Matematika Dasar Jurusan Teknik Sipil Fakultas Teknik Universitas Borneo Tarakan

1. MATEMATIKA DASAR
Aswar Amiruddin, ST., MT.

2. Pertemuan 4
Konsep Limit

3. Sub CP-MK
Memahami konsep limit di suatu titik
Indikator
Menetukan nilai limit fungsi di satu titik dan sifatnya

4. Konsep Limit
Misalkan f(x) suatu fungsi, c dan L bilangan real sedemikian hingga:
• Bila x dekat c tetapi tidak sama dgn c (x  c), maka f(x) dekat ke L
• Bila x mendekati c tetapi x  c, maka f(x) mendekati L
• Misalkan f(x) dapat kita buat sedekat mungkin ke L dg membuat x
cukup dekat c tetapi tidak sama dengan c
• Maka dapat dikatakan bahwa limit f(x) bila x mendekati c adalah L,
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝒄
𝒇 (𝒙) = 𝑳

5. Konsep Limit
Perhatikan fungsi berikut : lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) =
𝒙𝟐−𝟏
𝒙−𝟏
, terdefinisi untuk setiap
x ϵ R kecuali untuk x = 1, fungsi tidak terdefinisi jika x=1, akan
tetapi dengan mengambil nilai mendekati 1 maka fungsi di atas
terdefinisi.

6. Konsep Limit
Dari tabel di atas dan grafik disamping terlihat
bahwa f(x) mendekati 2 jika x mendekati 1 Secara
matematis dapat dituliskan Sebagai berikut
𝐥𝐢𝐦
𝒙→𝟏
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙 − 𝟏
= 𝟐

8. Pengertian limit secara intuitif
Kita tuliskan lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 apabila
jika x dekat ke c, maka nilai f(x) dekat ke L
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) disebut “limit f di c”.
Bilangan L merupakan nilai limit tersebut.
Contoh
lim
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) =
𝒙𝟐 − 𝟏
𝒙 − 𝟏

10. Arti ”mendekati” pada konsep limit, bisa dari kiri titik c atau dari
kanan titik c.
Dengan kata lain, nilai limit f (x) untuk x mendekati c ada, jika
limit kiri dan limit kanan ada.
Limit Kanan dan Limit Kiri
Limit kanan 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐+
𝑓(𝑥) = 𝐿 berarti
jika x > c dan dekat ke c, maka f(x) dekat ke L.
Limit kanan 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐−
𝑓(𝑥) = 𝐿 berarti
jika x < c dan dekat ke c, maka f(x) dekat ke L.
Limit Kanan dan Limit Kiri

11. Bilakah Limit Ada/Tidak Ada?
Limit fungsi f di c ada jika dan hanya jika limit kanan dan limit kiri f di
c ada dan nilainya sama dengan L (perhatikan definisi limit).
Limit f di c tidak ada bila salah satu di antara beberapa kemungkinan
berikut terjadi:
1. Limit kanan dan limit kiri f di c ada, tetapi nilainya tidak sama.
2. Limit kanan atau limit kiri f di c tidak ada, karena
a. Nilai f di dekat c menuju tak terhingga.
b. Nilai f di dekat c berosilasi.

12. Limit Fungsi
Bila sebelumnya kita telah mencoba memaknai limit fungsi di suatu titik
secara intuitif, maka skrg kita akan mendefinisikannya secara formal.
Definisi: 𝑙𝑖𝑚
𝑥→𝑐
𝑓(𝑥) = 𝐿 jika dan hanya jika:
“untuk setiap ε > 0 terdapat δ > 0 sehingga:
jika 0 < | x – c | < δ, maka | f(x) – L | < ε.”