idiaiterh_askhsh

1. ΜΙΑ ΙΔΙΑΙΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ 61
Μια ιδιαίτερη άσκη-
ση
Γιάννης Τσόπελας
Μαθηματικός, Αμαλιάδα
Προτεινόμενη άσκηση
Α. Αποδείξτε ότι υπάρχει συνάρτηση για την οποία
ισχύει:
+¥ f : (0, ) 
=f(x) 1
f(x)e
x
, για κάθε x ( .Î +0, ¥)
Β. Δείξτε ότι:
α) , για κάθε .>f(x) 0 Î +¥x (0, )
β) Η είναι γνησίως φθίνουσα στο .f +¥(0, )
γ) Η είναι συνεχής στο .f +¥(0, )
δ) Η είναι παραγωγίσιμη στο .f +¥(0, )
ε) Υπάρχει ένα τουλάχιστον
æ
çÎ ççè
1 1
ξ ,
3 2
ö
÷÷÷ø
ώστε: .=f(ξ) 1
στ) Να λυθεί η εξίσωση στο διάστημα .+ = + x
1 f(e) x f(e ) +¥(0, )
Λύση
Α. Θεωρούμε τη συνάρτηση x
1
φ(x)
xe
= , x (0, )Î +¥
( )
( ) ( )
x x
2 2 2 xx 2 x
xe (x 1)e (x 1)
φ (x) 0
x exe x e
¢
+ +
¢ = - = - = - < , για κάθε x (0, )Î +¥
φ  στο (0 αντιστρέφεται., ) φ+¥ 
Έτσι λοιπόν υπάρχει η αντίστροφη της φ και ισχύει1
φ- 1
φ(x) y x φ (y)-
=  =
φ(x) y=
1
x 1 φ (y)
x
1 1
y xe φ (y)e
y yxe
-
-
=  =  =
1

2. 62 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο
οπότε η που ικανοποιεί τηνf f(x) 1
f(x)e
x
= είναι η δηλαδή η αντίστροφη
της
1
φ-
x
1
φ(x) =
xe
.
ΣΧΟΛΙΟ: Επειδή και συνεχής στοφ  (0, )+¥
( )φ (0, ) (A,B)+¥ = όπου:
( )
xx x
x
x 0 x 0
1
A lim φ(x) lim 0
xe
φ (0, ) (0, )
1
B lim φ(x) lim
xe+ +
+¥ +¥
 
üæ ö ïç ÷ ï= = =ç ÷ ïç ÷ ïè ø ï  +¥ = +¥ý
ïï= = = +¥ ïïïþ

1
Dφ (0, )-
 = +¥
Df (0, ) = +¥
Άρα τελικά η μεf : (0, )+¥   f(x) 1
f(x)e
x
= είναι υπαρκτή και είναι η
αντίστροφη της φ με: (0, )+¥   x
1
φ(x)
xe
= .
Β. α) f(x) 1
f(x)e
x
= , x (0, )Î +¥ 
f(x)
1
f(x)
xe
= , x (0, )Î +¥
αλλά καιx 0> f(x)
f(x)
1
e 0 0 f(x)
xe
>  >  > 0 .
β) Θα αποδείξουμε ότι η είναι γν. φθίνουσα στοf Δ (0, )= +¥ .
Έστω 1 2x ,x ΔÎ με και ας υποθέσουμε ότι (1)1x x< 2 2
2
1f(x ) f(x )<
Τότε, λόγω του ότι η είναι στο (2)x
g(x) e=  1f(x ) f(x )
e e £
Πολλαπλασιάζοντας κατά μέλη την (1) και (2) 
1 2f(x ) f(x )
1 2 1
1 2
1 1
f(x )e f(x )e x x
x x
 £  £  2
2 
)
³ , άτοπο.
Άρα για οποιαδήποτε με ισχύει στο
.
1 2x ,x (0, )Î +¥ 1x x< 1 2f(x ) f(x ) f> 
(0, )+¥
γ) Απόδειξη της συνέχειας της f
Θα στηριχτούμε στη γνωστή ανισότητα , .x
e x³ +1 x Î 
Έστω και x ( με .0x (0,Î +¥ 0, )Î +¥ 0x x¹

3. ΜΙΑ ΙΔΙΑΙΤΕΡΗ ΑΣΚΗΣΗ 63
α) 0f(x) f(x )
0e f(x) f(x ) 1-
 ³ - + 
0
f(x)
0f(x )
e
f(x) f(x ) 1
e
 ³ - + 
0
0 0
1
xf(x)
f(x) f(x ) 1
1
x f(x )
 ³ - + 
0 0
0
x f(x )
f(x) f(x ) 1
xf(x)
 ³ - + 
( )0 0 0x f(x ) xf(x) f(x) f(x ) xf(x) ³ - + 
( )0 0xf(x) f(x) f(x ) xf(x) xf(x )f(x ) - + £ + 0 
( ) ( ) ( )0 0 0 0xf(x) f(x) f(x ) x f(x) f(x ) f(x ) x x - + - £ + - 
( )( ) ( )0 0 0f(x) f(x ) xf(x) x f(x ) x x - + £ - 
( )
( ) ( )
0 00 0
0
f(x ) x xf(x ) x x
f(x) f(x )
x f(x) 1 x f(x) 1
--
 - £ £
+ +
(3)
και επειδή
( )
0 0 0 0f(x ) x x f(x ) x x
f(x) 1 1
x f(x) 1 x
- -
+ >  <
+
(4)
(3), (4)
0 0
0
f(x ) x x
f(x) f(x )
x
-
 - < (5)
0
0
0
f(x)
f(x)
f(x) f(x )0 0 0 0
f(x )
f(x )
0 0
1
e
xf(x) x f(x ) x f(x )e
e
1 xf(x) xf(x)e
e
x f(x )
-
üïï= ïïï  =  =ý
ïï= ïïïþ

0 0
*
0 0 0 0
0
0 0 0 0
x f(x )
1
x f(x ) x f(x ) xf(x)xf(x)
f(x) f(x ) ln
x f(x )xf(x) x f(x )
xf(x)
-
æ ö -ç ÷ - = ³ = ç ÷ç ÷ç ÷è ø
*
( )0 0 0 0 0x f(x ) f(x) f(x ) x f(x ) xf(x) - ³ - 
( )0 0 0 0 0xf(x) x f(x ) f(x) f(x ) x f(x ) + - ³ 
( ) ( )0 0 0 0 0 0x f(x) f(x ) x f(x ) f(x) f(x ) x f(x ) xf(x) - + - ³ - 
*
Σύμφωνα με την ανισότητα
-
³
α 1
lnα
α
, ." >α 0

4. 64 ΑΠΟΛΛΩΝΙΟΣ τ. 5ο
( )( )0 0 0 0 0f(x) f(x ) x x f(x ) x f(x ) xf(x) - + ³ -
0 0
0
0 0
x f(x ) xf(x)
f(x) f(x )
x x f(x )
-
 - ³
+
(6)
(5), (6)
( ) 0 00 0
0
0 0
f(x ) x xf(x ) x x
f(x) f(x )
x x f(x ) x
--
 £ - <
+
(7)
αλλά
( ) ( )
0
0 0 0 0
x x
0 0 0 0 0
f(x ) x x f(x ) x x
lim 0
x x f(x ) x x f(x )
- -
= =
+ +
και
0
0 0 0 0
x x
f(x ) x x f(x ) x x
lim 0
x x
- -
= =
άρα από κριτήριο παρεμβολής ( )
0
(7)
0
x x
lim f(x) f(x ) 0

 - =
 )
)
0
0
x x
lim f(x) f(x )

 = συνεχής στο τυχόν 0x (0,Î +¥
 f στο .+¥(0, )
δ) Έστω και με :0x (0,Î +¥ x (0, )Î +¥ 0x x¹
Λόγω των (3), (6):
( ) ( )
( )
0 0 0 0
0
0 0
f(x ) x x f(x ) x x
f(x) f(x )
x x f(x ) x f(x) 1
- -
£ - £
+ +
(8)
 Με η (8) 
( )
0 0 0
0 0 0
f(x ) f(x) f(x ) f(x )
x x f(x ) x x x f(x) 1
-
- £ £-
+ -

+
από κριτήριο παρεμβολής
( )0
0 0
x x
0 0
f(x) f(x ) f(x )
lim
x x x x f(x )+

-
= -
- + 0
(9)
 Με η (8) 
( )
0 0 0
0 0 0
f(x ) f(x) f(x ) f(x )
x x f(x ) x x x f(x) 1
-
- ³ ³-
+ -

+
από κριτήριο παρεμβολής
( )0
0
x x
0 0
f(x) f(x ) f(x )
lim
x x x 1 f(x )-

-
= -
- +
0
0
(10)
από (9), (10)
( )0
0 0
x x
0 0 0
f(x) f(x ) f(x )
lim
x x x 1 f(x )
-
 = -
- +

( )
0
0
0 0
f(x )
f (x )
x 1 f(x )
¢ = -
+
δηλ. η είναι παραγωγίσιμη στο τυχαίο
άρα η είναι παραγωγίσιμη στο (0 .
f
)0x (0,Î +¥ f , )+¥