1. The document discusses machine vision techniques including image filtering in the frequency domain and wavelet transforms. It provides details on Fourier transforms, common filters like low pass and high pass, and compares Fourier and wavelet transforms. 2. Fourier transforms allow filtering images by manipulating the image's frequency spectrum but do not provide time information. Wavelet transforms analyze images based on frequency and time, providing advantages over Fourier transforms for non-stationary signals. 3. Common filters discussed are ideal, Butterworth, and Gaussian filters for both low pass and high pass. Examples show the effects of applying these filters to an image. Discrete wavelet transforms provide an efficient method to decompose signals into different frequency bands.

1. Machine Vision
LECTURE NOTES
Machine Vision
Session 05
Image Filtering (2)

2. Machine Vision
LEARNING OUTCOMES
1. Peserta diharapkan memahami proses image filtering, terutama pada domain frekuensi
OUTLINE MATERI (Sub-Topic):
1. Fourier Transform
2. Filtering in Frequency Domain
3. Wavelet Transform

3. Machine Vision
ISI MATERI
Fourier Transform
Secara umum pengolahan citra dapat dibagi menjadi dua kategori, yaitu metode yang
bekerja pada domain spasial dan domain frekuensi. Pada domain spasial, pengolahan citra
dilakukan dengan cara melakukan manipulasi secara langsung terhadap piksel pada citra.
Sedangkan pada metode yang bekerja di domain frekuensi, manipulasi dilakukan terhadap
hasil transformasi dari domain spasial ke domain frekuensi. Salah satu jenis transformasi
yang paling umum digunakan adalah transformasi Fourier. Analisis Fourier merupakan salah
satu karya dari Jean Baptiste Joseph Fourier. Fourier yang dilahirkan di Auxerre, Perancis
pada tahun 1768 menuliskan karyanya yang paling terkenal yang berjudul “La Théorie
Analitique de la Chaleur” atau “The Analytic Theory of Heat” dalam bahasa Inggris pada
tahun 1822. Karya tersebut memuat salah satu teori terpenting dalam bidang teknik. Ide yang
mendasari transformasi Fourier adalah setiap fungsi periodik dapat dinyatakan sebagai
penjumlahan sinus dan kosinus pada frekuensi yang berbeda, dimana masing-masing
dikalikan dengan koefisien berbeda. Gambar berikut memperlihatkan fungsi kotak yang
diaproksimasi dengan deret Fourier 𝑓(𝑥) = sin(𝑥) +
1
3
sin(3𝑥) +
1
5
sin(5𝑥) + ⋯
menggunakan 1, 2, 3, dan 4 koefisien pertama (berturut-turut (a) hingga (d)). Dapat dilihat
bahwa semakin banyak koefisien yang digunakan maka hasil aproksimasi akan semakin
mendekati fungsi kotak.
(a) (b)
(c) (d)

4. Machine Vision
Transformasi Fourier dan inversnya pada dua dimensi (kontinu) dinyatakan oleh
persamaan berikut:
dimana 𝑗 = √−1. Karena kita akan memanfaatkan transformasi Fourier untuk citra digital,
maka versi diskrit dari persamaan diatas yang akan digunakan. Versi diskrit dari transformasi
Fourier dan inversnya pada dua dimensi adalah:
Spektrum Fourier, sudut fasa, dan power spektrum dapat diperoleh berdasarkan persamaan
berikut:
R(u,v) dan I(u,v) berturut-turut menyatakan bagian real dan imajiner dari F(u,v). Gambar
berikut memperlihatkan sebuah citra dan hasil transformasi yang ditampilkan berupa
spektrum Fourier.
 








 dy
dx
e
y
x
f
v
u
F vy
ux
j )
(
2
)
,
(
)
,
( 
 







 dv
du
e
v
u
F
y
x
f vy
ux
j )
(
2
)
,
(
)
,
( 
1
,...,
2
,
1
,
0
,
1
,...,
2
,
1
,
0
for
)
,
(
1
)
,
(
1
0
1
0
)
/
/
(
2




 






N
v
M
u
e
y
x
f
MN
v
u
F
M
x
N
y
N
vy
M
ux
j 
1
,...,
2
,
1
,
0
,
1
,...,
2
,
1
,
0
for
)
,
(
)
,
(
1
0
1
0
)
/
/
(
2




 





N
y
M
x
e
v
u
F
y
x
f
M
u
N
v
N
vy
M
ux
j 
 
spectrum)
(power
)
,
(
)
,
(
)
,
(
)
(
angle)
(phase
)
,
(
)
,
(
tan
)
,
(
spectrum)
(
)
,
(
)
,
(
)
,
(
2
2
2
1
2
1
2
2
v
u
I
v
u
R
v
u
F
u,v
P
v
u
R
v
u
I
v
u
v
u
I
v
u
R
v
u
F















5. Machine Vision
ISI MATERI
Filtering in Frequency Domain
Proses filtering pada domain frekuensi dapat dilakukan berdasarkan langkah berikut:
1. Kalikan citra input dengan (-1)x+y
2. Hitung tranformasi Fourier F(u,v) dari citra hasil operasi langkah 1
3. Kalikan F(u,v) dengan fungsi filter H(u,v)
4. Hitung transformasi invers Fourier dari hasil operasi langkah 3
5. Ambil bagian real dari hasil operasi langkah 4
6. Kalikan hasil dari operasi langkah 5 dengan (-1)x+y
Gambar berikut memperlihatkan langkah-langkah proses filtering pada domain frekuensi.
Berikut contoh filter yang umum digunakan untuk dalam operasi filtering pada domain
frekuensi.
A. Low Pass Filter
Filter jenis ini berfungsi untuk menahan frekuensi tinggi dari citra dan melewatkan
frekuensi rendahnya. Low pass filter menghasilkan efek penghalusan pada citra (smoothing).
Frekuensi tinggi dari citra merupakan area yang mengandung detail seperti edge, sedangkan
frekuensi rendah merepresentasikan bentuk dasar dari obyek pada citra.

6. Machine Vision
1. Ideal low pass filter (ILPF)
Fungsi filter untuk ILPF dinyatakan oleh persamaan berikut:
dimana D0 menyatakan cut-off frequency. D(u,v) menyatakan jarak dari titik (u,v) dari
titik pusat (u = 0 dan v = 0):
Gambar berikut memperlihatkan plot dari ILPF.
2. Butterworth low pass filter (BLPF)
Fungsi filter dari BLPF dinyatakan oleh persamaan berikut:
Gambar berikut memperlihatkan plot dari BLPF. Semakin besar nilai n (orde), maka
filter ini semakin mendekati bentuk filter Ideal.
3. Gaussian low pass filter (GLPF)
Fungsi filter dari GLPF dinyatakan oleh persamaan berikut:






0
0
)
,
(
if
0
)
,
(
if
1
)
,
(
D
v
u
D
D
v
u
D
v
u
H
2
/
1
2
2
]
)
2
/
(
)
2
/
[(
)
,
( N
v
M
u
v
u
D 



n
D
v
u
D
v
u
H 2
0 ]
/
)
,
(
[
1
1
)
,
(


2
0
2
2
/
)
,
(
)
,
( D
v
u
D
e
v
u
H 


7. Machine Vision
Gambar berikut memperlihatkan plot dari GLPF. Semakin besar nilai n maka filter
Gaussian akan semakin landai.
Efek dari penerapan filter Ideal (D0 = 15), Butterworth (D0 = 15, n = 2), dan Gaussian low
pass filter (D0 = 15) terhadap sebuah citra ditunjukkan pada gambar berikut.
Citra input Hasil operasi ILPF Hasil operasi BLPF Hasil operasi GLPF
B. High Pass Filter
Kebalikan dari low pass filter, Filter jenis ini berfungsi untuk menahan frekuensi rendah
dari citra dan melewatkan frekuensi tingginya. High pass filter menghasilkan efek
penanjaman pada citra (sharpening). High pass filter dapat diperoleh menggunakan
persamaan Hh(u,v) = 1 – Hl(u,v).
1. Ideal high pass filter (IHPF)
Fungsi filter untuk IHPF dinyatakan oleh persamaan berikut:
Gambar berikut memperlihatkan plot dari IHPF.






0
0
)
,
(
if
1
)
,
(
if
0
)
,
(
D
v
u
D
D
v
u
D
v
u
H

8. Machine Vision
2. Butterworth high pass filter (BHPF)
Fungsi filter untuk BHPF dinyatakan oleh persamaan berikut:
Gambar berikut memperlihatkan plot dari BHPF.
3. Gaussian high pass filter (GHPF)
Fungsi filter untuk GHPF dinyatakan oleh persamaan berikut:
Gambar berikut memperlihatkan plot dari GHPF.
Efek dari penerapan filter Ideal (D0 = 15), Butterworth (D0 = 15, n = 2), dan Gaussian high
pass filter (D0 = 15) terhadap sebuah citra ditunjukkan pada gambar berikut.
n
v
u
D
D
v
u
H 2
0 )]
,
(
/
[
1
1
)
,
(


2
0
2
2
/
)
,
(
1
)
,
( D
v
u
D
e
v
u
H 



9. Machine Vision
Magnitude
Magnitude
ISI MATERI
Wavelet Transform
Apa keterbatasan dari tranformasi Fourier sehingga diperlukan transformasi lain seperti
wavelet? Keterbatasan utama saat kita menggunakan transformasi Fourier, kita kehilangan
informasi waktu yaitu kapan event tertentu terjadi? Transformasi Fourier hanya dapat
menginformasikan konten frekuensi pada kita, tetapi kita tidak memiliki informasi kapan
terjadi frekuensi tertentu pada gelombang. Kelemahan lain dari transformasi Fourier adalah
implementasinya yang menggunakan bilangan kompleks.
Sebelum membahas lebih jauh mengenai transformasi wavelet, perlu diketahui terlebih
dahulu konsep sinyal stasioner dan non-stasioner. Suatu sinyal dikatakan stasioner apabila
sinyal tersebut tidak mengalami perubahan di sepanjang waktu, sebaliknya sinyal dikatakan
non-stasioner jika terdapat perubahan di sepanjang waktu. Salah satu contoh dari sinyal non-
stasioner adalah sinyal “chirp”. Gambar berikut memperlihatkan dua sinyal berbeda dan
spektrum Fouriernya.
stasioner: Frequency
2 Hz + 10 Hz + 20Hz
non-stasioner: Frequency
0.0-0.4: 2 Hz +
0.4-0.7: 10 Hz +
0.7-1.0: 20Hz
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1
-3
-2
-1
0
1
2
3
0 5 10 15 20 25
0
100
200
300
400
500
600
0 0.5 1
-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 5 10 15 20 25
0
50
100
150
200
250

10. Machine Vision
dapat dilihat pada gambar di atas bahwa spektrum Fourier dari dua sinyal yang berbeda akan
tampak sama, hal ini diakibatkan konten frekuensi dari kedua sinyal tersebut sama. Artinya
transformasi Fourier tidak dapat memperlihatkan perbedaan antara sinyal stasioner dengan
sinyal stasioner. Transformasi wavelet mencoba mengatasi kekurangan ini dengan
menyajikan informasi frekuensi dan waktu pada saat yang sama. Oleh karena itu hasil
transformasi wavelet disebut juga berdimensi time-frequency.
Transformasi wavelet kontinyu dapat dinyatakan oleh persamaan berikut:
dimana  dan s berturut-turut menyatakan parameter translasi dan skala, sedangkan 
menyatakan mother wavelet. Rumus diatas menyatakan bahwa untuk melakukan transformasi
wavelet, sinyal input akan dikalikan dengan mother wavelet dengan parameter translasi dan
skala tertentu. Wavelet adalah sebuah gelombang yang berdurasi tertentu, memiliki awal dan
akhir. Hal tersebut yang membedakan wavelet dengan gelombang sinusoid yang secara
teoritis berawal dari - (minus tak hingga) sampai  (tak hingga). Gambar berikut
memperlihatkan beberapa contoh jenis wavelet.
      dt
s
t
t
x
s
s
s x
x 




 







 

 *
1
,
,
CWT

11. Machine Vision
Ilustrasi berikut memperlihatkan bagaimana melakukan perhitungan transformasi wavelet
kontinyu:
1. Pilih sebuah wavelet kemudian
tempatkan pada awal sinyal.
Inisialisasikan nilai  dan s
2. Hitung C dengan berdasarkan nilai  dan
s
3. Lakukan increment terhadap nilai 
(translasi), yaitu menggeser wavelet ke
arah kanan
4. Lakukan increment terhadap nilai s
(scale), yaitu melakukan ekspansi
terhadap wavelet
5. Ulangi langkah 1 hingga 4 untuk semua
skala
Perhitungan koefisien wavelet C(,s) untuk semua nilai  dan s akan membutuhkan
banyak kalkulasi serta menghasilkan data yang berukuran besar. Transformasi wavelet diskrit
yang diusulkan oleh Mallat pada tahun 1988, akan menghemat operasi perhitungan yang
perlu dilakukan dengan cara menerapkan transformasi hanya untuk nilai  dan s yang
merupakan kelipatan dua. Metode ini disebut juga sebagai two-channel subband coder atau
fast discrete wavelet transform. Gambar berikut memberikan ilustrasi dari proses
transformasi wavelet diskrit dan inversnya.

12. Machine Vision
Pada tahap dekomposisi (transformasi maju), sinyal input S akan dikenai operasi low pass
filter dan high pass filter menggunakan fungsi filter L dan H. Hasil operasi filtering
selanjutnya dikurangi jumlah sampelnya hingga tinggal separuhnya dengan cara melakukan
operasi downsampling atau seringkali disebut juga sebagai decimation. Downsampling
dilakukan dengan cara memilih sampel-sampel yang berada di posisi nomor urut ganjil.
Operasi downsampling akan menghasilkan dua jenis koefisien, yaitu koefisien aproksimasi
dan koefisien detail. Koefisien aproksimasi yang diperoleh dari operasi low pass filter berisi
komponen frekuensi rendah dari sinyal S, sedangkan koefisien detail yang diperoleh dari
operasi high pass filter berisi komponen frekuensi tinggi dari sinyal S.
Langkah sebaliknya dilakukan pada tahap rekonstruksi (transformasi invers), mula-mula
jumlah sampel dari koefisien aproksimasi dan detail akan digandakan menggunakan teknik
upsampling. Upsampling dilakukan dengan cara menyisipkan bilangan nol diantara sepasang
koefisien wavelet (aproksimasi dan detail) yang terletak pada posisi berurutan. Selanjutnya
hasil operasi upsampling dari koefisien aproksimasi dan detail berturut-turut akan dikenai
operasi low pass filter dan high pass filter menggunakan fungsi filter L’ dan H’. Hasil akhir
dari tahap rekonstruksi diperoleh dengan cara menjumlahkan hasil operasi low pass filter dan
high pass filter.
Apabila tahap dekomposisi dan rekonstruksi dilakukan lebih dari satu level, maka
transformasi wavelet diskrit dapat dilakukan dengan cara bertingkat seperti diilustrasikan
pada gambar berikut. Dekomposisi level ke dua diterapkan terhadap koefisien aproksimasi
dari dekomposisi level satu, sedangkan dekomposisi level tiga diterapkan terhadap koefisien
aproksimasi dari dekomposisi level 2, demikian seterusnya.

13. Machine Vision
Gambar berikut memperlihatkan penjelasan detil tahap dekomposisi dan rekonstruksi dua
level.
Dekomposisi Rekonstruksi
A. Dekomposisi
1. Sinyal input S difilter menggunakan fungsi filter L (low pass filter) dan H (high pass
filter)
2. Operasi downsampling diterapkan terhadap hasil operasi low pass filter pada langkah
1, menghasilkan koefisien aproksimasi cA1 dan koefisien detail cD1
3. Koefisien cA1 difilter menggunakan fungsi filter L dan H
4. Operasi downsampling diterapkan terhadap hasil operasi low pass filter pada langkah
3, menghasilkan koefisien aproksimasi cA2 dan koefisien detail cD2
5. Hasil akhir dari tahap dekomposisi adalah koefisien cA2, cD2, dan cD1
B. Rekonstruksi
1. Operasi upsampling diterapkan terhadap koefisien cA2 dan cD2
2. Koefisien hasil operasi upsampling pada langkah 1 difilter menggunakan fungsi filter
L’ dan H’
3. Jumlahkan hasil operasi low pass filter dan high pass filter pada langkah 2,
menghasilkan koefisien cA1

14. Machine Vision
4. Koefisien cA1 dan cD1 berturut-turut difilter menggunakan fungsi filter L’ dan H’
5. Jumlahkan hasil operasi low pass filter dan high pass filter pada langkah 4. Hasilnya
merupakan koefisien hasil rekonstruksi
Bagaimana dengan transformasi wavelet diskrit untuk data dua dimensi seperti citra?
Untuk melakukan transformasi wavelet diskrit pada data dua dimensi, dekomposisi dapat
dilakukan pada setiap kolom citra terlebih dahulu dengan menganggap tiap kolom tersebut
sebagai vektor. Selanjutnya dilakukan dekomposisi terhadap setiap baris dari hasil operasi
dekomposisi per kolom. Setelah langkah dekomposisi terhadap kolom dan baris selesai
dilakukan, maka dekomposisi level satu selesai. Setiap level dekomposisi akan menghasilkan
4 jenis koefisien, yaitu satu koefisien aproksimasi LL, dan tiga koefisien detail, LH, HL, dan
HH. Seperti halnya pada data satu dimensi, dekomposisi level berikutnya diterapkan terhadap
koefisien aproksimasi dari hasil dekomposisi pada level sebelumnya, yaitu LL. Gambar
berikut memperlihatkan tahapan transformasi wavelet diskrit pada data dua dimensi hingga
dekomposisi level dua.
gambar berikut memperlihatkan tranformasi wavelet terhadap sebuah citra hingga
dekomposisi level 2 menggunakan wavelet Daubechies 4.

15. Machine Vision

16. Machine Vision
SIMPULAN
1. Menurut Fourier, setiap fungsi periodik dapat dinyatakan sebagai penjumlahan sinus
dan kosinus pada frekuensi yang berbeda, dimana masing-masing dikalikan dengan
koefisien berbeda.
2. Komponen frekuensi rendah dari citra direpresentasikan oleh bentuk dasar dari obyek
pada citra, sedangkan komponen frekuensi tinggi diwakili oleh bagian detail pada
citra.
3. Operasi low pass filter mengakibatkan efek penghalusan (smoothing) pada citra,
sedangkan operasi high pass filter akan mempertajam citra (sharpening) atau deteksi
sisi (edge detection).
4. Transformasi wavelet memperbaiki kekurangan yang ada pada transformasi Fourier,
yaitu tidak dapat menyajikan informasi frekuensi sekaligus waktu pada saat yang
sama.
5. Transformasi wavelet terhadap data dua dimensi dapat dilakukan dengan cara
melakukan dekomposisi terhadap kolom dari citra terlebih dahulu dengan
mengasumsikan setiap kolom tersebut sebagai vektor, kemudian dilanjutkan dengan
dekomposisi terhadap setiap barisnya.

17. Machine Vision
DAFTAR PUSTAKA
1. Forsyth. (2011). Computer Vision a Modern Approach (2nd Edition). Prentice Hall.
New Jersey. ISBN-10: 013608592X. ISBN-13: 978-0136085928.
2. Szeliski. (2010). Computer Vision: Algorithms and Applications. Springer. London.
ISBN-13: 978-1848829343. ISBN-10: 1848829345
3. Gonzales. (2011). Digital Image Processing (3rd Edition). Prentice Hall. New Jersey.
ISBN-10: 013168728X. ISBN-13: 978-0131687288
4. Multiresolution Analysis: The Discrete Wavelet Transform,
http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTpart4.html
5. Wavelet Tutorial, http://web.iitd.ac.in/~sumeet/WaveletTutorial.pdf
6. Misiti, M., Misiti, Y., Oppenheim, G., & Poggi, J. M. (1996). Wavelet toolbox. The
MathWorks Inc., Natick, MA.