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1. Liceo Scientifico Statale “Corradino D’Ascanio”
Montesilvano, 12 Giugno 2020
Esami di Stato 2019/2020
Elaborato di Matematica e Fisica
Alunno: Angelo E. Napoli
Classe: 5F
L’INIZIO DI UNA NUOVA ERA
INTROUZIONE
La teoria matematica di James Clerk Maxwell, pubblicata nel 1873, prediceva che le perturbazioni
elettromagnetiche, generate da scariche elettriche o da rapidi movimenti di magneti, dovevano
propagarsi nello spazio mostrando caratteristiche simili alla diffusione della luce. Nel 1887
Heinrich Hertz progettò una serie di esperimenti con cui dimostrò l’esistenza delle onde
elettromagnetiche, confermando la validità delle ipotesi di Maxwell e spianando la strada ai futuri
lavori di Guglielmo Marconi.
ESPERIMENTO DI HERTZ
Maxwell non ebbe modo di verificare sperimentalmente la propria teoria. Heinrich Hertz nel 1886
riuscì per la prima volta a produrre e a rivelare le onde elettromagnetiche di cui Maxwell aveva
previsto l’esistenza. Secondo la teoria maxwelliana, le onde elettromagnetiche sarebbero dovute
essere prodotte dalle oscillazioni di cariche elettriche lungo un circuito.
Per l’esperimento Hertz utilizzo un rocchetto di Ruhmkorff. Esso è costituito da un nucleo in ferro
attorno al quale sono avvolte due bobine in filo di rame: il circuito primario, con filo di diametro
maggiore è alimentato da una batteria; il secondario, ben isolato, ha un numero di spire molto
maggiore e termina su due sferette. Il primario comprende un interruttore in serie ad un sistema a
martelletto che interrompe periodicamente il contatto ogni volta che il nucleo in ferro si magnetizza
al passaggio di corrente. Dopo ogni interruzione del contatto il nucleo si smagnetizza e il martelletto
torna nella posizione iniziale chiudendo nuovamente il circuito. In tal modo nel secondario circola
corrente alternativamente in un verso e nell'altro, generando così oscillazioni di cariche elettriche.
In parallelo all’interruttore è collegato un condensatore che permette d’eliminare l’extracorrente
d’apertura.
Hertz, quindi, ebbe l’idea di alimentare con un rocchetto di Ruhmkorff un circuito aperto, in cui
l’induttanza era rappresentata da due aste metalliche allineate, separate da una breve distanza, e la

2. capacità era realizzata con due sfere poste alle estremità delle due aste: tale circuito prende il nome
di dipolo hertziano.
La trasmissione delle onde era rilevata da un risonatore di Hertz, a scintilla, costituito da un cerchio
di grosso filo di rame interrotto da uno spazio di lunghezza regolabile tra due sferette. Il passaggio
di una corrente oscillante nel risuonatore si manifestava attraverso la scintilla che illuminava le due
sferette. Hertz variò le dimensioni della spira adiacente per ottenere un massimo per la scintilla
indotta, riuscendo a calcolare la frequenza di risonanza per un’assegnata induttanza e capacità della
spira. Sebbene questi calcoli implicassero molte approssimazioni, Hertz trovò una frequenza di
circa 100 MHz.
I campi elettromagnetici sono prodotti dall’oscillazione delle cariche elettriche. L’oscillazione di
una carica determina la variazione del flusso del campo elettrico. A causa di questa variazione verrà
generato un campo magnetico (quarta equazione di Maxwell) il quale a sua volta determinerà la
variazione del campo elettrico (terza equazione di Maxwell) e così via. Una volta che il campo
elettromagnetico è stato prodotto dall’oscillazione di una carica, esso avrà un’esistenza autonoma.
Si generano in questo modo delle onde elettromagnetiche. Un’onda elettromagnetica è, quindi, la
fluttuazione di un campo elettrico e di un campo magnetico che si propaga nello spazio alla velocità
della luce, ed è stata rilevata come oggetto sperimentale per la prima da Hertz nel 1886. In onore di
Heinrich Hertz, l’unità di frequenza è chiamata Hertz (abbreviata Hz) e indica quanti cicli vengono
compiuti da un fenomeno periodico in un secondo.
CIRCUITI OSCILLANTI
Affinché un’onda elettromagnetica si propaghi per grandi distanze, è necessario che il suo campo
elettrico e il suo campo magnetico siano sufficientemente intensi. Il campo magnetico indotto
raggiunge intensità più elevate quanto più rapidamente varia il campo elettrico, e d’altra parte, il
campo elettrico indotto raggiunge intensità quanto più maggiori quanto più rapidamente varia il
campo magnetico. Campi rapidamente variabili si generano nei circuiti LC oscillanti.
Un circuito LC è un circuito elettrico costituito da un induttore , rappresentata dalla lettera L, ed un
condensatore , rappresentato dalla lettera C, collegati tra loro. Esso è un modello idealizzato in
quanto presuppone che non vi è dissipazione di energia dovuta alla resistenza, e quindi non vi sia il
fenomeno dello smorzamento, che riduce la frequenza di risonanza. Qualsiasi implementazione
pratica di un circuito LC comprenderà sempre danno derivante dalla piccola ma non nulla resistenza
all'interno dei componenti e fili di collegamento. Lo scopo di un circuito LC è solitamente ad
oscillare con il minimo smorzamento. È comunque istruttivo studiare questa forma ideale del
circuito per guadagnare la comprensione e l'intuizione fisica.

3. In un circuito LC oscillante alla sua naturale frequenza di risonanza, il
condensatore immagazzina energia elettrica nel campo elettrico 𝐸⃗ tra le piastre,
e l’induttore la trasforma in energia elettromagnetica immagazzinata nel campo
magnetico 𝐵⃗ .
Se un induttore è collegato attraverso un condensatore di capacità C carico di
carica Q, l’armatura positiva tende a svuotarsi della sua carica e a trasferirla
sull’armatura negativa. Il passaggio di carica genera un campo magnetico
nell’induttore di induttanza L, e questo produce subito un campo elettrico
autoindotto, la cui forza elettromotrice si oppone alla variazione della stessa
corrente che l’ha generato. Dopo che tutta la carica sul condensatore sarà
andata via e la tensione ai suoi capi raggiunge lo zero, la corrente inizierà a
caricare il condensatore con una tensione di polarità opposta alla sua carica
originale a causa di legge di Faraday-Neumann-Lenz, così l'energia necessaria
per caricare il condensatore viene estratto dal campo magnetico. Quando il
campo magnetico viene completamente dissipato, la corrente viene interrotta e
la carica sarà nuovamente immagazzinata nel condensatore, con la polarità
opposta come prima. Quindi il ciclo ricomincerà, con la corrente che scorre
nella direzione opposta attraverso l'induttore.
La frequenza alla quale il circuito oscillerà, è determinato dai valori di capacità
C e induttanza L. In un circuito ideale, la cui resistenza e l’energia
elettromagnetica irradiata sono trascurabili, la corrente che scorre nella bobina
e la carica del condensatore compiranno oscillazioni di pulsazione 𝜔 =
1
√𝐿𝐶
,
cioè di frequenza 𝑓 =
1
2𝜋√𝐿𝐶
(frequenza di risonanza).
Esercizio guidato: determinare l’equazione che ricavi l’intensità di corrente
𝑖(𝑡) istantanea in circuito LC, tenendo conto che nell’istante 𝑡 = 0 il
condensatore è carico di carica 𝑞0. Poi, determinare l’istante di tempo in cui la
corrente arriva a 𝑖 = 1,0 ∙ 10−1
𝐴 sapendo che l’induttanza è di 𝐿 = 1,0 ∙
10−1
𝐻, la capacità è di 𝐶 = 1,0 ∙ 101
𝐹 e la carica iniziale nel condensatore è
di 𝑞0 = 1,0 𝐶.
Per il teorema della maglia, l’equazione che descrive l’andamento della
corrente nel circuito è 𝐿
𝑑𝑖(𝑡)
𝑑𝑡
+
𝑞(𝑡)
𝐶
= 0, sapendo che 𝑞(𝑡) indica la quantità di
carica positiva all’interno del condensatore all’istante t.
Inoltre, ricordando che la corrente è la quantità di carica che passa attraverso la
sezione del conduttore nel tempo, si ha che 𝑖(𝑡) =
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
. Sostituendo alla
formula precedente si ottiene 𝐿
𝑑2 𝑞(𝑡)
𝑑𝑡2 +
𝑞(𝑡)
𝐶
= 0, nonché
𝑑2 𝑞(𝑡)
𝑑𝑡2 +
𝑞(𝑡)
𝐿𝐶
= 0. Di
conseguenza, introducendo la pulsazione 𝜔 =
1
√𝐿𝐶
, si avrà la seguente
equazione:
𝑑2 𝑞(𝑡)
𝑑𝑡2
+ 𝜔2
𝑞(𝑡) = 0.
Questa è un equazione differenziale di tipo lineare del secondo ordine
omogenea: in analisi matematica un'equazione differenziale è un'equazione che
lega una funzione incognita alle sue derivate ed in generale le soluzioni di
un’equazione differenziale sono infinite e possono essere integrali generali,
ovvero l’insieme di tutte le soluzioni dell’equazione; o integrali particolari,
ottenuti dagl’integrali generali imponendo alcune condizioni. In questo caso l’equazione omogenea
è 𝑞(𝑡)′′
+ 𝜔2
𝑞(𝑡) = 0, e l’equazione caratteristica ad essa corrispondente è 𝑘2
+ 𝜔2
𝑘 = 0. Dato
che ∆> 0, l’equazione caratteristica ammette due soluzioni reali 𝑘1e 𝑘2, e l’insieme delle soluzioni
dell’equazione differenziale omogenea lineare di secondo ordine, ovvero l’integrale generale

4. dell’equazione caratteristica, è 𝑞(𝑡) = 𝐴𝑒 𝑘1 𝑡
+ 𝐵𝑒 𝑘2 𝑡
. Risolvendo l’equazione troviamo che 𝑘1 = 0
e 𝑘2 = −𝜔2
, di conseguenza si avrà che 𝑞(𝑡) = 𝐴 + 𝐵𝑒−𝜔2 𝑡
. Per determinare A e B bisogna
utilizzare le condizioni di cui si è a conoscenza, come ad esempio 𝑞(0) = 𝑞0 e 𝑞(𝑡)′′
+ 𝜔2
𝑞(𝑡) =
0. Inoltre, grazie alle formule di Eulero, possiamo rappresentare la funzione 𝑞(𝑡) come una
funzione sinusoidale: 𝑞(𝑡) = 𝑞0 cos 𝜔𝑡 . Di conseguenza, sapendo che
𝑖(𝑡) =
𝑑𝑞(𝑡)
𝑑𝑡
, allora si può ricavare la funzione 𝑖(𝑡) in funzione del
tempo facendo semplicemente la derivata: 𝑖(𝑡) = 𝜔 𝑞0 sin 𝜔𝑡, ovvero
𝑖(𝑡) = 𝑖0 sin 𝜔𝑡, dove 𝑖0 = 𝜔 𝑞0.
Come si vede, in questo caso ideale in cui la resistenza è nulla,
l’ampiezza massima della corrente 𝑖0 è direttamente proporzionale alla
pulsazione. Inoltre, quando la cosinusoide della carica taglia l’asse delle
ascisse, ovvero quando 𝑞(𝑡) = 0 la sinusoide della corrente è massima.
Cariche e correnti, quindi, in questo circuito variano sinusoidalmente
alla frequenza 𝑓 =
1
2𝜋√𝐿𝐶
..
Ora, attraverso passaggi matematici arriviamo a determinare il tempo attraverso la formula 𝑡 =
√𝐿𝐶 ∙ sin−1
(
𝑖 √𝐿𝐶
𝑞0
) e sostituendo i dati dal problema si ha che
𝑡 = √1,0 ∙ 10−1 𝐻 ∙ 1,0 ∙ 101 𝐹 ∙ sin−1
(
1,0 ∙10−1 𝐴 ∙ √1,0∙10−1 𝐻∙1,0∙ 101 𝐹
1,0 𝐶
) ≈ 5,8𝑠.
ANTENNE
Per fornire l'energia atta a compensare sia le perdite per dissipazione termica del circuito sia
l'energia trasportata via dall'onda elettromagnetica irradiata si deve prevedere una sorgente esterna.
L'oscillatore LC può accoppiarsi tramite un trasformatore e attraverso una linea di trasmissione ad
un'antenna, che consiste essenzialmente in due sottili aste conduttrici. A causa di questo
accoppiamento, la corrente variabile nell'oscillatore fa oscillare sinusoidalmente la carica lungo le
aste dell'antenna alla pulsazione ω dell'oscillatore LC. È questo il dispositivo che sta alla base della
produzione delle onde elettromagnetiche mediante un dipolo oscillante.
Dall’espressione della frequenza si vede che, per produrre onde elettromagnetiche di frequenza
elevata con un circuito LC, si deve ridurre il più possibile i valori dell’induttanza e della capacità,
cioè diminuire il numero di spire dell’induttore e allontanare l’una dall’altra le armature del
condensatore. Da qui si procede all’utilizzo di un dipolo oscillante o, più comunemente, antenna. La
differenza rispetto ad un circuito LC consiste nel fatto che l’induttanza e la capacità sono distribuite
lungo tutto il conduttore.

5. CONCLUSIONE
Lo studio dei campi elettromagnetici è stato al centro dell'attenzione delle comunità scientifiche e
dei governi che, su di esso, hanno investito molte risorse economiche e umane. Infatti, la
comprensione dei fenomeni elettromagnetici e la realizzazione di strumenti a essi connessi è stata di
fondamentale importanza per la difesa delle nazioni, in particolare durante gli anni della seconda
guerra mondiale, e nell’evoluzione tecnologica che viviamo oggi nell’epoca contemporanea. Ai
giorni nostri gli studi legati a questo ambito hanno intrapreso innumerevoli nuove vie di conoscenza
riuscendo a influenzare profondamente la vita quotidiana di chiunque con l’avvento di diversi
dispositivi, quali per esempio, telefoni cellulari, forni a microonde e modem, che hanno invaso le
nostre case e sono diventati simboli di progresso tecnologico e di benessere. Gli studi relativi
all'elettromagnetismo, a ben centoquaranta anni dalla redazione delle equazioni di Maxwell,
riescono ancora a stupire e cambiare il mondo.
BIBLIOGRAFIA
CAFORIO A, FERILLI A, FISICA! Pensare l’Universo 5, Le Monnier Scuola, Mondadori Education, 2019
SITOGRAFIA
UTI Filippo, I campi elettromagnetici e l’esperimento di Hertz,
http://tesi.cab.unipd.it/43796/1/I_campi_elettromagnetici_e_l'esperimento_di_Hertz.pdf, 22 Luglio 2013.
EXPERIMENTAL COSMOLOGY GROUP, Department of Physics, University of Rome "La Sapienza", I
circuiti RLC, http://oberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2017/lezione07-2017.pdf, 2017.
POLI Francesco, Il circuito risonante LC,
http://www.francescopoli.net/Classe_V_file/Il%20circuito%20risonante%20LC.pdf.
ANGELETTI Angelo, Equazioni di Maxwell e onde elettromagnetiche,
http://www.angeloangeletti.it/MATERIALI_LICEO/EQUAZIONI%20DI%20MAXWELL.pdf.
TONOLINI Fondazione, La scoperta delle onde elettromagnetiche,
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INAF-INSTITUTO DI RADIOASTRONOMIA, La scoperta delle onde elettromagnetiche,
http://www.ira.inaf.it/Computing/staff/CD/pannelli_attuali/generale/12-onde-hertzian.pdf.