Dokumen ini membahas tentang representasi parametrik dari kurva bidang. Definisi kurva bidang dan jenis-jenisnya dijelaskan, termasuk cara menghilangkan parameter untuk mengenali bentuk kurva. Contoh kurva yang dijelaskan meliputi parabola, elips, sikloid, beserta penyelesaian soal-soal terkaitnya.

1. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Geometri pada Bidang, Vektor
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id
Jurusan Matematika FMIPA Unsyiah
July 28, 2013
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

2. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Sebuah kurva bidang (plane curve) ditentukan oleh
pasangan persamaan parametrik
x = f(t), y = g(t), t dalam I
dengan f dan g kontinu pada selang I.
I biasanya selang tertutup [a, b] dan t disebut parameter.
Ketika t berjalan dari a ke b, titik (x, y) akan bergerak
menelusuri seluruh kurva pada bidang xy.
Jika I = [a, b] maka titik P = (x(a), y(a)) disebut titik
ujung awal (initial end point) dan titik Q = ((x(b), y(b))
disebut titik ujung akhir (final end point).
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

3. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Jika suatu kurva mempunyai titik-titik ujung yang saling
berhimpit maka disebut kurva tertutup (closed).
Jika untuk nilai t yang berbeda menghasilkan titik yang
berbeda pada bidang (kecuali mungkin untuk t = a dan
t = b) maka kurva tersebut disebut kurva sederhana
(simple).
Pasangan x = f(t), y = g(t) bersama dengan selang I
disebut parametrisasi (parametrization) dari suatu kurva.
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

4. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Gambar: Jenis-jenis kurva
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

5. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Tidak sederhana, tertutup
Sederhana, tertutup
Gambar: Jenis-jenis kurva
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

6. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Untuk mengenali sebuah kurva yang dinyatakan dalam
parametrik dapat dilakukan dengan menghilangkan
parameternya, yaitu menyelesaikan satu persamaan untuk t dan
kemudian mensubstitusikannya ke dalam persamaan lainnya.
Contoh 1
Tentukan kurva yang bersesuaian dan buatlah grafiknya dari
persamaan-persamaan berikut ini
x = t2
+ 2t, y = t − 3, −2 ≤ t ≤ 3.
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

7. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Penyelesaian
Dari persamaan y = t − 3 kita peroleh t = y + 3. Selanjutnya t
ini disubstitusikan ke dalam persamaan pertama,
x = (y + 3)2
+ 2(y + 3) = y2
+ 8y + 15
atau
x + 1 = (y + 4)2
.
Persamaan di atas adalah sebuah parabola yang tebuka ke
kanan. Lihat gambar berikut ini.
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

8. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Gambar: Grafik dari x = t2 + 2t, y = t − 3, −2 ≤ t ≤ 3.
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

9. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Contoh 2
Tunjukkan bahwa
x = a cos t, y = b sin t, 0 ≤ t ≤ 2π
merepresentasikan elips seperti pada gambar berikut.
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

10. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Penyelesaian
Pertama sekali selesaikan persamaan-persamaan untuk cos t dan
sin t. Selanjutnya kuadratkan dan jumlahkan sehingga diperoleh
x
a
2
+
y
b
2
= cos2
t + sin2
t = 1
atau
x
a
2
+
y
b
2
= 1.
Persamaan di atas adalah sebuah elips.
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

11. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Sebuah sikloid (cycloid) adalah suatu kurva yang dibentuk
oleh sebuah titik P pada bagian terluar dari sebuah roda ketika
roda tersebut berputar di sepanjang garis lurus tanpa
tergelincir. Perhatikan gambar berikut.
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

12. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Untuk menentukan persamaan parametrik sikloid, misalkan
roda berputar di sepanjang sumbu x dengan P merupakan titik
asal. Misalkan dinotasikan pusat roda adalah C dengan
jari-jarinya adalah a. Pilih parameter t dalam radian dengan
sudut searah jarum jam dimana ruas CP akan berada pada
posisi vertikal ketika P berada pada titik asal.
Karena |ON| = busur PN = at,
x = |OM| = |ON| − |MN| = at − a sin t = a(t − sin t)
dan
y = |MP| = |NR| = |NC| + |CR| = a − a cos t = a(t − cos t)
maka persamaan-persamaan parametrik untuk sikloid adalah
x = a(t − sin t), y = a(t − cos t)
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

13. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Teorema
Misalkan f dan g secara kontinu dapat didiferensialkan dengan
f (t) = 0 pada α ≤ t < β, maka persamaan-persamaan
parametrik
x = f(t), y = g(t)
mendefinisikan y sebagai fungsi x yang dapat didiferensialkan
dan
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

14. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
Contoh 3
Tentukan dy/dx dan d2y/dx2 untuk fungsi berikut ini
x = 5 cos t, y = 4 sin t, 0 < t < 3.
Penyelesaian
Misalkan y menotasikan dy/dx, maka
dy
dx
=
dy/dt
dx/dt
=
4 cos t
−5 sin t
= −
4
5
cot t
d2y
dx2
=
dy
dx
=
dy /dt
dx/dt
=
4
5 csc2 t
−5 sin t
= −
4
25
csc2
t
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor

15. Kurva Bidang: Representasi Parametrik
Pengertian
Menghilangkan parameter
Sikloid
Kalkulus kurva parametrik
Latihan
1. Tentukan persamaan Cartesius dari kurva
x = 4 − t, y =
√
2t; 0 ≤ t ≤ 4.
2. Tentukan dy/dx dengan menghilangkan
parameternya jika
x = 1 − cos t, y = 1 + sin t; t = nπ
3. Tentukan persamaan garis singgung terhadap
kurva pada titik yang telah diberikan tanpa
menghilangkan parameternya jika diberikan
x = t2, y = t3; t = 2.
zahnur@informatika.unsyiah.ac.id Geometri pada Bidang, Vektor