4. Notasi Vektor
Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen
vektor satuan sebagai
A = Axax + Ayay + Azaz
Dalam bentuk komponen-komponennya, magnituda vektor A
didefinisikan sebagai
|A| =A=
Vektor satuan sepanjang arah A diberikan oleh
222
AzAyAx ++
'|| A
A
A
A
aA ==
5. Notasi Vektor
Vektor A dapat dituliskan dalam bentuk komponen-komponen
vektor satuan sebagai
A = Axax + Ayay + Azaz
Dalam bentuk komponen-komponennya, magnituda vektor A
didefinisikan sebagai
|A| =A=
Vektor satuan sepanjang arah A diberikan oleh
222
AzAyAx ++
'|| A
A
A
A
aA ==
6. Vektor dapat dijumlahkan dan juga dikurangkan
Aljabar Vektor
A ± B = (Axax + Ayay + Azaz) ± (Bxax + Byay + Bzaz)
= (Ax±Bx)ax + (Ay ± By)ay + (Az ± Bz)az
Sifat-sifat asosiatif, distributif, dan komutatif
berlaku
dalam aljabar vektor
C = A+B=B+A
×A + (B + C) = (A + B) + C
×k(A + B) = kA + kB, (kl + k2)A = kIA + k2A
×A+B = B+A
A+(B+C) = (A+B)+C
Komutatif
Assosiatif
7. B
Komutatif & Assosiatif
Contoh : C= A+B=B+AKomunikatif
Contoh : D = A+(B+C) = (A+B)+CAssosiatif
B
A
A
B
C
C
C
A
B+C
D=A+(B+C)
A+B
D=(A+B)+C
A
C
8. Hasil perkalian vektor dengan skalar adalah vektor
Besar perkalian vektor dengan skalar adalah kelipatan a (skalar)
dari nilai vektor asli
Arah vektor yang dihasilkan adalah sama dengan arah vektor asal
bila a > 0, dan berlawanan dengan arah vektor asal bila a < 0
Perkalian vektor dengan skalar memenuhi hukum distributif , yaitu
a (A +B ) = aA + aB
Perkalian Vektor dengan Skalar
Contoh :
B = aA
a<0,
B berlawanan A
B = aA
a > 0,
B searah A
9. A • B = AB cos θ (dibaca sebagai "A titik B")
Hasil perkalian titik atau dot product adalah besaran skalar
Perkalian titik adalah komutatif
Perkalian titik adalah distributif
Perkalian titik memenuhi perkalian skalar
A.(B+C) = A.B + A.C
θcos. BABA =
Perkalian Titik (Dot) Dua Vektor
A.B = B.A
A • kB = k(A •B)
θcosBAC =
A • B = AxBx + AyBy + AzBz
di mana θ adalah sudut antara A dan B yang lebih kecil.
Dalam bentuk komponen, perkalian titik adalah sama dengan
Contoh :
10. Hasil perkalian silang atau cross product adalah besaran vektor
yang arah nya tegak lurus kedua vektor asal dengan aturan
tangan kanan.
Perkalian silang tidak memenuhi hukum komutatif
Perkalian silang adalah distributif
θsinBAAXBC ==
θsinBAAXBC ==
θ = sudut antara A dan B yang lebih kecil.
an = Vektor satuan adalah normal terhadap bidang datar A dan
B
Hasil perkalian silang memenuhi aturan tangan kanan / putaran
skrup
Perkalian Silang Dua Buah Vektor
AX(B+C) = AXB + AXC
AXB = -BXA
Contoh :
11. Perluasan perkalian silang dalam bentuk komponen-komponen
vektor akan menghasilkan,
A x B = (Axax + Ayay + Azaz) x (Bxax + Byay + Bzaz)
= (AYBZ – AzBz)ax + (AzBx - AxBz)ay + (AxBy – AyBx)az
Jika A = 2ax + 4ay
– 3aZ dan B = ax – ay
, carilah A • B dan A x B !
Penyelesaian!
2)0)(3()1)(4()1)(2( −=−+−+=• BA
azayax
azayax
BA 633
011
342 −−−=
−
−=×
Contoh :
12. 1. Diberikan vektor A = 2i + 4jdan B = 6j – 4k. Carilah sudut
terkecil antara vektor A dan vektor B menggunakan (a)
perkalian titik, (b) perkalian silang.
Tugas
13. • Koordinat cartesian tidak cukup !!!
• Terdapat beberapa kasus yang akan lebih mudah
penyelesaiannya dengan menggunakan koordinat tabung dan
bola
• Sebagai contoh, persoalan kabel yang menggunakan
koordinat silindris dan persoalan antena yang memiliki
penyelesaian menggunakan koordinat bola.
• Ilustrasi :
• Titik P digambarkan dalam 3 buah koordinat
• Koordinat cartesian = (x, y, z)
• koordinat silindris = (r, φ, z )
• koordinat bola = (r,θ,φ)
Sistem koordinat
14. φ
Pendefinisian Variabel-Variabel
Koordinat dalam Tiga Buah
Sistem Koordinat
Bentuk komponen dari sebuah vektor dalam ketiga
sistem koordinat :
A = Axax + Ayay + Azaz (Cartesian)
A = Arar + Aφaφ + Azaz (Silindris)
A = Arar + Aθaθ + Aφaφ(Bola)
Z
Y
X
x
y
z
A (x, y, z)
Z
X
z
Yr
Z
X
z
φ
Y
r
φA (r, φ, z)A (r, φ, z) A (r, φ,θ)
16. Arah vektor satuan untuk tiga
sistem koordinat
Masing-masing vektor satuan adalah normal terhadap bidang
permukaan koordinatnya dan memiliki arah di mana
koordinatnya bertambah.
Semua sistem merupakan sistem tangan kanan:
ax x aY = aZ ar x aφ = az ar x aθ = aφ
17. Koordinat cartesian – koordinat silinder
Transformasi skalar antar sistem
koordinat
vektor dalam Cartesian :
A = Axax + Ayay + Azaz
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;
vektor dalam Silinder :
z
a
z
AaArarAA ++=
φφ
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;
18. Untuk mendapatkan komponen sebuah vektor, kita ingat pada
pembahasan perkalian titik yang menyatakan bahwa komponennya
dapat dicari dengan mengambil perkalian titik
ar a az
ax. cos -sin 0
ay. sin cos 0
az. 0 0 1
φ
φ φ
φ
Ar
= (Ax
ax
+ Ay
ay
+ Az
az)
• ar
AΦ
= (Ax
ax
+ Ay
ay
+ Az
az
)• aΦ
Az
= (Ax
ax
+ Ay
ay
+ Az
az
) • az
19. Transformasi skalar antar sistem
koordinat
Koordinat cartesian – koordinat bola
vektor dalam Cartesian :
A = Axax + Ayay + Azaz
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari x, y dan z;
vektor dalam Silinder :
θθφφ
aAaArarAA ++=
Dengan masing-masing komponen merupakan fungsi dari r, θ dan z;
20. Dengan cara yang sama …
ar a az
ax. Sin θ Cos Cos θ Cos -Sin
ay. Cos θ Sin Cos
az. Cos θ -Sin θ 0
φ
φ
φ φ
φ φ
Ar
= (Ax
ax
+ Ay
ay
+ Az
az)
• ar
A = (Ax
ax
+ Ay
ay
+ Az
az
)• a φφ
A θ = (Ax
ax
+ Ay
ay
+ Az
az
) • a θ
Sin θ sin
φφ
21. Diferensial volume pada tiga
sistem koordinat
Sebagai contoh, dalam koordinat bola, elemen diferensial
permukaan yang tegak terhadap ar adalah,
dS = (r dθ)(r sin θdφ) = r2 sin θdφ
Elemen diferensial garis, dl, adalah diagonal melalui P.
Jadi,
dl2 = dx2 + dy2 + dz2 (Cartesian)
d12 = dr2 + r2dφ2 + dz2 (Silindris)
d12 = dr2 + r2dθ2 + r2 sin2 θ dφ2 (Bola)
22. Carilah vektor C yang memiliki arah dari M(x1, y1, z1) ke N(x2, y2, z2)!
Berapakah magnituda dari vektor ini dan vektor satuan arahnya?
Penyelesaian :
Koordinat-koordinat titik M dan N digunakan untuk menuliskan posisi dari
kedua vektor A dan B pada Gambar 1-6.
Selanjutnya.
C = B – A = (x2 – x1)ax + (y2 – y1)ay + (z2 – z1)az
Magnituda C adalah
Vektor satuannya adalah
2
12
2
12
2
12 )()()(|| zzyyxxCC −+−+−==
2
12
2
12
2
12
121212
)()()(
)()()(
zzyyxx
azzayyaxx
C
C
a
zyx
C
−+−+−
−+−+−
==
Soal-soal dan Penyelesaiannya
Soal 1
23. Hitunglah jarak antara (5,3π/2,0) dan (5,π/2,10) dalam koordinat
silindris!
Penyelesaian :
Pertama carilah posisi Cartesian dari vektor A dan b
Panda gambar
diperoleh :
A = -5ay,
B = 5ay + 10az
Soal 2
Selanjutnya, B – A = 10ay + 10az, dan jarak ekuivalen
antara kedua titik
210|| =− AB
24. Diberikan A = (y – 1 )ax+2xay, carilah vektor pada (2,2,1) dan proyeksinya
pada vektor B = 5ax – ay + 2az!
Penyelesaian :
A = (2 – 1)ax + 2(2)ay = ax + 4ay. Seperti ditunjukkan pada Gambar,
proyeksi sebuah vektor pada vektor kedua dapat diperoleh dengan
menyatakan vektor satuan yang searah dengan vektor kedua serta
mengambil perkalian titiknya.
Proyeksi A pada B =
|| B
BA
aA B
•
=•A
B
aB
Proyeksi A pada B
Jadi pada (2,2,1)
Proyeksi A pada B =
30
1
)2()1()5(
)2)(0()1)(4()5)(1(
|| 222
=
+−+
+−+
=
•
=•
B
BA
aA B
Soal 3
25. Gunakanlah sistem koordinat bola untuk memperoleh luas area
dari sebuah lembaran tipis α θ β pada selubung bola dengan jari-
jari r = r θ ( Gambar 1-9).
Berapakah luas area yang diperoleh jika α = 0 dan β = π?
Penyelesaian :
Diferensial elemen permukaan adalah
[ lihat Gambar diferensial volume pada tiga sistem koordinat Bola ]
dS = r02 sin θ dθ dφ
Selanjutnya,
∫∫ −==
πβ
α
βαπφθθ
2
0
2
0
2
0 )cos(cos2sin rddrA
sehingga saat α = 0 dan β = π, A = 4πr02, yang merupakan luas permukaan bola.
Soal 4