Pembahasan transformasi laplace, dari modul teknik kontrol automatik. Jilid 1, Katsuhiko Ogata

1. t4
Jrka suatu bahan kmia tertentu diberikan pada spesies-spesies tersebut,
perubahar-perubahan popuiasi mengikuti persarnaan berikut:
1:"9* f, dT b, adalah konstanta positif dan u adalah masukan yang dapat
;:-kontrol (pada contoh ini adalah jumlah bahan kimia). suatu persoaiJn vang
rirendrik adalah meminimumkan populasi x, dalam selang wakL tertentu dan
r.eniaga agar populasi r, sebesar mungkin pada selang waktu tersebut. Ini
r.erupakan suatu contoh sistem biologis yang dapat dianalisis dengan teori
kontroi.
sistem kontrol inventarisasi. pemrograman laju produksi dan tingkat
persediaan barang di industri merupakan contoh lain darisebuah sistem koritrol
loop tertutup. Tingkat persediaan yang sebenamya, yang merupakan keluaran
sLstem, dibandingkan dengan tingkat persediaan yang a-iinginkan, yang dapat
berubah dari waktu ke waktu sesuai cengan pasar€rn. fika ad"a perbedaan antara
tingkat persediaan yang sebenamya dengan tingkat persediaan-yang diinginkan,
maka laju produksi distel sedemikian rupa sehinggi keluaran selalu mendekati
"Ieve7" yang diinginkan, yang dipilih ,r,trt *"i",-ukri*rrmkan keuntungan.
sistem bisnis. sistem bisnis mungkin terdiri dari beberapa grup. setiap
tugas yang dibebankan pada suatu grup merupakan elemen dinamikdaii sistem.
Metode umpan-balik untuk melaporian prestasi tiap grup harus ditetapkan
dalam sistem tersebut, agar beroperasi dengan baik. Kopling silang antara grup-
grup fungsional harus dibuat dalam orde minimr*, ,.,t li*engurangi wakiu
tunda yang tidak diinginkan dalam sistem. semakin kecil kopling silaig maka
akan semakin halus aliran sinyal kerja dan bahan.
Sistem bisnis merupu!* sistem roop tertutup. Disain yang bagus akan
menvederhanakan kontrol manajerial yang diperlukan. perhatikan bahwa
gangguan pada sistem ini adalah cacat bahan atau manusia, interupsi
komr.rnikasi, kesalahan manusia, dan sejenisnya.
. Penentuan perkiraan sistem yang baik didasarkan pada statistik dan
kekuasaan manajemen varrg baik. (perhatikan bahwa trat ini dikenal dari
kenr-ataarr bahr'a ,njuk kerja sistem dapat ditingkatkan dengan pengaturan
ivaktu atau a:rtisipasi).
. Dalam menerapkan teori kontrol untuk meningkatkan unjuk kerja sistem,
krta harus menyatakan karakteristik dinamik dari kelompok ktmponen sistem
ciengan sekolompok persamaan yang sederhana.
lvalaupun merupakaa masalah yang sulit untuk menurunkan ungkapan
matemarik dari kelompok.komponen, penerapan teknik optimalisasi teihuiup
sistem bisnis jelas meningkatkan unjuk kerja sistem
T.3 TRANSFORMASI IAPIACE
Metode kansformasi Laplace adalah suatu metode operasional yang dapat
digunakan secara mudah untuk menyeresaiku' p"rru-lan diferensial linear.

2. Irg-Keadaan
Bab L: Pengantar Anplisis Sistem Kantrol
tersebut,
S dapat
il-r yang
rtu dan
but. Ini
m teori
tingkat
<ontrol
luaran
dapat
antara
inkan,
Cekati
lan.
ietiap
stem.
Lpkan
irup-
raktu
naka
akan
hwa
upsi
dan
lari
|ran
ran
aP
15
Dengan menggunakan- transformasi Laplace,.kita dapat mengubah beberaoarungsi umum sepeTilungsi ,*"r"iar, f"r,gsi sinrrroia, i"r"arrr, dan funesteksponensiar meniadi rr-gri-r""gri ,[lfu. uurrruur tomptut, s. Bila persamaanatj abar daram' aipec-ur,ia',, #k;;;;v"r"r;i".' ; ;;';'"'.}*u* diferensial
li#j:nllil',':fi f Iffi ;:,T:Tl"lyiFi'oloTii,o"ro,ehdengaaparsiai, yang dibJar p"d; p;;;i ;-;n"t"
atau dengan teknik uraian pecahan
suafu kerebihan metode transformasi Laplace adarah bahwa metode inimemungkinkan penggunaan teknik g.uil ,r.,rut *".u*Jtil_r"rja sistem tanoamenyeresaikan pers.unaan diferensiar?lstem. rerebih; h_ *"",rr" transformasi
ulx.,i:::f'Hiifr ,,,i"Hi;",1#1,*u",rr.*p"",Jl*,i".,maupun
Persamaan diferensial. ' t --samaan pada waktu menyelesaikal
u,," l"lllilil [:P,:l:lriaber
uo-01:u,, dan fungsi kompreks. seberum
E"r"; ;;;;il:il'#T[:l3flti]#,:,r"" ;"gu il;ffi; rc*u,ri i"o,idengan fungsi eksponensial.
'
Variaber kompreks' B,angan kompreks mempunyai bagian nyata dan?ugl* imajinea keduanva
"arriirr"r,# ,l*a uagi'ai- ii"rir^rtarau bagianuna,rner adarah variabei u,ungan il"rri"i, ,* a"-"*"i# |orirurt kompreks.
ii,L1,o*t'"rmasi
Laplat" r"irrfiig*":il notasi s sebagai variaber kompreks,
dengan o adalah bagian nyata dan ar adalah bagian imajiner.
Fungsi Kompleks..Fungsi kompleks F(s), fungsi dari s, memnyata dan bagian ima;rner atau '// nmgsl dari s, mempunyai bagian
F(s)= F,+iFy
3m,
em
Fungsi kompleks G(s)-dikatak an anaritik daram suatu daerah bila G(s) dan
:ilT,#ffiva ada pua' au".Jt"""0",. rr.rr,* JriiIi"* rr.gri analitik
Karena As = .1o + lAa
g:li Iin;an;i;f, maka As dapat mendekati nor sepanrang jumr.h tertentu
d a r am u
"
r, r1'I i?r,=,T."ff#;l"Lrl;'l+,*ln*n*"
mj*
a k d i i a b ark ai
:entu sehingga
rt
FI
s=o+io)
-l
EErrE

3. 16
Jadi
dengan
*Lfi#tfl,*Hi;,1ffi"frh: = -1 (yans berarri, o = -1,a, = 0), G(s)
,
a
BAGIAN I: Analisis Dasar sistem Kontrol dengan Metode Konaensional dan Ruang-Keadaan
As = Ao dan As = iAal adalah sama, maka furunannya unik unfuk lintasan rainAs = Ao + jA.o dan juga *;;;;;r.
Untuk lintasan khusus As = Ao (lintasan paralel sumbu real),
d c(r)= rim (+* i19) = oGr
-,dG,4'-' "''t - o',ilb i,TA
* ,Zi)= # * i-a;
untuk lintasan yang lain, as = jLot (lintasan paralel sumbu imajiner),
d _, , .. ( rc 1.,-) _ ,dc, .oGo7i G(s) =,i1,1r|ffi. i#)= - i#. ih-
Bila dua nilai furunannya ffrma
dG,
- ,dGo dGo . aG
0o 'r-A;=i;-tA;-
atau bila dua syarat berikut
*=* o^^
*= *
dipenuhi' maka turunan-d-ari
lcls)t(sdapat ditentukan secara unik. Dua syarat
*'i': LX}3 tf}:i;il*' i d ;;;lit:*ann. B,a sva,at terseb ut dip en uh i
Sebagai contoh, perhatikan G(s) berikut :
G(s) =
1.
;TT
G-= o+ 1
dan G.. = -? ., (o+7)r+ot2(o+ + coz

4. HQadaan
17
art lain
/arat
nuhi
(s)
oleh karena itu, G(s),= 7/.G + 1) analitik pada seluruh bidang s kecuali pada
s = -1. Turunan dG(s)/ds kecuali pada s = _1 menjadi "
*"0, = **
AG,, AG
do d(t) d(r)
Perhatikan bahwa tunrnan sgbua! fungsi analitik dapat dihasilkan dengan cara
sederhana dengan menurunkan G(s) t6rhadap s. Dalam
"o.ton-*i,
Jika G(s) mendekati tak terhingga untuk s mendekati -p danjika fungsi
. . Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut
,rr.,.*:r!,:i:,to,y,a"!y0, sedangkan iiur-tiir pada bidarig r i;; menyebabkan
rungsr G(s) tidak analitik disebut titik singurer. ritit_titik"singuier yang
menvebabkan fungsi G(s) atau turunan-turunannya mendekati tal terr,inggl
disebut pole (kutub).
Dalam contoh di muka, s = -1 adalah titik singuler dan merupakan pore darifungsi G(s).
G(s)(s + p) (n = 1,,2.3
mempunyai nilai terhingga tak nol di s = -p, maka s = -p disebut pole orde n.
Jika n = 1, pole tersebut disebut pole sederhana. ]ika , ='2, i, .-.., pole tersebut
disebut pole orde Olll por" L-rde tiga,.dan-seterur.,yu. fitit_titik yangmenyebabkan fungsi G(s) sama dengan"nol disebut zero.
Untuk melukiskannya, tinjau fungsi kompleks
Gs) =
s(s+1)(s+5)(s+15)2
!G] mgmpunyainoldis = -2, s= -10, kutub sederhana dis = 0, s = _1, s = _
1.{* kutu} ganda (banyak kutub dari orde 2) di s = -15. perhatikan bahwaG(s) menjadi nol di s = €. Karena untuk nilai yang U"rri-auJl
G(s) mempunyai tiga nol (banyak nol dari orde 3) di s = -. |ika titik-tirik di takterhingga dimasukkan, G(s) memp,nyai jumrah y*g ,u*u JJ.i ru*u sebagarnol. Ringkasnya, G(s).mempunyui5r.,6t 1, = _2,s =_I0,, = _,, = _, s _ _) dan5 kufub (s = 0, s = -1,, =--5, s = _15, s = _15).
G(s K
..,
Bab 1: Pengantar Analisis Sistem lGntrol
.1
(o+ja+1)2
1
G;T
d( 1 1'
7i(s+t/ (s+f
I
I
II
I
J

5. 18 BAGIAN I: Arulisis Dasar sistem Kontrol dengan Metode Konuensional dan Ruang-Keadaan
Teorema euler. Ekspansi deret daya d,ari cos 6 dan sin 0 adalah berfurutan
cos9=L- e2
-l
2l
e4 a6___r
4! 6!
e
T
6a es
-+_3! 5!
7
sin0=6- +
Dari dengan demikian
Karena
cosg+i sing =1+Uq.ry*#* uq4
4!
+
e* ='].,+ x +
x2
T
x3
3i-
+ +
kita melihat bahwa
Ini dikenal sebagai teorema Eriler,
cos0+ jsin9=sio
eio =cos0+jsn}
e-io = cos 0 - i qin A
(1-1)
Dengan menggunakan teorema Euler, kita dapat menyatakan sinus dancosinus dalam fungsi"eksponensial. oe.,gar., memperrihatkan bahwa e-le adalahkonjugat kompleks eto dan bahwa
o
f;:1,
*"""*ukan, setelah menambahkan dan mengurangkan dua persamaan
ii,.r.. f-i ::
,
,r,o +. ,,--t6 j
1 : -,:,
."iii i: =. -i,
'..0',' -. ,. ) i i_ : r
Transformasi Laplace. pasal ini memberikan definisi transformasi Laprace,pembahasan srngkat kondisi keberaJu-uri t.*rrormasi Laplace, dan contoh_
;::t:iiil?:elukiskan Penurunan transformasi Laplace u.iu*"p, funssi yan g
Marilah kita definisikan
f(t) = fr:ngsi waktu t sedemikian rupa sehing ga f(t) = 0 untuk f < 0
s = ,ariabel kompleks
!, = simbol
.operasional
yang menunjukkan bahwa besaran yangdidahuluinya ditransformasi dengan *tug.J fup hce fie_,t dt
F(s) = palrformasi Laplace dari f(t)

6. n Runng-IQadaan
rerlurutan
(1-1)
n sinus dan
'a e-le adalah
persamaan
(1-2)
(1-3)
asi Laplace,
lan contoh-
tungsi yang
u:rtuk / < 0
iaran yang
:e ff e-'t dt
Bab L: Pmgantar Analisis SistemKontrol 19
Selanjutnya transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan oleh
{F(r)l = F(s) = li ,-" dt{fit)1 = ,Ji
f{t)e-t at
Proses kebalikan dari penemuan fungsi waktu f(t) dai transformasi Laplace
F(s) dinamakan transformasi Laplace ballk. Notasi untuk transformasi Laplace
balik adalah *1. Jadi
r'1[r1s;1 = 1i4
mendekati
terhingga
Keberadaan transformasi Laplace. Transformasi Laplace suatu fungsi /(/)
ada jika flf) secara sepotong-potong kontinu pada setiap selang-terhingga
(finite interval) dalam daerah f > 0 dan jika fungsi tersebut m"*prrtyui orde
eksponensial dengan membesarnya f menuju tak terhingga. Dengan kata lain,
integral Laplace harus konvergen. Suatu fruEsiflf) mempunyai orde eksponensial
jika ada suatu konstanta nyata positif, o sedemikian iupa sehingga fungsi
e_*,fitli
mendekati nol jika f mendekati tak terhingga. Jika limit f,ngsi e-*l/.ttll
nol untuk o lebih besar dari o, dan limit tersebut mendekati'tak
untuk o lebih kecil q, maka harga q disebut absis konztergensi.
Untuk fungsi/(f) = Ae-d
*u*Vu*l
mendekati nol jika o > -d.. Dalam hal ini absis konvergensinya adalah o, = -a,.
Iretegral Ii f(t)r'' df konvergen hanya jika o, bagian iyata dari s, lebih besar
dari absis konvergensi q. Jadi operator s, harus dipilih iebagai suatu konstanta
sedemikian rupa sehingga integral ini konvergen.
Dalam bentuk pole dari fungsi F(s), absis konvergensi q merupakan bagian
nyata dari pole yang ditempatkan di paling kanan pada bidang s. Sebagai con"toh,
untuk fungsi F(s) berikut,
F(s)=1;ffi#rl
absis konvergensi
-q
sama dengan -1. Dapat dilihat bahwa untuk fungsi-fungsi
seperti t, sin att, dan f sin arf absis konvergensinya sama dengan ,rot. urrtirt
fungsi-fungsi seperti e't, te-'t, e-l sin arf dan- seba gainya, absis ionvergensinya
sama dengan - c. Akan tetapi untuk fungsifungriyar,g membesar secara iebih
cepat dari fungsi eksponensial tersebut, tidak mungkin mempunyai absis
konvergensi. oleh karena ifu, fungsi-fungsi seperti e,' d,an fer' tidak mempunl,ai
transformasi Laplace.
Pembaca harus berhati-hati bahwa sekalipun ,,' 1.-t k 0 < f < *) trdak
mempunyai transformasi Laplace, tetapi fungsi waktu yang didefinisikan
oleh
I
{

7. 20
memPunyai transformasi Laplace karena f!t) = ,,'hanya untuk selang waktu0 < f S f yar,g terbatas dan bukan untuk'O < f < _. S_y"f r"*""u* ini secarafisis dapat dibuat. perhatikan bahwa ,i.,yat y*g ,""Ju ririr^i"p", kita buatselalu mempunyai transformasi Laplace.'
, - ,l*u ?"1tu l-g:i;/(f) mempunyai transformasi Laprace, maka transformasiLaplace dail Af(t), dengan a adalah suatu konstanta diberikan oleh
Hubungan ini secara mudah dapat diturunkan dad definisi transformasi Laprace.Dengan cara yang sam.a, jika ir@ o*irt) mempunyai,r*rro.*uri Laplace,maka transformasi Laplace airli'fr| * ii[t1 aia"rikan oleh
Hubungan ini secara mudah juga dapat dibuktikan dari definisi hansformasiLaplace.
,r.r':Jff il#;lr:-*
menurunkan transformasi Laplace beberapa fungsi
Fungsi eksponensial. Tinjau fungsi eksponensial
dengan,4 dan aadarah konstanta. Transformasi Laprace dari fungsi eksponensialini dapat diperoleh sebagai berikut
ff*ftll"hwa
fungsi eksponensial menghasilkan sebuah kutub di bidang
Dalam menurtrnkan transformasi Laplacefi/) = Ae-trkita memerlukan bahwabagian nvata dari s adarah I"b,il;;;;;;i -a iuuri, rorrliffiri). pertanyaanmungkin segera timbul apakah transformasi Laprace yang diperoreh berlakudaram jangka di mana o < -a dibidang s. untuk menjawab p".i*yu* ini, kitaharus berpegang pada teori variabet k8mpbks. Drlr_ ;;;lrrr.,"U"f kompleks,terdapat teori yang dikenar sebagai t"ori'i".p*jangan anatitis.-ra menyatakanbahw.a lika dua funesi analitis ,I*u i""i*prr,la.iq y*g *rUu,as sepanjangbusur apapun dalari a^"rrr,- ai .r,;"*i"5r*ya anaritis, maka mereka adalahsama di mana saia dalam daerah ,"rr"ir,. Busur tur-**'iiasanya adalahsumbu nyata atau sebagian aari itu. oeig* *"r,ggunakan teori ini, bentukF(s), yang ditentukan orJi, i"tuf*J ar -""1" s aipeio-oteirt* *"*p*yai n,ai
BAGIAN I: Atulisis Daw sistem rbrtrol dengan btetde lQmensiotat dan Ruang-Keafuan
fO -o
= Atd
untukf<0
untukr>0

8. Keadaan
'rg waktu
inr secara
kita buat
rsformasi
Laplace.
Laplace,
sformasi
a fungsi
>rLensial
bidang
bahwa
myaan
rerlaku
ni, kita
rpleks,
atakan
mjang
rdaiah
tdalah
rcntuk
Lr nilai
21
posih{ nyata apapun, yang lebih besar daripada absis konvergensi, berlaku
untuk nilai kompleks apapun dari s di mana F(s) adalah analitis. Jadi, meskipun
kita memerlukan bagian_nyata dari s lebih besar daripada absis konvergensi
urrluk membuat integral Ji f (t)e-st dt mutlak konvergen, maka sekali hansformasi
Laplace F(s) diperoleh, F(s) dapat dianggap absah di seluruh bidang s kecuali
di kutub-kutub F(s).
Fungsi langkah. Tinjau fungsi langkah
i(t) -0 untuk:<0
=l untuki>0
dengan A adalah konstanta. Perhatikan bahwa itu adalah kasus khusus dari
fungsi eksponensial. Ae-d, dengan d = 0. Fungsi langkah tidak tertentu di
I = 0. Transformasi Laplacenya diberikan oleh
!le1= ffor-n O, = +
Dalam mengerjakan integrasi ini, kita menganggap bahwa bagian nyata dari s
lebih besar daripada nol (absis konvergensi) dan karena i* ,1S
€-o' sama dengan
nol, seperti dinyatakan di muka bahwa transformasi Lapiaie diperoleh secara
sahih pada bidang s kecuali di kutub s = 0.
_ Fungsi langkah yang tingginya satu unit dinamakan fungsi langkah-tmit.
Fungsi lalsah-unit yanq
lgriuai
di t = toseringkali dirulis sebagai tt (t"- to) atau
1- (/ - fJ. Dalam buku ini kita akan menggunakan notasi yanglerakhir liecuali
finyatakan
lain. Fungsi langkah dengan tinggiA dapat kemudian aitutis sebagai
f(t) = a 1(f). Transformasi Laplace dari fungsi langkah-unit, yffig ditentuk-an
oleh
adalah 1./s, atau
Secara fisik, fungsi langkah yang terjadi di I = 0 berkaitan dengan sinyal konstanta
yang secara tiba-tiba diterapkan ke sistem di saat f = 0.
Fungsi landai. Tinjau fungsi landai
untukf<0
untukf>0
dengan A adalah konstanta. Transformasi Laplace dari fungsi landai ini diperoleh
sebagai

9. ![At] =
I; n**, dt = 4s4l- _ f* fi-u"' -s l,
- J' -=- dt
=+l '-*at=$
Tabel l-L Transformasi Laplace
:r
11
n
lmpuls satuan 6(0
1
Langkah satuan 1(fl
1
s3.
1
s'4. tn-1
E.=Ti (n=13,...) I
",{ (n=1,2,9,...)
"n+1
n!
6.
g-ar
1
s+a7
te-at
G;;F8. n-1e-at
@=2,3,...)I'5,
o
Pe-at (n=1,2,3,...1 n!
(s+a)r"10.
stn C),
a)
--sz+12
cos a)f
s-.--
s'+a2
sinh art (t)
---
s'-a2'13.
cosh att
--s'- a2
s
14.
)t, - "-,,, 1
-
s(s + a)15.
tl{"n, - r-b,)
G + a]sl7;16.
T{u"-o' - ae-"r) s
GFaTsa617
t*;{or-,, - r"-u,|I
1
6
s(s + aXs +b)
.
'.;
:,:
x:
7
--
1
2.
t
5.
1
1
(s + a)n
12.
1

10. 23
-si
-dt
I
22.
ZI
24.
27
4
il
J
25.
26.
28.
29.
Fungsi sinusoida. Transformasi Laplace fungsi sinusoida.
f(t) = o
= A sin cot
untuk f < 0
untuk f > 0
{s)
L
S
1
s'
n!
5
'1
s+a
EE
- a)n
n!
' a)n +1
0)
)
-a'
-;r
s
())
,-o-
t
c
'o-
Fa)
s*b)
-j-)-
-D-
1
_.---ii_
s(s + a)'
(at - 1+ e-at)
7
'l
--;-
s'(s + a)
e-atsin arf
(s+a)2+a2
0)
e{r cos arf
s+a
(s+a)2+a2
-.%_=e-eri sin @n
11- ('
1- E2 t a2,
"
. rtu,*.G
- 1
; "-(@n,
sin (r, ,[r1 , _ q)
!1- e'
tF-7
---Q = tan-1
s2+z(ans+al,
s
e-c,rt sin (an1- 't-(2 t+q)
_.,FV
(Q=tan
1
tlt - €'
1 - cos arl
s1s2 + ar2;
a2
rot- sin all ol3
s21s2 +i$
sin art- alf cos arf
1sz + co212
2o3
fit "in
rt s
@;W
tcos alf s2-a2
@;W
30.
_rJ___u-1"o"
(D' - (Di
oort - cos a2t) @l * al1
qs2 + rlfp +@
s
Zh t",n at + @t cos arf)
W
s2
,;! ', a ,laantar Analisis Sistem Kontrol
24.
23.
't
_l_
s'
1
4o- e-rt - ate-at)
s(s2 + 2(ans *S
afi
31

11. 24
BAGIAN I: Analisis Dasar sistem Kontror dengan Metode Kon ensional dan Ruang-Keadaan
dengan z{ dan @ adaf:Llonstanta,
diperoleh sebagai berikut, der
pada Persamaan (1-3) srn rtl dapat dituli,
th seba8ai berikut, dengan mengacu
sin a), =
*rr,*
_ r-i*)
ffutur
Jadi
f(t)1(t)
{A sin dl =
+ Ii t i,, - eidls-st 41
=*1_+#=#
llA cos ottl = - As _
.. Komentar. r
s -r a'
1 itrinsform;;
-
i";;:I.f;H: |;i,:il: _::,:
r u n I s i a p a
1e-rt dan kemudian'
;:#.,pi+tit,#liFi-'$#.:r#i.,1ryffi Haffi,'trfjr::il#ffi :E996ffift","*ti,,,,,*,;;#:v"'g'"'i''s;;'J",",ra"r"-Li,i;::il*"ffii1##i:rrilHf,','la
d,r,,*il,illl j;:r;,; r" akan mencari t
rungsi/(i)i')'&i/'r'"11,,,:r'triiffi
;r;ft 5[1,,,lrT
jff;',ri:
Dari definisi, transformuri fupfu".,i ri f(t _ a)l(t _a) adalah
WG - @t(t - a)l = [* ftt
I,o, - 0t1t - i,-J",, !{)'-'7(t - q1'-st o'
r.rengan mengubah variabel bebas dari /ri"r;rd, c, dengan t = t _a, diperoleh
fiu a)1(t - a)r-* dt =
f,frrrrtt)g-s(r
* o)
dt
f(t-o)1(r_o)
Gambar 1.g
Fungsi (r)1(r)
dan translasi
,r,-
"r,rl1ff] o
OqI
I

12. n Ruang-Keadaan
ian mengacu
kan sebagai
ang dapat
'(t) dengan
*. I{amun,
kita tidak
ansformasi
itungsi/(r)
rgsi waktu
rrgsi yang
rtukf<a.
diperoleh
1,8 : ?engmtar Arulisis Sstem Kontrol
dengan
25
Perhatikan bahwa f(Q7 (r) = O untuk z < 0, kita dapat mengubah batas bawah
integrasi dari -a menjadi 0. Sehingga
f;ourv-s(r+a) o, =
f, fi)t(ie-dc*o) f,
= f f<*-s.e-,,s dt
Jo
= e-6 f* frrn-t, dr = e-N F(s)
Jo
F(s) = w$)1= !lf$)e-'t at
Dan juga
{tf(t- a)L(t- a) = e-*F(s), q> g
Persamaan terakhir menyatakan bahwa translasi dari fungsi waktu/(f)1(r) dengan
a (di mana a ) 0) berhubungan dengan perkalian fungsi transformasi F(s)
dengan e-6.
Fungsi pulsa. Perhatikan fungsi berikut
f$)=+ untuko<r<ro
-0 untukt<O,to<t
dengan A dan fo adalah konstanta.
Fungsi pulsa ini dapat dipandang sebagai fungsi rangkah dengan tinggi
A/toyang mulai pada f = 0 digabung dengan fungsi tangkah n"gutif deng;
' tinggi A/toyang mulai pada f = fr; sehingga
f$)=+(o-+(r-ro)
_A_Ao_rto
fos fos "
= *o - e-'to) (1-4),0s
_ Fungsi impuls. Fungsi impuls merupakan keadaan khusus dari fungsi putsa.
Perhatikan fungsi impuls berikutt

13. 26 BAGIAN r: Anarisis Dasar sistem Kontror dengan Metode Konoeasionar dan Ruang-Keadaan
/(r) = Iim 4f6-+0 rg
=Q
=f--a
!u/oi: -"l],!llli
Karena tinggi fLrngsi impurs
l(to dandurasi. fo, daerah di bawah impuls samadengan A. Jlka durasi to mendeka,ti ,,ot, tioggi,{/ro *una"t li'i; r,*gga terapijtri11
i:?i:s,tri*l"Tr.l ;; ;;;;,'; pe rda nkan ; ; *ui
",** imp urs
Mengacu persamaan (1-4) transformasi Laplace dari fungsi impurs diperoleh
svl)t=
i5b[#.
_,*.,
d(r_rr;=s
6(r-ro)=-
J__6(r - to) dt = 1
untuk0<t<to
unfukt<0,t0<t
untuk f * fo
unfuk / = io
= lim
i0-+0
ftvs-,-",)l
-8,h,)
Ir1,1;rT*tttrmasi
Laplace dari tungsi impuls sama dengan daerah di bawah
Fungsi impurs vang luas daerah di bawah impurs sama dengan satu disebutfungsi imputs satuai ataufunSsi drt;, ;i;r;.r""gri,-p"i, *":L yang beradapada t = /o biasanya ailarnringil d"";* qt - tr. qt - ememenuhi:
Harus diperhatikan bahwa fungsi ilnpuls yang mempunyai besaran tak-hingga dan durasinorhanya."*p"[* i'.;r",; ii"ilil;; tidak mungkinterjadi pada sistem fisik. Nam"":, jru; buru.* puisa masukan sistem sangatbesar dan durasinva sangat kecil dibandingt* korrrt*i, *"tr, sistem, makapul sa masukan tersebut d;pililil;"iugur f,*gri impurs. Misalnya, masukangaya atau torsi /(f) diterapkan pada suatu sisteri a*i". *"itu durasi yang
;iHf ffi :1'.'; h3 t ffiT :,Ti:T
/( r) cukup r u' u'"*utu'''" s*l Ii' r o t a t
(perhat,ianil;;k;'ffi ##il;:i*"ffij,If, ;::if
,;:1l;:*::
impuls sangat p"r,iir,g, bentuk ;"i;;;;y, a*i aprri, ;;;ur.,yu tak perlu
ffi:lT:H;'u1o''
masukan*u*b".ik* energi ke ststem Jrl* waktu yang
Konsep fr"rngsi
T,JI rrg?, berguna daram diferensiasi fungsi tak kontinu.Fungsi impurs situu''r {f --r/"dapat?ianggap sebagai turunan fungsi rangkahsatuan 1(f - t0) pada titik ailto"i-ritu, I = /o atau
6(t-til=fiqr_to1
Sebaliknya' ,tn"
'*l:'^-Tpurs.d.iintegrarkan akan diperoleh fungsi rangkaht1r - rr)' Dengan koisep fungsi ir,pir,-tiru a"p", ."'""1-u"."nsiattan fungsi
7
--
t
-.

14. n len sion al dan Ruang - Kea daan
Dengan mengganti f,/a = f, dan o5 = st, diperoleh
i-a,.,g berui diskontinuitas, memberikan impuls dengan besaran sama denganbesaran tiap-riap diskontinuitm y;;;;;;bungan.
Perkalian f(t) de:81:
:.*:.?il? .f(L) dapat ditransformasikan Laptace,
[H.t;il"i
Laplace minjadi rrrl. ui#r transformasil;*" d,ari e-otf(t)
![e-dt f$)] = Il u", f(t)e-,t dt = p1, * o, (1_s)
Terlihat bahwa pengalian /(t) dengan e_d memberi rtransf ormasiLaptace,l*r*#;*,i"*".i"ai#;::r|""ff
i:::"il:;ilil##i,filru11,* a, a""ili,,";s;ii#?)i l#r#";-* (a m,mgkin
T"b"lgan yang diberikan oleh persi
,ri:t;1ffi ffit?ffi:;*::::::Ttrffi #"J"ffXil,l'?;1##HI
4sn atl =
TfA = F(s) y[cos ar] = pt';7 = G(s)
;-T".:,'#[TflJ:T"*fr-j],ffi-:,transrormasiLaplaced.arirdsinaridan
$s-at sin a/l = F(s + a) = _____$_
(s+ a)t + o2
{r-ot cos a.rf] = G(s + a) -
27
qbawah impuJs sama
Karr tak hhgga tetaoi
anwa besaran impri,
rgsi rnpuls diperoleh
4
daerah di bawah
:ngan safu disebut
tuan yang berada
memenuhi:
zai besarar tak_
r tidak mungkin
t srstem sangat
u srstem, maka
rL::r.va, masukan
u durasi yang
egral
lnuf1t1 at
suafu impuls.
maka besaran
tl'a tak perlu
n wakfu yang
i tak kontinu.
ngsi langkah
s+a
(s + a)2 +a2
.l
perubahan skala waktu. Daram analisis sistem fisis, kadang_kadangdiinginkan untuk mengubah rur" *"tt ltau menormu,.*-i-gri waktu yangdib eri kan' Has, van e d"ip"r"l"h ;;;l,Iu, *ru* **".r.,.il s an gat bergun a
;ffi:i#*,ffiT.1}ti:;;;'" #ffi untuk sistem rain yang mempuayai
. Jika r diubah -UrT:L,'1".,r* a konstanta positif, maka fungsi//)diubah daram f(t/a. n,, ril"
"i*il ff*u".-,;i i,i,,Liirl a".,gu,, r1,;,maka transformasi r_uptu." au. ii(,;;;;:;at diperoteh sebagai:
,l/t:1 .*/rt4 tfl-:_| - f d
=Va 11= tolla )e-" dt
44il] = li r{,,),-rtr d1at,1
= o
f fir-'rt1 dtr
= aF(s1)
;si langkah
Lkan fungsi
-
l
i
L-

15. 28
BAGUN I: Anatisis Dasar sistent Kontror dotgan Metode yenp2n
ionat dan Ruang-Keadaanatau
14*)l= aF(us)
Contotr, misalnya,(f)
= C d,ur f(t/S) = s_oa.Dperoleh
gl"f(t)l
= 4e-= F(s) = L
oleh karena itu
s + 1
14t)l= sre-o,2tt= 5F(5g
= B+
fli:,:"1;*',:i#i#:H:HTr1":ff
,0",r*mensambirtransrormasi
gyr-o,zt1=
,*f,Z = E+
i#ffiTffiu,*Ltfr r,,H*,,,*ffi
*$ffis*v?)l = Il.r4h_,, o,
s-V(t)l = Ii_fryr*, dt = srf?)t *
ff* ftil,-,, o,Bila f(t) mempunyai
fungsi impuh padat= O maka
Karena
!*v(t)l * g-ff(t)l
(lroy*, dt * o
f h:*##?J'#,fl"?:Hl*iTli#*tr"*fi
;,f Ti*;l,l#*,g.Wt)l
= {_V@l
Orb""Tff"rHdiferensiasi real. Transformasi
Laplace dari turunan hngsif(t)
denganfl0)
merupak;
4*'04 = sF(s)
- f@)
(1-6)
ur harga awalfll dihihrng untuk / _ 0.
rD

16. onal dan Ruang_IGadaan
I transformasi
i.
(o+)
fl0
4(0-)
0
0
ia-:€' 1-9 Fungsi langkah dan fungsi sinus yang menunjukkan nilai awal pada , = G_ dan I = 0+.
unruk r"'* gg:i.f(t) yffisdiberikan, nilai/(,+) dan/(,-) mungkin samaa tau berbeda seperri
-dia;il".il;;;;
i"-;;;' i.d. H,/o!?* antara /(0+)dan fl,-) akan r:entinr-ts-r.r
7[ffi:#;;Iu, aiskontinuita, J. , = 0 dan /(0_)karena daram k"" rii ;iiil;,
"u#"#qortkan firngsi impurs di r = 0. Bla.f(0+) * f(0-), persamaan
1i_01 r.u*, airiL men;aai
*.lsrr,l= sF(s) - f(o+)
o-L#nl= sF(s) - f(o-)
untuk membuktikan teori diferensiasi rea! persamaan
(1_6) kita rakukan
;Hf, :iftriku
t. rnte g.ur*r.,-i,it"ffi" r."prr* j""sl, r,"s.r, parsial,
Iiftv*' at = f+*l; - fl*,*,,1*"
tPa kasus,/(/)
:gral Laphce
r Laplace
/(r)
lgral Lapiace
Oleh karena itu,
Yang berarti bahwa
F(s) = +. *4#o,,1
a fungsi
naka
tgsi f(t)
4*tu,l= sF(s) - /(o)
O"*H,
dengan itu, kita peroleh hubungan turunan kedua dan fg)sebagai
4#rul- s2r1s; - sr(o) - i(o)(1-6)
-
29
t
t

17. 30
BAGIAN I: Analisis Dasar sistem l,ntror dengan Mebde Kon ensional dan Ruang_IQadaan
-Wr,,l= o[#n
]= ssts,)t-
s(o)
':rdt' -'raf
d
= ,o[Srot]_ not
Mirip dengan itu, un
- t2r1'; - sf(o) - f@)
ii ;;= ;J-,1i _^::::;;"'"*
dengan/(0),
f(o), . . . ,fd^"n urakan ni
|fri*"g pada r = o.'""'-]-]:11:.*
ntlu darifQ), df(t)/at, .
m*A jih-:f#:i;:;;!)"/::;:nr:,;iillhilr;{#,iii
'.':',#;trT,W^=1H,TTi'"H::l,ixffi m:#::f il1,,8turunan
,
perhafikan
pura hah,^,- :,r-
vrurasr oengan teorema
,
""il:,,,T"I""[j$ffi ]*i.,ffi:: il*il1#.:f#Tffii,ffi
Maka
Tinjau fungsi cosinus
1-t
maka
8(r) = o
= cos rrJ,
untukf<0
untukf>0
iffi#i'I#"[H]Jffi],fr
h]":ffi #*tft*ffiuntukt<0
untukf)0
-
Transformasi
Laplace dari
![sin at] = F(s) _
fungsi cosinus diperoleh sebagai
lfrro)--^2)s 1-A.
fifol = r1,1
.f(t) = o
= sin al

18. 'otal dan Ruong _Keadaan
(l-7
.f(0)'
'-'f(t)/dt"- r,
r masukkan
ung apakah
n& furunan
ln teorema
rlla sama
r&an oleh
Wrttti.:+.n.7-g,lr:tr.,n
-
irlllul :,*.,[a!rri[-
::i -<:-. _:-s:_ l_-l:roi
Untuk mana
31
e{cos aril =
4#(**" a/)] = f,r,rt) ..r(o)l
- 1l sa I=,[ffi-oJ =pj?
Teorema nilai akhir. Teorema nilai
.#rtr,{?#q:-*u".,.:i6';11il:iT?TFH;{"Li"i1iH
:rra:tertentu*,{-",,::f
itr,:# jifr
ffff .r,f ffi l}"It#Jrasrarr kiri bidang
",tu,;fb rar.'i"lrp,
i*1 sr(sj il;ffi;, kutub pada
ffiJ*T'ffi :iT;[";ffi nf n#='a,iiii"l)ii,r,tilo*.si,asiatau
*Xli"dffi il:J;ii#H;,1fl,ft *ii:F['-THtl-'r,,1ur;#?s = ! i@ d* ii*,--r(f) tidak ada.
ida sin at, sF(s), dengan t"*u.p"al
Teorema nilai akhir dapat dinyatakan sebagai berikut. I*a flt) dandf(t)/dt
i fr 'H',:5.,;ffi m,;..'
; n; l(';T*'' p,ri,",-,,* J,#Ii {uo, u"" d ar i r( t )
"*"?#:,ff #,I:H,f [tr#ffi3h1;;f eratinorpadapersamaan
!l;l# ro], il r,=,153rs.ro _ (o)I
Karena hr_+o e-tt = 1, diperoleh
f W rot]at = r$)l; = r@) - r(o)
__ tim sr(s) _
/(0)s_t0
!r^ f(t) = Iim sF(s)
r-16 S_+0
,gs.,r'g
J akan
s dari f(*)=,$fG) = limsF(s)
lJo s-+0
, .Teorema nilai akhir menyatakan bah,kelakuan s,F(s) di ,"l.uru, s = 0. Iadi *rr,n#i
keJafuan dari f(t),sama dengan
pada f = € secera langsung ;J;u).,*,Brun
untuk memperoleh
"ifri
a"ri7[i
CONTOH
.a
1-2
Diberikan
W(tn = F(s) =
1
;r*T
I

19. 32
BAGIAN I: Anarbis Dasar sistem Kontror dengan Metode Konoensionar dan Rwng_IQadaan
berapa nilai limr-r_/(f) ?
,,_
**:lu kutub sF(s) = t/(s +1) lenvaoM t-*f (t) ada. Dengan il;;dk
"'i;J,I#"ji1Tg1Hifrr;lseberah
kiri,
g/(,) = f@)=,SsF(s) =
JS65 =,g;h =,
Sebenamya, hasil ini dapat secara mudah diperoletr, karena
fuor
Teorema nilai a.
i}l=yF*iil',H.1fi"n"il,xtii,1T:*r'kankebalikandariteorema
langsung dari transf<
/(r)-t"p"iJi;';;,'.T*iLdil;/d'f, :Li1I1#':#H:tT;[j#
_ Teorema nilai rrnp,
pudu waktu sedikit l"bih b;;; jr,
"ir.r"a"*y"ti#;,tH,:ffi:1ffi,:":,:trilrj,ff
I*f *yn{tt)/at
f(w) = tm sF(s)
5-9o
f(t) = 1-.t
f(o+) =
rrg
,.trl
untukf)0
Untuk membuktiken +6^-^_ _ . .
t *rro*,u, i"ffi;xtit'-an teorema ini, kita gunakan persamaan g,+ dari
a.ff,no]= sF(s) - f(u)
_r:TI inrerval waktu 0l s , S _, jika s mernol. (Perhatikan bahu
ini) Dan jusa --"/a kh h;*' ;;;,.fi5:iilj:|"ji;Hrgi,;l?i:::ff
u-f;: l.[#role-,t dt =
,g rsr6) - .f(u)r = o
atau
-
,.r,r"#iil#iiiffilTrfiffi
##,
awar,, tidak dibatasi rc
*^-Tr*: liperhatitan bahwa,"o."r.r**k
f"il:irffi::*' kutub dari
memberikan' kemudar,".,,"rri^;:i:1"' ^awal
dan teorema nilai akhir
ffi,H#f tr"t'ffiT*ffi H*,#ilxi*li{ir:l:ffik,I:ffi :jLr xe fungsi waktu.
o^nT"i,iil::TTxtJ##,berordeeksponensiar,makahanf
ormasiLaprace
r