Đây chỉ là bản mình dùng để làm demo trên web. Để tải bản đầy đủ bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com nhé, chúc bạn tìm được nhiều tài liệu hay

1. Nguy n Phú Khánh – à L t
Bài 8 :S
TI P XÚC C A HAI Ư NG CONG
Bài toán 1 :
Hai ư ng cong C : y = f x và C ' : y = g x ti p xúc nhau khi và ch khi
( )
( )
( )
f x = g x

h phương trình sau: 
f ' x = g ' x

( ) ( )
( ) ( )
có nghi m.
()
Ví d 1 : Tìm tham s th c m
v i
( )
(
)
ư ng th ng d : y = m x − 3 ti p xúc
1
th C : y = − x 3 + 3x .
3
( )
Gi i :
 1 3
− x + 3x = m x − 3
d ti p xúc v i C khi h sau :  3
* có nghi m.
−x 2 + 3 = m

 x = 3
x = 3 ⇒ m = −6
2x 3 − 9x 2 + 27 = 0


 2
⇔  2x − 3x − 9 = 0 ⇔ 
* ⇔
2

x = − 3 ⇒ m = 3
m = −x + 3
m = −x 2 + 3



2
4


Ví d 2 : Tìm trên tr c hoành nh ng i m mà t ó có th k
n
th c a
2
x
hàm s : y =
hai ti p tuy n t o v i nhau 1 góc 450 .
x −1
()
(
( )
)()
()
Gi i :
G i M ∈ Ox ⇒ M x 0 ; 0 , ư ng th ng i qua M có h s góc là k , phương
(
()
)
(
)
trình có d ng : d : y = k x − x 0 .
 x2
= k x − x0

 x 2− 1
th khi h sau có nghi m :  x − 2x
=k

2
 x −1

(
(d ) là ti p tuy n c
a
(
-194-
)
)

2. Nguy n Phú Khánh – à L t
x2
x 2 − 2x
=
x − x 0 ⇔ x  x 0 + 1 x − 2x 0  = 0
2


x −1
x −1
(
)
(
)
(
)
x = 0

⇔
2x 0
x =
, x 0 ≠ −1

x0 + 1

x 2 − 2x
• x =0⇒k =
= 0.
2
x −1
(
• x =
2x 0
x0 + 1
)
⇒k =
−4x 0
(x
0
+1
)
2
• Ti p tuy n qua M t o v i
th c a hàm s : y =
x2
hai ti p tuy n t o
x −1
v i nhau 1 góc 450 khi và ch khi
k − k2
4x 0
tan 450 = 1
⇒
= 1 ⇒ x0 = 3 ± 2 2 .
2
1 + k1k2
x0 + 1
(
(
)(
)
V y M 3 − 2 2; 0 , 3 + 2 2; 0
)
Ví d 3 :Tìm t t c các i m trên tr c hoành nh ng i m M mà qua ó v
ư c úng 3 ti p tuy n n
th (C ) : y = x 3 + 3x 2 mà trong ó có 2 ti p
tuy n vuông góc v i nhau .
Gi i :
G i M a; 0 ∈ Ox , ư ng th ng (t ) i qua M và có h s góc
( )
k ⇒ (t ) : y = k ( x − a ) .
x 3 + 3x 2 = k (x − a )
(1)

(t ) ti p xúc v i (C ) khi h sau có nghi m :  2
(2)
3x + 6x = k

T (1) , (2) suy ra : x 3 + 3x 2 = 3x 2 + 6x (x − a ) ⇔ 2x 3 + 3(a − 1)x 2 − 6ax = 0
x = 0


⇔ x 2x 2 − 3(a − 1)x − 6a  = 0 ⇔  2
2x − 3(a − 1)x − 6a = 0 (3)

-195-

3. Nguy n Phú Khánh – à L t
• x = 0 ⇒ k = 0 ⇒ 1 ti p tuy n.
Qua M k ư c 3 ti p tuy n n n
th (C ) mà trong ó có 2 ti p tuy n
vuông góc v i nhau .
Khi ó (3) có 2 nghi m phân bi t x 1, x 2 ≠ 0 và k1k2 = −1

a ≠ 0

⇔ ∆ > 0
⇔
 2
 2

 3x 1 + 6x 1   3x 2 + 6x 2  = −1



a ≠ 0

2

9 a − 1 + 48a > 0

2
9 x 1x 2 + 18x 1x 2 x 1 + x 2 + 36x 1x 2 = −1

(
(
)
)
(
)

1
vaø a ≠ 0
a < −3 ∨ a > −
3


⇔ 81a 2 − 81a a − 1 − 108a + 1 = 0

3(a -1) 
 vì x 1x 2 = - 3a ; x 1 + x 2 =

2 



1
vaø a ≠ 0
1
a < −3 ∨ a > −
⇔
⇔a =
3
27
−27a + 1 = 0

 1 
V y M  , 0  ∈ Ox th a bài toán .
 27 
(
)
Bài toán 2 :
Phương trình ti p tuy n c a
( )(
)
( )
( )
(
( ) ) có
th C : y = f x t i i m M x 0 ; f x 0
( )
d ng : y = f ' x 0 x − x 0 + f x 0 .
x −4
v i ti p tuy n (t ) ,
x −1
bi t r ng ti p tuy n (t ) t o v i ư ng th ng (d ) : y = −2x + 2010 1 góc 450 .
Ví d 1 :Tìm t a
ti p i m c a
th (C ) : y =
Gi i :
{}
• D = » 1
-196-

4. Nguy n Phú Khánh – à L t
3
• Ta có : y ' =
• G
k =
2
,x ≠ 1
( )
i M ( x ; f ( x ) ) là t
x −1
0
3
(x
0
−1
2
)
0
a
ti p i m c n tìm thì h s góc ti p tuy n (t ) là
,x0 ≠ 1 .

1
k +2
k = −
• Vì (t ) và (d ) t o nhau 1 góc 45 khi t a n 45 =
⇔
3

1 − 2k
k =3


0
* k =−
1
3
⇔
3
x0 − 1
* k =3⇔
(
3
(x
0
−1
2
)
)
2
=−
1
3
0
i u này không x y ra .
x = 0 ⇒ y = 4 ⇒ M 0; 4
0
2
= 3 ⇔ x 0 − 2x 0 = 0 ⇔  0
x 0 = 2 ⇒ y 0 = −2 ⇒ M 2; −2

( )
( )
2x + 3
, có
th (C ) . Tìm t t c các tham s
x −2
m
ư ng th ng (t ) : y = 2x + m c t (C ) t i hai i m phân bi t mà hai ti p
tuy n t i ó song song v i nhau.
Gi i :
ư ng th ng (t ) : y = 2x + m c t (C ) t i hai i m phân bi t mà hai ti p tuy n t i
Ví d 2 : Cho hàm s y =
ó song song v i nhau khi và ch khi phương trình
( )
nghi m phân bi t x 1, x 2 th a mãn i u ki n y ' x 1
( )
(
2x + 3
= 2x + m có hai
x −2
= y ' x 2 . Khi ó phương
( )
)
trình g x = 2x 2 + m − 6 x − 2m − 3 = 0 có 2 nghi m phân bi t x 1, x 2 khác 2
và th a mãn i u ki n −
7
(
x1 − 2
2
)
7
=−
(
x2 − 2
-197-
2
)
⇔ x1 + x 2 = 4

5. Nguy n Phú Khánh – à L t

2
∆ = m − 6 + 8 2m + 3 > 0

⇔ g 2 = 2.22 + m − 6 .2 − 2m − 3 ≠ 0 ⇔ m = 2 .
 m −6
−
=4

2
2x
Ví d 3: Cho hàm s y =
có
th là (C ) . Tìm trên
th (C ) nh ng
x +1
i m M , sao cho ti p tuy n t i M c t hai tr c t a
Ox,Oy t i hai i m
(
()
)
(
(
)
)
1
.
4
phân bi t A, B sao cho di n tích tam giác AOB có di n tích b ng
Gi i :
(
) ( )
G i M x 0; y0 ∈ C ⇒ y0 =
2x 0
x0 + 1
2
⇒ y '0 =
(x
0
+1
Phương trình ti p tuy n (t ) c a (C ) t i M là : y 0 =
Ti p tuy n (t ) c t hai tr c t a

2
2x 0
B  0;

 x0 + 1

(
2
)
2
(x
0
+1
2
)
2
2x 0
x+
(x
+1
0
(
2
)
.
)
2
Ox,Oy t i hai i m phân bi t A −x 0 ; 0 ,

 sao cho di n tích tam giác AOB có di n tích b ng 1 khi ó
2 
4


)
2
2x 0
1
1
1
2
.OAOB = ⇔ OAOB = ⇔ x 0 .
.
.
2
4
2
x0 + 1
(
2
)
=
1
2
⇔ 4x 0 − x 0 + 1
2
(
2
)
=0

 1

1
2
2x 0 + x 0 + 1 = 0
x 0 = − ⇒ M  − ; −2 
2
⇔
 2
 2
.
2x 0 − x 0 − 1 = 0

x 0 = 1 ⇒ M 1;1

 1

V y có hai i m th a mãn yêu c u bài toán M  − ; −2  , M 1;1 .
 2

( )
( )
()
Ví d 4 : Ch ng minh r ng n u các ti p tuy n (d ), t c a
y = x 3 − 6x 2 + 9x song song v i nhau thì hai ti p i m A, B
-198-
th (C ) :
i x ng nhau

6. Nguy n Phú Khánh – à L t
qua M (2;2) .
Gi i :
(
) (
( )
( )
(C ) . (d ) và (t ) song song v
)
2
3
2
G i A x 1, y x 1 = x 13 − 6x 1 + 9x 1 , B x 2 , y x 2 = x 2 − 6x 2 + 9x 2 là t a
()
ti p i m c a (d ), t và
( )
th
i nhau khi
( )
2
2
y ' x 1 = y ' x 2 ⇔ 3x 1 − 12x 1 + 9 = 3x 2 − 12x 2 + 9 ⇔ x 1 + x 2 = 4 .
x = 2 − t ⇒ y x = t 3 − 3t + 2

1
V i x 1 + x 2 = 4 thì t n t i t > 0 :  1
x 2 = 2 + t ⇒ y x 2 = −t 3 + 3t + 2



x + x2
=2
x 0 = 1

2
D th y trung i m o n AB có t a
.

y x1 + y x 2

=2
y 0 =
2

( )
( )
( ) ( )
Do ó hai ti p i m A, B
i x ng nhau qua M (2;2) .
2x 2
π
Ví d 5 : Cho hàm s y =
.Tìm α ∈  0;  sao cho i m

x −1
 2
M (1 + sin α ; 9 ) n m trên
th (C ) . Ch ng minh r ng, ti p tuy n c a
(C ) t i i m M c t hai ti m c n c a (C ) t i hai i m A, B i x ng nhau qua
i mM.
Vì M (1 + sin α ; 9 ) n m trên
Gi i :
th (C ) nên:
sin α = 1
2
2 (1 + sin α )
2
2
= 9 ⇔ 2 sin α − 5 sin α + 2 = 0 ⇔ 
sin α = 2
1 + sin α − 1


π
1
π
3 
Vì α ∈  0;  nên sin α = ⇒ α = ⇒ M  ;9 


 2
2
6
2 
Ti p tuy n c a
3 
3
th (C) t i i m M là: y = y '    x −  + 9

2
 2 
hay (d ) : y = −6x + 18 .
Ti p tuy n (d ) c t ti m c n
ng x = 1 t i: A (1;12 )
-199-

7. Nguy n Phú Khánh – à L t
Ti p tuy n (d ) c t ti m c n xiên tai i m B có t a
y = −6x + 18

( x ; y ) h phương trình: 
y = 2x + 2

xA

D th y: 
y
 A

Suy ra, A, B
là nghi m
x = 2

⇔
⇒ B ( 2; 6 )
y = 6

+ xB 3
= = xM
2
2
+ yB
= 9 = yM
2
i x ng nhau qua i m M ( pcm).
2x − 3
t i M c t các ư ng
x −2
ti m c n t i hai i m phân bi t A, B . Tìm t a
i m M sao cho ư ng
tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích nh nh t , v i I là giao i m hai
ti m c n .
Gi i :
()
Ví d 6: G i d là ti p tuy n c a
(
) ( )
G i M x 0; y0 ∈ C ⇒ y0 =
th (C ) : y =
2x 0 − 3
x0 − 2
, y '0 = −
()
1
(x
Phương trình ti p tuy n d c a (C ) t i M : y =
(d ) c t hai
0
−2
)
2
−1
(x
0
−2
(x − x 0 ) +
2
)
2x 0 − 3
x0 − 2
 2x − 2 
ư ng ti m c n t i hai i m phân bi t A  2; 0
, B 2x 0 − 2;2 .
 x −2 


0

(
)
( )
D th y M là trung i m AB và I 2;2 là giao i m hai ư ng ti m c n.
Tam giác IAB vuông t i I nên ư ng tròn ngo i ti p tam giác IAB có di n tích
2



 2x 0 − 3
 
1
2
2
S = π IM = π (x 0 − 2) + 
− 2   = π (x 0 − 2)2 +
 ≥ 2π
 x −2
 

(x 0 − 2)2 

 0
 



x = 1 ⇒ y 0 = 1
1
D u ng th c x y ra khi (x 0 − 2)2 =
⇔ 0
(x 0 − 2)2
x = 3 ⇒ y 0 = 3
 0
( ) ( )
V y M 1;1 M 3; 3 th a mãn bài toán.
Bài toán 3 :
-200-

8. Nguy n Phú Khánh – à L t
( )
Phương trình ti p tuy n c a
( )
th C : y = f x
(
i qua i m M x 1; y1
)
Cách 1 :
()
• Phương trình ư ng th ng d
(
i qua i m M có h s góc là k có d ng :
)
y = k x − x 1 + y1 .
•
()
d ti p xúc v i
f x = k x − x + y

1
1
th C khi h sau 
có nghi m.
f' x =k


( ) (
( )
( )
)
Cách 2 :
(
)
• G i N x 0 ; y 0 là t a
( )
ti p i m c a
()
(
()
th C và ti p tuy n d qua i m
)
M , nên d cũng có d ng y = y '0 x − x 0 + y 0 .
•
(d )
(
)
()
i qua i m M nên có phương trình : y1 = y '0 x 1 − x 0 + y 0 *
()
• T phương trình * ta tìm ư c t a
(
)
i m N x 0; y0 , t
ây ta tìm ư c
()
phương trình ư ng th ng d .
x4
5
− 3x 2 +
Ví d 2: Cho hàm s : y =
có
2
2
th là
(C ) . Gi s
M ∈ (C ) có hoành
a . V i giá tr nào c a a thì ti p tuy n c a (C ) t i M
c t (C ) t i 2 i m phân bi t khác M .
Gi i :

a
5
Vì M ∈ (C ) nên M  a ; yM =
− 3a 2 + 
2
2

'
Ti p tuy n t i M có h s góc yM = 2a 3 − 6a
Ti p tuy n t i M có d ng :
4
a4
5
− 3a 2 +
M
2
2
Ti p tuy n d c a (C ) t i M c t (C ) t i 2 i m phân bi t khác M khi
()
'
y = yx (x − x M ) + yM ⇒ d : y = (2a 3 − 6a )(x − a ) +
()
phương trình sau có 3 nghi m phân bi t :
x4
5
a4
5
− 3x 2 + = (2a 3 − 6a )(x − a ) +
− 3a 2 + hay phương trình
2
2
2
2
-201-

9. Nguy n Phú Khánh – à L t
(x − a )2 (x 2 + 2ax + 3a 3 − 6) = 0 có 3 nghi m phân bi t , nghĩa là phương trình
( )
g x = x 2 + 2ax + 3a 3 − 6 = 0 có hai nghi m phân bi t và khác a .

∆ ' = a 2 − (3a 2 − 6) > 0
a 2 − 3 < 0


a < 3
⇔  g (x )
⇔ 2
⇔
2
g(a ) = 6a − 6 ≠ 0
a ≠ 1
a ≠ ±1



a < 3

V y giá tr a c n tìm 
a ≠ ±1

Bài t p tương t :
1. Tìm m ti p tuy n i qua i m M 2; m + 2 c a th hàm s
(
y = x 3 − 3x + m ph i i qua g c t a
)
O.
BÀI T P T
LUY N
1.
a ) Tìm a, b bi t r ng

5
ax 2 − bx
th c a hàm s f x =
i qua i m A  −1; 
x −1
2

( )
( )
và ti p tuy n t i O 0; 0 có h s góc b ng −3 . Kh o sát s bi n thiên và v
th
ng v i giá tr a, b v a tìm ư c.
b ) Tìm a, b bi t r ng
( )
th c a hàm s f x = 2x 2 + ax + b ti p xúc v i
hypebol a ) Tìm a, b bi t r ng
th c a hàm s y =
1 
1
t i i m M  ;2 
x
2 
2.
a ) Vi t phương trình c a ư ng th ng i qua i m A 1; −2 và ti p xúc v i
(
)
parabol y = x 2 − 2x
5
x − 2, y = x 2 + x − 2 ti p xúc nhau
4
t i M , vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai ư ng cong ó .
b ) Ch ng minh hai ư ng cong y = x 3 +
-202-

10. Nguy n Phú Khánh – à L t
c) Ch ng minh r g các
( )
th c a ba hàm s
( )
( )
f x = −x 2 + 3x + 6, g x = x 3 − x 2 + 4, h x = x 2 + 7x + 8 ti p xúc nhau t i
(
)
i m A −1;2 .
d ) Ch ng minh r ng các
th c a ai hàm s
x2 3
3x
+ x, g x =
ti p xúc nhau . Xác nh ti p i m và vi t
2 2
x +2
phương trình ti p tuy n chung c a hai ư ng cong t i i m ó .
( )
( )
f x =
e ) Ch ng minh r ng các
( )
( )
th c a ai hàm s f x = x 3 − x , g x = x 2 − 1 ti p
xúc nhau . Xác nh ti p i m và vi t phương trình ti p tuy n chung c a hai
ư ng cong t i i m ó .
Hư ng d n :
1.
a −1 2 − −1
5


= ⇔ a = −2
a) 

2
−1 − 1
b = −3
 f ' 0 = −3


9
b ) a = −6, b =
2
2. a ) d : y = m x − 1 − 2 ⇒ m = 2 y = 2x − 4 , m = −2 y = −2x
( ) ( )
()
()
(
)
(
)
(
)
1 5
9
b ) M  ; −  , y = 2x −
4
2 4
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
A ( −1;2 ) các th c a ba hàm s có ti p tuy n chung , nói khác hơn là các
th c a ba hàm s ti p xúc nhau t i i m A ( −1;2 ) .
c) f −1 = g −1 = h −1 = 2, f ' −1 = g ' −1 = h ' −1 = 5 , ch ng t t i
( )
d ) O 0; 0 , y =
3
x
2
-203-