3. 10 m
Aku ingin
keluar
Seekor katak yang berada dalam sumur
ingin keluar. Jika siang hari ia naik 3 meter,
dan malam hari turun 2 meter, berapa hari
dia dapat keluar dari dalam sumur?
Mengapa harga
½ Porsi tidak
sama dengan
6.000?
4. Penalaran (reasoning)
Penalaran atau reasoning didefinsikan:
• proses pencapaian kesimpulan logis
berdasarkan fakta dan sumber yang
relevan (Shurter dan Pierce, 1966)
• proses transformasi yang diberikan
dalam urutan tertentu untuk menjangkau
kesimpulan (Galloti dalam Matlin, 1994)
5. Penalaran dibagi ke dalam dua jenis, yakni penalaran
induktif dan penalaran deduktif (Shurter dan Pierce,
1966).
Induktif sebagai proses penalaran yang menurunkan
prinsip atau aturan umum dari pengamatan hal-hal
atau contoh-contoh khusus. Proses ini disebut
generalisasi induktif, proses dari khusus ke umum
Deduktif adalah proses penalaran dari pengetahuan prinsip
atau pengalaman yang umum yang menuntun kita
memperoleh kesimpulan untuk sesuatu yang khusus.
6. Contoh 1 : Argumen deduktif shahih yang berjalan dari
umum ke khusus
Semua siswa SMU adalah lulusan SLTP
Andi adalah siswa SMU
Jadi Andi lulusan SLTP
Contoh 2 : Argumen induktif kuat yang berjalan dari
khusus ke umum
Ani siswa SMU berseragam putih dan abu-abu
Edi siswa SMU berseragam putih dan abu-abu
Oki siswa SMU berseragam putih dan abu-abu
Jadi mungkin semua siswa SMU berseragam putih
dan abu-abu.
Contoh 3 : Argumen deduktif yang berjalan dari umum ke
umum
Semua fungsi invers adalah fungsi
Semua fungsi adalah relasi
Jadi semua fungsi invers adalah relasi.
Contoh 4 : Argumen induktif yang berjalan dari
umum ke umum
Semua bunga mawar berbau harum
Semua bunga melati berbau harum
Semua bunga kenanga berbau harum
Jadi mungkin semua bunga berbau harum.
Sumarmo (1987) memberikan
argumentasi bahwa penalaran
deduktif dan induktif bukan
dibedakan dari keumuman dan atau
kekhususan premis dan konklusinya.
7. Copi, Cohen & Mc Mahon (Sumarmo,
1987)
argumen deduktif adalah proses
penalaran yang konklusinya
diturunkan secara mutlak menurut
premis-premisnya,
argumen induktif adalah proses
penalaran yang kesimpulannnya
diturunkan menurut premis-
premisnya dengan probabilitas.
8. Penalaran dan Matematika
• Mathematics is the classification and study of all possible patterns (Walter
Warwick Sawyer)
• The abstract science which investigates deductively the conclusions implicit
in the elementary conceptions of spatial and numerical relations, and
which includes as its main division’s geometry, arithmetic, and algebra
(Oxford English Dictionary, 1933)
• The study of the measurement, properties, and relationships of quantities
and sets, using numbers and symbols. American Heritage Dictionary, 2000
• The science of structure, order, and relation that has evolved from
elemental practices of counting, measuring, and describing the shapes of
objects (Encyclopædia Britannica, 2006)
• Where there is life, there is a pattern, and where there is a pattern there is
mathematics (Barrow, 1995a, p. 230)
9. • Mathematics is the study of patterns and relationships.
• Mathematics is a way of thinking.
• Mathematics is an art.
• Mathematics is a language.
• Mathematics is a tool.
Reys, R.E., Suydam, M.N., Lindquist, M.M., dan Smith, N.L (1998). In
Helping Children Learn Mathematics.
10. Kurikulum Merdeka (2020)
Penalaran terkait dengan proses
penggunaan pola hubungan dalam
menganalisis situasi untuk menyusun
serta menyelidiki praduga. Pembuktian
matematis terkait proses membuktikan
kebenaran suatu prinsip, rumus, atau
teorema tertentu.
Kurikulum Nasional (2013)
Menggunakan penalaran pada pola dan
sifat, melakukan manipulasi
matematika dalam membuat
generalisasi, menyusun bukti, atau
menjelaskan gagasan dan pernyataan
matematika
PENALARAN DALAM KURIKULUM
PENDIDIDIKAN MATEMATIKA INDONESIA
11. Penalaran Matematis
(mathematical reasoning)
Penalaran Matematis didefinisikan:
• Proses berpikir tingkat tinggi yang
menunjukan pada salah satu proses
berpikir untuk sampai kepada suatu
kesimpulan sebagai pernyataan baru
dari beberapa penyataan lain yang telah
diketahui. (NCTM, 2000)
• Kemampuan untuk mengungkapkan
argumen yang penting dalam
memahami matematika (Turmudi,
2008)
13. Baroody (1993)
menemukan
beberapa
keuntungan apabila
anak diperkenalkan
dengan penalaran
sejak awal
• Pengalaman yang nyata dalam melihat pola, memformulasi
dugaan tentang pola yang telah diketahui dan
mengevaluasinya bersifat lebih informatif, dapat membantu
memahami proses doing mathematics dan eksplorasi
matematika.
• Guessing > mereduksi kecemasan dalam belajar
matematika.
• Membantu dalam memahami nilai balikan yang negatif
(negative feedback) dalam memutuskan suatu jawaban
• Memahami pentingnya intuisi, pendugaan, pembuktian
logis atau penalaran deduktif dalam matematika
14. Apa saja upaya yang
dapat dilakukan?
1. Memberikan kesempatan kepada siswa agar mereka dapat
mempraktekkan penggunaan keterampilan-keterampilan
penalaran dan pembuatan konjektur-konjektur.
2. Mendorong tebakan yang edukatif.
3. Membantu siswa memahami nilai jawaban negatif dalam
menurunkan suatu jawaban.
4. Siswa perlu memahami bahwa pencarian pola-pola,
keteraturan-keteraturan, hubungan, dan urutan merupakan
inti dari matematika. Siswa perlu memahami bahwa
aturan matematika harus dapat diterapkan pada semua
situasi.
Kusnandi (2014)
15. Penalaran untuk sekolah dasar
• Menemukan suatu pola atau
hubungan dan mampu memperluas
pola atau hubungan itu dengan benar.
Inductive Reasoning Patterns
• Repeating – A type of pattern, in which
the rule keeps repeating over and over
is called a repeating pattern.
• Growing – If the numbers are present
in the increasing form, then the pattern
is known as a growing pattern. Example
34, 40, 46, 52, …..
• Shirking – In the shirking pattern, the
numbers are in decreasing form.
Example: 42, 40, 38, 36 …..
Banyak pembelajaran matematika mandiri yang
dapat dicapai oleh anak-anak yang telah
menemukan nilai dalam mencari pola dan
hubungan
Keuntungannya
19. Relationships
Number of Boys 1 2 3 4 … 10 … B
Number of Hands 2 4 6 8 … …
Number of
Girls
3 6 9 12 … 45 … G
Number of
Triangles
1 2 3 4 … …
20. In 3 5 12 25 ? 53 ? B
Out 7 11 25 51 29 ? 163 ?
Masalah mesin fungsi
21. Deductive
Reasoning
When a student reasons from
general statements in order to
draw specific conclusions, he is
involved in deductive
reasoning.
Modus Ponens
Modus Tolens
Modus Silogisme
(Transivity)
𝑝 → 𝑞 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟
𝑝 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟
∴ 𝑞 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟
𝑝 → 𝑞 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟
~𝑞 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟
∴ ~𝑝 𝑏𝑒𝑛𝑎𝑟
𝑝 → 𝑞
𝑞 → 𝑟
∴ 𝑝 → 𝑟
22. Contoh
Contoh penggunaan Modus Ponens
jika dua persanamaan linear memiliki
kemiringan yang berbeda, maka grafiknya
berpotongan.
Kemiringan 𝑦 = 𝑥 + 4 1 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 2𝑥 − 1
berbeda
Maka
𝑦 = 𝑥 + 4 𝑑𝑎𝑛 𝑦 = 2𝑥 − 1 berpotongan
Contoh penggunaan Silogisme
Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga
kongruen, maka semua sudut yang bersesuaian dari
kedua segitiga tersebut kongruen.
Jika semua sudut yang bersesuaian dari dua segitigita
kongruen, maka kedua segitiga sebangun (similar)
Maka
Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga
kongruen, maka kedua segitiga sebangun (similar)
Contoh penggunaan Modus Tollens
Jika dua sudut yang bersesuaian dari dua segitiga
kongruen, maka kedua segitiga sebangun.
ABC dan PQR tidak sebangun
Maka
Segitiga ABC dan PQR tidak memiliki dua sudut yang
kongruen
23. Spatial Reasoning
Spatial reasoning can begin to take on more
sophistication and more direct connections with
numerical reasoning. An example is the challenge of
finding all different possible hexominoes (connected
arrangements composed of 6 squares, each of which
shares at least one side in common with another
square) and completing the following chart.
Numbers of squares
Number of different
arrangements
1 1
2 1
3 2
4 4
5 12
6 ?
https://www.google.com/search?q=hexomin
oes&oq=hexomino&aqs=chrome.0.69i59j69i
57j0i512l2j0i30j0i30i625j69i60l2.4644j0j7&s
ourceid=chrome&ie=UTF-
8#fpstate=ive&vld=cid:3f64a5b1,vid:L5JShoX
SZ9s
24. Proportional
Reasoning
• Joseph bought a package of 12 fishhooks for $1.50.
His sister, Michelle, bought fishhooks on sale : 3
packages of 10 hooks for $4.00.Who got the better
buy, and do you know?
26. • Penalaran Induktif: 10 soal, dikerjakan
dalam waktu 10 menit.
• Penalaran Deduktif: 10 soal, dikerjakan
dalam waktu 10 menit.
• Penalaran Kuantitatif: 10 soal, dikerjakan
dalam waktu 10 menit
• Kemampuan Penalaran Umum: 30
soal dengan waktu 30 menit, maka 1
soal dikerjakan 1 menit.
• Pengetahuan dan Pemahaman Umum:
20 soal dengan waktu 15 menit, maka 1
soal dikerjakan 0,75 menit.
• Kemampuan Memahami Bacaan dan
Menulis: 20 soal dengan waktu 25 menit,
maka 1 soal dikerjakan 1,25 menit
29. Argumen adalah cara untuk
menunjukkan bahwa suatu
pernyataan benar atau tidak benar
dengan menggunakan bukti atau
alasan yang logis dan rasional.
Klaim atau kesimpulan ini
mencerminkan pendapat dari
seseorang,
Premis pendukung berisi
informasi-informasi tambahan yang
bisa memperkuat klaim yang telah
dibuat
Argumen dan Pendukungnya
30. Klaim
Pendukung
berupa hasil penelitian terdahulu yang
memberikan dukungan pada komponen
jaminan yang memperkuat klaim
Data dan Fakta
Bukti-bukti yang mendukung klaim.
Data ini harus sesuai, logis dan dengan jumlah
yang cukup.
Data bisa berupa hasil penerapan metode dan
teknik pengumpulan data atau hasil analisis
tertentu
JAMINAN
Pernyataan-pernyataan yang berupa pandangan
pakar yang mendukung klaim. Jaminan berfungsi
sebagai jembatan penghubung d antara data dan
klaim
33. Misalkan diberikan 6, 7, 8, 10, 13, 18,
26, …
Suku ke-8 adalah … .
A. 36
B. 39
C. 44
D. 52
E. 36
Misalkan diberikan 9, 27, 32, 10, 25, 96, 11,
23, ..., 12, … .
Suku ke-9 dan 11 adalah … .
A. 288, 21
B. 256, 17
C. 288, 17
D. 198, 21
E. 256, 19
Penalaran Induktif
34. Jika MPTJP = PUASA, maka IZURGNY = ….
A. RAMADAN
B. LEBARAN
C. KETUPAT
D. RENDANG
E. PAKAIAN
A B C D E F G H I J
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
K L M N O P Q R S T
11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
U V W X Y Z
21 22 23 24 25 26
Ardhito mengirim surat kepada Kalila yang berisi “H G K J
N M U T D C X W N M T S”. Saat Kalila membuka
suratnya, Kalila awalnya kebingungan. Akan tetapi, dia
berhasil menerjemahkan kodenya menjadi “ILOVEYOU”
dan memutuskan untuk mengirim surat balasan dengan
aturan kode yang sama. Apakah yang Kalila tulis jika dia
ingin bilang “THANKS”?
A. SRGFZYLMJIQR
B. RSFGYZLMIJQR
C. QRIJLMYZGFSR
D. QRIJLMYZFGRS
E. SRGFZYMLJIRQ
35. Misal:
Aku memakai baju = bogota tagedo koa
Baju dipakai ibu = moma getado bogota
Nasi dimakan Andi = yogadi setoyo ureda
Jika
Aku memakan ubi = …
Maka
A. koa setoya obita
B. obita ureda bogota
C. obita setoya bogota
D. obita setoyo koa
E. obita toseyo koa
43. Kisi-Kisi Menyusun Soal Penalaran
Aspek
Penalaran
Indikator Soal No Soal Soal
Argumen
Diberikan beberapa kalimat, peserta dapat menentukan
pernyataan dan bukan pernyataan
Induktif
Diberikan suatu susunan barisan bilangan tidak diketahui
salah satu (dua) sukunya, perserta dapat menentukan suku
yang belum diketahui
Deduktif
Diberikan suatu cerita yang memuat argument, peserta
dapat menentukan kesimpulan yang mungkin
Kuantitatif
Diberikan data dalam konteks tertentu, peserta dapat
menentukan nilai kuantitas tertentu berdasarkan data.
