλ λα ζηεξίμνπλ ζεκαληηθά ζηε ιύζε γεληθά αιγεβξηθώλ πξνηάζεωλ.
2ο) Λσμένα θέματα
Παξνπζηάδνληαη πέληε ιπκέλα ζέκαηα θπξίωο αληζώζεηο θαη εμηζώζεηο ηα
νπνία επεμεξγάδνληαη ππνδεηγκαηηθά θαη ηα νπνία ζηεξίδνληαη απνθιεηζηηθά ζηηο
αλωηέξω τρήσιμες αναυορές.
3ο) Προτεινόμενα θέματα
Πξνηείλνληαη δέθα ζέκαηα ζηα νπνία θαιείηαη ν αλαγλώζηεο καζεηήο αιιά
θαη νπνηνζδήπνηε πνπ αζρνιείηαη κε ηα καζεκαηηθά λα αζρνιεζεί θαη λα ραξεί ηε
γνεηεία ηε ζπλεξγαζία απηή ηωλ επηκέξνπο θιάδωλ ηωλ καζεκαηηθώλ.
Νίθνο Εαληαξίδεο
Αύγνπζηνο 2013

3. 3
Χξήζηκεο αλαθνξέο
1. Τξηγωληθή αληζόηεηα.
Σε θάζε ηξίγωλν ΑΒΓ (Σρ.1) ηζρύνπλ:
    
    
    
   
   
   
όπνπ:      , ,       
2. Αλ Α,Β είλαη δπν δηαθνξεηηθά ζεκεία κηαο επζείαο x x (Σρ.2), ηόηε
γηα νπνηνδήπνηε ζεκείν Μ ηνπ ρώξνπ ηζρύεη:
α)      MA MB AB 
κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλνλ αλ ην ζεκείν Μ είλαη ζεκείν ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ.
β)      MA MB AB 
κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλνλ αλ ην ζεκείν Μ αλήθεη ζηελ εκηεπζεία Bx ε νπνία δελ πεξηέρεη
ην ζεκείν Α.
γ)      MB MA AB 
κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλνλ αλ ην ζεκείν Μ αλήθεη ζηελ εκηεπζεία Ax ε νπνία δελ πεξηέρεη

4. 4
ην ζεκείν Β.
δ)      MA MB AB 
κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλνλ αλ ην ζεκείν Μ αλήθεη ζηελ εκηεπζεία Ax ή ζηελ εκηεπζεία
Bx.
3. Έζηω κηα επζεία (ε) ελόο επηπέδνπ (π) θαη Α,Β δύν ζεκεία ηνπ
επηπέδνπ (π) πνπ βξίζθνληαη εθαηέξωζελ ηεο επζείαο (ε). (Σρ.3)
Γηα νπνηνδήπνηε ζεκείν Μ ηεο επζείαο (ε) ηζρύεη:
     MA MB AB 
κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλνλ όηαλ ην ζεκείν Μ ζπκπίπηεη κε ην
ζεκείν ηνκήο Μν ηεο επζείαο (ε) θαη ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΒ.
4. Έζηω κηα επζεία (ε) ελόο επηπέδνπ (π) θαη Α,Β δύν δηαθνξεηηθά
ζεκεία ηνπ επηπέδνπ πνπ βξίζθνληαη ζην ίδην εκηεπίπεδν ωο πξνο ηελ
επζεία (ε) θαη δελ αλήθνπλ ζηελ επζεία (ε). (Σρ.4)
Έζηω Β΄ ην ζπκκεηξηθό ηνπ ζεκείνπ Β ωο πξνο ηελ επζεία (ε). Γηα
νπνηνδήπνηε ζεκείν Μ ηεο επζείαο (ε) ηζρύεη:
         MA MB MA MB AB    

5. 5
κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλνλ όηαλ ην ζεκείν Μ ζπκπίπηεη κε ην
ζεκείν ηνκήο Μν ηεο επζείαο (ε) κε ην επζύγξακκν ηκήκα ΑΒ΄.
5. Γηα νπνηαδήπνηε δηαλύζκαηα , ,a b c ηζρύνπλ:
)
)
)
)
)
στ)
)
) //
)
)
a b a b a b
a b c a b c
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b
a b a b a b









    
    
     
   
   
   
   
   
   
    
6. Νόκνο ηωλ ζπλεκηηόλωλ
Σε θάζε ηξίγωλν ΑΒΓ ηζρύνπλ νη ζρέζεηο:
2 2 2
2 2 2
2 2 2
2
2
2
   
   
   
   
   
   
7. Νόκνο ηωλ εκηηόλωλ

6. 6
Σε θάζε ηξίγωλν ΑΒΓ ηζρύεη:
2R
  
  
  
  
όπνπ R ε αθηίλα ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ ΑΒΓ.
8. Τύπνη εκβαδνύ ηξηγώλνπ
1 1 1
2 2 2
       
 
όπνπ  ε αθηίλα ηνπ εγγεγξακκέλνπ θύθινπ θαη
2
  

 
 ε εκηπεξίκεηξνο ηνπ ηξηγώλνπ.
4R

 
όπνπ R ε αθηίλα ηνπ πεξηγεγξακκέλνπ θύθινπ ηνπ ηξηγώλνπ.
             
1 1 1
2 2 2
        
9. Τξηγωλνκεηξηθνί ηύπνη αζξνηζκάηωλ , δηαθνξώλ, δηπιαζίνπ ηόμνπ.
 
 
 
 
 
  2 2 2 2
2 2
2 2 1 1 2
    
    
    
    
  
         
  
  
  
  

     
10. Μέηξν δηαλύζκαηνο, απόζηαζε ζεκείωλ, αξηζκεηηθό γηλόκελν
δηαλπζκάηωλ(εζωηεξηθό γηλόκελν).
 Αλ  , ,a x y ηόηε:  2 2
, ,a x y x y R  
 Αλ    1 1 2 2, , ,A x y B x y είλαη δύν ζεκεία ηνπ επηπέδνπ, ηόηε:
       
22
2 1 2 1 1 2 1 2, , , ,AB x x y y x x y y R    

7. 7
 Αλ    1 2 2 2, , ,a x x b x y  , ηόηε:
 1 2 1 2 1 2 1 2, , , ,a b x x y y x x y y R   
Λπκέλα Θέκαηα
Θέκα Η
Αλ *
, , R    , ηόηε λα δεηρζεί όηη:
2 2 2 2 2 2
               
Λύζε:
(Θυμίζουμε: Ζ παξάζηαζε
2 2
x y xy  , κε , 0x y  , εκθαλίδεηαη ζηε εθαξκνγή
ηνπ λόκνπ ηωλ ζπλεκηηόλωλ ζε ηξίγωλν ΑΒΓ κε πιεπξέο ,x y θαη πεξηερόκελε γωλία  γηα ηελ
νπνία ηζρύεη: 2  ).
Θεωξνύκε ηηο εκηεπζείεο , ,Ox Oy Oz (Σρ.5), ηνπ επηπέδνπ γηα ηηο νπνίεο ηζρύεη:
120o
xOy yOz zOx  
Σηελ εκηεπζεία Ox ζεωξνύκε ην ζεκείν A , ώζηε:  OA  , ζηελ εκηεπζεία Oy
ζεωξνύκε ην ζεκείν B, ώζηε  OB  θαη ζηελ εκηεπζεία Oz ην ζεκείν  , ώζηε
    .
Από ην λόκν ηωλ ζπλεκηηόλωλ ζηα ηξίγωλα ΟΑΒ, ΟΒΓ, ΟΓΑ έρνπκε:
   2 2 2 2
2 120
           
   2 2 2 2
2 120
           
   2 2 2 2
2 120
           
Από ην ηξίγωλν ΑΒΓ ιόγω ηεο ηξηγωληθήο αληζόηεηαο, έρνπκε:

8. 8
         
θαη ζύκθωλα κε ηηο πξνεγνύκελεο ζρέζεηο ηειηθά ζα είλαη:
2 2 2 2 2 2
                .
Θέκα ΗΗ
Να ιπζεί ε εμίζωζε:
       
2 22 22 2 2 2
4 2 2 4 4 5x y x y x y x y           
Λύζε:
(Θυμίζουμε: Οη παξαζηάζεηο ηεο κνξθήο    
22
x a y b   κπνξνύλ λα ζεωξεζνύλ ωο
απνζηάζεηο δύν ζεκείωλ. Σπγθεθξηκέλα είλαη:      
22
x a y b MA    , όπνπ  ,M x y
θαη  ,A a b ).
Θεωξνύκε ηα ζεκεία        0,0 , 2,0 , 2,4 , 0,4    θαη ην κεηαβιεηό ζεκείν
 ,x y . (Σρ.6)
Δίλαη θαλεξό όηη ην ΑΒΓΓ είλαη νξζνγώλην κε θέληξν ην ζεκείν  1,2K . Ζ δνζείζα
ζρέζε ηόηε ηζνδύλακα γξάθεηαη:
         4 5 E       
Γλωξίδνπκε όκωο όηη ηζρύνπλ:
       1) 2 5 1     
κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν αλ ην Μ είλαη ζεκείν ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΑΓ.
       2) 2 5 2     
κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν αλ ην Μ είλαη ζεκείν ηνπ επζπγξάκκνπ ηκήκαηνο ΒΓ.
Από ηηο (1) θαη (2) κε πξόζζεζε θαηά κέιε πξνθύπηεη:
        4 5       
κε ηελ ηζόηεηα λα ηζρύεη κόλν αλ ην ζεκείν Μ αλήθεη ζπγρξόλωο ζηα επζύγξακκα ηκήκαηα ΑΓ

9. 9
θαη ΒΓ, δειαδή κόλνλ αλ ην ζεκείν  ,x y ζπκπίπηεη κε ην ζεκείν ηνκήο  1,2K ηωλ
επζπγξάκκωλ ηκεκάηωλ ΑΓ θαη ΒΓ.
Δπνκέλωο γηα λα ηζρύεη ε ζρέζε:
        4 5       
δειαδή γηα λα ηζρύεη:
       
2 22 22 2 2 2
4 2 2 4 4 5x y x y x y x y           
πξέπεη θαη αξθεί λα είλαη:
   , 1,2x y  .
Θέκα ΗΗΗ
Να δεηρζεί όηη γηα θάζε  , 1,1x y  ηζρύεη:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2xy x y y x x y x y        
(Θέμα Γ΄ Λσκείοσ(Θαλής) 1995-96)
Λύζε:
Δπεηδή  , 1,1x y  , ππάξρνπλ , ,
2 2
 
      
, ηέηνηνη ώζηε: x  θαη
y  . Άξα ην πξώην κέινο ηεο δεηνύκελεο ζρέζεο γίλεηαη:
2 2 2 2 2 2
1 1 1xy x y y x x y x y        
2 2 2 2 2 2
1 1 1                       
  2 2 2 2
1 1                
, ,
2 2
2 2
0, 0
 
 
 
      
    
 
    
   
0
0


   


   
             
   
2 2
2
2 2
     
 
      
 
   2
4 4
 
            
2 2 1 2
4

         
 

10. 10
Άξα γηα θάζε  , 1,1x y  ηζρύεη:
2 2 2 2 2 2
1 1 1 2xy x y y x x y x y        
Θέκα IV
Αλ 1 2 3 1 2 3, , , , , R       , λα δείμεηε όηη ηζρύεη:
   
2 22 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3                     
Λύζε:
Θεωξνύκε ηα δηαλύζκαηα:
     1 1 1 2 2 2 3 3 3, , , , ,u u u       
Δίλαη:
 1 2 3 1 2 3 1 2 3,u u u            
Λόγω ηεο ηξηγωληθήο αληζόηεηαο έρνπκε:
1 2 3 1 2 3u u u u u u    
νπόηε ηζρύεη:
   
2 22 2 2 2 2 2
1 1 2 2 3 3 1 2 3 1 2 3                     
Θέκα V
Αλ γηα ηνπο πξαγκαηηθνύο αξηζκνύο ,x y ηζρύεη:
2 2
2 2x y x y  
ηόηε λα δεηρζεί όηη:
4 8 8x y   
Λύζε:
Θεωξνύκε ζε έλα ζύζηεκα νξζνγωλίωλ αμόλωλ έλα ζεκείν  ,M x y , νη
ζπληεηαγκέλεο ηνπ νπνίνπ ηθαλνπνηνύλ ηε ζρέζε:
2 2
2 2x y x y  
δειαδή ηελ:
   
22
1 1 2x y   
Δπνκέλωο ην ζεκείν Μ αλήθεη ζηνλ θύθιν:
     
22
: 1 1 2c x y   
ν νπνίνο έρεη θέληξν ην ζεκείν  1,1K θαη αθηίλα 2  . (Σρ.7)
Θεωξνύκε ηελ επζεία :
 : 8 0x y   
ηόηε ε απόζηαζε ηνπ θέληξνπ Κ από ηελ επζεία απηή είλαη:

11. 11
  2 2
1 1 8 6
, 3 2
21 1
d K 
 
  

Αθόκα επεηδή είλαη:
 , 2d K   
έπεηαη όηη ν θύθινο (c) θαη ε επζεία (ε) δελ έρνπλ θαλέλα θνηλό ζεκείν.
Φέξνπκε ζηε ζπλέρεηα ηελ επζεία πνπ δηέξρεηαη από ην θέληξν Κ θαη είλαη θάζεηνο ζηελ
επζεία (ε). Απηή ηέκλεη ηνλ θύθιν (c) ζηα ζεκεία Α θαη Β θαη ηελ επζεία (ε) ζην ζεκείν Κ1.
Έζηω αθόκα Μ1 ε πξνβνιή ηνπ ζεκείνπ Μ ζηελ επζεία (ε).
Τόηε ζα ηζρύεη:
     1 1 1    
2 2
8
3 2 2 3 2 2
1 1
x y 
    

4 8 8x y    
Πξνηεηλόκελα Θέκαηα
1. Να βξεζεί ην ειάρηζην ηεο ζπλάξηεζεο:
2 2
( ) 2 5 8 17f x x x x x     
2. Αλ , , , R     θαη ηζρύεη:
2 2 2 2
1 6 8 24           
λα δεηρζεί όηη:

12. 12
   2 2
9 49       
3. Αλ , , 0    , λα απνδεηρζεί όηη:
2 2 2 2 2 2
3             
4. Να απνδεηρζεί όηη:
1
1
90

 
5. Έζηω: , , 0,
3

     
 
, κε
3

     . Να απνδεηρζεί όηη:
 2 3 2    
6. Έζηω:
   1 2 3 1 2 3, , 0, , 0,              
Να δεηρζεί όηη:
1 2 3 2
2 2
 
            
   
7. Αλ , 0x y  , ηόηε λα δεηρζεί όηη:
 2 2 2 2
2max ,x y xy x y xy x y     
8. Αλ  , 1,1x y  , ηόηε λα δεηρζεί όηη:
2 2
1 1 1 1x y y x     
9. Αλ γηα ηνπο ζεηηθνύο αξηζκνύο , ,x y z ηζρύνπλ:
2 2
2 2
2 2
7
19
13
x y xy
y z yz
z x zx
  
  
  
θαη
A xy yz zx  
    3
7 13 19 13 19 7 19 7 13 7 13 19
3
B         
ηόηε λα δείμεηε όηη:
A B
10. Αλ 0a  θαη  , , 0,x y z a , ηόηε λα απνδείμεηε όηη:
      2
x a z y a x z a y a     

13. 13
Βηβιηνγξαθία:
1. Societatea de Stiinte Matematice din Romania: Πεξηνδηθό Gazeta
2. Διιεληθή Μαζεκαηηθή Δηαηξεία: Πεξηνδηθό Δπθιείδεο
3. Ν. Εαληαξίδεο – Κ. Παπαδόπνπινο: Αληζνηηθέο ζρέζεηο θαη
καζεκαηηθνί δηαγωληζκνί.
4. 4. Ν. Εαληαξίδεο – Κ. Παπαδόπνπινο: Απόδεημε αληζνηηθώλ
ζρέζεωλ κε ηε βνήζεηα ηεο Γεωκεηξίαο. Πξαθηηθά 2εο
Μαζεκαηηθήο Δβδνκάδαο. Σει.248. (2008)