похідна та її застосування

1. ТЕМА УРОКУ:
“ Похідна та її
застосування”
урок алгебри та
початків аналізу в 11 класі

2. • узагальнити та систематизувати знання з
теми “Похідна”;
• удосконалити вміння у застосуванні цих
знань при розв’язуванні задач;
• виховувати цікавість до математики,
наполегливість і уважність, вміння
працювати в колективі;
• розвивати творче та логічне мислення.
Мета уроку:

3. Розум людський
має три ключі, які все
відкривають:
знання, думка, уява.
Віктор Гюго

4. • Дайте означення похідної функції f(x) в точці
• Який механічний зміст похідної?
• Який геометричний зміст похідної?
• Сформулюйте теорему про похідну суми двох
функцій;
• Сформулюйте теорему про похідну добутку двох
функцій;
• Сформулюйте теорему про похідну частки двох
функцій;
• Запишіть рівняння дотичної, проведеної до
графіка функції f(x) у точці з абсцисою
Бліцопитування:
0х
0х

5. До відкриття похідної незалежно один від одногоДо відкриття похідної незалежно один від одного
прийшли два відомих учених.прийшли два відомих учених.
-- Ісаак Ньютон, означаючи похідну, виходив ізІсаак Ньютон, означаючи похідну, виходив із
задач механіки.задач механіки.
Задача про миттєву швидкість:
t
S
V
∆
∆
=′=
→∆ 0t
lim(t)S(t)

6. )(' 0xftgk == α
))((')( 000 xxxfxfy −+=
рівняння дотичної до графіка функціїрівняння дотичної до графіка функції
в точці з абсцисоюв точці з абсцисою 0x
Задача про дотичну до кривої
-- Готфрід Вільгельм Лейбніц, означаючиГотфрід Вільгельм Лейбніц, означаючи
похідну, виходив із геометричних задач.похідну, виходив із геометричних задач.
)(xfy =

7. Вперше загальний спосіб побудови дотичної доВперше загальний спосіб побудови дотичної до
кривої був викладений у “Геометрії” Декартакривої був викладений у “Геометрії” Декарта
Більш загальним і важливим
для розвитку диференціального
числення був метод побудови
дотичних, який запропонував
П’єр Ферма.

8. А сам термін «похідної» і позначенняА сам термін «похідної» і позначення f `(x)f `(x) ввівввів
французький математик Жозеф Луї Лагранжфранцузький математик Жозеф Луї Лагранж

9. Завдання для першої групи:
)(xf)(xf 21
′+′
На рисунку зображений графік функції y = f(x) та
дотичні до нього в точках х1 та х2. Користуючись
геометричним змістом похідної, знайти

10. Завдання для другої групи:
На рисунку зображений графік функції y = f(x) та
дотичні до нього в точках х1 та х2. Користуючись
геометричним змістом похідної, знайти )(xf)(xf 21
′+′

11. Завдання для третьої групи:
На рисунку зображений графік функції y = f(x) та
дотичні до нього в точках х1 та х2. Користуючись
геометричним змістом похідної, знайти )(xf)(xf 21
′+′

12. Завдання для четвертої групи:
)(xf)(xf 21
′+′
На рисунку зображений графік функції y = f(x) та
дотичні до нього в точках х1 та х2. Користуючись
геометричним змістом похідної, знайти

13. Задача № 11.16 (3)
(підручник для поглибленого вивчення математики
“Алгебра11” під ред. Мерзляка А.Г.)
Складіть рівняння дотичної до графіка
функції , якщо ця дотична
паралельна прямій у = 2х + 1.
Задача № 11.26
(підручник для поглибленого вивчення математики
“Алгебра11” під ред. Мерзляка А.Г.)
На графіку функції знайдіть точку,
дотична в якій перпендикулярна до прямої
у – 2х + 1 = 0
( ) 11032 23
−−+= xxxxf
12 +−= xf(x)

14. Розв’язування задач:
№1. Матеріальна точка рухається за законом s(t)=2t2
+ 5t, де s
вимірюється в метрах, а t в секундах. Знайти значення t (у
секундах), при якому миттєва швидкість матеріальної
точки дорівнює 64 м/с. (ЗНО – 2011)
№2. Тіло рухається прямолінійно за законом s(t)=
(час t вимірюється в секундах, шлях s – в метрах).
Визначити прискорення його руху в момент t = 10 с
(ЗНО – 2008)
№3. Дві матеріальні точки рухаються за законами:
s1(t)=12 + 15t – t2
і s2(t)=5 – 5t + 4t2
. Яку відстань пройде
перша точка з моменту, коли швидкості цих двох точок
стануть однаковими? (пробне ЗНО – 2008)
№4. Матеріальна точка рухається за законом s(t)=t2
+ 4t+2. У
який момент часу швидкість точки дорівнює
7 км/год? (ЗНО – 2009)

15. Логічний лабіринт
х2
+ sin x 2x + cos x
sin2
x ?
8 + sin2
x sin 2x
1 + cos2
x - sin 2x
x + tg x ?
5x2
– 3x 10x - 3 10
sin x cos x - sin x
x cos x ? ?
sin2x
cos x – x sin x
1+ 1/cos2
x
- 2 sin x – x cos x

16. А
“ Не махай на все рукою,
Не лінуйся, а учись,
Бо чого навчишся в школі,
Знадобиться ще колись!”
Домашнє завдання:
Повторити пункти 9 – 11
Виконати:
№ 11.17, № 11.22, № 11. 27