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1. LA DINAMICA RELATIVISTICA
In meccanica Classica, utilizzando la II legge di Newton e la III legge di Newton (principio di azione e reazione), si
dimostra che in un qualsiasi urto fra due corpi, di massa rispettivamente 𝑚1 e 𝑚2, la quantità di moto totale del
sistema dei due corpi si deve conservare, cioè la quantità di moto totale che avevano i corpi prima dell'urto (𝑝𝑖 ) deve
essere la stessa dopo l'urto (𝑝𝑓 ).
𝑝𝑖⃗⃗⃗ = 𝑝𝑓⃗⃗⃗⃗
Sapendo che 𝑝 = 𝑚0 ∙ 𝑣, se indichiamo con i suffissi i e f i valori iniziali (subito prima dell'urto) efinali (subito dopo
l'urto), il principio di conservazionedella quantità di moto si scrive:
𝑚1 ∙ 𝑣1𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑚2 ∙ 𝑣2𝑖
⃗⃗⃗⃗⃗ = 𝑚1 ∙ 𝑣1 𝑓
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ + 𝑚2 ∙ 𝑣2 𝑓
⃗⃗⃗⃗⃗⃗
Ovviamente, poichétutti i riferimenti inerziali sono equivalenti, la legge di conservazione della quantità di moto deve
valere in qualunque riferimento inerziale. Ciò significa che, in Meccanica Classica, se è soddisfatta la conservazione
della quantità di moto in un dato riferimento S, allora essa è necessariamente soddisfatta anche in un diverso
riferimento S' in moto uniforme rispetto al precedente di velocità 𝑣 𝑇 , in accordo con il Principio di Relatività:
𝑚1 ∙ (𝑣1𝑖
− 𝑣 𝑇 ) + 𝑚2 ∙ (𝑣2𝑖
− 𝑣 𝑇 ) = 𝑚1 ∙ (𝑣1 𝑓
− 𝑣 𝑇 ) + 𝑚2 ∙ (𝑣2 𝑓
− 𝑣 𝑇 )
Dove i valori delle velocità sono dati dalla legge di trasformazione delle velocità di Galileo (𝑣′
= 𝑣 − 𝑣 𝑇 ).
D'altra parte, abbiamo visto che, quando le velocità dei riferimenti non sono più trascurabili rispetto allavelocità della
luce, leleggi di trasformazionedi Galileo non sono più valide neppure approssimativamente e vanno sostituite con le
leggi esatte previste dalla Relatività.
Ora, supponiamo di avere due sistemi di riferimento: S fermo e S’ in moto uniforme di velocità 𝑣 rispetto ad S, nei
quali avviene l’urto di due corpi A e A’, entrambi di massa 𝑚0, a velocita costante.
Considerato il sistema di riferimento S, in Meccanica Classica, se scomponiamo i vettori delle velocità dei corpi nelle
loro componenti orizzontali x e verticali y, avremmo una tale situazione:
𝑢 𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗ ( 𝑣 ; −𝑢 𝐴) e 𝑢 𝐴⃗⃗⃗⃗ ( 0 ; 𝑢 𝐴)
Verifichiamo ora conservazione della quantità di moto:
𝑝𝑖⃗⃗⃗ = {
𝑝𝑖 𝑥
= 𝑚0 ∙ 𝑣
𝑝𝑖 𝑦
= 𝑚0 ∙ 𝑢 𝐴 − 𝑚0 ∙ 𝑢 𝐴 = 0 } e 𝑝𝑓⃗⃗⃗⃗ = {
𝑝 𝑓𝑥
= 𝑚0 ∙ 𝑣
𝑝 𝑓𝑦
= −𝑚0 ∙ 𝑢 𝐴 + 𝑚0 ∙ 𝑢 𝐴 = 0 }
𝑣 = 𝑢 𝐴′ 𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢 𝐴⃗⃗⃗⃗
𝑢 𝐴′ 𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = − 𝑢 𝐴⃗⃗⃗⃗
𝑢 𝐴⃗⃗⃗⃗
𝑢 𝐴⃗⃗⃗⃗
𝑢 𝐴⃗⃗⃗⃗
𝑢 𝐴⃗⃗⃗⃗
𝑢 𝐴⃗⃗⃗⃗
𝑢 𝐴⃗⃗⃗⃗
𝑢 𝐴′ 𝑥
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢𝐴′⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢 𝐴′ 𝑦
⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗
𝑢 𝐴⃗⃗⃗⃗

2. Tuttavia, in ambito relativistico
𝑢 𝐴′ 𝑦
= −
𝑢 𝐴
𝛾(1 +
𝑢 𝐴 𝑥
. 𝑣
𝑐2 )
ma 𝑢 𝐴 𝑥
= 0, per cui
𝑢 𝐴′ 𝑦
= −
𝑢 𝐴
𝛾
risulta quindi che
𝑝𝑖 𝑦
= 𝑚 ∙ 𝑢 𝐴 − 𝑚 ∙
𝑢 𝐴
𝛾
≠ 𝟎
Questo è in aperta contraddizione con il Principio di Relatività che assicura che le stesse leggi della Fisica devono
essere verificatein tutti i sistemi inerziali.Dunque,se vogliamo che la conservazione della quantità di moto soddisfi il
Principio di Relatività, allora l'espressione della quantità di moto non può essere data da 𝑝 = 𝑚0 ∙ 𝑣.
La nuova espressione da cercare deve soddisfare i seguenti requisiti:
1) La legge di conservazione della quantità di moto deve continuare a valere in ogni sistema di ri ferimento
inerziale quando si applicano le trasformazioni delle velocità relativistiche.
2) Nel limite di basse velocità (𝑣 ≪ 𝑐) la quantità di moto 𝑝 deve ridursi all'espressione classica 𝑝 = 𝑚0 ∙ 𝑣.
Analizzando gli urti elastici fra due corpi, si può dimostrare che la forma della quantità di moto che soddisfa le
condizioni 1 e 2 è
𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑣
nella quale
𝑚 = 𝛾 ∙ 𝑚0 =
𝑚0
√1 −
𝑣2
𝑐2
per cui si ottiene:
𝑝 = 𝛾 ∙ 𝑚0 ∙ 𝑣
dove 𝑚0 è una costante che viene detta massa a riposo del corpo poichéessa rappresenta la massa del corpo quando
esso è fermo (N.B. se 𝑣 = 0, 𝛾 = 1 e 𝑚 = 𝑚0 oppure se 𝑣 ≪ 𝑐 , 𝛾 → 1 e 𝑚 → 𝑚0). Bisogna tener presente che 𝑣 è
la velocità del corpo nel sistema di riferimento considerato e la massa a riposo 𝑚0 èquella chesi misura nel sistema di
riferimento in cui essa è ferma.
Quando la velocità del sistema di riferimento 𝑣 si avvicina alla velocità della luce 𝑐 , il denominatore della frazione
tende a zero e la massa relativa 𝑚 tende a infinito come mostrato in figura 1.
Figura1

3. Il significato fisico di questo comportamento è che l’energia fornita dal corpo per accelerare e far variare anche di
pochi m/s la propria velocità,seessa è già prossima a quelladella luce,si trasformerà maggiormente in massa, mentre
solo una piccola parte farà aumentare il modulo della velocità.
Differenze qualitative e quantitative fra la legge della dinamica Relativistica e quella Classica
La legge fondamentale della Dinamica Classicaper il moto dei corpi materiali è la II legge di Newton che si scrive: 𝐹 =
𝑚 ∙ 𝑎. Tuttavia sappiamo che 𝑎 =
𝑑𝑣⃗
𝑑𝑡
, per cui otteniamo che
𝐹 = 𝑚 ∙
𝑑𝑣
𝑑𝑡
Sapendo che 𝑝 = 𝑚 ∙ 𝑣 e attraverso le seguenti semplificazioni
𝐹 =
𝑚 ∙ 𝑑𝑣
𝑑𝑡
=
𝑑𝑚𝑣
𝑑𝑡
ricaviamo taleespressione:
𝐹 =
𝑑 𝑝
𝑑𝑡
Vediamo, ora, cosa prevede la nuova teoria relativistica nel caso di un corpo sottoposto ad una forza costante (ad
esempio una particella carica sottoposta ad un campo elettrico uniforme diretto lungo un dato asse x).
Supponiamo che la particella siainizialmente ferma in 𝑥 = 0 (𝑣 = 0 al tempo 𝑡 = 0). In questo caso il moto avviene
interamente lungo l'asse x e l'equazione del moto lungo tale asse è
𝐹 =
𝑑𝑝
𝑑𝑡
Integrando entrambi i membri della rispetto al tempo fra l'istante iniziale 𝑡 = 0 ed un generico tempo 𝑡 e tenendo
conto che la forza è costante, cioè indipendente dal tempo, si trova
∫ 𝐹 𝑑𝑡
𝑡
0
= ∫
𝑑𝑝
𝑑𝑡
𝑑𝑡
𝑡
0
quindi
∫ 𝐹 𝑑𝑡
𝑡
0
= ∫ 𝑑𝑝
𝑡
0
ovvero
𝐹 ∙ 𝑡 = 𝑝( 𝑡) − 𝑝(0)
dove 𝑝(𝑡) e 𝑝(0) sono i valori della quantità di moto al tempo 𝑡 e all'istante iniziale 𝑡 = 0.
Questa uguaglianza èla nota legge della meccanica classica che stabilisce che l'impulso della forza 𝐼 = 𝐹 ∙ 𝑡 è uguale
alla variazione della quantità di moto (∆𝑝). Dunque, questa importante legge resta valida nella fisica relativistica.

4. Poiché, per ipotesi, il corpo era inizialmente fermo (𝑝(0) = 0), il valore della quantità di moto al generico istante 𝑡 è
pari a:
𝐹 ∙ 𝑡 = 𝑝( 𝑡)
Adesso, consideriamo separatamente i due casi Classico e Relativistico:
I) Caso Classico
In tal caso, 𝑝 = 𝑚0 ∙ 𝑣, dunque sostituendo tale espressione si ottiene che la velocità del corpo aumenta
linearmente nel tempo con accelerazione costante e pari ad 𝑎 =
𝐹
𝑚0
:
𝑣( 𝑡) =
𝐹
𝑚0
𝑡
L'equazione prevede che, al passare del tempo la particella aumenti continuamente la sua velocità senza nessun
limite come mostrato dalla retta tratteggiata in figura 2.
II) Caso Relativistico
In tal caso, se si sostituisce 𝑝 = 𝑚0 ∙ 𝛾 ∙ 𝑣, si trova 𝑣 ( 𝑡 ) =
𝐹 𝑡
𝑚0 𝛾
, cioè
𝑣( 𝑡) =
𝐹 ∙ √1 −
𝑣( 𝑡)2
𝑐2
𝑚0
∙ 𝑡
Per trovare l'espressioneesplicita dellavelocità 𝑣(𝑡) ad un generico istante 𝑡 , si deve risolverel'equazionericavando
il valoredi 𝑣(𝑡) in funzionedel tempo 𝑡. Elevando al quadrato entrambi i membri della si trova:
𝑚0
2
∙ 𝑣2
= 𝐹2
∙ 𝑡2
−
𝐹2
∙ 𝑡2
𝑐2
𝑣2
ovvero
𝑣( 𝑡) =
𝐹 ∙ 𝑡
√ 𝑚0 +
𝐹2 ∙ 𝑡2
𝑐2
Questa funzione mostra che, contrariamente alleprevisioni della FisicaClassica, la velocità non varia linearmente con
il tempo e resta sempre inferioreal valoredella velocità della luce nel vuoto. In particolare, l'accelerazione del corpo
(pendenza istantanea della curva 𝑣(𝑡) in figura 2) non è costante nel tempo ma decresce all'aumentare della velocità.
Infatti, man mano che la particella aumenta la sua velocità, la massa inerziale 𝑚 = 𝑚0 ∙ 𝛾 aumenta.
L'andamento qualitativo di 𝑣/𝑐 in funzione del tempo (espresso in unità arbitrarie) è mostrato in figura 2.
Figura2

5. Man mano che aumenta la velocità del corpo, però, a causa dell'aumento della massa inerziale, l'accelerazione
diminuisceela velocità crescepiù lentamente avvicinandosi semprepiù al valorelimite 𝑣 = 𝑐 che viene raggiunto solo
nel limite di tempi infiniti. Dunque, si può concludere che la velocità di qualunque corpo materiale che abbia una
massa inerziale a riposo diversa da zero non può mai raggiungere valori uguali o superiori a 𝑐.
lim
𝑡→+∞
𝐹 ∙ 𝑡
√ 𝑚0 +
𝐹2 ∙ 𝑡2
𝑐2
= lim
𝑡→+∞
𝐹 ∙ 𝑐
√ 𝐹2 +
𝑚0
2 ∙ 𝑐2
𝑡2
= 𝑐
Eliminano l’indeterminazionesi ottieneche per 𝑡 → +∞ , 𝑣 → 𝑐 (in quanto
𝑚0
2
∙𝑐2
𝑡2
→ 0).
Nella Meccanica Classica, una particella di massa 𝑚0 sottoposta ad una forza 𝐹 si muove con accelerazione
proporzionale alla forza e data da:
𝑎 =
𝐹
𝑚0
In Meccanica Relativistica, se il modulo della velocità del corpo varia nel tempo allora anche la massa 𝑚 = 𝑚0 ∙ 𝛾
varia nel tempo e, quindi, tenendo conto delle proprietà di derivazione, si ha che
𝐹 =
𝑑𝑝
𝑑𝑡
=
𝑑(𝑚 ∙ 𝑣)
𝑑𝑡
= 𝑚
𝑑𝑣
𝑑𝑡
+
𝑑𝑚
𝑑𝑡
𝑣
ma 𝑎 =
𝑑𝑣
𝑑𝑡
, quindi si deduce
𝑎 =
𝐹
𝑚
−
𝑣
𝑚
𝑑𝑚
𝑑𝑡
Ovviamente, anche questo nuovo effetto previsto dalla Meccanica Relativistica diventa apprezzabile solamente se le
velocità del corpo non sono troppo piccole rispetto a quelle della luce. In caso contrario, è fa cile mostrare che il
contributo
𝑣
𝑚
𝑑𝑚
𝑑𝑡
può essere trascurato rispetto a
𝐹
𝑚
. Quindi, in questo limite,
𝑎 =
𝐹
𝑚
−
𝑣
𝑚
𝑑𝑚
𝑑𝑡
torna a coincidere con il risultato classico in 𝑎 =
𝐹
𝑚0
.
Alunno:AngeloNapoli
Classe : 5F
12/03/2020