Dokumen tersebut membahas tentang materi vektor yang mencakup konsep dasar vektor seperti besaran vektor, notasi vektor, vektor posisi, nilai vektor, dan vektor satuan.
1. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
JUDUL
MATEMATIKA KELAS XII
Oleh:
Sudiarto, S.Pd, M.Pd
Guru SMKN 1 Sukorambi, Jember
VEKTOR
2. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
STANDAR
KOMPETENSI
Menerapkan konsep vektor
dalam pemecahan masalah
3. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
KOMPETENSI
DASAR
1. Menerapkan
konsep vektor pada
bidang datar
2. Menerapkan
konsep vektor pada
bangun ruang
P (x,y )
X
y
X
Y
X
Y
Z
T(x,y,z)
O
xi
yj
zk
P
Q
S
4. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
INDIKATOR
1. Konsep vektor dan ruang lingkup vektor
dideskripsikan menurut ciri-cirinya
2. Operasi pada vektor diselesaikan dengan
rumus yang sesuai
3. Konsep vektor dan ruang lingkup vektor
dideskripsikan menurut ciri-cirinya
4. Operasi pada vektor diselesaikan dengan
rumus yang sesuai
5. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
VISUALISASI
1. Gerak
2. Kecepatan
4. Gravitasi
3. Magnet
BESARAN
dan
ARAH
6. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Besaran skalar :
Besaran yang hanya memiliki besar
Contoh : massa, waktu, suhu, panjang.
Besaran vektor :
Besaran yang memiliki besar dan arah
Contoh : gerak, kecepatan, gravitasi,
medan magnet.
BESARAN
BESARAN
7. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Vektor
Vektor: besaran yang memiliki besar
(nilai) dan arah.
Gambar: ruas garis berarah (anak panah).
Panjang garis besar (nilai)
Arah anak panah arah vektor itu.
a
VEKTOR
8. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
A
B
u
45 X
Gambar Vektor
ditulis vektor AB atau u atau u
A disebut titik pangkal
B disebut titik ujung
VEKTOR
9. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Macam Vektor secara Geometris
D (x,y )
X
y
X
Y
X
Y
Z
T(x,y,z)
O
xi
yj
zk
P
Q
S
Vektor di R-2 (2 dimensi)
= p x l bidang
Vektor di R-3 (3 dimensi)
= p x l x t ) ruang
VEKTOR
10. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Notasi Vektor
Bentuk vektor kolom:
4
3
u
0
2
1
PQatau
Bentuk vektor baris:
4,3AB atau 0,3,2v
Vektor ditulis dengan notasi:
i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k
VEKTOR
11. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Vektor Posisi
Vektor yang titik pangkalnya O(0,0)
X
Y
O
Contoh di R-2:
A(4,1)
B(2,4)
Vektor posisi
titik A(4,1) adalah
1
4
aOA
Vektor posisi titik B(2,4) adalah
ji 42bOB
a
b
POSISI
12. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Contoh di R-3:
Vektor posisi titik A(1,5,3) adalah
3
5
1
aOA
kji 35aOA
atau
X
Y
Z
A(x,y,z)
O
i
5j
3k
POSISI
13. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
BESAR VEKTOR (PANJANG GARIS)
Jadi bila
1
1
1
z
y
x
p Maka panjang vektor p adalah
2
1
2
1
2
1 zyxp
Jika diketahui dua titik yaitu A (x1, y1,z1) dan B (x2, y2, z2)
Didalam ruang maka panjang AB dirumuskan sebagai berikut :
2
12
2
12
2
12 )()()( ZZYYXXAB
NILAI (BESAR)
14. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Vektor yang besarnya satu satuan.
a
a
e
ˆ
i
j
a
a = 3i + 4j
X
Y
3
4
0
Contoh: Tentukanlah
Vektor Satuan dari a
VEKTOR SATUAN
15. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Jawab:
2 2
3i 4jˆ
3 4
r
r
a
e
a
r
r
2 2
a 3 4 9 16 25 5
1 3 4
e (3i 4j) i j
5 5 5
VEKTOR SATUAN
16. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
• Penjumlahan vektor menurut aturan segitiga
dan aturan jajaran genjang
• Dalam bentuk pasangan bilangan sbb:
v
u w = u + v
w = u + v
u
v
db
ca
d
c
b
a
vu
d
c
vdan
b
a
u
fc
eb
da
f
e
d
c
b
a
vu
f
e
d
vdan
c
b
a
u
VEKTOR
BERLAWANAN ARAH
VEKTOR SEARAH
PENJUMLAHAN
17. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Contoh:
1-
2p-
3
a
3
6
p
b
Diketahui:
Jika a + b = c , maka p – q =....
2
4q
5-
c
PENJUMLAHAN
21. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Besar Vektor Hasil Penjumlahan dan Pengurangan
22
)()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
a
vu
d
c
vdan
b
a
uJika
nPenguranga
22
)()(|| dbcavu
db
ca
d
c
b
a
vu
d
c
vdan
b
a
uJika
nPenjumlaha
PENGURANGAN
22. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Perkalian Vektor dengan Bilangan Real (Skalar)
a
a
a
a
3
2
1
Misalkan:
Jika: c = m.a, maka
3
2
1
3
2
1
.
.
.
c
am
am
am
a
a
a
m
dan m = bilangan real
Vektor x skalar arah tidak berubah, besar berubah
PERKALIAN
23. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Contoh:
Diketahui:
Vektor x yang memenuhi
a – 2x = 3b adalah....
Jawab:
misal
4
1
2
32
6
1
2
3
2
1
x
x
x
6
1-
2
a
4
1-
2
b
dan
3
2
1
x
x
x
x
PERKALIAN
25. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Hasil kali skalar dua vektor a dan b jika keduanya
membentuk sudut tertentu didefinisikan:
a b = |a| |b| cos
dimana adalah sudut antara kedua vektor a dan b
Perkalian antar Vektor
a b > 0 jika {| 0 < < 90o}
a b = 0 jika {| = 90o}
a b < 0 jika {| 90o < < 180o}
1. Perkalian Titik (Dot Product):
PERKALIAN
26. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Tentukanlah perkalian titik antara vektor a dan b
Jawab :
|a| = 4
45o
|b| = 6
θcosbaba
2
2
1
24ba
0
4564ba cos
Contoh 1:
212
PERKALIAN
27. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Jika |a| = 5, |b| = 7.
sudut antara kedua
vektor 60.
maka a b = ….
Jawab:
|a| = 5
60
Contoh 2:
a b = |a| |b| cos
= 5 7 cos 60
= 35 ½ = 17½
PERKALIAN
28. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Contoh 3:
Jika a = 2i + 3j + k dan
b = 5i - j + 4k maka
hasil kali skalar a.b = ....
Jawab:
a . b = ai bi + aj bj + ak bk
= 2.5 + 3.(-1) + 1.4
= 10 – 3 + 4
= 11
PERKALIAN
29. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Jika a = -2i + 3j + 5k ,
b = 3i -5j + 4k dan
c = -7j + k
maka a ( b – c ) = ....
Jawab:
a.(b – c) = a.b – a.c
a.b = (-2)3 + 3(-5) + 5.4
= -6 – 15 + 20
= -1
Contoh 4:
a.c = (-2).0 + 3(-7) + 5.1
= 0 – 21 + 5
= -16
a.b – a.c = -1 – (-16) = 15
Jadi a.(b – c) = 15
PERKALIAN
30. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Maka besar sudut antara vektor a dan vektor b dapat
ditentukan dengan:
2
3
2
2
2
1
2
3
2
2
2
1
332211a
cos
bbbaaa
bababa
ba
b
a b = |a| |b| cos
Berdasarkan rumus sebelumnya:
PERKALIAN
31. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Tentukan besar sudut antara vektor a = 2i + j - 2k dan
vektor b = -j + k
Jawab:
ba
ba.
cos
22222
1)1(.)2(12
1).2()1.(10.2
cos
Contoh 1:
2.9
3
23
3
cos
2
1
2
2
2
2
2
2
1cos θ maka besar = 135
PERKALIAN
32. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Diketahui titik-titik A(3,2,4), B(5,1,5) dan C(4,3,6). Jika AB = u dan
AC = v . Sudut yang dibentuk oleh u dan v adalah….
Jawab:
Contoh 2:
u = AB = B – A = v = AC = C – A =
cos(u,v) =
1
1
2
4
2
3
-
5
1
5
2
1
1
4
2
3
-
6
3
4
222222
211.1)1(2
2.11).1(1.2.
cos
vu
vu
2
1
6
3
6.6
3
cos
berarti sudut = o
PERKALIAN
33. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
2. Perkalian Silang (Cross Product)
Hasil perkalian silang dua vektor dan didefinisikan:a
b
sinθbaba
b
a x b
a
b x a
Jika a = ai + aj + ak dan b = bi + bj + bk
maka: a x b = (aj bk – ak bj) i – (ai bk – ak bi) j + (ai bj – aj bi) k
kji
kji
bbb
aaa
kji
Perkalian silang dua vektor bisa juga diselesaikan menggunakan
cara sebagai berikut:
a x b =
PERKALIAN
34. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua
buah vektor berikut ini :
2i – 2j + 4km=
i – 3j + 2kn =
Jawab :
Perkalian titik :
m . n = 2.1 + (-2)(-3) + 4.2
= 16
Perkalian silang :
A x B =
231
422
-
-
kji
= { (-2).2 – 4.(-3)} i – {2.2 – 4.1} j
+ {2.(-3) – (-2).1} k
= (-4+12) i – (4-4) j + (-6+2) k
= 8i – 0j – 4j
= 8i – 4k
Contoh 1:
PERKALIAN
35. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Contoh 2:
A = 5i + 6j – 4k
B = 2i + 3j – k
A x B = {6(-1) - (-4)3} i – {5(-1) - (-4)2} j + {5(3) – 6(2)}k
= 6i – 3j + 3k
Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua
buah vektor berikut ini :
PERKALIAN
36. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Contoh 3:
P = i + 3j + 5k
Q = 2i + 4j + 6k
P x Q = {(3∙6) - (5∙4)} i – {(1∙6) - (5∙2)} j + {(1∙4) – (3∙2)}k
= -2i + 4j - 2k
Tentukanlah hasil perkalian titik dan perkalian silang dari dua
buah vektor berikut ini :
PERKALIAN
37. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
PROYEKSI VEKTOR
a pada b adalah cPanjang proyeksi vektor
PERKALIAN
38. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Diketahui vektor a = 2i – 6j – 3k dan b = 4i + 2j – 4k .
Panjang proyeksi vektor a pada b adalah…..
Proyeksi vektor a pada vektor b, namakan c:
Pembahasan
Panjang masing-masing vektor:
Proyeksi vektor b pada vektor a,
namakan d adalah...
Contoh 1:
PERKALIAN
39. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
PERBANDINGAN RUAS GARIS VEKTOR
Dengan demikian di peroleh hubungan:
AC : CB = m : n
atau
AC : AB = m : (m + n)
A BC nm
Titik C terletak pada ruas garis AB sehingga titik C
membagi ruas garis AB dengan perbandingan m : n.
PERBANDINGAN
40. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Contoh :
Ruas garis PQ dibagi menjadi lima bagian yang sama
oleh titik-titik A, B, C, dan D. Hitunglah nilai perbandingan
a. PA : PD b. PB : BQ
c. AQ : QD d. AC : QP
A
P
Q
B
C
D
a. PA : PD = 1 : 4 b. PB : BQ = 2 : 3
c. AQ : QD = 4 : (-1) d. AC : QP = 2 : (-5)
PERBANDINGAN
41. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
RUMUS PERBANDINGAN VEKTOR
Berdasarkan AC : CB = m : n, maka diperoleh n . AC = m . CB.
A
B
C
O
a
b
c
n
m
Vektor posisi titik A dan titik B berturut-
turut adalah dana
b
Titik C terletak pada ruas garis AB
dengan perbandingan m : n atau AC : CB
= m : n, dan vektor posisi titik C
dinyatakan dengan vektor c
PERBANDINGAN
42. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
CBmACn
cbmacn
cmbmancn
anbmcmcn
anbmcnm
nm
anbm
c
A
B
C
O
a
b
c
n
m
Karena ruas garis berarah AC searah dengan ruas garis berarah
CB, maka persamaan itu dapat dituliskan dalam bentuk
persamaan vektor:
PERBANDINGAN
43. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
MATERI
BESARAN VEKTOR POSISI NILAI (BESAR) VEKTOR SATUAN PENJUMLAHAN PENGURANGAN PERKALIAN PERBANDINGAN
Contoh 1:
O
B
A
P
p
a
b
1
3
a , b dan p berturut-turut
adalah vektor posisi titik A,
B dan P.
Titik P membagi garis AB
dengan perbandingan 3 : 1,
maka vektor p = ….
13
3
ab
p
abp 4
1
4
3
nm
anbm
p
n
m
PERBANDINGAN
46. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
47. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
A. 1
B. 2
C. 3
D. 4
E. 5
48. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
49. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
50. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
51. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
52. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
53. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
54. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
55. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
56. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
57. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
58. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
59. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
60. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
61. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
62. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
EVALUASI
1. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah ...
63. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
2. Panjang vektor: 2k-ji2 v
adalah 222
)2(12 v
= 9 = 3
64. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
TUGAS
TUGAS
AB
uuur
BC
uuur
1. Diketahui titk A(2,1,3), B(-3,2, 5) dan C(4,-1,2).
Ruas garis berarah AB mewakili vektor u dan
ruas garis berarah BC mewakili vektor v.
Hitunglah perkalian skalar antara vektor u dan
vektor v.
2. Misalkan koordinat titik P(2,3,-1) dan Q(7,-2,9).
Titik R membagi ruas garis PQ dengan
perbandingan 1 : 4. Carilah koordinat titik R.
65. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
3. Misalkan vektor a dan b membentuk sudut
600. Jika ||a|| = 4 dan ||b|| = 5, hitunglah :
b•(a + b)
, b =
4. Diketahui a = 2i-j+2k ; b = 3i-2j+k ; c = i+pj.
Hitunglah nilai p, jika a•(b - c) = a•a dan
tentukan besar sudut antara vektor a dan b
5. Diketahui titik-titik K (3,3,3), L(1,2,-1),
M(4,1,1), dan N(6,2,5). Tunjukkan bahwa
bangun KLMN berbentuk jajargenjang
66. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
REFERENSI
REFERENSI
67. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
YA TIDAK
KELUAR
68. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI
69. KELUAR
JUDUL
SMK NEGERI 1 SUKORAMBI JEMBER
Jl. Brawijaya 55 (0331) 487535, (0331) 422695 Jember
e-mail : smkn1sukorambi@yahoo.com, website : www.smkn1sukorambi.sch.id
STANDAR
KOMPETENSI
KOMPETENSI
DASAR
INDIKATOR
VISUALISASI
MATERI
EVALUASI
TUGAS
REFERENSI