Математика

1. ПОХІДНАПОХІДНА
Алгебра та початкиАлгебра та початки
аналізуаналізу
11 клас11 клас
Учитель математикиУчитель математики
гімназії № 31гімназії № 31
Євтух Т.А.Євтух Т.А.

2. ОЗНАЧЕННЯ ПОХІДНОЇОЗНАЧЕННЯ ПОХІДНОЇ
( )
( ) ( )0 0'
0
0
lim
x
f x x f x
f x
x→
+∆ −
=
∆V

3. х
у
о
y = (x)
х0
у0 f
k = tgα = (x0 )
α
f
Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної
до графіка функції у = (x) в точці (х0; у0)
дорівнює значенню похідної в точці х0.
f
/
дотична
ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ
ПОХІДНОЇ:ПОХІДНОЇ:

4. ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ
ПОХІДНОЇ:ПОХІДНОЇ:
Кутовий коефіцієнт дотичної,Кутовий коефіцієнт дотичної,
проведеної до графіка функціїпроведеної до графіка функції у =у = ((xx))
в точці з абсцисоюв точці з абсцисою хх00 дорівнюєдорівнює
значеннюзначенню
похідної функції в цій точціпохідної функції в цій точці ..
f
αα – кут між дотичною та додатним– кут між дотичною та додатним
напрямом осі Охнапрямом осі Ох
αtgxfk == )( 0
/

5. Знайдіть похідну у позначених точкахЗнайдіть похідну у позначених точках
y
СС
ММ
x
ГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТГЕОМЕТРИЧНИЙ ЗМІСТ
ПОХІДНОЇ:ПОХІДНОЇ:
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y
ВВ
АА
x
-7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
αtgxfk == )( 0
/

6. Як відомо, рівняння невертикальної прямої вЯк відомо, рівняння невертикальної прямої в
загальному вигляді записують так:загальному вигляді записують так:
у=у= kx+bkx+b,,
деде kk –– кутовий коефіцієнт цієї прямоїкутовий коефіцієнт цієї прямої ,,
аа bb –– ордината точки перетину з віссюордината точки перетину з віссю ОуОу..
Так якТак як
то рівняннято рівняння у=у= kx+bkx+b перепишемо у вигляді:перепишемо у вигляді:
( )0k f x′=
( )0y f x x b′= +
РІВНЯННЯРІВНЯННЯ
ДОТИЧНОЇ:ДОТИЧНОЇ:

7. Підставимо координати точки дотикуПідставимо координати точки дотику
у рівнянняу рівняння
( )0y f x x b′= +
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( ) ( )
0 0 0
0 0 0
0 0 0 0
0 0 0
,
,
,
( ) .
f x f x x b
b f x f x x
y f x x f x f x x
y f x x x f x
′= × +
′= − ×
′ ′= × + − ×
′= × − +
РІВНЯННЯРІВНЯННЯ
ДОТИЧНОЇ:ДОТИЧНОЇ: ( )( )0 0;x f x

8. х
у
о
y = (x)
х0
у0
f
k = tgα = (x0 )
α
f /
fу0 = (х0)
( ) ( ) ( )0 0 0y f x x x f x′= − +
РІВНЯННЯРІВНЯННЯ
ДОТИЧНОЇ:ДОТИЧНОЇ:

9. Запишіть рівняння дотичної до графіка функціїЗапишіть рівняння дотичної до графіка функції
y=f(x)y=f(x) у точці з абсцисою , якщоу точці з абсцисою , якщо
1. (2) = 4
1
4
23
223
==
−
−⋅
2.Знайдемо
)(xf ′
)(xf ′
( )2
3
)23()3(3
х
хх
−
−+−
=
f
та
( )2
3
7
х−
= 7)2( =′f
3.Підставимо знайдені значення
у рівняння дотичної
Відповідь:Відповідь: у = 7х-10у = 7х-10
0x
0( )f x′
0 0( ) , ( )f x f x′
0 0 0( )( ) ( )y f x x x f x′= − +
y=7(x-2) +4, y=7x-10
( ) ( ) ( )0 0 0y f x x x f x′= − +
2,
3
23
0
=
−
−
= хх
х
у
РозвРозв’’язанняязання

10. ТАБЛИЦЯ ПОХІДНИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХТАБЛИЦЯ ПОХІДНИХ ЕЛЕМЕНТАРНИХ
ФУНКЦІЙФУНКЦІЙ
( )
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
1
2 2
0;
1;
;
sin cos ; cos sin ;
1 1
; .
cos sin
n n
C
x
x n x
x x x x
tgx ctgx
x x
−
′ =
′ =
′ = ×
′ ′= = −
′ ′= = −

11. ( )
( )
( )( ) ( ) ( )
2
;
;
;
.
u v u v
uv u v uv
u u v uv
v v
f h x f h h x
′ ′ ′± = ±
′ ′ ′= +
′ ′ ′− 
= ÷
 
′ ′ ′= ×
ПРАВИЛА ОБЧИСЛЕННЯ ПОХІДНИХПРАВИЛА ОБЧИСЛЕННЯ ПОХІДНИХ