1. Rappresentazione grafica di una corrente variabile e di una corrente
sinusoidale
1. Corrente variabile, differenza con una corrente continua
Le correnti continue mantengono nel tempo la stessa ampiezza (fig.1), le
correnti variabili invece nel tempo la loro ampiezza varia (fig.2).
Queste grandezze variabili possono nascere dalle vibrazioni meccaniche di
un microfono, sollecitato dalla voce umana; da variazioni di luce che
colpiscono una cellula fotoelettrica, nella lettura della colonna sonora in
cinematografia, ecc. in tutti questi casi la loro ampiezza varia nel tempo.
(fig.1)
(fig.1) (fig. 2)
Per l’illuminazione domestica e per l’alimentazione delle macchine industriali
(motori elettrici) vengono impiegate correnti variabili, denominate
correnti alternate (sinusoidali).
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2. 2. Rappresentazione grafica di una grandezza sinusoidale.
ωω
- L’intensità di una corrente è una grandezza vettoriale, rappresentata da un
vettore
- che ruota con una velocità angolare ω.
- L’intensità di una corrente è vettore con modulo costante ma se lo
proiettiamo “in verticale” nel grafico ampiezza (y) - tempo (t) la sua in
ampiezza varia nel tempo, per i vari t1, t2, t3 e così per tutto il periodo T.
Ampiezza istante t1 Ampiezza istante t2 Ampiezza istante t3
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3. - L’intensità di una corrente varia quindi con una legge periodica,
assumendo in un certo tempo (periodo T) un insieme di valori.
- L’intensità quindi assume valori che si susseguono assumendo nel tempo
(t ) valori che vanno da 0 a un valore massimo (Y M) , a 0 al valore minimo (-
YM) descrivendo una semionda definita: sinusoide.
- La pulsazione o velocità angolare ω rappresenta il numero di radianti*
percorsi nell'unità di tempo.
* Il radiante è un tratto di circonferenza uguale al raggio.
- Il periodo T è misurato in secondi .
- La frequenza misurata in cicli al secondo, o meglio in Hz.
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4. Generazione di una f.e.m. (forza elettro motrice) alternata
Le macchine elettriche che generano f.e.m. sinusoidali sono gli alternatori.
Principio di funzionamento:
Fra le espansioni di un magnete permanente, con
polarità affacciate N e S, ruota a velocità angolare
costante una spira, che è collegata a un voltmetro.
La rotazione della spira fa nascere così una f.e.m. di
autoinduzione sulla spira.
Quantificazione della f.e.m. di autoinduzioneo
Per determinare il valore della f.e.m. V di
autoinduzioneo si parte dall'espressione:
V=B·l·v
Questa deve essere però rivista, perché la spira ruotando non sempre è “colpita” allo
stesso modo dal campo magnetico uniforme, di densità B.
La figura sottostante, mostra che la spira ruota con una velocità periferica ωt e
nell'istante α = O°, nessuna linea magnetica viene tagliata dalla spira, quindi nulla è
la f.e.m. indotta: solo una parte di linee magnetiche viene tagliata nelle condizioni
riportate dalla figura, la massima parte per α = 90°. In quest'ultimo caso, massima è la
f.e.m. indotta.
–
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5. Come varia la f.e.m. di autoinduzione varia in ampiezza con la velocità periferica
della spira.
Sostituendo al termine v, nell'espressione V = B · l · v, con l'equivalente ω · r sen α
essa si può scrivere in questo modo:
V = 2 B · l · ω · r · sen α
- V assume il valore zero per α = 0°;
- V assume valori crescenti passando successivamente fra α = 0° e α = 90°;
- V assume il massimo per α = 90°.
L'espressione è stata moltiplicata per 2 in quanto la spira è formata da due conduttori
effettivi di lunghezza l
L'unico termine variabile nell'espressione della f.e.m. V è il termine sen α per cui la
tensione “raccolta” dalla spira è variabile sinusoidalmente.
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6. Come varia la f.e.m. di autoinduzione in ampiezza con il variare del flusso Φ
I valori 2 · B · l rappresentano la superficie della spira nell'interno del magnete,
quando abbraccia tutte le linee magnetiche, quindi ricordando che il prodotto
B · S = ΦM, possiamo anche scrivere
V = ω · ΦM · sen α
- Quando la spira abbraccia tutte le linee, si trova con un angolozione α = 0°:
– il flusso è massimo ΦM ma la f.e.m. indotta è nulla.
- Quando invece, la spira non abbraccia le linee, si trova con un angolozione α =90°:
- il flusso che attraversa la spira è nullo la f.e.m. Indotta è massima
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7. – Possiamo, allora stabilire che la f.e.m. e il flusso Φ assumono i loro valori
massimi in istanti diversi e rispettivamente:
– la f.e.m. indotta nella spira non è massima quando è massimo il flusso
abbracciato, bensì quando è massima la variazione del flusso, ossia quando il flusso
passa per lo zero di ordinata. Flusso e f.e.m.sono sfasati di 90° nel tempo.
Espressione generale della induzione magnetica
Quanto è stato detto è dimostrato dalla espressione generale della induzione
magnetica:
Infatti, essendo la f.e.m. uguale alla velocità di variazione del flusso, è intuibile che
essa è massima quando il flusso ha la massima pendenza, ossia quando la sua curva
rappresentante passa per lo zero (vedi figura sopra).
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8. Si adotteranno anziché i valori massimi delle grandezze finora studiate, i loro valori
istantanei, come è stato fatto in Fig. 10.7 per cui, ad esempio, al termine V
sostituiremo:
v = VM · sen α
mentre al termine Φ sostituiremo il suo valore istantaneo:
Φ = ΦM · cos α
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9. 3 - Circuito puramente resistivo
Il circuito è costituito da una una resistenza R collegata a un generatore ideale di
f.e.m. alternata, che eroga una tensione alternata sinusoidale espressa
dall'espressione:
Nel circuito fluisce una corrente i.
Tensione e corrente sono espressi con lette “minuscole” (e , i ) a significare che i loro
valori sono istantanei, perché variano in ogni istante man mano che il tempo t scorre
con andamento sinusoidale (i valori dei moduli sono indicati nell'asse delle ordinate e
variano da EM a 0 a – EM nell'arco del periodo T).
V
La legge di Ohm R= valida in “continua”, si applica anche in questo contesto di
I
regime alternato sinusoidale, sostituendo però alle lettere (simboli V e I) “maiuscole”,
che rappresentano valori scalari in regime continuo, con lettere “minuscole” (simboli
e e i ) che sono valori istantanei del regime alternato. Il simbolo R rimane sempre
maiuscolo in quanto è sempre una grandezza scalare sia in continua che in alternata.
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10. Confrontando:
il valore istantaneo della corrente, qui definito con la sua espressione e il valore
istantaneo della tensione qui definito con la sua espressione
si dimostra che in un circuito puramente resistivo,
tensione e corrente sono fra loro in fase
L'espressione della corrente, in regime alternato quando viene espressa con le lettere
maiuscole (come in “continua”), i valori di corrente e tensione sono intesi come
valori efficaci:
Un altro modo ancora per esprimere la corrente in funzione della tensione in regime
alternato e quello vettoriale, essendo sia la corrente che la tensione due grandezze
vettori.
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11. 3 - Circuito puramente induttivo
Il circuito è costituito da una induttanza L di valore, alimentata da un generatore
ideale di f.e.m. sinusoidale, il cui valore istantaneo è
La bobina percorsa dalla corrente iL manifesta ai suoi capi una f.e.m. indotta eL di
valore:
ed è tale da opporsi in ogni istante alla tensione del generatore, ossia: e = - eL .
Di conseguenza, la f.e.m. indotta eL esattamente sinusoidale come la f.e.m. e e del
generatore, ma si trova sfasata rispetto questa di 180°, cioè si trova in opposizione di
fase rispetto alla f.e.m. e del generatore (vedi figura).
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12. II valore istantaneo della corrente iL vale:
per cui sostituendolo nell'espressione la iL si ottiene:
Di conseguenza, essendo la tensione applicata dal generatore all'induttanza uguale e
contraria ad eL e vale:
Essendo:
sostituendola nell'espressione di si ottiene di e si ottiene:
Confrontando le due espressioni:
- del valore istantaneo della corrente nell'induttanza
- con quella della tensione applicata dal generatore nell'induttanza
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13. si può dire che nel circuito puramente induttivo la tensione applicata e risulta di 90°
in anticipo sulla corrente iL come rappresentato nel grafico.
II rapporto fra i valori massimi della tensione e della corrente fornisce la grandezza:
La grandezza ω L misurata in ohm, pur avendole le dimensioni di una resistenza
viene denominala reattanza induttiva e viene così indicata:
essendo:
Quindi la reattanza induttiva XL è direttamente proporzionale alla frequenza della
tensione del generatore. Di conseguenza, essa è continuamente variabile e dal valore
XL = 0, quando la frequenza del generatore è nulla, (cortocircuito in presenza di
corrente continua) aumenta al crescere della frequenza del generatore stesso,
divenendo XL = infinita per frequenze del generatore infinita.
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14. Esprimendo con notazione simbolica la relazione che sussiste fra tensione,
reattanza induttiva e corrente, si ha:
Esprimendo con notazione simbolica la relazione che sussiste fra tensione,
reattanza induttiva e corrente, si ha
L'operatore j indica che il vettore rappresentante la tensione E è sfasato in anticipo
di
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