BELLO BELLO

1. LE EQUAZIONI DI MAXWELL: DALLE ONDE ELETTROMAGNETICHE
ALL'INTEGRALE
Il teorema di Ampère rettificato da Maxwell, insieme ai teoremi di Gauss e la legge di
Faraday-Neumann, costituisce il quartetto delle equazioni di Maxwell. Infatti il fisico scozzese
capì che le quattro sono un sistema coerente e unitario. Inoltre, Maxwell intuì che le equazioni
prevedevano l'esistenza di onde elettromagnetiche, cioè la propagazione concatenata di campi
elettrici e magnetici variabili.
Il teorema della circuitazione di Ampèere, nella forma modificata da Maxwell è espresso
dall'equazione:





 
 dt
d
ildB 00 

L'incoerenza dell legge di Ampère è risolta se la legge viene generalizzata nella forma
dell'equazione scritta precedentemente, nota come teorema della circuitazione di
Ampère-Maxwel. Riassumiamo quindi le quattro leggi fondamentali che esprimono le proprietà
dei campi elettrici e magnetici e che costituiscono le basi della teoria elettromagnetica di
Maxwell.
 Teorema di Gauss: Il flusso del campo elettrico uscente da una superficie chiusa, nel
vuoto, è uguaale alla carica Qin contenuta all'interno della superficie divisa per la costante
dielettrica del vuoto eo:
0
inQ

 Teorema di Gauss per il magnetismo: Il flusso di campo magnetico uscente da una
superficie chiusa è sempre nullo:
0m
 Legge di Ampère Maxell: La circuitazione del campo magnetico, nel vuoto, è uguale al
prodotto della permeabilità magnetica del vuoto, per la somma della corrente
concatenata con la linea chiusa lungo cui si calcola la circuitazione e della corrente di
spostamento che attraversa qualunque superficie avente come contorno tale linea:





 
 dt
d
ildB 00 

 La legge di Faraday-Neumann: La circuitazione del campo elettrico è uguale alla
derivata rispetto al tempo, cambiata di segno, del flusso di campo magnetico attraverso
qualunque superficie avente come contorno la linea chiusa lungo cui si calcola la
circuitazione:



dt
d
ld m

E

2. Queste quattro leggi sono tutte espresse in relazione a linee e superfici. Maxwell usò una
formulazione matematica diversa ma equivalente nel contenuto fisico. Tralasciamo di scrivere le
equazioni in questa forma perchè la loro comprensione e il loro utilizzo pratico richiederebbero
conoscenze matematiche troppo avanzate.
ORIGINE E NATURA DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE
Una carica elettrica che oscilla genera un campo elettrico E che oscilla e a questo è associato un
campo magnetico B anch’esso oscillante. I due campi si propagano mantenendo direzioni di
oscillazione perpendicolari l’uno all’altro e perpendicolari alla direzione di propagazione. La
velocità di propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto è c = 3 · 108 m/s.
Se un'onda elettromagnetica è generata da una carica elettrica puntiforme che oscilla di moto
armonico, l'onda armonica e il suo periodo è uguale a quello del moto della sorgente. L'onda si
propaga in tutte le direzioni. Man mano che si allontana dalla sorgente il campo E può cambiare
l'orientazione, cioè il piano su cui oscilla, ma rimane in ogni istante perpendicolare a B e alla
direzione di propagazione. Le onde in cui E e B hanno un'orientazione fissa si dicono
polarizzate. Le onde elettromagnetiche possono avere polarizzazione lineare, circolare ed
ellittica a seconda che nel propagarsi nello spazio, il vettore campo elettrico si muova su di una
retta, su di un cerchio o su di un'ellisse.
Le onde e.m. hanno una doppia natura: ondulatoria e corpuscolare
In alcuni casi il comportamento è di tipo ondulatorio, ad esempio nei fenomeni di interferenza e
diffrazione, mentre in altri casi, quando si ha un’interazione con la materia a cui viene trasferita
l’energia dell’onda, il comportamento è di tipo corpuscolare.
L’energia trasportata dalle onde elettromagnetiche è concentrata in pacchetti detti quanti o

3. fotoni. L’energia E dei fotoni è direttamente proporzionale alla frequenza f secondo la relazione:
vhE 
dove h è la costante di Planck, il cui valore è: h = 6,63·10–34 J · s.
Per la propagazione delle onde elettromagnetiche bisogna distinguere due condizioni:
• Propagazione delle onde elettromagnetiche nel vuoto.
• Propagazione delle onde elettromagnetiche all'interno dell'atmosfera terrestre.
Nel vuoto, la velocità di propagazione è costante in tutti i punti. Il comportamento delle onde
elettromagnetiche è assolutamente indipendente dalla frequenza e quindi dalla lunghezza d'onda.
Nell'atmosfera le onde elettromagnetiche si muovono tutte e sempre in linea retta e si propagano
tutte alla stessa velocità: c = 300.000 km/sec
In base alla loro lunghezza d'onda, queste si distinguono in:
 Raggi gamma: origine nucleare, λ: 10-10
-10-14
m
 Raggi X: prodotti tramite la decelerazione di elettroni su un bersaglio,
λ: 10-8
-10-13
m (10 nm- 10-4
nm)
 Raggi UV: emissione dal sole – assorbimento in stratosfera (ozono),
λ: 4x10-7
- 6x10-10
m (400 nm – 0.6nm)
 Luce visibile: corrispondenza approx. colori:
 400 - 430 nm – violetto ; 430 – 485 nm – blu
 485 - 560 nm – verde ; 560 – 575 nm – giallo
 575 - 625 nm – arancio ; 625 –700 nm – rosso
 Raggi IR: emessi dai corpi caldi; λ: 700 nm - 1 mm
 Microonde: λ: 1 mm- 30 cm (es. forni)
 Onde radio: λ: > 30 cm (es. telecomunicazione).
APPLICAZIONI TECNOLOGICHE DELLE ONDE ELETTROMAGNETICHE: LE
MICROONDE
Negli gli ultimi 10 anni l'uso delle microonde ha trovato numerosi campi di applicazione a livello
industriale nei processi che prevedono il riscaldamento di materiali i cui convenzionali
meccanismi (conduzione, convezione ed irraggiamento) non consentono un efficace, rapido ed
omogeneo aumento di temperatura. Rispetto infatti alla generalità dei metodi di riscaldamento
per conduzione tramite fluidi o contatto con corpi solidi caldi o all'irradiazione infrarossa, che
procedono dalle superfici alla profondità degli oggetti, i principali vantaggi conclamati e

4. largamente riconosciuti di questa tecnologia sono l'immediata capacità di penetrazione
dell'energia con elevatissime velocità di riscaldamento, l'attivabilità e la disattivabilità
istantanee, l'eccezionale selettività di riscaldamento di materiali diversi anche a contatto tra
loro, i notevoli risparmi energetici conseguenti alla non necessità di riscaldare altra materia,
come ad esempio le pareti dei forni tradizionali.
Gli ultilizzi delle microonde sono moltemplici e vanno dal semplice forno a microonde, che
utilizza un generatore di magnetron, ai ponti radio con la trasmissione tra antenne paraboliche
terrestri. Inoltre possono essere utili per le comunicazioni tra satelliti, per la funzionalità dei
radar e dei maser (dispositivo simile ad un laser ma operante nello spettro delle microonde).
ESERCIZIO SULLE EQUAZIONI DI MAXWELL:
Consideriamo un condensatore piano avente delle armature circolari di area 15,5 cm2. Tra
le armature vi è il vuoto, e la densità superficiale di carica presente su di esse varia da
4,2⋅10-6Cm2 fino a 4,9 ⋅10-6Cm2 in un tempo di 1,50 ⋅10-2s. Calcolare il valore della
corrente di spostamento fra le armature.
Per risolvere il problema abbiamo bisogno di conoscere la variazione del flusso di campo
elettrico dovuto alla variazione di densità di carica. Dalla quarta equazione di Maxwell, infatti,
sappiamo che la corrente di spostamento è data dalla formula:
Is= ε0⋅ΔΦ(E⃗ )Δt
Ricordiamo che, per definizione, il flusso del campo elettrico attraverso una superficie è dato dal
prodotto scalare del vettore campo elettrico per il vettore superficie; in questo caso abbiamo:
Is= ε0⋅ΔΦ(E⃗ )Δt= ε0Δt⋅[Φ2(E⃗ )–Φ1(E⃗ )]= ε0Δt⋅[E2⋅S–E1⋅S]
In un condensatore piano, il campo elettrico all’interno delle armature è dato dal rapporto tra la
densità di carica e la costante dielettrica nel vuoto; si ha, quindi:
Is =ε0/Δt⋅[E2⋅S–E1⋅S]=ε0Δt⋅S[E2 – E1]=
=ε0/Δt⋅S⋅[σ2ε0– σ1ε1]=
=S/Δt⋅(σ2–σ1)
Abbiamo, quindi, tutti i dati necessari per calcolare la corrente di spostamento; sostituiamo i
valori numerici ricordando di scrivere le grandezze nelle giuste unità di misura:
Is=S/Δt⋅(σ2– σ1)=
=15,5⋅10−41,50⋅10−4⋅(4,9–4,2)⋅10−6=7,23⋅10−8A

5. RICHIAMI TEORICI DI MATEMATICA: L'INTEGRALE
In analisi matematica, l'integrale è un operatore che, nel caso di una funzione di una sola
variabile a valori reali non negativi, associa alla funzione l'area sottesa dal suo grafico entro un
dato intervallo [a,b] nel dominio. Se la funzione assume anche valori negativi, allora l'integrale
può essere interpretato geometricamente come l'area orientata sottesa dal grafico della funzione.
"Sia f una funzione continua di una variabile a valori reali e sia a un elemento nel dominio di f ,
allora dal teorema fondamentale del calcolo integrale segue che l'integrale da a a x di f è una
primitiva di f ."
INTEGRALE INDEFINITO: L'insieme di tutte le primitive di una funzione f si dive integrale
indefinito della funzione f e si indica con il simbolo:
 dxxf )(
INTEGRALE DEFINITO: Sia f : [a,b]-->R una funzione continua. Si chiama integrale
definito della funzione f nell'intervallo [a,b] il limite di n che tende ad infinito di Sn essendo Sn
una sommadi Riemann della funzione f nell'intervallo [a,b]. Lintegrale definito della funzione f
nell'intervallo [a,b] viene indicato con il simbolo:

b
a
dxxf )(
SITOGRAFIA E BIBLIOGRAFIA:
Le informazioni di approfondimendo sono state tratte da:
file:///C:/Users/Matteo%20Camplone/Desktop/Onde-elettromagnetiche_11_12_.pdf
Le restanti sono state tratte dal nostro manuale di fisica e matematica.